Resumo Calculo I

Prévia do material em texto

1 
 
 
Para quem vai estudar Cálculo 
 
Você está começando um programa de estudos de Cálculo Diferencial e Integral. É 
como um circuito que você deverá percorrer para ir incorporando algumas ideias que, 
embora antigas, estão na base da tecnologia atual. A tarefa de um profissional de qualquer 
área é transformar ciência em tecnologia, ou seja, transformar conhecimento em algo útil 
para o desenvolvimento humano e sustentado da sociedade. 
 
Cada vez que for cumprir uma etapa deste programa, lembre-se de que está fazendo 
um grande investimento em você mesmo, de longe seu maior capital! Lembre-se também 
de que é você que precisará estudar Cálculo; ninguém poderá fazer isso por você. Pense em 
uma aula de ginástica: você é quem faz a aula; o professor orienta! Esse programa foi 
estruturado para ajudá-lo a estudar; não é um programa fácil porque não existem caminhos 
fáceis para se trabalhar com o conhecimento! 
 
As páginas do livro ou do caderno ou da internet podem servir de lembrete: a palavra 
página vem de pagus, termo latino utilizado para indicar o pedaço de terra, cercado e 
cultivado por alguém ou por um grupo de pessoas, com vistas a garantir a própria 
subsistência. Uma página é o terreno que você precisará cultivar para garantir seu 
desenvolvimento como profissional capaz de intervir no mundo de maneira inteligente. 
 
Estude com particular atenção os exemplos. Use lápis e papel, sublinhe partes do 
texto que julgar importantes, assim como alguém que está cavando um terreno ou 
examinando os detalhes de um objeto. Ler é sinônimo de investigar! 
 
 
 
 
 
Que você tenha pleno sucesso! 
 
 Belo Horizonte, Agosto de 2013. 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE I 
 
 
Capítulo 1 – Funções 
 
Capítulo 2 – Funções lineares 
 
Capítulo 3 – Funções quadráticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Capítulo 1 – Funções e modelos 
 
Introdução 
 
A Matemática estuda os aspectos quantitativos dos fenômenos. Um jeito de fazer 
isso é por meio das funções; elas servem para ler e descrever situações e acontecimentos. 
Durante todo o estudo de Cálculo, você estará mexendo com funções. Vale a pena saber 
lidar com elas! 
As funções comparecem em praticamente todos os ramos da Matemática. Podemos 
mesmo dizer que o Cálculo Diferencial e Integral, uma das obras mais brilhantes da 
humanidade, está todo voltado para o estudo de funções. Durante este curso de Cálculo, 
lidaremos o tempo todo com funções: as maneiras de representar uma função, o limite e a 
continuidade de uma função, a derivada e a antiderivada de uma função. 
Talvez você esteja acostumado a pensar que função é uma fórmula e não veja 
nenhuma importância em saber ler tabelas ou gráficos e nem qual o domínio e a imagem de 
uma função. É comum que gostemos mais de manipular expressões, de fazer contas e 
resolver, de maneira mecânica, as questões que encontramos ou que nos são postas. Com a 
chegada das calculadoras e dos computadores, a habilidade de fazer muitos cálculos passou 
a ter menos importância; atualmente, mais vale conhecer bem os conceitos e saber quando e 
como aplicar esses conceitos. 
Nos primeiros capítulos, estabeleceremos a base do curso por meio do estudo do 
comportamento de algumas funções; usaremos, para isso, tabelas, fórmulas, gráficos e 
textos descritivos, que são as maneiras mais comuns de representar funções. Embora esses 
capítulos abranjam conteúdos que você certamente já conhece, é bom que os estude de 
modo a melhorar a percepção a respeito das funções: isso é fundamental para fazer um bom 
curso de Cálculo. 
 
 
1.1 O que é uma função 
 
Na linguagem do dia a dia, dizemos que o preço de uma corrida de táxi está em 
função da distância percorrida. Nesse caso, a palavra função expressa a ideia de que o 
conhecimento de um fato ou de um valor (a distância percorrida) nos diz algo a respeito de 
outro fato ou de outro valor (o preço de uma corrida). 
Em Matemática, estudamos os aspectos quantitativos de um fenômeno; são aspectos 
que podem ser medidos e expressos por meio de números. Este é um dos motivos pelos 
 
4 
 
quais as funções mais importantes, em Matemática, são aquelas em que o conhecimento de 
um número nos fornece informações sobre outro número. Por exemplo, se conhecermos o 
comprimento do lado de um quadrado, podemos calcular a medida da área desse quadrado; 
se soubermos a velocidade de um carro, podemos estimar quanto tempo levará para 
percorrer determinada distância.. 
Muitas funções são utilizadas para descrever fenômenos físicos ou situações que 
acontecem em diversos campos da ciência. Essas funções são chamadas de modelos 
matemáticos porque servem para representar com bastante precisão o comportamento das 
grandezas que interferem numa situação ou fenômeno. 
Por meio de um exemplo, vamos estudar o que é uma função. Descreveremos 
também o que é o domínio e o que vem a ser a variação ou a imagem de uma função. 
Tente estudar com detalhes as situações apresentadas neste texto; essa é uma oportunidade 
para você aprender a ler tabelas e gráficos, melhorar sua habilidade de descrever situações 
e, sobretudo, desenvolver sua capacidade de pensar, que aqui é vista como a habilidade de 
estabelecer relações. 
 
Exemplo 1 
 
De 10 a 20 de janeiro de 2010, foram registradas em certa cidade as seguintes temperaturas 
máximas: 
 
Data 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Temperatura (
0 C
) 
23 25 25 26 28 25 22 24 26 28 28 
Tabela 1.1 
Na Tabela 1.1, existe uma relação entre as datas e as temperaturas máximas. A cada 
dia, de 10 a 20 de janeiro, está associada uma única temperatura máxima. Podemos 
observar que, em um mesmo dia, ocorre apenas uma temperatura máxima. 
Este é um exemplo de função. Embora não exista fórmula para a temperatura (senão 
não precisaríamos dos institutos de meteorologia), a temperatura satisfaz a definição de 
função: cada dia t tem uma única temperatura máxima M associada a ele. 
Uma grandeza M é uma função de outra grandeza t se, a cada valor de t, estiver 
associado um único valor de M. Quando isso acontece, dizemos que M é o valor da função 
ou a variável dependente, e que t é a variável independente ou argumento da função. 
Usando símbolos matemáticos, escrevemos: 
)(tfM 
, em que f é o nome da função. 
O domínio de uma função é o conjunto dos possíveis valores da variável 
independente. Nesse exemplo, o domínio é o conjunto dos dias do período de 10 a 20 de 
janeiro de 2004. Em linguagem matemática, escrevemos: 
 20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10)( fD
. 
A variação ou a imagem de uma função é o conjunto dos valores efetivamente 
assumidos pela variável dependente. Nesse exemplo, a imagem é o conjunto dos valores da 
temperatura máxima registrados no período de 10 a 20 de janeiro de 2010. Em linguagem 
matemática, escrevemos: 
 28,26,25,24,23,22)Im( f
. 
 
