Segunda Prova Calculo 1 - Resolução

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Cálculo I
Segunda Prova – 2º. 2013 
Valor: 35 pontos
QUESTÃO 01 – 8 pontos
Considere as funções 
 e 
 para responder ao que é pedido em cada um dos itens: (a) determine as derivadas 
e 
dessas funções; (b) calcule o valor da expressão 
. 
Solução – 4 pontos cada item
Cálculo das derivadas:
.
Como 
, 
, 
 e 
, temos:
.
QUESTÃO 02 – 9 pontos
O gráfico do polinômio quadrático 
 passa pelo ponto 
. Além disso, o gráfico de sua derivada, 
, contém os pontos 
 e 
. 
Com base nessas informações: (a) estabeleça a fórmula da função f e a fórmula da função 
; (b) esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o gráfico de cada uma dessas funções; (c) determine as coordenadas do ponto em que a tangente ao gráfico de 
é horizontal.
Solução – 3 pontos cada item
Como o gráfico de 
 passa pelo ponto 
, temos:
.
A derivada da função dada é: 
. Como 
, podemos escrever: 
 e 
.
 Com esses valores de a e b, na equação anterior, encontramos:
 Portanto a função f é definida por 
 e sua derivada é 
.
Os gráficos dessas duas funções estão abaixo.
A tangente ao gráfico de 
é horizontal no ponto em que 
. Assim, devemos ter: 
. Com isso, as coordenadas do ponto procurado são
 e 
.
QUESTÃO 03 – 9 pontos
Considere o gráfico da função 
 e o de sua derivada 
, apresentados na figura abaixo. 
Com base nas informações desses gráficos: (a) estabeleça em que intervalos a função 
 é crescente ou decrescente; justifique sua indicação; (b) escreva a equação da reta tangente ao gráfico de 
 no ponto de abscissa 
; (c) determine a abscissa dos pontos em que a curva 
tem inclinação igual a 
.
Solução – 3 pontos cada item
A função f é crescente para 
, intervalos onde 
.
A função f é decrescente para 
, intervalo onde 
.
A equação da reta tangente ao gráfico de 
 no ponto 
é da forma:
.
Como 
 e 
, a equação da tangente fica:
.
Para obter a abscissa dos pontos em que a curva 
tem inclinação igual a 
, fazemos:
.
QUESTÃO 04 – 9 pontos 
Uma partícula se movimenta sobre uma reta vertical de acordo com a função posição 
, com a distância medida em metros e o tempo, em segundos. Considerando essas informações e que a velocidade dessa partícula é 
: (a) calcule a velocidade média dessa partícula entre os instantes 
 e 
; (b) estabeleça a equação da velocidade dessa partícula em um instante 
; (c) determine em que instante essa partícula está em repouso.
Solução – 3 pontos cada item
Para calcular a velocidade média dessa partícula entre 
 e 
, fazemos:
.
A equação da função velocidade é:
.
Para determinar em que instante essa partícula está em repouso, fazemos:
.
_1443160445.unknown
_1443334160.unknown
_1443335176.unknown
_1443335888.unknown
_1445871999.unknown
_1445872000.unknown
_1443335944.unknown
_1443335324.unknown
_1443335012.unknown
_1443335030.unknown
_1443334947.unknown
_1443161191.unknown
_1443174819.unknown
_1443208773.unknown
_1443209560.unknown
_1443209957.unknown
_1443210267.unknown
_1443209708.unknown
_1443208793.unknown
_1443184129.unknown
_1443184143.unknown
_1443183456.unknown
_1443161383.unknown
_1443161486.unknown
_1443161246.unknown
_1443160531.unknown
_1443160942.unknown
_1443160504.unknown
_1209628049.unknown
_1412674147.unknown
_1429788914.unknown
_1429789302.unknown
_1443071794.unknown
_1443159035.unknown
_1429789382.unknown
_1429901608.unknown
_1429789060.unknown
_1429789285.unknown
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_1427804029.unknown
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_1377837401.unknown
_1209628206.unknown
_1209627539.unknown
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_1209627900.unknown
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_1209627226.unknown
_1209627389.unknown
_1188735292.unknown