Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) - UFS (1)

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Sumário
Aula 1: Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) 7
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 O que é uma E.D.O.? . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Classificação das Equações Diferenciais . . . . . . . 9
1.4 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Definições e terminologia . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Equações Diferenciais Ordinárias e o Teorema Fun-
damental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Exemplo de um estudo qualitativo de uma E.D.O. . . 19
1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 24
1.9 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 24
Aula 2: Teorema de Existência e Unicidade 25
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Problema de valor inicial ou problema de Cauchy . . 26
2.3 Teorema de existência e unicidade . . . . . . . . . . 28
2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 36
2.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 36
Aula 3: Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas 37
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Equações separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Equações exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Obtendo solução de uma equação de primeira ordem
não exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 55
3.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 56
Aula 4: Equações de primeira ordem: Equações lineares
Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati
e Clairaut 57
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Equação de Bernoulli, Equação de Riccati e Equação
de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 71
4.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 72
Aula 5: Modelos matemáticos de E.D.O. de primeira ordem
73
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Datação da idade de um fóssil . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Esfriamento e aquecimento de um corpo . . . . . . . 78
5.5 Circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Diluição de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7 Trajetórias ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 86
5.9 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 86
Aula 6: E.D.O. lineares de ordem superior 87
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem
superior - Fundamentos teóricos. . . . . . . . . . . . 88
6.2.1 Dependência e independência linear de funções 89
6.2.2 Soluções de equações diferencias ordinárias
lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 Redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 103
6.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 103
Aula 7: E.D.O. lineares com coeficientes constantes 105
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Resolvendo equações lineares homogêneas com coe-
ficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2.1 Equações de ordem superior . . . . . . . . . 111
7.3 Resolvendo uma E.D.O. linear não homogênea com
coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 122
7.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 123
Aula 8: Variação de parâmetros 125
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2 Resolvendo equações lineares não homogêneas. . . 126
8.2.1 Equações de ordem superior . . . . . . . . . 131
8.3 Modelagem matemática em E.D.O. lineares de or-
dem superior com coeficientes constantes . . . . . . 134
8.3.1 O oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . 134
8.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 144
8.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 145
Aula 9: E.D.O. lineares com coeficientes variáveis:
Equação de Cauchy-Euler 147
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2 Equação de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2.1 Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem 148
9.2.2 Equação de Cauchy-Euler de ordem superior 153
9.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 155
9.4 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 156
Aula 10: Equações diferenciais lineares
com coeficientes variáveis:
Soluções por séries de potências 157
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.2 Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3 Soluções em série em torno de um ponto ordinário . 162
10.4 Soluções em série em torno de pontos singulares-
Método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 177
10.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 178
Aula 11: A Transformada de Laplace: Fundamentos teóricos
179
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.2 A transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 180
11.3 A transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . 187
11.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 192
11.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 192
Aula 12: Equações diferenciais e a
Transformada de Laplace 193
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.2 A transformada de uma derivada . . . . . . . . . . . 194
12.3 Resolvendo equações diferenciais utilizando a trans-
formada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.4 O teorema da convolução e a transformada de funções
periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 202
12.6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 202
Aula 13: Sistema de E.D.O. lineares de primeira ordem
205
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.2 Sistema de equações lineares de primeira ordem: Fun-
damentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.3 Sistemas de equações lineares de primeira ordem
homogêneo com coeficientes constantes. . . . . . . 212
13.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 224
13.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 224
Aula 14: Resolução de sistema de
E.D.O. lineares de primeira
ordem não homogêneo 225
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.2 Resolvendo um sistema de equações lineares de primeira
ordem não homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.2.1 Variação de parâmetros . . . . . . . . . . . . 226
14.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 233
14.4 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 233
Aula 15: Aplicações 235
15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
15.2 Problemas envolvendo sistemas de equações lineares 236
15.2.1 Molas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . 236
15.2.2 Sistemas elétricos: Malhas paralelas . . . . . 238
15.3 Problemas envolvendo sistemas de equações não li-
neares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
15.3.1 Movimentos de corpos celestes . . . . . . . 239
15.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 242
15.5 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 242
AULA
1Equações Diferenciais
Ordinárias (E.D.O.)
META:
Introduzir as definições preliminares referentes ao conteúdo Equações
Diferenciais Ordinárias e dar motivações para o estudo dessas equações.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Reconhecer e classificar uma Equação Diferencial Ordinária;
Compreender a importância prática de tais equações;
Identificar uma solução de uma Equação Diferencial Ordinária;
Entender o que é um estudo qualitativo de uma Equação Diferen-
cial Ordinária.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de derivada e integrais de funções de valores
reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I. Derivação im-
plícita. Conhecimentos básicos sobre vetores e de gráficos de funções
de uma variável.
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
1.1 Introdução
Caro aluno, seja bem-vindo a nossa primeira aula de Equações
Diferenciais Ordinárias! Espero que juntos aprendamos um pouco
sobre o universo dessas tão importantes equações. Na aula de hoje
conheceremos o que é uma Equação Diferencial Ordinária (abre-
viaremos esse nome por E.D.O. de agora por diante), como estão
divididas tais equações, algumas motivações práticas para seu es-
tudo, o que é uma solução de uma E.D.O. e, por fim, conheceremos
um pouco sobre a teoria qualitativa para E.D.O., atingindo assim
o objetivo final para essa aula.A história das Equações
Diferenciais é tão antiga
quanto a do cálculo
diferencial, a qual data
do século XVII. Desde o
momento que os inven-
tores do cálculo, Newton
e Leibniz, tiveram o
entendimento necessário
sobre a derivada de uma
função, esta começou a
aparecer em equações
e logo descobriu-se que
as soluções para tais
equações não eram tão
simples assim. Algumas
dessas soluções podiam
ser obtidas por meio
da antiderivada, mas a
maioria das equações não
podiam ser resolvidas por
esse processo.
1.2 O que é uma E.D.O.?
Bem resumidamente, uma Equação Diferencial é uma equação
que envolve derivadas. Melhor dizendo
Definição 1.1. Chamamos por Equação Diferencial (E.D.) uma
equação que contém derivadas de uma ou mais variáveis depen-
dentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.
Exemplo 1.1. 1.
dx
dt
+ 3x = senx; (x é a variável dependente
pois x é vista como função de t e t a variável independente)
2. 3
dy
dt
+ x
dx
dt
= y + x
3. x
dx
dt
+
dx
ds
= 5
Definição 1.2. Chamamos por Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.)
uma equação que contém derivadas de uma ou mais variáveis de-
pendentes em relação a apenas uma variável independente.
14
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1
Nos exemplos acima, os de número 1 e 2 apenas são E.D.O's. O
exemplo 3 é conhecido como Equação Diferencial Parcial (E.D.P.),
pois possue derivadas em relação a mais de uma variável indepen-
dente. O que é uma E.D.P.?
Uma E.D.P. é uma
equação que contém
derivadas de uma ou mais
variáveis dependentes
em relação a DUAS OU
MAIS variáveis indepen-
dentes. Elas possuem a
mesma classificação das
E.D.O.'s.
Matematicamente falando podemos representar uma E.D.O em
uma variável dependente na forma geral
F (x, y, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0,
onde F é uma função de valores reais de n + 2 variáveis, x é a
variável independente, y é a variável dependente e y′, y′′, · · · , y(n)
são as derivadas de y com respeito a x até ordem n.
Em uma E.D.O. F (x, y, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0, quando for possível
expressar a derivada de ordem maior y(n) em função dos outros
termos da equação, ou seja
y(n) = f(x, y, y′, y′′, · · · , y(n−1))
dizemos que a E.D.O. está na sua forma normal.
Observação 1.1. 1. Admitiremos que, pelo menos localmente,
toda E.D.O. pode ser escrita na sua forma normal. (isso é
possível devido ao Teorema da função implícita)
2. Poderemos usar também a notação
dny
dxn
além de y(n) para
representar a derivada de ordem n de y com respeito à x.
1.3 Classificação das Equações Diferenciais
As Equações diferenciais se classificam quanto ao tipo, a ordem e a
linearidade. Quanto ao tipo elas podem ser Equações Diferenciais
15
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
Ordinárias ou Equações Diferenciais Parcias. Estudaremos adiantea classificação com respeito as E.D.O.'s.
Quanto à ordem
A ordem de uma E.D.O. é dada pelo índice da maior derivada
existente na equação. Por exemplo as equações
3xy′′′ + y′′ + 3x5y′ = 5, (y′)5 + y′′ = 0, y(5) + 5xy(7) + y′ = 2
são equações de ordem 3, 2 e 7, respectivamente.
Quanto à linearidade
Uma E.D.O. de ordem n, F (x, y, y′, ·, y(n)) = 0, é dita linear se ela
puder ser escrita na forma
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x).
Exemplo 1.2. 1) x2y′′′ + y′ = 7 ( E.D.O. linear)
2) (sen x)y′′ + y(4) = lnx ( E.D.O. linear)
3) y y′′ + y(4) = lnx ( E.D.O. não linear por causa do termo y y′′)
4) y(5) + 3x2 y+ lny = 0 (E.D.O. não linaer devido ao termo ln y).
1.4 Motivação
Por que estudar E.D.O.? As E.D.O.'s modelam problemas
reais, tais como:
• Crescimento populacional
• Movimento de um pêndulo
• Propagação de doenças
• Lançamento e movimento de foguetes
• Movimento de corpos celestes
16
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1• Movimento de corpos em planos inclinados
• Corpos em movimento harmônico simples
• Decaimento radioativo
• Reações e misturas químicas
• Circuitos elétricos
• Corpos em queda
A seguir vamos conhecer mais de perto como as E.D.O.'s aparecem
em alguns desses problemas.