 
 
5 
 
1.2 A função é uma fábrica de pares ordenados 
 
Podemos considerar uma função como uma máquina que fabrica pares ordenados de 
números ou de elementos. No exemplo da Tabela 1.1, quando colocamos nessa máquina 
10t
, obtemos 
23)10(  fM
; formamos, assim, o par ordenado (10, 23). Com base 
nessa ideia, a função é um conjunto de pares ordenados e, nesse exemplo da tabela, temos: 
 )28,20(),28,19(),26,18(),24,17(),22,16(),25,15(),28,14(),26,13(),25,12(),25,11(),23,10(FA tecla ou 
x
 de uma calculadora é um exemplo de função como máquina de 
fazer pares ordenados: quando pressionamos a tecla ou 
x
 e damos o input 16, 
aparecerá no visor o output 4. Assim, a calculadora forma o par ordenado (16, 4), ou seja, 
(16, 
16
). De modo geral, a máquina 
x
 fabrica pares ordenados (
xx,
). Na notação 
funcional, escrevemos: 
xxf )(
. 
Já tivemos oportunidade de observar que este operador ou 
x
 só pode ser usado 
para 
x 0
. Assim, se digitarmos 
9
 e, na sequência, acionarmos o operador ou 
x
, a 
calculadora vai escrever error, indicando que saímos do domínio da função. 
O processo de formar pares ordenados pode ser representado também por meio de 
um diagrama de flechas, como na Figura 1.1. 
 
 
Figura 1.1 
 
Nesse diagrama, o conjunto A é o domínio da função: 
 7,5,1)( fD
. De cada 
elemento de A sai uma única flecha; isso significa que um elemento de A está associado a 
um único elemento de B. Assim, por exemplo, 
8)5( f
. Observe também que nenhum 
elemento de A é desprovido de flecha. 
 
O conjunto B é o contradomínio da função: 
 16,8,2)( fCD
. A um mesmo 
elemento de B pode chegar mais de uma flecha; isso significa que um elemento de B pode 
ser imagem de mais de um elemento de A. O conjunto B pode ter elementos aos quais não 
chega nenhuma seta, ou seja, pode existir elemento de B que não seja imagem de nenhum 
elemento de A. O conjunto dos elementos de B aos quais chega pelo menos uma flecha é a 
imagem da função. No exemplo, temos: 
 8,2)Im( f
. Observe que sempre o conjunto-
imagem é um subconjunto de B. 
 
6 
 
De modo geral, o número de elementos ou de pares ordenados de uma função é 
muito grande, o que torna inviável escrever todos eles; devido a isso, utilizam-se duas 
outras formas de representação: os gráficos e as fórmulas. As fórmulas usadas para 
representar funções são também chamadas de equações, leis de associação ou leis de 
formação. 
 
 
1.3 Várias maneiras de representar uma função 
 
As funções podem ser representadas de maneiras diferentes. Assim, a função que 
fornece as temperaturas máximas em função do tempo, que foi representada por meio da 
Tabela 1.1, também pode ser representada pelo gráfico da Figura 1.2. 
 
Figura 1.2 
 
Nesse gráfico, estão representados os pares ordenados que constituem a função. O 
gráfico é formado por pontos separados e cada um deles representa um elemento da função: 
 )28,20(),28,19(),26,18(),24,17(),22,16(),25,15(),28,14(),26,13(),25,12(),25,11(),23,10(F
 
O primeiro termo de cada um desses pares é medido sobre o eixo horizontal onde 
normalmente são colocados os valores do domínio da função; o segundo termo de cada um 
desses pares é medido sobre o eixo vertical, onde normalmente são colocados os valores do 
contradomínio da função. 
Nos exemplos seguintes, vamos representar funções por meio de uma tabela, de um 
gráfico, de uma fórmula e da descrição verbal. São essas as quatro maneiras mais usuais 
de se representar uma função. Em geral, existe a maneira mais adequada para se representar 
uma função, dependendo do uso que se precisa fazer dela. Assim, por exemplo, o padrão 
dos batimentos cardíacos de uma pessoa é mais facilmente observado em um 
eletrocardiograma, que é o gráfico de uma função, e a distribuição de renda no Brasil fica 
mais bem evidenciada por meio de um gráfico em forma de pizza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Exemplo 2 
 
Quando uma bola é chutada para cima, a altura da bola depende do tempo decorrido 
desde o momento do chute. 
a) Esse fato pode ser representado por meio da seguinte tabela de valores. 
 
Tempo t (em segundos) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 
Altura 
)(tf
 (em metros) 0 6,25 10,00 11,25 10,00 6,25 0 
Tabela 1.2 
 
Na Tabela 1.2, estão indicados sete dentre os infinitos pares ordenados que 
constituem a função: (0, 0), (0,5; 6,25), (1,0; 10,00), (1,5; 11,25), (2,0; 10,00), (2,5; 6,25) e 
(3,0; 0). Os elementos da primeira linha da tabela são do domínio da função; os elementos 
da segunda linha são do contradomínio da função. 
A representação de uma função por meio de uma tabela é muito utilizada para 
indicar as medidas obtidas em experimentos científicos. 
b) Podemos, também, usar um gráfico para representar essa função. 
 
 
Figura 1.3 
 
Para construir esse gráfico da Figura 1.3, foram plotados em um sistema de 
coordenadas cartesianas três dos pares ordenados da tabela: (0, 0), (1,5; 10,25) e (3,0; 0). A 
seguir, esses pontos foram ligados por meio de uma curva contínua, traçada sem tirar o 
lápis do papel (ou mantendo o mouse pressionado). Fazer um traço contínuo sugere que, 
para qualquer instante considerado entre 0 e 3 segundos, existe uma altura correspondente 
para a bola chutada. O traço contínuo é uma invenção engenhosa da matemática para 
representar fenômenos que ocorrem, aparentemente, sem dar saltos. 
 
c) Para efeito de manipulação algébrica e de análise matemática, essa função pode ser 
representada pela fórmula. 
tttf 155)( 2 
 
A descrição de uma função por meio de uma fórmula é a mais resumida delas; na 
fórmula, utilizamos uma linguagem codificada. Quando escrevemos 
tttf 155)( 2 
, 
estamos escrevendo uma frase completa por meio de símbolos matemáticos: o primeiro 
membro da equação, 
)(tf
, é o sujeito da frase; o sinal de igualdade, = (é igual a), é o verbo 
e o segundo membro da equação,
tt 155 2 
, é o predicativo. Em geral, a fórmula de uma 
 
8 
 
função é conseguida por meio de muitas experimentações feitas com o fenômeno físico que 
se pretende descrever ou modelar. 
 
d) Além disso, uma função pode ser representada por meio de descrição verbal. 
 O fenômeno apreciado nesse exemplo pode ser descrito verbalmente, como feito a 
seguir: 
 “Quando uma bola é chutada para o alto, a sua altura em relação ao solo é função do 
tempo decorrido desde o momento do chute, ou o instante inicial, até o momento em que 
toca o solo, ou o instante final. No caso em estudo, a altura da bola no instante 
t 0
 é zero, 
no instante 
t 1,5
 é 11,25 e no instante 
t 3
 volta a ser zero.” 
Das quatro representações propostas para o exemplo, as de mais fácil leitura são a 
tabela e o gráfico. A de mais fácil manipulação computacional é a fórmula. A descrição 
verbal de uma função nem sempre consegue explicitar todos os detalhes de um fenômeno; 
existem situações que só conseguimos descrever por meio de gráficos ou de tabelas ou de 
fórmulas; isso significa que existem situações que só podem ser descritas por meio da 
linguagem matemática. 
Você pode entender melhor esta última afirmativa se pensar que o computador é um 
artefato matemático! Nos programas para computadores, substituem-se cores, sons e 
palavras por sequencias de números formados pelos algarismos 0 e 1; o computador 
compara e ordena essas sequencias numéricas de acordo com o programado. Se é verdade 
que um gesto vale mais que mil palavras, também é verdade que uma equação matemática 
vale por milhares de palavras. 
 
