Solução dos exercícios II.1d e II.2d da apostila usando o Maple (ou seus similares)

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(3)(3)
O O 
O O 
(2)(2)
O O 
(5)(5)
O O 
(1)(1)
O O 
(6)(6)
(4)(4)
O O 
O O 
Solução dos exercícios II.1d e II.2d da apostila usando o Maple (ou seus similares)
Zerando variáveis 
Coisas do Maple.
restart:
Comprimento e módulo de elasticidade da barra
L:=12;E:=10^7;
L := 12
E := 10000000
Altura e largura da seção transversal nas extremidades
b1:=5/100;b2:=15/100;h1:=10/100;h2:=30/100;
b1 := 1
20
b2 := 3
20
h1 := 1
10
h2 := 3
10
Funções de interpolação linear
N1:=1-x/L;N2:=x/L;
N1 := 1K 1
12
 x
N2 := 1
12
 x
Interpolando largura e altura da seção transversal da barra
h:=N1*h1+N2*h2;b:=N1*b1+N2*b2;
h := 1
10
C
1
60
 x
b := 1
20
C
1
120
 x
Área da seção transversal
A:=b*h;
A := 1
20
C
1
120
 x 1
10
C
1
60
 x
Dicas do Maple:
Na linha acima, insira o comando expand, como a seguir : A:=expand(b*h);
Voce vai notar a diferença da resposta. O comando expand obriga o Maple a "fazer as contas". Se voce 
tentar, voce verá.
Obs: nem sempre é bom " fazer as contas"
Esforço normal
N:=1800-100*x;
N := 1800K100 x
O O 
(12)(12)
O O 
O O 
(11)(11)
O O 
O O 
(10)(10)
(7)(7)
O O 
(8)(8)
Tensão
sig:=N/A;
sig := 1800K100 x
1
20
C
1
120
 x 1
10
C
1
60
 x
Deformação
def:=(sig/E);
def := 1
10000000
 1800K100 x
1
20
C
1
120
 x 1
10
C
1
60
 x
Deslocamento u(x)
u:=int(def, x=0..xx, AllSolutions);
u :=
undefined xx!K6
KN xx =K6
9
125
 K6 ln xxC6 K ln xxC6 xxC4 xxC ln 2 xxC6 ln 2 Cln 3 xxC6 ln 3
xxC6
xx! 0
0 xx = 0
9
125
 K6 ln xxC6 K ln xxC6 xxC4 xxC ln 2 xxC6 ln 2 Cln 3 xxC6 ln 3xxC6 0! xx
Dica de uso do Maple: maniplando respostas: 
 - queremos u para xx >0 --> copia e cola a parte que interessa da equação (9), como fizemos abaixo;
 - queremos calcular ln(2) e ln(3) --> coloca um ponto á direita do 2 e do 3, como fizemos abaixo;
 - queremos coletar xx (colocar xx em evidência) --> usamos o comando collect, como fizemos logo 
depois;
 - queremos escrever u(x) x em vez de u(xx) --> copiamos e colamos a equação (10) abaixo e apagamos
um x no xx, como fizemos na equação (12) 
u:=(9/125)*(-6*ln(xx+6)-ln(xx+6)*xx+ln(2.)*xx+6*ln(2.)+ln(3.)*
xx+6*ln(3.)+4*xx)/(xx+6);
u := 9
125
 K6 ln xxC6 K ln xxC6 xxC5.791759470 xxC10.75055682xxC6
u:=collect(u,xx);
u := 9
125
 K1. ln xxC6 C5.791759470 xxK6. ln xxC6 C10.75055682
xxC6
Dicas do Maple: o comando collect coloca em evidência o que voce pedir. No caso acima, pedimos 
para colocar xx em evidência, conforme feito na resposta em azul (equação (11) . Essa equação (em 
azul ) pode ser copiada e colada (arrasta o mouse, crtl + c e crtl+v) como fizemos abaixo. Nessa linha 
mudamos o xx para x apenas (usando tecla del). Assim obtemos u(x) em vez de u(xx), como na 
equação (12).
u := 9
125
 K1. ln xC6 C5.791759470 xK6. ln xC6 C10.75055682
xC6
;
u := 9
125
 K1. ln xC6 C5.791759470 xK6. ln xC6 C10.75055682
xC6
Plotando respostas
- deslocamento
O O 
O O 
plot(u, x=0..12,y=0..0.15);
x
0 2 4 6 8 10 12
y
0
0.05
0.10
0.15
Dica do Maple: Altere a linha acima para: plot(u, x=0..12);
Que diferença voce notou no gráfico?