A modelagem matemática
é uma área do conhecimen
to que busca trazer para
a linguagem matemática
problemas muitas vezes
reais a fim de estudá-
los. É o que acontece,
por exemplo, no estudo
dos movimentos dos cor-
pos celestes e na datação
da idade de um fóssil.
Movimento de um corpo em um plano inclinado
Considere um corpo de massa m movendo-se, sem atrito, num
plano inclinado, como mostra a figura abaixo. Sabemos que a
Figura 1.1: Corpo de massa m num plano inclinado.
resultante das forças na direção y, dada por Fry = N − Py =
N −P cos θ, é nula, uma vez que não há movimento na direção y.
Contudo, a resultante das forças na direção x, dada por Frx = Px =
P sen θ, não é nula. Pela segunda Lei de Newton, sabemos que a
força resultante que age em um corpo de massa constante é igual
ao produto de sua massa por sua aceleração, ou seja, Fr = ma.
Dessa maneira, como a força resultante que age no corpo de massa
17
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
m no plano inclinado acima é Frx + Fry = P sen θ + 0 = mg sen θ
temos que o movimento desse corpo é descrito pela equação
P sen θ = max = mx′′,
onde x representa a posição do corpo, ax representa a aceleração
desse corpo na direção x, e (′) representa derivação com respeito ao
tempo t. Assim, o movimento do corpo, sobre o plano inclinado,
ao longo do tempo é dado pela solução da E.D.O.
x′′ = gsen θ.
Observação 1.2. 1- A aceleração de um corpo num instante de
tempo t é conhecida como a taxa de variação da velocidade desse
corpo ao longo do tempo, ou seja, a =
dv
dt
e como a velocidade num
instante de tempo t é a taxa de variação da posição desse corpo
ao longo do tempo, temos que a =
d2x
dt2
, onde v e x representam,
respectivamente, a velocidade e a posição do corpo.
2- No problema acima, se θ = 0, o corpo estará em repouso na
horizontal (considerando a velocidade inicial nula). Se θ = 90o, o
corpo estará em queda livre.
Movimento de um pêndulo simples
Considere o pêndulo abaixo
Consideremos s a medida do arco formado pelo pêndulo (deslo-
camento do pêndulo) quando este forma com a linha vertical um
ângulo θ, como mostra a figura acima. Sabemos que s = lθ, onde
l é o comprimento do fio do pêndulo. Assim, como l é uma con-
stante, a aceleração do pêndulo ao longo do tempo t é dada por
a =
d2s
dt2
= l
d2θ
dt2
.
18
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1
Figura 1.2: Pêndulo simples.
A força resultante na direção y é nula, uma vez que a tração,
T , no fio é igual a componente da força peso P na direção y.
Contudo, a força resultante na direção x não é nula e é dada por
−mg sen θ, (o sinal negativo é porque essa força resultante é uma
força restauradora). Assim, da segunda Lei de Newton, obtemos
que −mgsen θ = mld
2θ
dt2
ou melhor
d2θ
dt2
= −g
l
sen θ.
Portanto, para descrevermos o movimento desse pêndulo ao longo
do tempo, basta-nos achar a solução dessa E.D.O..
Sistema massa-mola (Movimento Harmônico simples).
O Movimento Har-
mônico simples-
M.H.S.- é um movimento
oscilatório que se carac-
teriza pela ação de forças
restauradoras do tipo
elásticas.
Considere a figura abaixo onde descrevemos o movimento de um
corpo de massa m preso a uma mola com constante de elasticidade
k.
A mola, a princípio se encontra sem nenhum corpo preso a ela.
Quando prendemos o corpo de massa m, a mola se distende s
unidades de comprimento e o corpo fica parado, ou seja, o sistema
massa-mola está na sua posição de equilíbrio. Nesse estado temos
a igualdade entre a força peso e a força restauradora da mola (Lei
19
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
Figura 1.3: Sistema massa-mola.
de Hooke) que, matematicamente, é descrita pela equação
ks = mg.
Se soltarmos a massa m de uma posição x abaixo da sua posição
de equilíbrio temos, pela segunda lei de Newton que
Fr = ma,
onde Fr é a força resultante agindo na massa m, a qual nesse
caso será a soma das forças peso e restauradora da mola, ou seja,
Fr = mg − k(s + x). Dessa maneira, a equação Fr = ma assume
a forma
mg − k(x+ s) = mx¨.
Como g e s são constantes, obtemos uma equação diferencial or-
dinária linear de segunda ordem dada por
x¨ = − k
m
x,
uma vez que ks = mg.Lei de Hooke (1635-
1703)A força restau-
radora exercida pela mola
é proporcional à distenção
da mola. Esta força
é oposta à direção do
alongamento.
O campo de aplicações para as Equações diferenciais ordinárias é
imenso, poderíamos ficar aqui listando inúmeros modelos matemáti-
cos onde tais equações aparecem, mas optamos por falar mais deles
adiante, quando tivermos exposto algumas técnicas de resolução de
E.D.O.'s.
20
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1
1.5 Definições e terminologia
Definição 1.3. Uma solução de uma E.D.O. de ordem n é uma
função φ definida em um intervalo I ⊂ R a qual tem pelo menos
n derivadas em I e que satisfaz a E.D.O. dada.
Por exemplo, considere a E.D.O., F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, uma
solução dessa E.D.O. é uma função φ definida em um intervalo
I ⊂ R que tem pelo menos n derivadas em I tal que
F (x, φ(x), φ′(x), · · · , φ(n)(x)) = 0, para todo x ∈ I.
Exemplo 1.3. A função y dada por y(x) =
x4
16
, x ∈ R é solução
da E.D.O. 4y′−x3 = 0 uma vez que é diferenciável em R e satisfaz
a E.D.O. dada, vamos verificar?
Derivando y com respeito a x, obtemos y′ = x3/4. Substituindo
em 4y′ − x3 segue que 4y′ − x3 = 0.
Mas será que essa é a única solução? Observe que toda expressão
da forma y(x) =
x4
16
+ c, c ∈ R é uma solução para essa E.D.O..
Quando isso acontece dizemos que a E.D.O. possue uma família
de soluções a um parâmetro, que nesse caso é c.
Observação 1.3. O intervalo de definição de uma solução é algo
que merece cuidado, pois em geral confunde-se domínio de uma
função com intervalo de definição de uma solução. Por exemplo, a
função y =
1
x
é solução da E.D.O. xy′+y = 0 para x pertencente a
qualquer intervalo dos números reais que não contém o zero, como
por exemplo, (0,∞). Contudo, y = 1
x
como função está definida
em R∗.
Observação 1.4. 1. Uma solução de uma E.D.O. identica-
mente nula no seu intervalo de definição I é chamada solução
trivial.
21
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
2. Em geral, uma E.D.O. possue um número infinito de soluções.
3. Podemos ter soluções de uma E.D.O. que não veem de
uma família de soluções dessa E.D.O.. Como por exem-
plo, a E.D.O.
dy
dx
=y2 − 4 possue a seguinte família de
soluções y(x) = 2
(1 + ce4x)
(1− ce4x) , c ∈ R
∗
, contudo y˜(x) = −2 e
ŷ(x) = 2 são soluções dessa E.D.O. e não provém dessa
família, uma vez que não existe valores para o parâmetro c
tal que y(x) = y˜(x) = −2 e y(x) = ŷ(x) = 2.
4. Quando uma solução de uma E.D.O. vem de uma família
de soluções encontrada, a denominamos solução particular
da E.D.O. dada.
5. (Solução implícita)- Nem sempre encontraremos a solução
de uma E.D.O. em sua forma explícita, y = φ(x). As
soluções de algumas E.D.O.'s, quando for possível achar-
mos tais soluções, em geral serão dadas na forma G(x, y) =
0, a qual define implicitamente a solução. Por exemplo,
G(t, E, c) = 0, onde G(t, E, c) = c − t + E − senE é uma
família de soluções implícitas (a um parâmetro) da E.D.O.
dE
dt
=
1
1− cosE . (para verificar derive implicitamente com
respeito a t a expressão G(t, E) = 0)
Um outro exemplo, considere G(x, y) = 0, onde G(x, y) =
x2 +y2−4 e −2 < x < 2 é uma solução ímplicita da E.D.O.
dy
dx
= −x
y
.
6. Dada uma E.D.O.
dy
dx
= f(x, y),
22
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1
uma solução da forma φ(x) = c, c ∈ R é dita solução de
equilíbrio da E.D.O. dada se f(x, φ) = 0.
Por exemplo, φ(x) = 2 é solução de equilíbrio da E.D.O.
dy
dx
= y2 − 4.
Definição 1.4. O gráfico de uma solução φ de uma E.D.O. é
chamado de curva integral. Uma vez que φ é diferenciável em
seu intervalo de definição I, sua curva integral é contínua em I.
Abaixo descrevemos algumas curvas integrais da família de soluções
do Exemplo 1.3.
Figura 1.4: Parte de algumas curvas integrais de y′ = x3/4.
1.6 Equações Diferenciais Ordinárias e o Teo-
rema Fundamental do Cálculo
Teorema Fundamental do
Cálculo- Parte I: Seja f :
[a, b] → R uma função
contínua. A função F :
[a, b]→ R definida pela ex-
pressão
F (x) =
∫ x
a
f(x)dx (1.1)
é derivável e F ′(x) = f(x)
para todo x ∈ (a, b).
Um problema básico do Cálculo Integral é a determinação do valor
da integral definida ∫ γ
α
f(x)dx
de uma função f : [α, γ]→ R.
Quando f é contínua e não negativa podemos relacionar o conceito
de integral definida com a idéia de área
23
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
Figura 1.5: R é a área abaixo do gráfico da função f .
O Teorema Fundamental do Cálculo interliga os conceitos de in-
tegral e derivada e nos mostra uma maneira de resolver algumas
integrais definidas.