Exemplo 3 
Considere um tanque com 
l1200
 de capacidade e uma torneira que despeja nele 
l40
de água por minuto. O volume de água despejada é função do tempo em que a torneira 
ficar aberta. 
a) O fenômeno de enchimento do tanque em função do tempo pode ser descrito por 
meio da tabela a seguir: 
 
Tempo t (em minutos) 0 1 2 3 ... 29 30 
Volume V (em litros) 0 40 80 120 ... 1160 1200 
Tabela 1.3 
b) Por meio de um gráfico, a função fica assim descrita: 
 
 
Figura 1.4 
 
9 
 
c) Por meio de uma fórmula, podemos escrever: 
ttf40)( 
, 
300  t
 
As variáveis V e t se relacionam pela igualdade 
tV 40
, com 
300  t
. Para cada 
valor atribuído à variável t, corresponde um único valor para a variável V. A relação 
tV 40
 é a lei de associação ou a lei de formação da função. 
 
d) Uma possível descrição verbal dessa função é a seguinte: 
O volume de água despejado no tanque é função do tempo decorrido desde o 
instante em que a torneira foi aberta. A torneira é aberta quando o tanque está vazio 
e despeja no tanque 40 litros a cada minuto. Como a capacidade do tanque é de 
1200 litros, serão necessários 30 minutos para que essa torneira encha 
completamente o tanque. 
 
 
1.4 Exercícios resolvidos 
 
1) Um radar eletrônico flagra certo automóvel andando a 108 km/h em uma avenida de 
Belo Horizonte às duas horas da manhã. Considerando que o carro se manteve nessa 
mesma velocidade por 1 minuto: a) construa uma tabela que relacione a distância 
percorrida por ele em função do tempo no intervalo entre 02:00 e 2:01; b) escreva 
uma fórmula que expresse a relação entre a distância percorrida (em metros) e o 
tempo (em segundos) para o carro nesse intervalo de tempo. c) esboce o gráfico da 
função obtida no item anterior. 
 
Solução 
 
a) Começamos por expressar a velocidade em metros por segundo: 
 
sm
s
m
h
km
/30
3600
108000
1
108

 
 
Atribuindo valores ao tempo t e à distância D, temos a tabela a seguir: 
 
Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 
Distância (m) 0 300 600 900 1200 1600 1800 
Orientações: 
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos 
estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a 
resolução dos exercícios propostos ou das questões de atividades. 
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá 
procurar esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação. 
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode 
fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos 
detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema 
 
10 
 
b) Considerando que a cada segundo o carro percorre 30m, temos a seguinte equação 
que relaciona a distância D com cada instante t do tempo: 
 
( ) 30 , 0 60D t t t  
 
c) O gráfico da função, feito no winplot, está na Figura 1.6: 
 
 
Figura 1.6 
 
2) Certo estacionamento cobra R$7,00 por hora, mas possui uma promoção em que o 
cliente pode comprar um selo no valor de R$60,00 com o qual passa a pagar apenas 
R1,00 por hora. Com base nessas informações: a) escreva uma equação para cada 
situação de pagamento. b) faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de 
coordenadas. c) através do gráfico determine a partir de quantos dias passa a ser 
vantajoso comprar o selo promocional. 
 
Solução 
a) Sendo f a função para situação normal e t o tempo em horas, temos: 
( ) 7f t t
 
 Sendo g a função, quando se usa o selo, e t o tempo em horas, temos: 
g(t) 60 t 
 
b) A Figura 1.7 traz o gráfico das duas funções. 
 
 
Figura 1.7 
 
11 
 
 
c) Com base no gráfico, podemos concluir que, a partir da décima hora de uso do 
estacionamento, comprar o selo promocional se torna mais vantajoso. 
 
 
3) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 
312m
. O comprimento da base é o 
dobro da largura. O material da base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo 
que o material das laterais custa R$8,00 por metro quadrado. Expresse o custo total 
do material em função da largura da base. 
 
Solução 
 
Consideremos a caixa representada no 
diagrama ao lado, na qual a é a medida 
da largura da base, 2a o comprimento e 
h a altura. 
 
Assim, o custo total da caixa, em reais, é dado por: 
2C (2a a) 10 2a h 8 2 2a h 8 C 20a 48ah            
 
 
Por outro lado, o volume da caixa, em metros quadrados, é 
V 2a a h  
. Fazendo 
V 12
, obtemos 
2
2
6
12 2a h h
a
  
. 
Substituindo este valor de h na equação do custo total, 
2C 20a 48ah 
, temos: 
 
2 2
2
6 288
C 20a 48a C(a) 20a
a a
     
 
Portanto, a equação 
2 288C(a) 20a
a
 
 expressa o custo C da caixa em função da 
largura a de sua base. 
O gráfico dessa função, feito no winplot, está na Figura 1.8. 
 
 
 
Figura 1.8 
 
a
 
2a
 
h
 
 
12 
 
Questionário 1 
 
Para responder às perguntas deste questionário, utilize um livro de Cálculo. Tente redigir 
suas respostas, com clareza, como se estivesse explicando a matéria para alguém. 
 
1) O que é uma função? 
2) O que é domínio de uma função? 
3) O que é a variação ou a imagem de uma função? 
4) O que é o gráfico de uma função? 
5) Como, a partir do gráfico de uma determinada curva, sabemos tratar-se do gráfico de 
uma função? 
6) Escolha uma função e represente-a de quatro maneiras. 
7) O que é uma função par? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é par ou não? 
8) O que é uma função ímpar? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é ímpar ou 
não? 
9) Quando dizemos que uma função é crescente em um intervalo 
 a,b
? 
10) Quando dizemos que uma função é decrescente em um intervalo 
 a,b
? 
 
 
Exercícios 1 
 
Para os exercícios de números de 01 a 05, faça uma tabela de valores e um gráfico que 
representem o fato descrito. Sugira também, quando for o caso, uma fórmula para a função. 
 
1) O preço da conta de água a ser pago mensalmente é função da quantidade de água 
consumida. 
 
2) O tempo gasto por um carro para percorrer determinada distância é função de sua 
velocidade. 
 
3) O comprimento C de uma circunferência é função de seu raio r, definida pela lei 
rC 2
. 
 
4) A área S de um quadrado é função da medida de seu lado l, definida pela lei 
2lS 
. 
 
5) A quantidade de dinheiro em uma conta bancária que rende juros de 0,8% ao mês e 
na qual foram depositados, inicialmente, R$1.000,00. 
 
6) Esboce um possível gráfico para descrever a velocidade de um carro que desacelera 
constantemente como função do tempo. Explique o significado desse gráfico. 
 
7) Esboce um gráfico que descreva a variação da temperatura de um pedaço de aço 
aquecido em uma fornalha e deixado do lado de fora desta para esfriar, em função 
do tempo. Explique o significado desse gráfico. 
 
 
13 
 
8) Esboce um possível gráfico para descrever a variação da temperatura de um copo de 
água com gelo colocado sobre a mesa da cozinha. Escreva um texto comparando 
esse gráfico com o do exercício 7. 
 
9) Uma caixa retangular fechada de base quadrada tem volume de 
3m2
. Expresse a 
área superficial dessa caixa como uma função do comprimento de um lado da base. 
 
10) Suponha que um carro se mova em velocidade constante de 88 km/h e passe pelo 
quilômetro 100 de uma rodovia. Escreva uma função que relacione a posição x do 
carro (em relação ao quilômetro zero) com o tempo t (a partir do momento em que 
ele passa pelo quilômetro 100) sabendo que o carro se afasta do início da rodovia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Capítulo 2 – Funções lineares 
 
Introdução 
 
Neste capítulo, estudaremos as funções lineares. Elas aparecem com bastante 
frequência no dia a dia, como, por exemplo, no cálculo do custo de uma corrida de táxi, que 
é proporcional à distância percorrida, e na conta de telefone, cujo valor é proporcional ao 
tempo utilizadonas ligações. 
As funções lineares são usadas para descrever situações nas quais o crescimento ou o 
decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável 
independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável 
independente provoca uma variação proporcional na variável dependente. 
 