Voce acha que eu já sabia que o intervalo de y=0 a y=0.15 era bom para ilustrar u(x) antes de fazer um 
simples plot(u, x=0..12); ? 
- deformação
plot(def, x=0..12,y=0..0.04);
O O 
x
0 2 4 6 8 10 12
y
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Exercício de mecânica dos sólidos:
Compare os dois gráficos acima: do deslocamento u(x) e o da deformação def(x). O que há de comum 
entre eles? Há quem diga que deformações são derivadas de deslocamentos. Isso lhe parece verdadeiro 
nesse nosso exemplo?
E se o grafico do deslocamento fosse uma reta horizontal (u constante)? Como seriam as deformações 
da barra?
- tensão
plot(sig, x=0..12, y=0..400000);
O O 
x
0 2 4 6 8 10 12
y
0
100000
200000
300000
400000
Conforme os dois gráficos acima, sig(x) e de def(x) ficaram com valores bem diferentes, mas mesmo 
assim eles têm um jeitão parecido.
Por que isso? 
- esforço normal
plot(N, x=0..12, y=0..2000);
(13)(13)
(14)(14)
O O 
O O 
x
0 2 4 6 8 10 12
y
0
500
1000
1500
2000
Engraçado é que, conforme os dois gráficos acima, a tensão normal (sig(x)) e o esforço normal (N(x)) 
até diminuem na direção do eixo x, mas de maneiras bem diferentes: N(x) varia conforme uma reta e 
sig(x) é uma curva. Por que isso? Será influência da variação da área da seção transversal? Como varia 
essa área ao longo de x? Tente plotar A(x)? Basta fazer um plot(A,x=0..12), pois A(x) já está calculado
na equação (5), lá em cima. Tente. Não vai dar trabalho quase nenhum. Faça um CTRL+J com o cursor 
bem aqui e, na nova linha que se vai abrir logo abaixo, cole o comando plot dado em negrito. 
Cálculo do trabalho das forças exernas 
Dica: veja a equação (II.7) da apostila
- deslocamento na extremidade b:
xbd 12;
xb := 12
ubd 9
125
 K1. ln xbC6 C5.791759470 xbK6. ln xbC6 C10.75055682
xbC6
;
ub :=K0.07200000000 ln 18 C0.3210066819
Dicas do Maple:
A equação (14) acima foi obtida compiando-se a equação (12) e fazendo-se apenas as alterações, ou 
seja, u para ub e de x para xb. Pouco se digitou.
 
 Dica do Maple: trabalhando a resposta para ub 
 Na equação (14) queremos calcular ln(18) e somar os dois termos da equação, a fim de ter um resltado 
O O 
(19)(19)
O O 
(18)(18)
O O 
(17)(17)
(16)(16)
(15)(15)
O O 
O O 
final. Para o Maple calcular o valor de ln(18) basta copiar e colar a equação (14) e colocar um ponto à 
direita do 18, como fazemos abaixo. Novamente, pouco se digitou:
ub :=K0.07200000000 ln 18. C0.3210066819;
ub := 0.1128999153
obs: A extremidade b se deslocou 11,29cm para a direita. Como a extremidade A é fixa, barra 
originalmente tinha 12m e passou a ter 12, 1128999153 m. Alongamento devido ao esforço normal.
- força distribuída ( f ) e força oncentrada em b ( Fb ).
fd 100; Fbd 600;
f := 100
Fb := 600
K trabalho de f e de Fb (trabalho das forças externas)
Wextd 0.5$Fb$ubC0.5$int f$u, x = 0 ..L ;
Wext := 83.75979657
Cálculo da energia de deformação
Dica: veja a equação (II.5) da apostila
Ud 0.5$int sig$def$A, x = 0 ..L ;
U := 273.6000000K172.8000000 ln 3
calculando ln(3) e somando (copia, cola, etc):
U := 273.6000000K172.8000000 ln 3. ;
U := 83.7597965
Conforme as equações (17) e (19) Wext e U são quase iguais. Coincidência?
Deveriam ser iguais? Por que?
Por que os valores das equações (II.17) e (II.19) não estão exatamente iguais? Tá certa essa resposta?