Observe que a função F definida em (1.1) é uma solução da equação
diferencial
dy
dx
= f(x). (1.2)
As soluções dessa E. D. O. são chamadas as primitivas de f . Nesse
caso dizemos que a E.D.O. foi resolvida por quadratura, ou seja,
foi possível achar uma primitiva para a função f .
Toda a parte do Cálculo chamada de cálculo de primitivas nada
mais é do que a determinação de soluções da equação diferencial
(1.2) para diferentes funções f . Assim, o problema de resolvermos
uma integral, ou seja, acharmos uma primitiva, é equivalente ao
problema de resolvermos uma E.D.O.. Como sabemos do Cálculo,
uma vez que nem toda função possui primitiva, nem toda E.D.O.
possuirá solução dada explicitamente.
O número de equações que podem ser resolvidas em termos de
funções elementares (ou por quadratura) é muito pequeno, mesmo
24
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1
depois da introdução de funções representadas por integrais, como
é o caso das funções elípticas. Segundo, Figueiredo (2007) essa
constatação gerou a busca de novos métodos e surgiu assim o uso
de séries de funções na resolução de uma E. D. O., o Teorema
de Existência e Unicidade de soluções, a teoria qualitativa, a qual
se preocupa em extrair o máximo de informações possíveis sobre
a solução de uma E.D.O. sem conhecer explicitamente a solução
da mesma e métodos numéricos. Na seção seguinte daremos um
exemplo de um estudo qualitativo de uma E.D.O..
1.7 Exemplo de um estudo qualitativo de uma
E.D.O.
O matemático Henri
Poincaré foi uma das
grandes mentes pensantes
da matemática de sua
época e porque não dizer
da história dessa ciência
até então. Suas pesquisas
foram e são de grande
importância em várias
áreas da matemática,
tais como: análise, álge-
bra, geometria e teoria
dos números. Ele foi o
grande precursor da teoria
qualitativa para E.D.O.'s
não linear e suas idéias
nessa área contribuíram
para uma nova maneira
de abordar muitos dos
problemas em mecânica
celeste.
Consideremos uma E.D.O. de 1a ordem na sua forma normal
dy
dx
= f(x, y) (1.3)
Suponhamos que não seja possível encontrar a solução dessa E.D.O.,
por métodos analíticos. Quando nos deparamos com problemas as-
sim e tentamos obter informações sobre as soluções diretamente da
própria E.D.O. dada, estamos realizando um estudo qualitativo
das equações do problema.
Sabemos do cálculo que a derivada
dy
dx
de uma função diferenciável
y = y(x) nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto (x, y)
sobre o gráfico da tal função. Assim, tomemos um ponto (x0, y0)
sobre a curva integral de uma solução de (1.3), o valor f(x0, y0) nos
dá a inclinação da reta tangente à curva integral no ponto (x0, y0).
Melhor dizendo f(x0, y0) nos dá a inclinação de um segmento de
reta, denominado elemento linear, tangente à curva integral no
25
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
ponto (x0, y0). Por exemplo, consideremos a equação
dy
dx
= −y
x
,
onde f(x, y) = −y
x
. No ponto (4, 7), por exemplo, a inclinação do
elemento linear é f(4, 7) = −7/4. A figura abaixo nos mostra a
representação desse elemento linear na curva integral da solução.
Figura 1.6: Elemento linear na curva integral.
Definição 1.5. Considere a E.D.O.(1.3) e calcule todos os valores
de f(x, y) sobre uma malha retangular de pontos (x, y) no plano
xy. Para cada ponto (x0, y0) dessa malha, associe um vetor (ou
um elemento linear) com inclinação f(x0, y0). A coleção de todos
esses vetores será chamada de campo de direções de (1.3). É
por esta razão que dada uma E.D.O. como (1.3) chamamos muitas
vezes a função f(x, y) de campo associado a E.D.O. dada.
No caso da E.D.O.,
dy
dx
= −y
x
, temos o seguinte campo de vetores
Visualmente, o campo de direções de uma E.D.O. sugere a aparên-
cia ou a forma de uma família de curvas integrais dessa E.D.O.. As-
sim, podemos responder perguntas como, existe soluções periódi-
cas ou existe soluções que crescem ou diminuem indefinidamente
(soluções de escape) sem que conheçamos de fato a expressão da
família de soluções.
26
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1
Figura 1.7: Campo de vetores.
1.8 Conclusão
As Equações Diferenciais estão muito presentes no nosso dia a
dia e, em particular, as Equações Diferenciais Ordinárias. Com o
auxílio das leis da Fisíca descobriu-se uma infinidade de aplicações
para essas equações. Infelizmente, nem toda E.D.O. possui uma
solução dada explicitamente. Isso fez com que surgissem técnicas
que nos dessem informações sobre as soluções sem que necessari-
amente tivéssemos suas expressões algébricas, essas técnicas estão
inseridas no que chamamos de Estudo Qualitativo das E.D.O.�s.
O matemático Henri Poincaré foi o precursor desse estudo.
27
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
RESUMO
�
Na aula de hoje vimos o que são Equacões Diferenciais Or-
dinárias, como se classificam e como estão relacionadas com outras
ciências. Vimos também o que é uma solução de uma E.D.O., que
as soluções de uma E.D.O. podem ser dadas de maneira explícita
(quando conhecemos sua expressão algébrica) ou de maneira im-
plícita. Vimos o que são soluções de equilíbrio, solução particular e
curva integral. Aprendemos que uma E.D.O., em geral, nãopossui
apenas uma solução e como o conceito de solução de uma E.D.O.
está ligado ao cálculo de primitivas de uma função, termo que vem
lá do Cálculo Integral. Vimos que para se resolver o problema de
não se poder obter uma solução explícita para toda E.D.O. pode-
se usar as ferramentas da teoria qualitativa, onde é possível obter
informações sobre a solução de uma E.D.O. sem que conheçamos
sua expressão algébrica.
PRÓXIMA AULA
�
Em nossa próxima aula veremos o que é um problema de valor
inicial ou problema de Cauchy e quais as condições para que uma
E.D.O. tenha solução única passando por um ponto.
ATIVIDADES
�
Atividade. 1.1. Classifique as equações diferencias abaixo quanto
ao tipo, ordem e linearidade.
28
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
1
a)3x2y(4) + (y′)6 = 1.
b)3x
dy
dx
+
dz
dx
= x5.
c)(lnx)
d3x
dt3
+ 5
dx
dt
− x = 0.
d) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cosx.
e)x
d3y
dx3
− 2
(
dy
dx
)4
+ y = 0.
f) yy′ + 2y = 1 + x2.
g) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0.
h)
dx
dt
+ 3x
dy
ds
+ 1 = 90.
Atividade. 1.2. Verifique que a função g(x) = c1 cos(4x) +
c2sen (4x), c1, c2 ∈ R é uma família de soluções da E.D.O.
y′′ + 16y = 0.
Atividade. 1.3. Verifique que uma família a um parâmetro de
soluções para
y = xy′ + (y′)2 é y = cx+ c2.
Determine um valor de k para que y = kx2 seja uma solução par-
ticular para a equação diferencial.
Atividade. 1.4. Encontre uma solução de equilíbrio para as
E.D.O.'s (encontre essa solução sem resolver a E.D.O.)
a) y′ = 8xy
b)
dx
dt
= (1− t2)(1− x2)
Atividade. 1.5. Mostre que y1 = 2x+2 e y2 = −x2/2 são ambas
soluções de
y = xy′ + (y′)2/2.
29
Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)
As funções, c1y1 e c2y2 onde c1, c2 ∈ R são também soluções?
Desenhe as curvas integrais.
Atividade. 1.6. Em certas circunstâncias, um corpo B de massa
m em queda encontra resistência do ar proporcional à sua veloci-
dade v. Use a segunda lei de Newton para encontrar a equação
diferencial para a velocidade v do corpo em qualquer instante.
Lembre-se de que a aceleração é a = dv/dt. Suponha neste caso
que a direção positiva é para baixo. Depois classifique a equação
encontrada.
LEITURA COMPLEMENTAR
�
FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas.
Coleção matemática universitária. IMPA, 2007.
SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias.
IMPA.
ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode-
lagem. Thomson, 2003.
1.9 Referências Bibliográficas
FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas.
Coleção matemática universitária. IMPA, 2007.
ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode-
lagem. Thomson, 2003.
30
AULA
2Teorema de Existência
e Unicidade
META:
Enunciar o Teorema de Existência e Unicidade para E.D.O..
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Reconhecer um problema de valor inicial.
Identificar quando um problema de valor inicial tem solução única
ou não.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com
domínio em R e diferenciação de funções de valores reais com
domínio em R2. Além de algum conhecimento sobre curvas em
R2.
Teorema de Existência e Unicidade
2.1 Introdução
Caros alunos a nossa segunda aula tem como tema "O Teorema
de Existência e Unicidade" para E.D.O.'s. Este teorema não nos
diz como é a expressão da solução de uma E.D.O., mas nos ajuda
muito no sentido que ele nos assegura, sob certas condições, que
existe soluções da E.D.O. estudada passando por um determinado
ponto.
2.2 Problema de valor inicial ou problema de
Cauchy
Sabemos que o movimento
dos corpos celestes são
modelados por E.D.O..
Quando procuramos um
ponto no espaço para colo-
car em órbita um satélite,
por exemplo, resolve-se
um determinado P.V.I.. E
nesse problema é relevante
buscar um ponto no es-
paço no qual a solução do
problema que passe por
ele não escape ao infinito,
caso contrário o satélite
será mandado para o es-
paço sideral!!!
