Prova Calculo 1 - Resolução

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QUESTÃO 1
O valor da conta de um celular é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o consumo em minutos. A tabela a seguir, fornece os valores dessa conta nos quatro últimos meses e os respectivos números de ligações:
	Consumo (min)
	36
	52
	A
	70
	Custo (R$)
	33,40
	35,80
	37,15
	B
Com base nesses dados: (a) estabeleça a função 
 que relaciona o custo C, contado em reais, com o consumo t, medido em minutos, da conta relativa a certo mês; (b) calcule o valor de A e o valor de B, letras que estão na tabela dada; (c) esboce o gráfico da função 
, encontrada no item (a).
Solução
De acordo com a tabela, podemos escrever:
Assim, a função pedida é 
.
Considerando as informações da tabela, temos:
.
.
Um esboço do gráfico da função 
 está a seguir.
QUESTÃO 2
A água que está esguichando de um bocal, mantido horizontalmente a quatro metros acima do solo, descreve uma parábola com o vértice no bocal. Sabe-se, ainda, que a corrente de água cai um metro, medido na vertical, nos primeiros dez metros de movimento horizontal.
Com base nessas informações: (a) estabeleça a equação da função 
, sendo h a altura da água em relação ao solo e x a distância medida no movimento horizontal da corrente; (b) determine a que distância do bocal, medida na horizontal, a água atingirá o solo; (c) escreva o valor da razão 
 e indique qual é a unidade de medida desta razão; (d) esboce o gráfico da função obtida no item (a).
Solução
De acordo com os dados do problema, os pontos 
pertencem ao gráfico da função 
. Isso nos permite escrever:
 Assim a equação da função altura é 
.
Para achar a que distância, medida na horizontal, a água atingirá o solo, fazemos:
.
. A unidade é metro por metro; isso significa que a altura da água, em média, diminui
para cada metro percorrido pela água na horizontal.
Abaixo está o gráfico da função 
.
QUESTÃO 3
As indústrias A e B, implantadas no ano 2010, têm receitas, em centenas de milhares de reais, dadas pelas funções 
 e 
, respectivamente. O tempo x é contado em anos, sendo que 
 corresponde ao ano 2010. Os gráficos dessas duas funções estão representados na figura a seguir.
Com base nessas informações: (a) resolva a desigualdade 
; b) determine a partir de que ano a receita da indústria B deverá ser maior do que a receita da indústria A; (c) calcule em que ano a receita da indústria A foi máxima; (d) escreva qual é a unidade de medida de cada uma das coordenadas do ponto em que a receita da indústria B corta o eixo das ordenadas (eixo y).
Solução
Para resolver a desigualdade 
, fazemos:
Como 
, a desigualdade 
é satisfeita para x do intervalo 
.
Usando o resultado obtido no item (a), podemos afirmar que a receita da indústria B deverá ser maior do que a receita da indústria A no decorrer do ano de 2021.
Para achar em que ano a receita da indústria A foi ou será máxima, fazemos:
.
Este é o valor de x no vértice da parábola e corresponde ao ano de 2016. Portanto, a receita da indústria A será máxima no decorrer no ano de 2016.
O gráfico da receita da indústria B corta o eixo vertical no ponto 
. A abscissa 
 é medida em anos e corresponde ao ano 2009; a ordenada 
 é medida em centenas de milhares de reais e corresponde a R$3.600.000,00.
QUESTÃO 4
A figura apresenta o gráfico da receita 
, em reais, obtida com a comercialização de q garrafas de certo tipo de vinho, e o gráfico do custo 
, em reais, para a produção e comercialização das garrafas do mesmo vinho. 
Considere que o lucro obtido com a comercialização desse vinho é dado por 
. Com base nessas informações: (a) estabeleça para que valores de q a receita R é igual ao custo C; (b) determine os valores de q para os quais se tenha 
; (c) calcule quantas garrafas desse vinho devem ser comercializadas para que o lucro seja máximo; (d) escreva para que valores de q o lucro será negativo, ou seja, haverá prejuízo na comercialização desse vinho.
Solução 
Equação da função lucro:
Para que se tenha 
, devemos impor:
.
Assim, para 
 quando são comercializadas entre 10 e 50 garrafas de vinho.
O lucro é máximo quando são comercializadas 
e o lucro máximo é 
.
Haverá prejuízo na comercialização desse vinho quando forem vendidas menos de 10 ou mais de 50 garrafas desse produto.
QUESTÃO 5
Certo campo petrolífero, com os 20 poços perfurados, produz 4.000 barris de petróleo por dia. Estudos feitos por um grupo de engenheiros indicam que, para cada novo poço perfurado, a produção diária de cada poço deverá decrescer de 5 barris. 
Com base nessas informações: (a) escreva uma função que relacione a produção diária total com o número de poços perfurados; (b) esboce o gráfico dessa função; (c) estime o número de poços que deverão ser perfurados para que a produção diária total desse campo seja máxima. 
Solução
Cada poço produz, atualmente, 200 barris de petróleo por dia. 
A produção P em função do número n de novos poços perfurados é dada pela equação
.
A figura traz o gráfico da função 
.
O número de poços que deverão ser perfurados para que a produção diária total seja máxima é o valor de n no vértice da parábola, ou seja, 
.
Assim, para que a produção seja máxima, deverão ser perfurados mais 10 novos poços.
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