 
2.1 Como crescem os adolescentes 
 
Em geral, as meninas crescem de 6 a 8 centímetros por ano entre os 12 e os 16 anos, 
enquanto os meninos crescem de 8 a 10 centímetros por ano, entre os 13 e os 18 anos. A 
Tabela 2.1 mostra a evolução da altura de certo adolescente dos treze aos dezoito anos. 
 
 
Idade 13 14 15 16 17 18 
Altura (em centímetros) 131 140 149 158 167 176 
Tabela 2.1 
 
Como, a cada ano, a altura aumenta 
9cm
, podemos afirmar que a altura desse adolescente 
é uma função linear de sua idade, na fase dos 13 aos 18 anos. 
A fração 
1
9
1314
131140



 indica que a altura aumenta 
9cm
 quando a idade aumenta 1 ano. 
Essa fração é chamada de taxa de variação da altura em relação ao tempo. 
 
 
Figura 2.1 
 
 
15 
 
Em matemática, costuma-se representar a taxa de variação de uma função por meio da 
fração 
x
y


, em que o numerador 
y
 representa o incremento ou a variação da variável 
dependente e o denominador 
x
 representa o incremento ou a variação da variável 
independente. O símbolo 

 é a letra delta do alfabeto grego, correspondente ao D do 
alfabeto latino, sendo usada para indicar a diferença entre dois valores da variável que o 
sucede; 
y
(leia-se “delta y”), por exemplo, indica a diferença 
01 yy 
; pode-se, pois, 
escrever: 
01 yyy 
 ou 
)()( 01 xfxfy 
. Incremento significa uma variação que 
pode ser para mais ou para menos; existe também o caso em que o incremento da variável 
dependente é nulo, situação característica de uma função constante. 
 
Na função linear, a taxa de variação é sempre a mesma, quaisquer que sejam os pontos ou 
pares ordenados considerados. No exemplo que estamos estudando, indicando a altura pela 
letra h e a idade pela letra t, podemos escrever: 
1
9
2
18
1315
131149






t
h
. A taxa de 
variação é sempre a razão entre a variação da variável dependente (numerador) e a variação 
da variável independente (denominador). Para saber qual é a unidade de medida dessa taxa 
de variação, basta verificar qual é a unidade de medida de cada uma das variáveis nela 
envolvidas. Nesse exemplo, temos: 
anoporscentímetro
ano
scentímetro
t
h
9
1
9



. 
Observe que 
por
, nesse caso, significa dividido por; de modo semelhante, quando dizemos 
10% (dez por cento) estamos nos referindo à taxa ou à fração 
100
10
. 
 
2.2 O gráfico do crescimento de um adolescente 
 
A relação existente entre a idade e a altura, no exemplo que estamos estudando, é uma 
função linear que pode ser representada por meio do gráfico da Figura 2.2. 
 
 
Figura 2.2 
 
 
16 
 
Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos do conjunto de 
números reais R, dizemos que f é uma função real de variável real ou, simplesmente, uma 
função real. Nesse caso, podemos fazer uma representação geométrica da função f num 
sistema de coordenadas cartesianas: no eixo horizontal, assinalamos os valores da variável 
independente e por eles traçamos retas paralelas ao eixo vertical; no eixo vertical, 
assinalamos os valores da variável dependente e por eles traçamos retas paralelas ao eixo 
horizontal; as interseções dessas retas são os pares ordenados que constituem o gráfico da 
função. Observe que cada ponto do gráfico da função f é um par ordenado de números 
reais. 
 
Podemos considerar o gráfico de uma função como sendo a trajetória de um ponto no plano 
cartesiano. No exemplo que estamos estudando, a variável independente t se desloca ao 
longo do eixo horizontal da esquerda para a direita, fazendo com que a variável dependente 
h se mova para cima no eixo vertical. Esse duplo movimento faz com que o par ordenado 
(t, h) descreva a linha que é o gráfico da função 
th 9131
. 
 
2.3 Como achar uma fórmula para o crescimento de um adolescente 
 
Podemos estabelecer uma fórmula que nos dá a altura h, em centímetros, como função da 
idade t, em anos, contados a partir de 13 (a idade de 13 anos correspondendo ao zero, ou 
seja, 13 é o início da contagem da idade): 
 
th 9131
 
 
A altura, que inicialmente é de 
131cm
, aumenta 
9cm
 a cada ano. O coeficiente 9 nos 
informa a taxa de crescimento da altura; geometricamente, 9 é a inclinação da reta de 
equação 
th 9131
; fisicamente, é a taxa de variação da altura em relação à idade, ou 
seja, 9 centímetros por ano. 
 
Figura 2.3 
 
9
5
45
05
131176






t
h
 
 
17 
 
2.4 A equação de uma reta 
 
Encontrar a equação de uma reta ou a fórmula da função linear é uma questão que aparece 
com muita frequência em problemas de Cálculo. Vale a pena dominar bem esse assunto. 
 
Uma função linear é dada pela fórmula 
bmxy 
, sendo m e b números reais. Nessa 
igualdade, y é a variável dependente e x é a variável independente; m é a inclinação da reta 
ou o coeficiente angular da reta ou a taxa de variação de y em relação à variação de x; b é o 
coeficiente linear da reta ou o valor de y quando x é zero ou a interseção vertical. Observe 
que, se 
0m
, a equação da reta fica sendo 
by 
, que é uma reta horizontal. Se a reta não 
tiver inclinação, sua equação assume a forma x = k, que é uma reta vertical; lembre-se de 
que x = k não é uma função. 
 
Para chegarmos à fórmula ou à equação de uma reta, precisamos determinar o valor de m e 
o valor de b. Vamos considerar três maneiras de resolver esse problema. 
 
Exemplo 1 
 
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos 
)7,2(A
 e 
)4,1( B
. 
 
a) Cálculo de 
m
(o coeficiente angular ou a taxa de variação): 
3
11
3
11
12
)4(7





m
 
b) Cálculo de b (interseção vertical ou coeficiente linear): 
Sabendo que 
3
11
m
, podemos escrever que a equação da reta é 
bxy 
3
11
. 
Como o ponto 
)4,1( B
 pertence a essa reta, temos a igualdade 
b 1.
3
11
4
, 
obtida substituindo, na equação da reta, x por 1 e y por – 4. Dessa igualdade, 
podemos concluir que 
3
1
b
. 
c) Equação da reta ou fórmula da função linear: 
Com os valores de m e de b calculados anteriormente, a equação da reta fica sendo: 
3
1
3
11
 xy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Exemplo 2 
 
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos 
)5,2(M
 e 
)7,3(P
. 
Outra maneira de resolver esse problema é considerar que os pontos 
)5,2(M
 e 
)7,3(P
 pertencem à reta 
bmxy 
 e que, portanto, suas coordenadas verificam essa 
equação. Assim, temos: 
 
a) Se 
)5,2(M
 pertence à reta 
bmxy 
, então, 
bm  2.5
, ou seja, 
52 bm
. 
b) Se 
)7,3(P
pertence à reta 
bmxy 
, então, 
bm  )3(.7
, ou seja, 
73  bm
. 
c) Os valores de m e de b são a solução do sistema de equações





73
52
bm
bm , ou seja, 
5
2
m
 e 
5
29
b
. 
d) Equação da reta ou fórmula da função linear: 
Com os valores de m e de b calculados anteriormente, a equação da reta fica sendo 
5
29
5
2
 xy
. 
 