Quando procuramos resolver uma E.D.O., por exemplo do tipo,
dny
dxn
= f(x, y, y′, · · · , y(n−1))
que satisfaça as condições y(x0) = y0, y′(x0) = y1, · · · , y(n−1) =
yn−1, onde x0, y0, y1, · · · , yn−1 são constantes, estamos resolvendo
um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) ou um problema de
Cauchy. As condições y(x0) = y0, y′(x0) = y1, · · · , y(n−1) = yn−1
são chamadas de condições iniciais do problema. Em particular
quando n = 1, obtemos o seguinte P.V.I.
dy
dx
= f(x, y), y(x0) = y0.
Exemplo 2.1. Encontre a solução do P.V.I.
dy
dx
= −y
x
, y(1) = 3.
Ou seja, nesse exemplo queremos encontrar a solução da E.D.O.
acima que satisfaça a condição y(1) = 3, ou melhor, queremos
32
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
2
encontrar a solução da E.D.O. tal que que o ponto (1, 3) seja
ponto do gráfico dessa solução.
Uma família de soluções para a E.D.O. dada é y(x) =
c
x
. (Vere-
mos como calcular tal família na aula seguinte). Nossa pergunta é:
será que dentre essa família de soluções existe uma solução tal que
y(1) = 3? Observe que y(1) =
c
1
e para que y(1) = 3 temos que ter
c = 3. Logo, a solução particular y(x) =
3
x
satisfaz o P.V.I.dado.
Mas será que essa é a única solução que satisfaz esse P.V.I.ou
tem outras? E se mudarmos a condição inicial, por exemplo, o
P.V.I.
dy
dx
= −y
x
, y(0) = 0 tem solução? e se tiver é única? O
Teorema que veremos na próxima seção nos ajudará a responder a
todas essas perguntas.
Exemplo 2.2. Considere a E.D.O.
dy
dx
= 3y2/3. A família de
funções φc : R→ R dada por
φc(x) =
 (x− c)3, x ≥ c0, x ≤ c ,
onde c ∈ R é uma família de soluções para essa E.D.O.. Comprove
essa afirmação! (para isso basta verificar que φc(x) para x ≥ c
satisfaz a E.D.O. e depois fazer o mesmo para φc(x) para x ≤ c
uma vez que essa função é diferenciável em R.)
Na Figura 2.1, descrevemos algumas curvas integrais dos membros
dessa família de soluções.
Observe que várias soluções satisfazem ao P.V.I.
dy
dx
= 3y2/3, y(0) = 0.
Você pode me dizer quais? Existe outra solução que satisfaça a
esse P.V.I.e não se encontra na família de soluções dada?
33
Teorema de Existência e Unicidade
Figura 2.1: Curva integral das soluções.
Existe solução que satisfaz ao P.V.I.
dy
dx
= 3y2/3, y(1) = 1? Será
que esta solução é única?
As respostas às perguntas feitas acima são, na ordem, as seguintes:
todas as soluções da família dada para valores da constante c
maiores do que ou iguais a zero. Sim existe, a solução identica-
mente nula (solução trivial). Sim existe, basta escolher a solução
particular quando c = 0 na família de soluções dada acima. Assim,
a solução será dada por φ0(x) = x3, se x ≥ 0 e φ0(x) = 0 se x ≤ 0.
E sobre a última pergunta, deixemo-a "suspensa"e voltemos para
ela na próxima seção.
2.3 Teorema de existência e unicidade
Voltando a questão de se
colocar satélites em órbita,
o teorema de existência e
unicidade nos garante que
escolhido um ponto no es-
paço, não haverá duas ór-
bitas passando por aquele
ponto. Isso, por exemplo,
pode evitar possíveis col-
isões entre satélites!
O teorema abaixo, devido à Picard, nos dá condições suficientes
para garantir a existência e unicidade do P.V.I.
dy
dx
= f(x, y), y(x0) = y0. (2.4)
Teorema 2.1. Seja R uma região retangular no plano xy, definida
por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém o ponto (x0, y0) em seu in-
terior. Se f(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) são contínuas em R, então existe um
intervalo I centrado em x0 e uma única função y = y(x) definida
em I que satisfaz o P.V.I.(2.4).
34
Equações DiferenciaisOrdinárias
AULA
2
Exemplo 2.3. Tomemos o P.V.I. do exemplo anterior
dy
dx
= 3y2/3, y(0) = 0.
Já sabemos que esse P.V.I.não tem solução única. Queremos saber
agora para quais pontos do plano xy o P.V.I.correspondente tem
solução única. Para isso aplicaremos o teorema acima.
Para esse P.V.I. temos f(x, y) = 3y2/3, então
∂f
∂y
(x, y) = 2y−1/3.
Para sabermos a região R do plano xy onde podemos encontrar
solução única, basta analisarmos, segundo o teorema acima, em
quais pontos do plano xy as funções f e
∂f
∂y
são contínuas.
Observe que para todos os pontos (x, y) no plano xy tais que y 6= 0
as funções f e
∂f
∂y
são contínuas. Abaixo representamos algumas
regiões R onde o Teorema de Picard ou o Teorema de existência e
unicidade de soluções seria válido.
Figura 2.2: Regiões de existência e unicidade de soluções da E.D.O.
acima.
Portanto respondendo a última pergunta da seção anterior, o P.V.I.
dy
dx
= 3y2/3, y(1) = 1
35
Teorema de Existência e Unicidade
tem solução e esta é única segundo o Teorema de existência e
unicidade 2.1. Observe ainda nesse exemplo que o ponto (0, 0) está
exatamente na reta y = 0, local onde o Teorema de existência e
unicidade 2.1 não tem suas hipóteses satisfeitas. Quando acontece
fatos assim, o P.V.I. em questão pode ter solução única ou não, no
nosso caso o P.V.I. n
dy
dx
= 3y2/3, y(0) = 0 não tem solução única.
Observação 2.1. 1- O Teorema de Picard, Teorema 2.1, (ou teo-
rema de existência e unicidade) nos garante apenas que a solução
existe e é única, não nos mostra como encontrá-la.
2- Existe um famoso teorema, devido à Peano, chamado Teorema
de existência, no qual somente a continuidade de f(x, y) é exigida.
Esse teorema nos garante apenas a existência da solução e não a
unicidade dela.
3- Se as hipóteses do teorema de Picard não forem satisfeitas, pode-
mos ter ou não existência e unicidade da solução. É o caso do
exemplo 2.2 e do exercício resolvido descrito a seguir.
4- Se estamos tratando com E.D.O.'s lineares, em particular de
primeira ordem
a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)⇔ y′ = −a0(x)
a1(x)
y +
g(x)
a1(x)
= f(x, y)
as condições do teorema de Picard são satisfeitas quando a1(x), a0(x)
e g(x) são contínuas num intervalo I tal que a1(x) 6= 0. Em geral
para E.D.O.'s lineares de ordem n
an(x)y(n) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)
as condições do teorema de Picard são satisfeitas quando an(x), · · · , a0(x)
e g(x) são contínuas em I e an(x) 6= 0 para todo x ∈ I.
36
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
2
Exercício Resolvido 2.1. Encontre uma solução para o P.V.I.
y′ = |y − 1|, y(0) = 1.
Na procura de soluções para um P.V.I., procuramos primeiramente
uma solução dentre as mais fáceis e imediatas soluções possíveis
para uma E.D.O.: soluções de equilíbrio e solução trivial. Não é
difícil ver que a solução trivial (identicamente nula) não satisfaz a
E.D.O. dada, logo não pode ser solução do P.V.I.. Além do mais
a solução trivial não satisfaz a condição inicial dada. Nesse caso,
procuremos uma solução de equilíbrio para o problema. Observe
que a solução y = 1 é solução de equilíbrio da E.D.O. dada e
satisfaz o P.V.I.. De fato, note que y = 1 anula o campo f(x, y) =
|y− 1| associado ao P.V.I.. Nos perguntemos agora se essa solução
é única? Será que o teorema de Picard pode nos responder?
A função f(x, y) = |y − 1| é tal que
f(x, y) =
 y − 1, se y ≥ 1−(y − 1), se y < 1
Assim,
∂f
∂y
(x, y) =
 1, se y ≥ 1−1, se y < 1 . Portanto, uma vez que ∂f∂y
não é contínua em (0, 1), este ponto não pertence a região R das
hipóteses do teorema de Picard. Dessa maneira possa ser que o
P.V.I.dado tenha ou não solução única, o teorema de Picard não
pode nos ajudar nessa decisão.
Tentaremos mostrar de outra forma que o P.V.I.dado tem solução
única.
Resolvendo a E.D.O. dada y′ = |y− 1| pelo método das variáveis
separáveis, o qual aprenderemos na aula seguinte, temos a seguinte
37
Teorema de Existência e Unicidade
solução
y(x) =
 ce
x + 1, se c > 0
1
c
e−x + 1, se c < 0
,
onde c é uma constante positiva. Abaixo descrevemos todas as
possíveis curvas integrais da E.D.O. dada. Observando que es-
Figura 2.3: Curva integral das soluções.
sas curvas integrais são todas as curvas integrais possíveis para
a E.D.O. dada e pela continuidade da variação das soluções de
uma E.D.O. conclui-se que a solução de equilíbrio y = 1 é a única
solução do P.V.I.dado.
2.4 Conclusão
Da aula de hoje concluímos que dado um problema de valor ini-
cial pode ocorrer que várias soluções satisfaçam esse problema, con-
tudo existe um teorema, denominado por Teorema de Picard, que
nos ajuda a decidir se alguns P.V.I.'s tem solução única. Satisfeitas
38
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
2
as condições desse teorema, ele nos garante que um dado P.V.I.tem
solução, mas não nos diz quem é a solução. Dessa maneira, pode
ser que, a primeira vista, esse teorema pareça inútil, mas não o é.
Uma vez que tenhamos a certeza que tal solução existe em uma
dada região, podemos gastar esforços com técnicas computacionais,
se os métodos analíticos não resolverem, para procurar tal solução
pois ela existe.
39
Teorema de Existência e Unicidade
RESUMO
�
Um Problema de Valor Inicial nada mais é do que uma E.D.O.
sujeita a uma determinada condição. A saber, o problema
dny
dxn
= f(x, y, y′, · · · , y(n)), y(x0) = y0, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1
é dito problema de valor inicial (P.V.I.) ou problema de Cauchy. As
condições y(x0) = y0, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1 são ditas condições
inicias do problema. Vimos que os P.V.I.'s tem sua aplicação
prática. O Teorema de Picard, ou Teorema de existência e unici-
dade, nos ajuda a decidir sobre questões como existência e unici-
dade de soluções satisfazendo determinados P.V.I.'s. Este teorema
nos diz que
Teorema 2.2. Seja R uma região retangular no plano xy, definida
por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém o ponto (x0, y0) em seu in-
terior. Se f(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) são contínuas em R, então existe um
intervalo I centrado em x0 e uma única função y = y(x) definida
em I que satisfaz o P.V.I.
dy
dx
= f(x, y), y(x0) = y0.
PRÓXIMA AULA
�
Em nossa próxima aula começaremos a aprender algumas técnicas
para a resoluções de E.D.O.'s. Começaremos com as E.D.O.'s de
primeira ordem.
ATIVIDADES
�
40
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
2
Atividade. 2.1. Dado o P.V.I.
y′ = 1 + y2, y(0) = 0.
a) Verifique que y = tan(x + c) é uma família de soluções a um
parâmetro para a E.D.O. y′ = 1 + y2.
b)O P.V.I.acima tem solução única? Justifique sua resposta.
c) Estabeleça o maior intervalo de definição para a solução da letra
anterior.
Atividade. 2.2. Considere o P.V.I.
dy
dx
= xy1/2, y(2) = 1.
a)Esse P.V.I.tem solução única?
b) Verifique que as funções y(x) = x
4
16 ,−∞ < x <∞ e
y˜(x) =
 0, se x < 0x4/16, se x ≥ 0
são soluções do P.V.I.acima. Isso quer dizer que o P.V.I.não tem
solução única? Por que isso não contradiz o Teorema de Picard?
Atividade. 2.3. Encontre a(s) região(ões) do plano xy onde o
P.V.I.
y′′sec(x) + xy′ +
1
x2 − 1y = 1, y(x0) = y0
tem solução única. Explique sua resposta
LEITURA COMPLEMENTAR
�
41
Teorema de Existência e Unicidade
FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas.
Coleção matemática universitária. IMPA, 2007.
SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias.
IMPA.
ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode-
lagem. Thomson, 2003.
2.5 Referências Bibliográficas
SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias.
IMPA.
ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode-lagem. Thomson, 2003.
42
AULA
3Equações de primeira ordem:
Equações separáveis e
Equações exatas
META:
Descrever dois métodos de resolução de E.D.O.'s de primeira or-
dem: o método das variáveis separáveis e o método para equações
exatas.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Identificar equações separáveis e equações exatas.
Resolver E.D.O.'s de primeira ordem que sejam equações sepa-
ráveis e equações exatas.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com
domínio em R, diferenciais e diferenciação de funções de valores
reais com domínio em R2. Além dos conheimentos das aulas 1 e 2.
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
3.1 Introdução
Caros alunos agora sim estamos prontos para aprendermos alguns
métodos de resolução de E.D.O.'s. Nessa terceira aula vamos con-
hecer dois métodos de resolução de E.D.O.'s. Começaremos com
E.D.O.'s de primeira ordem, onde gastaremos mais duas aulas para
expormos todo o conteúdo planejado e em seguida partiremos para
E.D.O.'s lineares de ordem superior.
3.2 Equações separáveis
Definição 3.1. Uma equação diferenciável de 1a ordem da forma
dy
dx
= g(x)h(y)
é dita separável ou de variáveis separáveis.
Exemplo 3.1. 1)
dy
dx = y
2x e3x+4y; (separável). Observe que
podemos separar as variáveis x e y.
2) x2dy + (y − 1)dx = 0⇔ dydx = − (y−1)x2 ; (separável)
3)
dy
dx = y+ sinx (não separável). Observe que não podemos sepa-
rar as variáveis x e y.
Considere uma E.D.O. de primeira ordem separável
dy
dx
= g(x)h(y) (3.5)
onde h e g são funções contínuas em intervalos I e J , respectiva-
mente, e h não se anula em J .
Observe que a E.D.O. (3.5) pode ser escrita na forma
p(y)
dy
dx
= g(x),
44
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
onde p(y) = 1h(y) ou ainda melhor na forma
d
dx
F (y(x)) = g(x), (3.6)
onde y = y(x) é solução da E.D.O. (3.5) e F (y) =
∫
p(y)dy. De
fato, note que
d
dx
F (y(x)) = g(x)⇔ F ′(y)dy
dx
= g(x),
assim F ′(y) = p(y)⇒ F (y) = ∫ p(y)dy.
Dessa maneira, integrando (3.6) com respeito a x, obtemos
F (y(x)) = G(x) + c, (3.7)
onde G(x) =
∫
g(x)dx e c é uma constante de integração. Resol-
vendo esta equação para y = y(x) acharemos
y(x) = F−1(G(x) + c),
a qual é a solução procurada.
Observação 3.1. Observe que a expressão em (3.7) é equivalente
a ∫
1
h(y)
dy =
∫
g(x) dx
o que nos deixa a vontade para dizer que achamos as soluções de
uma EDO separável separando as variáveis e integrando ambos os
lados da equação com respeito às respectivas variáveis.
Observação 3.2. A função inversa de F sempre existirá nesse
caso. De fato, uma vez que F ′ = p e p 6= 0 segue que F é monótoma
e, assim F possui função inversa.
Observação 3.3. Considere o P.V.I.
dy
dx
= g(x)h(y), y(x0) = y0.
45
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
Sabemos da discussão acima que F (y(x)) = G(x)+c é uma família
de soluções para a E.D.O. dada. Observe que no caso do P.V.I.
dado, a constante de integração c é exatamente igual a F (y(x0))−
G(x0). Assim, a expressão (3.7) pode ser escrita na forma
F (y(x))− F (y(x0)) = G(x)−G(x0)
ou equivalentemente∫ y
y0
1
h(y)
dy =
∫ x
x0
g(x)dx. (3.8)
Portanto, dado o P.V.I.
dy
dx
= g(x)h(y), y(x0) = y0
a solução é obtida quando separamos as variáveis e calculamos as
integrais definidas ∫ y
y0
1
h(y)
dy =
∫ x
x0
g(x)dx.
Exemplo 3.2. Encontre a solução geral da equação
dy
dt
=
t2
y2
.
Esta equação pode ser escrita na forma y2 dydt = t
2 ⇔ ddt
(
y3
3
)
=
t2, onde y = y(t) (y é vista como função de t uma vez que é
supostamente solução da E.D.O. dada). Assim, integrando com
respeito à t, obtemos∫
d
dt
(
y3
3
)
dt =
∫
t2dt⇔ y(t) = (t3 + c)1/3.
Exemplo 3.3. No Exemplo 2.1, afirmamos que a família de soluções
da E.D.O. dy/dx = −y/x, ou melhor, xdy+ydx = 0 é y(x) = c/x.
46
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
Agora vamos resolvê-la e comprovar tal afirmação?
Resolva a E.D.O. de primeira ordem xdy+ ydx = 0. Observe que
xdy + ydx = 0⇔ 1
y
dy = −1
x
dx.
Assim integrando ambos os lados da equação acima, obtemos
ln|y| = −ln|x|+ c1 = ln|x|−1 + c1.
Aplicando em ambos os lados da equação a função inversa do loga-
ritmo neperiano (a função exponencial), obtemos |y| = eln|x|−1+c1 =
eln|x|−1 · ec1 = c2 |x|−1, onde c2 = ec1 . De onde concluímos que
y(x) = ±c2x−1, ou
y(x) = c x−1.
Exercício Resolvido 3.1. Encontre a solução do P.V.I.
dy
dx
= −x
y
, y(
√
20) = 4.
A E.D.O. dada pode ser escrita na forma
y
dy
dx
= −x⇔ d
dx
(
y2
2
)
= −x.
Integrando com respeito à x, obtemos x2 + y2 = c2.
Note que a família de soluções da E.D.O.
dy
dx = −xy é dada
implicitamente pela equação x2 + y2 = c2, ou seja, a equação
G(x, y, c) = 0, onde G(x, y, c) = x2 + y2 − c2.
Bom, voltemos ao P.V.I.
dy
dx
= −x
y
, y(
√
20) = 4.
Já sabemos a expressão ímplicita da família de soluções da E.D.O.,
agora só precisamos achar uma solução dessa família que satisfaça
a condição inicial dada. Desde que a solução da E.D.O. tenha
47
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
que satisfazer y(
√
20) = 4, segue (
√
20)2 + (4)2 = c2 e, daí c = ±6.
Portanto, a solução do P.V.I.é dada implicitamente por x2 + y2 =
36, ou explicitamente, por y(x) =
√
36− x2.
Observe que se a condição inicial do P.V.I. fosse y(
√
20) = −4, a
solução explícita seria y(x) = −√36− x2.
Observação 3.4. Você já deve ter notado que quando separamos
as variáveis para resolvermos a E.D.O., nos deparamos com a situa
ção
1
h(y)dy = g(x)dx. Suponha que y = y0 seja um zero da função
h(y), ou seja h(y0) = 0. Observe que nesse caso a função y(x) = y0
é solução da E.D.O. separável
dy
dx = g(x)h(y) (solução de equi-
líbrio), contudo ela pode não aparecer na família de soluções obtida
pelo método, uma vez que a função
1
h(y) não está definida em
y = y0. É o que acontece no exercício seguinte.