Exemplo 3 
 
Determinar aequação da reta que passa pelos pontos 
)3,2(R
 e 
)7,4( S
. 
Podemos resolver esse problema utilizando a igualdade 
)( 11 xxmyy 
, que é a equação 
da reta com inclinação m e que passa pelo ponto 
),( 11 yx
. Para isso, procedemos do seguinte 
modo: 
 
a) Cálculo do coeficiente angular m: 
 
3
5
6
10
42
73



m
 
b) Equação da reta que passa pelo ponto 
)3,2(R
 e tem inclinação 
3
5
m
: 
 
)2(
3
5
3  xy
ou, na forma explícita, 
3
1
3
5
 xy
. 
Se ao invés do ponto 
)3,2(R
, utilizarmos as coordenadas do ponto
)7,4( S
 e 
3
5
m
, chegaremos à equação 
)4(
3
5
7  xy
 ou 
3
1
3
5
 xy
, a mesma equação 
obtida com as coordenadas de R. 
 
 
19 
 
Tal resultado tem por base a ideia da geometria plana de que por dois pontos passa uma 
única reta, ou seja, dois pontos sempre são colineares. 
 
 
2.5 Famílias de funções lineares 
 
As funções lineares podem ser descritas pelas fórmulas 
bmxy 
, 
mxy 
 ou 
by 
. 
Nessas fórmulas, as constantes 
m
 e b são chamadas de parâmetros. Atribuindo a esses 
parâmetros diversos valores, podemos gerar famílias de funções. 
 
O gráfico da Figura 2.4 representa o que acontece com uma reta 
mxy 
 à medida que 
fazemos o parâmetro 
m
 assumir diferentes valores. Essas retas formam uma família de 
funções que têm uma característica comum: todas elas passam pelo ponto 
(0, 0)
. 
 
 
Figura 2.4 
 
O parâmetro m é a taxa de variação da função linear. Se m for positivo, a função será 
crescente e seu gráfico será uma reta inclinada para a direita (forma um ângulo agudo com 
o semieixo horizontal positivo); se m for negativo, a função será decrescente e seu gráfico 
será uma reta inclinada para a esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Na Figura 2.5, está representada outra família de retas, obtida por meio da variação do 
parâmetro b. São retas paralelas, ou seja, retas que têm a mesma inclinação 
1m
. 
 
 
 
Figura 2.5 
 
Retas paralelas não verticais representam funções lineares que têm a mesma taxa de 
variação. 
 
A família de retas representadas na Figura 2.6 é de retas horizontais. Também essa família 
é obtida por meio da variação do parâmetro b; as retas são paralelas e têm inclinação 
0m
. 
 
Figura 2.6 
 
Funções que têm taxa de variação 
0m
 são funções constantes. 
 
 
 
21 
 
Na Figura 2.7, estão representadas retas verticais. Apesar de constituírem uma família de 
retas, elas não são funções. 
 
Figura 2.7 
 
Agrupar em famílias funções com características comuns é um processo utilizado na 
modelagem matemática. Modelar um fenômeno, no Cálculo, significa descrever esse 
fenômeno por meio de uma função matemática. Para modelar um fenômeno ou uma 
situação, escolhe-se uma família de funções e, depois, por meio de dados experimentais, 
ajustam-se os parâmetros. 
 
 
2.6 Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
 
 
1) Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, 
mais R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais 
R$60,00 por hora. Com base nessas informações: (a) escreva a fórmula do preço a ser 
pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser pago ao conjunto B em função do tempo 
Orientações: 
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos 
estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a 
resolução dos exercícios proposto ou questões de atividades. 
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá 
procurar esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação. 
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode 
fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos 
detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema. 
 
 
22 
 
de duração da festa; (b) esboce o gráfico de cada uma dessas funções e (c) observando 
os gráficos, descreva o significado do ponto em que eles se interceptam. 
 
 
Solução 
 
a) Sendo t o tempo em horas e 
AC
 o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos 
escrever: 
t90400)t(CA 
. 
De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e 
BC
 o preço em reais a ser pago ao 
conjunto B, temos: 
t60600)t(CB 
 
Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão 
definidas para 
0t 
. 
 
b) Um esboço do gráfico de cada uma dessas funções está a seguir: 
 
 
 
c) O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa para o 
qual o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, 
BA CC 
. Assim, 
t60600t90400 
; resolvendo essa equação, temos: 
min40h6t 
. Se a festa durar 
mais de 6h 40 min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de 
6h 40 min, contratar o conjunto A será mais barato. 
 
23 
 
2) O custo de uma caixa de uvas frescas, numa viticultura, é de R$15,00, mas o preço cai 
R$0,30 a cada dia. Obtenha o custo de uma caixa que já foi colhida há t dias. 
 
Solução 
O preço da caixa, em função do número de dias passados depois de colhidas as uvas pode 
ser expresso por meio da Tabela 2.2: 
 
t (dias) 0 1 2 3 ... ? ? 
C(t) (reais) 15,00 14.70 14,40 14,10 ... 0,30 0 
Tabela 2.2 
Essa é uma função linear porque o preço diminui a uma taxa constante. Podemos 
determinar a lei de associação dessa função: 
a) Cálculo do coeficiente angular ou da taxa de variação: 
 
 
30,0
2
60,0
13
70,1410,14





m
 
b) Equação da reta que passa pelo ponto (0, 15) e tem coeficiente angular 
30,0m
: 
 
 
)0(30,015  xy
 ou, explicitando y, 
1530,0  xy
 
No problema que estamos resolvendo, a variável dependente é o custo C e a variável 
independente é o tempo t. Assim a função custo é dada pela equação 
 
1530,0)(  ttC
 
O gráfico dessa função está na Figura 2.8. 
 
Figura 2.8 
 
Por meio da fórmula 
1530,0)(  ttC
, fica fácil determinar em quantos dias a caixa 
de uvas perde completamente seu valor. Basta fazer 
0)( tC
, condição que leva à 
igualdade 
1530,00  t
. Resolvendo essa equação, obtemos 
50
30,0
15
 tt
. 
Assim, podemos afirmar que, depois de 50 dias de colhidas as uvas, a caixa dessas 
frutas perde completamente seu valor. 
 
24 
 
3) Um carro parte do ponto P no instante 
0t 
 e viaja a 
hkm80
. 
a) Escreva uma função 
)t(dy 
 para a distância que o carro percorre em t horas 
saindo do ponto P. 
b) Faça o gráfico de 
)t(dy 
. 
c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o carro? 
d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de 
)t(dy 
 valha 30. 
 
Solução 
 
a) A distância percorrida pelo carro em t horas é uma função linear, dada por 
t80y 
, 
onde y é a distância medida em quilômetros e t é o tempo, em horas. 
 
b) O gráfico é uma semi-reta com origem no ponto (0, 0) e está representado a seguir: 
 
 
 
 
c) O coeficiente angular da reta 
t80y 
 é 80 e corresponde à velocidade do carro, que 
é a taxa de variação da distância em relação ao tempo. 
 
d) Podemos considerar a função 
t30y 
 que fornece a distância, y, percorrida por 
um carro que parte doponto P no instante 
0t 
 e anda a uma velocidade de 
hkm30
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
4) Um círculo tem centro na origem e raio 5. Determine a equação da reta tangente a este 
círculo no ponto 
(3, 4)
. 
 
Solução 
A figura abaixo representa a situação considerada no problema. 
 