Exercício Resolvido 3.2. Resolva o P.V.I.
dy
dx
= y2 − 1, y(0) = 0.
Da expressão (3.8) o P.V.I.dado é equivalente a
∫ y
0
dy
y2 − 1 =
∫ x
0
dx,
onde estamos considerando y 6= ±1.
Para resolvermos a integral da esquerda recorreremos a técnica
das frações parciais (para mais esclarecimentos sobre essa técnica
veja Stewart (2006a)). Queremos que
1
y2−1 =
A
y−1 +
B
y+1 . Dessa
maneira, obtemos
1
y2 − 1 =
1
2(y − 1) −
1
2(y + 1)
.
48
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
Assim,
∫
1
y2−1dy =
∫
[ 12(y−1) − 12(y+1) ]dy = 12 ln|y − 1| − 12 ln|y + 1|+ c1
= 12 ln
∣∣∣y−1y+1 ∣∣∣+ c1.
Portanto,∫ y
0
1
y2 − 1 =
∫ x
0
dx⇔ 1
2
ln
∣∣∣∣y − 1y + 1
∣∣∣∣− 12 ln1 = x− 0.
Então, a solução procurada é dada implicitamente pela equação
ln
∣∣∣y−1y+1 ∣∣∣ = 2x.
Para acharmos a família de soluções da E.D.O.
dy
dx = y
2 − 1 é só
resolvermos a integral indefinida
∫ dy
y2−1 =
∫
dx. Assim, a família
de soluções é dada, implicitamente, por
y−1
y+1 = ce
2x
que se reduz
a (para obter essa expressão final basta somar e subtrair 1 no
numerador)
y(x) =
1 + c e2x
1− c e2x .
Se ao invés da condição y(0) = 0 do P.V.I.dado, quiséssemos re-
solver esta mesma E.D.O. sujeita à condição inicial y(0)=- 1, seria
possível achar a solução dentre as soluções da família encontrada?
A resposta é não, observe que não existe valor para a constante c
nesse caso. Observe que a única solução que satisfaz esse P.V.I.é a
solução de equilíbrio y = −1, a qual foi "perdida"pelo método.
Para finalizarmos essa seção, deixamos como exercício para vocês
aplicaresse método de resolução para resolver a E.D.O.
4y′ − x3 = 0
do exemplo 1.3 da aula 1.
49
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
3.3 Equações exatas
Antes de falarmos de equações exatas é necessário que gastemos
um tempo relembrando alguns pontos do conteúdo da disciplina
Cálculo II.
Em Cálculo II, foi visto que se z = f(x, y) é uma função com
derivadas contínuas em uma região R do plano xy, então sua dife
rencial total é dada por
dz =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy. (3.9)
Em particular, se f(x, y) = c, c ∈ R, segue de (3.9) que
0 =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy. (3.10)
Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x, y) = c, pode-
mos gerar uma equação diferencial de primeira ordem calculando
o diferencial total dessa família. Para mais informações sobre esse
assunto, veja Stewart (2006b).
Exemplo 3.4. Seja f(x, y) = c, onde f(x, y) = 4x + x3y2, então
de (3.10) segue que
(4 + 3x2y2)dx+ (2x3y)dy = 0
que é equivalente a
dy
dx
= −4 + 3x
2y2
2x3y
.
Para o que vamos expor adiante é mais importante inverter o pro
blema, ou seja, dado
dy
dx
= −4 + 3x
2y2
2x3y
,
50
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
temos equivalentemente que
(4 + 3x2y2)dx+ (2x3y)dy = 0,
onde, por (3.10), pode ser vista reescrita como
d(4x+ x3y2) = 0.
Assim, integrando essa última equação obtemos uma família de
soluções para a E.D.O.
dy
dx = −4+3x
2y2
2x3y
.
Definição 3.2. (Diferencial Exata)- Uma expressão diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy
é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela cor-
responde a diferencial total de alguma função f(x, y), ou seja, se
M(x, y)dx+N(x, y)dy = dz, onde z = f(x, y).
Definição 3.3. (Equação exata)- Uma equação
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
é dita exata se a expressão do lado esquerdo for uma diferencial
exata.
Exemplo 3.5. A equação (1 + cos(t+ x))dt+ cos(t+ x)dx = 0 é
exata, pois (1 + cos(t+ x))dt+ cos(t+ x)dx = d(t+ sin(t+ x)).
Observação 3.5. Sabendo que uma determinada equação
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é equação exata, segue pela definição
que existe uma função z = f(x, y) tal queM(x, y)dx+N(x, y)dy =
dz. Portanto,
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0⇔ dz = 0.
51
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
Logo, para acharmos a solução geral da equação exata dada basta-
nos resolver a equação dz = 0, cuja solução f(x, y) = c, c ∈ R
obtemos integrando ambos os lados da igualdade dz = 0 com res
peito a z, não esquecendo que z = f(x, y).
Até agora vimos equações que facilmente deduzimos sua diferen-
cial, mas se nos defrontarmos com equações mais complicadas pode
ficar difícil decidir se a equação é exata ou não e obter sua difer-
encial, caso seja exata. Dessa maneira, gastaremos um tempo ex-
pondo um teste para identificar se a equação é exata ou não e uma
vez exata como obter sua diferencial.
Teste para identificar uma equação exata
Teorema 3.1. Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com
derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida
por α < x < β, γ < y < δ. Então, M(x, y)dx + N(x, y)dy é uma
diferencial exata se, e somente se,
∂M
∂y
=
∂N
∂x
A demonstração desse teorema é muito útil no sentido que nos
ensinará como calcular a diferencial, caso a equação seja exata.
Dessa maneira, vamos a demonstração!!
Demonstração:
Observe que M(x, y) = ∂f∂x , para alguma função f(x, y) se, e so-
mente se,
f(x, y) =
∫
M(x, y)dx+ h(y), (3.11)
52
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
onde h(y) é uma função qualquer de y. Derivando parcialmente
com respeito à y ambos os lados da equação (3.11) obtemos
∂f
∂y
=
∫
∂M(x, y)
∂y
dx+ h′(y).
Portanto, ∂f/∂y será igual a N(x, y) se, e somente se,
N(x, y) =
∫
∂M(x, y)
∂y
dx+ h′(y)
ou equivalentemente,
h′(y) = N(x, y)−
∫
∂M(x, y)
∂y
dx. (3.12)
Observe que h′(y) é uma função apenas de y, enquanto o lado dire-
ito da equação (3.12) é uma função das variáveis x e y. Portanto,
a igualdade (3.12) só faz sentido se o lado direito for uma função
apenas de y, e este é o caso se, e somente se,
∂
∂x
[
N(x, y)−
∫
∂M(x, y)
∂y
dx
]
=
∂N
∂x
− ∂M
∂y
= 0.
Portanto, se
∂M
∂y 6= ∂N∂x não existe função f(x, y) tal que ∂f∂x = M
e
∂f
∂y = N . Por outro lado, se
∂M
∂y =
∂N
∂x então nós podemos obter
h(y) =
∫ [
N(x, y)−
∫
∂M(x, y)
∂y
dx
]
dy,
consequentemente,
∂f
∂x = M e
∂f
∂y = N onde
f(x, y) =
∫
M(x, y)dx+
∫ [
N(x, y)−
∫
∂M(x, y)
∂y
dx
]
dy.
(3.13)
Exemplo 3.6. Encontre a solução geral da E.D.O.
3t2y2
dy
dt
+ 2ty3 = 0.
53
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
Observe que a E.D.O. acima pode ser escrita na forma
2ty3 dt+ 3t2y2 dy = 0.
Note que, pelo Teorema 3.1, essa equação é uma equação exata
pois
∂
∂y
(2ty3) =
∂
∂x
(3t2y2).
Logo, temos que existe uma função f(t, y) tal que ∂f∂t = 2ty
3
e
∂f
∂y = 3t
2y2. Pela demonstração desse teorema sabemos que essa
função é dada pela equação em (3.13). Dessa maneira, obtemos
f(t, y) =
∫
2ty3dt+
∫ [
3t2y2 −
∫
6ty2dt
]
dy = t2y3 + 0.
Portanto,
2ty3 dt+ 3t2y2 dy = d(t2y3).
Consequentemente, a E.D.O.
2ty3 dt+ 3t2y2 dy = 0
é equivalente a
d(t2y3) = 0
cuja solução é t2y3 = c, c ∈ R.
Obtemos a expressão da função f(t, y) pela equação (3.13), no
entanto aconselhamos que para resolver as equações exatas vocês
apliquem o procedimento para se chegar até esta equação, feito na
demonstração do teorema, a fim de evitarmos a memorização de
fórmulas. Ou seja, dado a E.D.O. 2ty3dt+ 3t2y2dy = 0, queremos
achar uma função z = f(t, y) tal que
∂f
∂t
(t, y) = 2ty3 = M(t, y) e
∂f
∂y
(t, y) = 3t2y2 = N(t, y). Assim, começe buscando uma função
54
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3f tal que ∂f∂t = 2ty3. Integrando essa expressão com respeito a t,
obtemos
f(t, y) = t2y3 + h(y). (3.14)
Agora, derivando parcialmente a equação (3.14) com respeito a y,
obtemos
∂f
∂y
(t, y) = 3t2y2 + h′(y). (3.15)
Como queremos achar f tal que
∂f
∂y
= 3t2y2, segue que h′(y), na
expressão (3.15) é dado por h′(y) = 0 e assim h(y) = c, onde c é
uma constante. Portanto, z = f(x, y) = t2y3 + c, onde c é uma
constante.
3.4 Obtendo solução de uma equação de primeira
ordem não exata
Suponha agora que uma determinada equação diferencial ordinária
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (3.16)
não seja exata. Será que existe uma maneira de torná-la exata?