 
Sejam 
m
 o coeficiente angular da reta tangente e 
1m
 o coeficiente angular da reta que 
contém o raio do círculo. Como a reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio que 
termina no ponto de tangência, o coeficiente angular da reta tangente é: 
1m
1
m 
, onde 
3
4
03
04
m1 



. Assim, 
4
3
m 
 e a equação da reta tangente ao círculo 
no ponto 
(4,3)
, é 
025y4x3ou)3x(
4
3
4y 
. 
 
Questionário 2 
Procure, em um livro de Cálculo, respostas para as perguntas formuladas a seguir: 
1) O que é uma função linear? Dê um exemplo. 
2) Como você escreve a equação de uma reta conhecendo as coordenadas de dois de seus 
pontos? Dê um exemplo. 
3) Como você escreve a equação de uma reta da qual você conhece a inclinação e um 
ponto? Dê um exemplo. 
4) Como você escreve a equação de uma reta da qual você conhece o coeficiente angular 
e o coeficiente linear? Dê um exemplo. 
5) Como você reconhece que uma função dada por meio de uma tabela de valores, é 
linear? Dê um exemplo. 
6) Que relação existe entre as inclinações 
rm
 e 
sm
 se as retas r e s forem paralelas 
)//( sr
? E se as retas r e s forem perpendiculares
)( sr 
? 
 
26 
 
Exercícios 2 
1) Ao completar 12 anos, Ana tinha 
1,25m
 de altura e continuou crescendo
8cm
 por 
ano entre os 12 e os 16 anos. Faça uma tabela de valores indicando a altura de Ana 
em função de sua idade, nessa faixa etária. A partir dessa tabela, esboce o gráfico e 
estabeleça uma fórmula para essa função. 
 
2) A lei de associação de uma função linear foi usada para gerar os valores da tabela a 
seguir: 
x 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
y 27,8 29,2 30,6 32,0 33,4 
Determine a equação dessa função e esboce seu gráfico. 
 
3) Uma empresa de locação de automóveis oferece carros a R$80,00 por dia e R$0,40 
o quilômetro rodado. Os carros da concorrente estão a R$90,00 por dia e R$0,30 o 
quilômetro rodado. 
a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar um carro por 
um dia em função da distância percorrida. 
b) Em um mesmo sistema de coordenadas, esboce o gráfico dessas duas funções. 
c) Como você faria para decidir que empresa está com o aluguel mais barato? 
 
4) Você sabe que os valores 
F0212
 e 
C0100
 correspondem à temperatura em que a 
água ferve, respectivamente, na escala Farenheit e na escala Celsius; de modo 
análogo, os valores 
F032
 e 
C00
 representam o ponto em que a água congela. 
a) Estabeleça uma fórmula que expresse a temperatura em graus Farenheit, 
F
, em 
função da temperatura em graus Celsius, 
C
. (A relação entre as duas escalas é 
linear.) 
b) Esboce o gráfico dessa função. 
c) Utilize a fórmula para determinar que temperatura em graus Farenheit 
corresponde a 
C020
. 
d) Utilize a fórmula para determinar que temperatura em graus Celsius corresponde 
a 
F090
. 
e) Que temperatura corresponde ao mesmo número de graus em ambas as escalas? 
5) Uma geladeira comprada por R$1.050,00 sofre uma depreciação linear e perde 
completamente seu valor em sete anos. Encontre uma fórmula para o valor da 
geladeira em função do tempo. Esboce o gráfico dessa função. 
 
6) A reta que passa pelos pontos 
A( 2,3)
 e 
B(4,b)
tem coeficiente angular 
32m 
. 
Determine o valor de b. 
 
 
27 
 
7) Mostre que os pontos A (1, 1), B (11,3), C (10, 8) e D (0,6) são vértices de um 
retângulo. 
 
8) A pressão p, em atmosferas, experimentada por um mergulhador debaixo da água 
está relacionada com sua profundidade d, em metros, por meio da fórmula 
1dkp 
, em que k é uma constante. Quando d é 0 metros, a pressão é 1 
atmosfera e, a 100 metros de profundidade, a pressão é 10,94 atmosferas. Determine 
a pressão a 50 metros de profundidade. 
 
9) Um carro parte do ponto P no instante 
0t 
 e viaja a 
hkm80
. 
 
a) Escreva uma função 
)t(dy 
 para a distância que o carro percorre em t horas 
saindo do ponto P. 
b) Faça o gráfico de 
)t(dy 
. 
c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o 
carro? 
d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de 
)t(dy 
 valha 30. 
 
10) De acordo com a lei de Hooke, se um peso de x unidades for pendurado em uma 
mola, esta se alonga de um valor de y , que é diretamente proporcional a x. Esse fato 
pode ser descrito pela função y = kx, em que a constante k depende da rigidez da 
mola. Considerando-se que 1 kg alonga certa mola em 
0,5cm
: 
 
a) Determine o valor da constante k para essa mola. 
b) Escreva a equação da função que relaciona o peso com o comprimento alongado 
dessa mola. 
c) Construa uma tabela de valores para pesos variando de 1 a 10 kg e seus 
respectivos alongamentos. 
d) Construa um gráfico para essa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
Capítulo 3 – Funções quadráticas 
 
Introdução 
 
Neste capítulo, estudaremos a função quadrática ou função do segundo grau. Seu 
gráfico é uma parábola, termo de origem grega que significa jogar longe (para – longe, 
balein – jogar). Ela aparece na descrição da queda de corpos, no movimento de projéteis, 
no estudo de ótica (lentes e espelhos) e de outros fenômenos. 
 
Você já conhece esta função! É dela que vêm as equações e inequações do segundo 
grau, que você estuda desde o Ensino Fundamental. É importante que você saiba manipular 
bem esta função e, sobretudo, conheça bem o seu gráfico e suas propriedades. 
 
 
3.1 Construindo quadrados com varetas 
 
Um artesão constrói quadrados com varetas cujos comprimentos, medidos em centímetros, 
são números inteiros que variam de um a dez centímetros. A medida da área A de cada 
quadrado é função do comprimento do seu lado l. Na Tabela 3.1 estão alguns valores do 
lado l e os valores correspondentes da medida da área A. 
 
l (em centímetros) 1 2 3 4 5 ... 9 10 
A (em centímetros quadrados) 
1 4 9 16 25 ... 81 100 
Tabela 3.1 
 
Observando os valores dessa tabela, podemos concluir que não se trata de uma função 
linear porque a taxa de variação da medida da área em relação à variação do comprimento 
do lado não é constante. Podemos verificar, por exemplo, que, quando o comprimento do 
lado passa de 2 cm para 3 cm, a medida da área do quadrado passa de
24cm
 para 
29cm
, ou 
seja, 
5
1
49
23
)2()3(







 AA
l
A
; porém, quando o comprimento do lado vai de 4 cm 
para 5cm, a medida da área varia de 
216cm
 para 
225cm
, ou seja, 
9
1
1625
45
)4()5(







 AA
l
A
. Esses valores mostram duas variações distintas da função 
área: uma de 
cm
cm
1
5 2
 (centímetros quadrados por centímetro) e outra de 
cm
cm
1
9 2
. 
 
A variação da área é proporcional à variação do quadrado do comprimento do lado. Em 
matemática, escrevemos: 
2lkA 
 (onde k é a constante de proporcionalidade). Como o 
 
29 
 
ponto (3, 9) pertence ao gráfico dessa função, temos: 
13.9 2  kk
. Assim, a função é 
dada pela fórmula: 
2lA 
. 
 
 
 
Figura 3.1 
 
Na Figura 3.1, está o gráfico da função 
2lA 
, cujo domínio é 
 10,,3,2,1 D
 e cujo 
conjunto-imagem é 
 100,,16,9,4,1Im . Observe que esse gráfico é constituído de 
pontos separados porque no domínio da função aparecem apenas números inteiros. Ligando 
esses pontos por um traço contínuo, obtemos uma curva que é o segmento de uma parábola. 
 
3.2 Viajando com uma laranja 
 
Uma laranja é jogada verticalmente para o alto, com velocidade de 15 metros por segundo, 
no instante 
0t
. Sua altura h (em metros) acima do solo, no instante t (em segundos), é 
dada pela equação 
tth 155 2 
. 
 
O gráfico dessa função h é uma parábola voltada para baixo. Observe, à esquerda na Figura 
3.2, a trajetória da laranja, que só se movimenta na vertical e cai no mesmo ponto do qual 
partiu. A parábola, à direita na mesma figura, não é o gráfico da trajetória, mas sim da 
altura h em função do tempo t; em outros termos, a parábola indica a variação da altura em 
relação à variação do tempo. 
 
30 
 
 
Figura 3.2 
 
As interseções do gráfico com o eixo horizontal são obtidas fazendo-se 
0h
 na fórmula 
da função, ou seja, 
tt 1550 2 
. Resolvendo essa equação, temos 
0t
 ou 
3t
. O 
movimento da laranja ocorre, pois, entre 
0t
, instante em que a laranja é jogada, e 
3t
, 
momento em que cai no chão. Na metade de sua viagem, no instante 
st 5,1
, a laranja 
atinge o ponto mais alto: 
mh 25,115,1.15)5,1(.5)5,1( 2 
. 
 
A laranja se encontra a 10 metros do chão nos instantes 
st 1
 e 
st 2
; a altura é igual a 5 
metros para 
st 38,0
 e também para 
st 62,2
. Podemos observar que a taxa de variação 
da altura 
h
 é positiva quando a laranja está subindo e negativa quando a laranja está 
descendo: 
s
mhh
t
h
06,8
62,0
510
38,01
)38,0()1(








 (velocidade média com que a laranja sobe); 
s
mhh
t
h
06,8
62,0
105
262,2
)2()62,2(








 (velocidade média com que a laranja desce). 
 
As funções 
2lA 
 e 
tth 155 2 
 são exemplos de funções quadráticas, também 
chamadas de funções do segundo grau porque o maior grau da variável independente é 
dois. 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
3.3 A fórmula e o gráfico de uma função quadrática 
 
De modo geral, a função quadrática tem a forma 
cbxaxy  2
, onde a, b e c são 
números reais, com 
0a
. O gráfico da função quadrática é sempre uma parábola, côncava 
para cima ou côncava para baixo. 
 
Na Figura 3.3 está o gráfico da função quadrática 
2xy 
. O valor da variável dependente y 
é proporcional ao valor do quadrado da variável independente x. 
 
 
Figura 3.3 
 
Na Tabela 3.2, estão alguns valores de x e os correspondentes valores de y; na terceira 
linha, estão valores da variação 
y
para uma variação 
.1x
 
 
x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 
2xy 
 9 4 1 0 1 4 9 
y
 – 5 – 3 – 1 1 3 5 
Tabela 3.2 
 
A taxa de variação 
x
y


 é negativa quando são tomados dois valores de y correspondentes a 
valores de x à esquerda da origem, fato que indica ser essa função decrescente no intervalo 
 0,
; por outro lado, a taxa de variação
x
y


 é positiva quando são considerados valores 
de x à direita da origem, o que mostra ser essa função crescente no intervalo 
 ,0
. 
Lembre-se de que 
x
 é sempre positivo. 
 
 
32 
 
3.4 As raízes ou os zeros de uma função quadrática 
 
Uma raiz ou um zero de uma função 
)(xfy 
 é o valor de x para o qual 
0)( xf
. 
Geometricamente, os zeros de uma função são os valores de x em que o seu gráfico cruza 
ou toca o eixo x. (O eixo x é a reta 
0y
). Nem toda função tem gráfico que toca ou cruza 
o eixo horizontal; portanto, nem toda função tem zeros ou raízes. A função 
42  xy
, por 
exemplo, não tem zeros. 
 
O gráfico da função 
cbxaxy  2
, com 
0a
, é uma parábola, quaisquer que sejam os 
valores dos coeficientes a, b e c. Quando 
0a
, a parábola se abre para cima e existem três 
possibilidades para os zeros dessa função e essas são mostradas na Figura 3.4. 
 
 
Figura 3.4 
 
Como já sabemos, as raízes da equação quadrática 
02  cbxax
 são dadas pela fórmula. 
a
acbb
x
2
42 

. As três possibilidades mostradas na Figura 3.4 correspondem, 
respectivamente, às condições algébricas: 
042  acb
 (duas raízes reais distintas) 
042  acb
 (uma raiz real dupla) 
042  acb
 (sem raízes reais) 
O ponto mais baixo do gráfico da função quadrática é o vértice da parábola e suas 
coordenadas são 
a
b
xV
2

 e 
a
yV
4


 (onde 
acb 42 
). 
Observe que 
)
2
(
a
b
fyV 
. 
 
 
 
 
3.5 O gráfico da função quadrática 
 
O problema de construir o gráfico de uma função quadrática dada por meio de sua fórmula 
é bem simples (mesmo sem utilizar uma calculadora), conforme podemos verificar nos dois 
exemplos a seguir. 
 
 
33 
 
 
Exemplo 1 
 
Esboce o gráfico da função 
123)( 2  xxxf
. 
 
a) Determinamos as coordenadas do vértice: 
 
3
1
3.2
2
2



a
b
xV
; 
3
4
12
16
3.4
)1(.3.4)2(
4
2





a
yV
. 
 
b) Determinamos dois pontos da parábola, um à esquerda do vértice e outro à direita do 
vértice: 
 
41)1(.2)1(.3)1( 2 f
 . O ponto (-1, 4) pertence ao gráfico de f. 
 
712.22.3)2( 2 f
. O ponto (2, 7) pertence ao gráfico de f. 
 
c) Plotamos os pontos (-1, 4), (2, 7) e 
)
3
4
,
3
1
( 
, ligando-os por meio de uma curva que 
tenha a forma de uma parábola. A reta vertical que passa pelo vértice é o eixo de 
simetria da parábola; ela funciona como um espelho que reflete à direita o traço 
desenhado a sua esquerda e vice-versa. Veja a Figura 3.5. 
 
 
 
Figura 3.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Exemplo 2 
 
Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício com 96 pés de altura, com velocidade 
inicial de 16 pés por segundo. Sua altura h (em pés) acima do solo, t segundos após ser 
atirada, é dada pela função 
2161696 tth 
. Esboce o gráfico da altura versus tempo. 
 
a) Determinamos as raízes da função: 
 
32
32
8016
0961616 2 

 toutttt
. 
 
b) Determinamos o vértice da parábola: 
 
2
1
2
32


Vt
 (a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes) 
 
1004896)
2
1
(  hhV
 (a ordenada do vértice é 
)( Vth
). 
 
c) Plotando-se os três pontos determinados, (-2, 0), (3, 0) e (
2
1
, 100), e considerando-se 
que o domínio dessa função é o intervalo [ 0, 3 ], podemos esboçar o gráfico de h. 
 
Figura 3.6 
 
 
Também é bem simples o problema de achar uma possível fórmula para a função 
quadrática dada por meio de seu gráfico ou de uma tabela de valores. Consideremos dois 
exemplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Exemplo 3 
 
Determine uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico é dado na Figura 
3.7. 
 