Ou melhor, nós podemos encontrar uma função µ(x, y) tal que a
equação diferencial
µ(x, y)M(x, y)dx+ µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (3.17)
seja equivalente a anterior e seja uma equação exata? (Duas equações
diferenciais são equivalentes quando soluções de uma são soluções
da outra e vice-versa). A resposta é sim. Vamos ver como podemos
fazer isso?
55
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
Sabemos da discussão anterior que a condição para que (3.17) seja
exata é
∂
∂y
(µ(x, y)M(x, y)) =
∂
∂x
(µ(x, y)N(x, y))
ou equivalentemente
M
∂µ
∂y
+ µ
∂M
∂y
= N
∂µ
∂x
+ µ
∂N
∂x
. (3.18)
(Por simplicidade omitimos a dependência das funções com res-
peito à x, y). Portanto, a equação (3.17) é exata se, e somente
se, µ(x, y) satisfaz a equação (3.18). Dessa maneira para achar-
mos a função µ(x, y) procurada, temos que resolver a E.D.P. (3.18).
Como não sabemos resolver E.D.P. ainda, trabalharemos com algu-
mas hipóteses sobre a função µ a fim de simplificarmos a condição
(3.18).
1) Considere µ uma função apenas de x. Nesse caso (3.18) se reduz
a
dµ
dx
=
∂M
∂y − ∂N∂x
N
µ. (3.19)
Mas, como o lado direito da expressão(3.19) depende das variáveis
x e y e o lado esquerdo é função apenas da variável x, esta expressão
só terá sentido se
∂M
∂y − ∂N∂x
N
= G(x).
Neste caso, teremos
µ(x) = e
∫
G(x) dx. (3.20)
Para achar a expressão de µ dada acima, basta separar as
variáveis em (3.19) e integrar.
56
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
2) Considere µ uma função apenas da variável y. Neste caso�o
raciocínio é o mesmo que no caso anterior e dessa maneira obtemos
µ(y) = e
∫
H(y)dy,
onde H(y) =
∂N
∂x
− ∂M
∂y
M .
Observação 3.6. 1) O fator µ(x, y) encontrado nos casos 1) e
2) acima é chamado fator integrante para a equação (3.16). A
razão para essa nomenclatura deve-se ao fato que uma vez achado
a função µ que torna (3.16) exata, podemos facilmente integrar a
equação e resolver a E.D.O..
2)Nem sempre as equações (3.16) e (3.17) serão equivalentes. Para
que isso ocorra é necessário que µ(x, y) 6= 0 para todo (x, y) no
domínio da função.
3) A expressão
∂M
∂y − ∂N∂x
N
é quase sempre uma função que depende de x e y. Apenas para
pouquíssimas funções M(x, y) e N(x, y) a expressão acima depen-
derá apenas da variável x. Uma situação semelhante ocorre quando
µ depende apenas da variável y. É por essa razão que muitas
equações diferenciais não podem ser resolvidas.
4)A constante que aparece no processo de integração da equação
(3.19) pode ser omitida sem prejuízo para os resultados.
Exemplo 3.7. Encontre a solução geral da E.D.O.
(
y2
2
+ 2yex)dx+ (y + ex)dy = 0.
Essa equação não é exata pois
∂M
∂y = y + 2e
x 6= ∂N∂x = ex. No
entanto,
1
N
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
=
y + ex
y + ex
= 1.
57
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
Portanto, esta equação tem µ(x) = e
∫
dx = ex como fator de inte-
gração. Isto significa que a equação
(
y2
2
+ 2yex)dx+ (y + ex)dy = 0
é equivalente a
ex(
y2
2
+ 2yex)dx+ ex(y + ex)dy = 0 (3.21)
e esta última é uma equação exata. Logo, existe uma função z =
f(x, y) tal que (3.21) se reduz a
dz = 0
e assim a solução de (3.21) é f(x, y) = c, c ∈ R. Calculando a
função z = f(x, y) obtemos f(x, y) = y
2
2 e
x + ye2x. E resolvendo a
expressão f(x, y) = c para y obtemos as soluções explícitas
y(x) = −ex ± [e2x + 2ce−x]1/2.
Novamente gostaríamos de enfatizar que nessa questão usamos a
fórmula dada em (3.20) para obtermos o fator integrante µ(x),
no entanto vocês não precisam decorar fórmulas e nem queremos
incentivar tal ato. Para não decorar fórmulas basta que:
1) Dada a E.D.O. (3.16) verifique se a mesma é exata. Caso não
seja multiplique-a por µ(x, y).
2)Resolva a equação (3.18) fazendo as hipóteses que µ depende
apenas de x (caso 1 apresentado acima) ou que µ depende apenas
de y (caso 2 apresentado acima).
3.5 Conclusão
Da aula de hoje concluímos que é possível com um pouco
de paciência e cuidado resolvermos algumas equações diferenci-
58
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
ais ordinárias de primeira ordem, a saber, aquelas chamadas por
equações separáveis e equações exatas.
59
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
RESUMO
�
Na aula de hoje aprendemos a identificar algumas equações difer-
encias de primeira ordem, a saber, equações separáveis e equações
exatas. Vimos vários exemplos de equações separáveis e alguns
cuidados que devemos ter na hora de resolvermos tais equações,
pois, em alguns casos, o método aprendido não nos dá todas as
equações da E.D.O. em questão. Vimos que algumas soluções são
"perdidas"pelo método.
Vimos também como testar se uma dada equação é exata e uma
vez exata como obter a expressão da diferencial. Algumas equações
que não são exatas podem ser "tornadas"exatas (na verdade podem
ser equivalentes a equações exatas) pela multiplicação de um fa-
tor de integração µ(x, y) e, dessa maneira, conseguimos facilmente
resolvê-las.
PRÓXIMA AULA
�
Em nossa próxima aula continuaremos com outros métodos de res-
olução para E.D.O. de primeira ordem. Veremos como resolver
equações lineares de primeira ordem, equações homogêneas e muito
mais.
ATIVIDADES
�
Atividade. 3.1. Resolva as E.D.O.'s abaixo
a) y′ + xy = x
60
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
b) (e2y − y cosxy)dx+ (2xe2y + 2y − x cosxy)dy = 0
c) dy/dt+ y
√
tsen t = 0
Atividade. 3.2. Ache um fator integrante que torne a E.D.O.
y(x + y + 1)dx + (x + 2y)dy = 0 uma E.D.O. exata, ou melhor,
equivalente a uma E.D.O. exata. Resolva a E.D.O. exata obtida.
Atividade. 3.3. Determine o comportamento, quando t → ∞,
de todas as soluções da equação
dy
dt
+ ay = 0, a ∈ R.
Atividade. 3.4. Considere o problema de valor inicial
dy
dt
=
√
y, y(3) = 0.
a)Resolva o problema de valor inicial acima.
b) Existe uma única solução para o problema de valor inicial acima?
Justifique sua resposta.
c)E o P.V.I.
dy
dt =
√
y, y(−4) = 5 tem solução única? Justifique
sua resposta.
d) Determine os pontos (t0, y0) para os quais podemos garantir que
o problema de valor inicial
dy
dt
=
√
y, y(t0) = y0
tenha solução única.
Atividade. 3.5. Determine uma função y = y(x) cujo gráfico
passe pelo ponto (1, 1) e tal que a reta tangente no ponto genérico
(x, y) tenha coeficiente angular x
2+2y
y−2x .
61
Equações de primeira ordem: Equações separáveis e
Equações exatas
Atividade. 3.6. Encontre uma solução satisfazendo a equação
diferencial e a condição inicial dada.
dy
dx + 2y = f(x), y(0) = 0 onde
f(x) =

1, se 0 ≤ x ≤ 3
0, se x > 3
Atividade. 3.7. a)Encontre o valor de k para que a EDO seja
exata (y3 + kxy4 − 2x)dx+ (3xy2 + 20x2y3)dy = 0.
b)Resolva a EDO dada verificando que a função indicada seja um
fator de integração
6xydx+ (4y + 9x2)dy = 0, µ(x, y) = y2.
LEITURA COMPLEMENTAR
�
FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Equações Diferenciais Aplicadas.
Coleção matemática universitária. IMPA, 2007.
SOTOMAYOR, Jorge, Lições de equações diferenciais ordinárias.
IMPA.
ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode-
lagem. Thomson, 2003.
62
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
3
3.6 Referências Bibliográficas
BRAUM, Martin, Differential Equations and their applications.
Springer, 1992.
ZILL, Dennis G., Equações Diferenciais com aplicações em mode-
lagem. Thomson, 2003.
STEWART, J., Cálculo, volume I. Editora Thomson, 2006a.
STEWART, J., Cálculo, volume II. Editora Thomson, 2006b.
63
AULA
4Equações de primeira ordem:
Equações lineares
Equações homogêneas,
Equações de Bernoulli, Riccati
e Clairaut
META:
Descrever alguns métodos de resolução de Equações Diferenciais
de primeira ordem.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Identificar E.D.O. lineares, homogêneas, de Bernoulli, de Ricatti
e de Clairaut.
Resolver EDO's de primeira ordem que sejam dos tipos acima des-
critos.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com
domínio em R, diferenciais e diferenciação de funções de valores
reais com domínio em R2. Além dos conhecimentos da aula ante-
rior, aulas 1 e 2.
Equações de primeira ordem: Equações lineares
Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati
e Clairaut
4.1 Introdução
Caros alunos nessa quarta aula continuaremos expondo alguns
métodos de resolução para E.D.O. de primeira ordem.
4.2 Equações lineares
Uma equação diferencial de primeira ordem da forma
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x), (4.22)
onde a1(x) 6= 0 para todo ponto do seu domínio é dita equação
linear de primeira ordem. Quando g(x) ≡ 0 dizemos que a
equação (4.22) é linear homogênea. Podemos escrever (4.22) da
seguinte forma
dy
dx
+ P (x)y= f(x), (4.23)
onde P (x) = a0(x)a1(x) , f(x) =
g(x)
a1(x)
.
Sejam P (x), f(x) funções contínuas. A seguir descrevemos um
método de resolução para esse tipo de E.D.O.. Este método se
baseará no que aprendemos na seção 3.4. Escrevamos a E.D.O.
(4.23) da seguinte forma
dy + (P (x)y − f(x))dx = 0. (4.24)
Observe que (4.24) não é uma equação exata, pois
∂M
∂y = P (x) e
∂N
∂x = 0. No entanto, ((∂M/∂y)− (∂N/∂x))/N = P (x). Portanto,
pelo que expomos na seção 3.4, segue que o fator integrante para a
E.D.O. linear (4.24) é µ(x) = e
∫
P (x) dx
e, consequentemente, ela
será equivalente a E.D.O. exata
e
∫
P (x)dxdy + e
∫
P (x)dx(P (x)y − f(x))dx = 0.
66
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
4
Assim, resolvendo esta última E.D.O. chegamos a solução de (4.24)
ou de (4.23).
Não precisamos memorizar fórmulas para resolvermos a E.D.O.
linear (4.24). Abaixo descrevemos passo a passo o método de res-
olução para esta E.D.O..
Método de resolução
1)Coloque a E.D.O. linear no formato de (4.23).
2)Calcule o fator integrante µ(x), o qual é dado por µ(x) = e
∫
P (x)dx
.
3)Multiplique (4.23) pela função µ(x). Assim obtemos
e
∫
P (x)dx
(
dy
dx
+ P (x)y
)
= e
∫
P (x)dxf(x) (4.25)
ou equivalentemente
e
∫
P (x)dxdy + e
∫
P (x)dx(P (x)y − f(x))dx = 0.
4)Considere a equação (4.25), onde µ(x) = e
∫
P (x)dx
e
∫
P (x)dx
(
dy
dx
+ P (x)y
)
= e
∫
P (x)dxf(x).
Observe que essa equação é equivalente a
d
dx
(ye
∫
P (x)dx) = e
∫
P (x)dxf(x). (4.26)
5)Integre ambos os lados da equação (4.26) com respeito à x. Inte-
grando, obtemos ye
∫
P (x)dx =
∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ c, c ∈ R. Assim,
y(x) = e−
∫
P (x)dx
[∫
e
∫
P (x)dxf(x)dx+ c
]
.
Observação 4.1. 1) Não é necessário colocarmos a constante de
integração no cálculo da função µ(x) (uma vez µ(x) é a solução
da equação separável dµ/dx = P (x)µ), quando encontramos a
67
Equações de primeira ordem: Equações lineares
Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati
e Clairaut
expressão de µ. O resultado não se altera se acrescentarmos tal
constante à expressão de µ.
2)A equação (4.26) será exata, ou melhor, equivalente a uma exata,
mesmo quando f(x) ≡ 0, pois µ(x) não depende de f(x). Nesse
caso, a solução será
y(x) = ce−
∫
P (x)dx.
Exemplo 4.1. Encontre uma solução para o P.V.I.
2y′ + y =
1
1 + x2
, y(2) = 3.
Colocando a E.D.O. na forma (4.23), obtemos
y′ +
1
2
y =
1
2(1 + x2)
. (4.27)
Assim, P (x) = 12 e o fator integrante é µ(x) = e
∫
1/2 dx = ex/2.
Multiplicando o fator integrante na equação (4.27), temos
ex/2y′ +
ex/2
2
y =
ex/2
2(1 + x2)
⇔ d
dx
(ex/2y) =
ex/2
2(1 + x2)
.
Logo, integrando ambos os lados da igualdade, temos∫ x
2
d
ds
(es/2y(s))ds =
∫ x
2
es/2
2(1 + s2)
ds⇔ ex/2y(x)−3e =
∫ x
2
es/2
2(1 + s2)
ds.
Daí
y(x) = e−x/2
(
3e+
∫ x
2
es/2
2(1 + s2)
ds
)
.
4.3 Equação de Bernoulli, Equação de Riccati
e Equação de Clairaut
A equação diferencial
dy
dx
+ P (x)y = f(x)yn, n ∈ R
68
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
4
é chamada de equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli
para n = 0 ou n = 1 é uma equação linear e nós já sabemos
como resolvê-la. Porém se n 6= 0 ou n 6= 1, fazemos a substituição
u = y1−n para tornar a equação de Bernoulli uma equação linear
e daí segue a resolução de uma equação linear.
Exemplo 4.2. Resolva
y′ + 3xy = xy3.
Vê-se que a equação dada é uma equação de Benoulli não linear.
Dessa maneira, façamos a substituição u = y−2. Assim, du/dx =
−2u3/2dy/dx. Substituindo na equação obtemos
− u
′
2u3/2
+ 3xu−1/2 = xu−3/2 ⇔ −1
2
u′ + 3xu = x,
a qual é uma equação linear nas variáveis u e x. Resolvendo esta
E.D.O. linear, obtemos
u(x) = e3x
2
∫
−2xe−3x2dx+ ce3x2 .
Assim,
y(x) =
(
e3x
2
∫
−2xe−3x2dx+ ce3x2
)−1/2
.
Definição 4.1. Uma E.D.O. de primeira ordem na forma
dy
dx
+ b2(x)y2 + b1(x)y + b0(x) = 0, (4.28)
onde b0, b1 e b2 são funções contínuas num intervalo I e b2(x) 6= 0,
para todo x ∈ I chama-se Equação de Riccati.
Resolvendo uma Equação de Riccati
Para se resolver uma equação de Riccati é necessário conhecer-
mos uma solução particular, y1(x), dessa equação. De posse dessa
69
Equações de primeira ordem: Equações lineares
Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati
e Clairaut
solução particular, y1(x), faça
1) Uma mudança de variável y = y1 + 1/z a fim de reduzir a
equação (4.28) à uma equação linear nas variáveis x e z.
2)Resolva a E.D.O. linear obtida.
3) Retorne as variáveis originais.
Exemplo 4.3. Resolva a equação de Riccati
y′ − xy2 + (2x− 1)y = x− 1.
Observe que a solução y = 1 é solução da equação de Riccati, logo
façamos a mudança de variável y = 1+1/z, onde z = z(x). Assim,
y′ = −z−2z′ e substituindo na E.D.O. dada, obtemos
z′ + z + x = 0,
a qual é uma E.D.O. linear. Resolvendo esta E.D.O. linear temos
z(x) = −x+ 1 + ce−x.
Voltando as variáveis originais, segue que
1
y(x)− 1 = −x+ 1 + ce
−x
que resulta em
y(x) =
1
−x+ 1 + ce−x + 1.
Observação 4.2. Uma equação de Riccati a coeficientes cons
tantes
y′ + ay2 + by + c = 0
possui uma solução da forma y = c, onde c é uma constante se e,
somente se, c é raiz da equação quadrática am2 + bm+ c = 0.
70
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
4
Definição 4.2. Uma equação diferencial da forma
y = xy′ + f(y′) (4.29)
é dita Equação de Clairaut.
Supondo que a função f na equação de Clairaut é diferenciável,
vamos achar as soluções dessa equação. A fim de simplificarmos a
notação, façamos y′ = p em (4.29) e derivemos a expressão resul-
tante com respeito a x. Dessa maneira, obtemos
[x+ f ′(p)]
dp
dx
= 0,
de onde resulta que ou dp/dx = 0 ou x+ f ′(p) = 0.
Se dp/dx = 0, então p = c, onde c é uma constante e como p = y′,
isso implica que y′ = c e substituindo em (4.29) temos a solução
y = cx+ f(c),
a qual representa uma família de retas não paralelas.
Se x + f ′(p) = 0 obtemos outra solução da equação de Clairaut
eliminando p entre as equações
x+ f ′(p) = 0 e y = px+ f(p). (4.30)
É possível mostrar que a solução resultante nesse caso é a envoltória
da família de retas y = cx+ f(c).
Exemplo 4.4. A equação de Clairaut
y = xy′ +
1
2
(y′)2
tem
y = cx+
c2
2
71
Equações de primeira ordem: Equações lineares
Equações homogêneas, Equações de Bernoulli, Riccati
e Clairaut
como solução. E resolvendo o sistema (4.30) para esse exemplo,
temos que uma outra solução para a equação é dada por y =
−x2/2, a qual é a envoltória da família de retas y = cx+ c22 .
Observação 4.3. 1) Quando uma E.D.O. de primeira ordem não
é separável, exata, linear, homogênea, de Bernoulli, de Ricatti,
Clairaut, ou da forma y′ = f(x, y), onde x e y aparecem de forma
polinomial, tentamos reduzi-la a uma das formas conhecidas por
meio de uma substituição. Como é o caso da E.D.O.
y(1 + 2xy)dx+ x(1− 2xy)dy = 0.
Para essa E.D.O. faça a substituição de variável u = 2xy a qual
reduzirá a mesma a uma equação separável.
2) Pode acontecer que uma E.D.O. de primeira ordem com variável
dependente y não seja nenhuma das formas conhecidas, porém se
invertermos as variáveis, ou seja, tomar a variável x como depen-
dente, poderemos conseguir que a E.D.O. seja de algum modelo
conhecido. Como é o caso da E.D.O.
dy
dx
=
1
x+ y2
.
Ela não é nenhum dos tipos conhecidos, mas se invertermos as
variáveis, obtemos
dx
dy
= x+ y2,
a qual é linear.
72
Equações Diferenciais Ordinárias
AULA
4
4.4 Equações Homogêneas
Definição 4.3. Se uma função f satisfaz
f(tx, ty) = tnf(x, y)
para algum n ∈ R, então dizemos que f