 
Figura 3.7 
 
a) No gráfico, aparecem as raízes da função 
1x
 e 
3x
. Então, a função é da forma 
)3()1(  xxay
. Como a parábola é côncava para baixo, a é negativo. 
 
b) Não há como calcular o valor de a porque não foram dadas as coordenadas de nenhum 
ponto fora do eixo x. Assim o problema tem muitas respostas. 
 
 
c) Estimando que o gráfico corte o eixo y no ponto (0, 4), podemos determinar o valor de 
a, fazendo 
4)0( y
. Então, temos: 
3
4
)30()10(4  aa
.d) Assim, a função tem como fórmula 
)3()1(
3
4
 xxy
 ou, efetuando o produto, 
4
3
8
3
4 2  xxy
. 
 
Neste exemplo, a função quadrática é dada por meio de um gráfico. No exemplo seguinte, 
examinamos uma função do segundo grau dada por meio de uma tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Exemplo 4 
 
Suponha que uma espaçonave, lançada do solo, suba até uma altitude de 192 km, e depois 
caia no mar, totalizando um voo de 16 minutos. Determine a fórmula da função que dá a 
altitude y (em quilômetros) em função do tempo, t minutos após a decolagem. 
 
a) Com os dados do problema, podemos fazer a seguinte tabela de valores: 
 
t (em minutos) 0 8 16 
y (em quilômetros) 0 192 0 
Tabela 3.3 
 
b) Com os valores da tabela, podemos escrever: 
)16()0(  ttay
 e, considerando que o 
ponto (8, 192) pertence à curva, 
3)168()08(192  aa
. 
 
c) Assim, a função tem como fórmula 
)16()0(3  tty
 ou, efetuando o produto, 
tty 483 2 
, com 
160  t
. 
 
A Figura 3.8 apresenta o gráfico dessa função. 
 
 
Figura 3.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
3.6 Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
1) Na figura, estão os gráficos da reta r e da parábola 
2y x 3x 
. Determine a 
equação da reta r e o valor da ordenada b, sabendo que os pontos de interseção 
dessas curvas ( a reta e a parábola) são 
1 2B( 1, y ) e A(2, y )
. 
 
 
 
Solução 
 
Os pontos 
1 2B( 1, y ) e A(2, y )
 pertencem à parábola 
2y x 3x 
. Portanto, 
2
1y ( 1) 3 ( 1) 4     
 e 
2
2y 2 3 2 2    
. 
Assim, os pontos comuns à parábola e à reta r são 
( 1,4) e (2, 2) 
. Então, r é a reta que 
passa por esses dois pontos e, em consequência, seu coeficiente angular é 
2 4 6
m 2
2 ( 1) 3
  
  
 
 e sua equação é 
y 4 2(x 1)   
 ou 
y 2x 2  
. 
Como o ponto 
(0,b)
 está sobre a reta r, temos: 
b 2 0 2 b 2     
. 
 
Orientações: 
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos 
estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a 
resolução das questões das atividades. 
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá 
procurar esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo 
correio acadêmico. 
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode 
fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos 
detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema 
 
38 
 
2) O gráfico da função 
cbxxaxf  2)(
 passa pelo ponto 
(5,8)
, tem vértice em 
(2, 1)
 e corta o eixo das ordenadas no ponto 
(0,3)
. Com base nessas informações: (a) 
estabeleça a equação dessa função; (b) determine as suas raízes e (c) esboce seu gráfico. 
 
Solução 
 
a) Se o ponto 
(5,8)
 pertence ao gráfico da função 
cxbxa)x(f 2 
, podemos 
escrever: 
2a.5 5b c 8 25a 5b c 8      
. 
 Como 
(2, 1)
 é o vértice da parábola 
cxbxa)x(f 2 
, 
b
2 b 4a
2a
    
. 
 Já que o ponto 
(0,3)
pertence à parábola 
cxbxa)x(f 2 
, temos: 
 
2a 0 b 0 c 3 c 3      
. 
Usando as igualdades encontradas até aqui, podemos achar o valor dos parâmetros 
da equação da parábola, conforme indicado a seguir: 
25a 5b c 8
b 4a a 1, b 4 e c 3
c 3
   

      
 
 
 Então, a equação da parábola é 
2f (x) x 4x 3  
. 
b) Para determinar as raízes, resolvemos a equação: 
2 4 2x 4x 3 0 x x 1 ou x 3
2

       
 
 
c) O gráfico da função 
2f (x) x 4x 3  
 está a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
3) Escreva uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico aparece a seguir: 
 
 
 
Solução 
 
Supondo que a função tenha como raízes 
x 2 
 e 
x 3
, podemos afirmar que sua 
equação é da forma 
f (x) k (x 2)(x 3)  
, uma vez que a função é quadrática. Além 
disso, estimando que o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto 
(0,12)
, temos: 
f (0) 12 k(0 2)(0 3) 12 k 2       
 
Portanto, uma possível fórmula para a função representada nesse gráfico é 
2f (x) 2x 2x 12   
 
 
Questionário 3 
 
Estude, em um livro de Cálculo, a parábola como gráfico da função quadrática. Depois 
disso, considerando 
0a
, na equação 
cxbxay  2
, responda às seguintes perguntas: 
 
1) Quais são as três possibilidades para os zeros dessa função? Dê um exemplo e 
esboce o gráfico para cada uma dessas possibilidades. 
2) Quais são as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico dessa função? 
3) O que vem a ser o eixo de simetria da parábola? Escreva a equação desse eixo de 
simetria. 
4) Como é a variação de sinal dessa função? 
5) Em que intervalo essa função é crescente? Em que intervalo é decrescente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Exercícios 3 
 
1) Se 
cbxxaxf  2)(
, escreva, primeiramente, o que você pode afirmar a respeito 
dos parâmetros a, b e c em cada uma das situações abaixo: 
 
 O ponto (1, 1) está no gráfico de f. 
 O vértice do gráfico de f é o ponto (1,1). (Talvez você queira usar o fato de que 
a equação para o eixo de simetria da parábola é 
a
b
x
2

). 
 A interseção com o eixo y é (0,6). 
 
A seguir, encontre uma função quadrática que satisfaça todas as três condições 
anteriores e faça um esboço de seu gráfico. 
 
 
2) Escreva uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico vem a seguir: 
 
 
3) Uma bola é jogada do chão verticalmente para cima, com velocidade de 20 metros 
por segundo, no instante 
0t
. Sua altura no instante t é dada pela função 
tttf 205)( 2 
. Com base nessas informações: (a) encontre o instante em que 
essa bola bate no chão; (b) determine em que instante essa bola o ponto mais alto; 
(c) calcule a altura máxima atingida por essa bola; (d) esboce o gráfico da função 
tttf 205)( 2 
. 
4) A altura de um objeto acima do solo, num instante t, é dada por 
2
0
2
t
g
tvs 
, em 
que 
0v
 representa a velocidade inicial e g é uma constante chamada aceleração da 
gravidade. Com base nessas informações: (a) escreva qual é a altura inicial do 
objeto; (b) determine durante quanto tempo o objeto permanece no ar; (c) estabeleça 
em que instante o objeto atinge a altura máxima; (d) indique o valor da altura 
máxima atingida por esse objeto. 
 
 
 
 
41 
 
5) Determine o domínio e a imagem ou a variação de cada uma das funções: 
a) 
542  xxy
 
b) 
22  xxy
 
c) 
)2(cos 2 xxy 
 
d) 
32
4
2 

xx
y
 
6) Se 
b
x
x 
1
, calcule 
2
2 1
x
x 
. 
7) Use o resultado do exercício 6 para resolver a equação: 
0
15
85
2
2 
xx
xx
. 
8) Um atleta treina diariamente correndo 30 km. Se corresse 2 km a mais por hora, seu 
treino duraria meia hora a menos. Quanto tempo dura o treino?