eletromagnetismo (eletricidade basica)

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Materiais de apoio para Fı´sica IV
Prof. MSc Antonio Morais
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Suma´rio
1 Carga ele´trica e induc¸a˜o eletrosta´tica 5
1.1 Carga Ele´trica: Um pouco da Histo´ria do Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Uma pequena cronologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Carga Ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Princı´pio de conservac¸a˜o da carga ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Eletrizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Lei de Coulomb 13
2.1 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Exercı´cios resolvidos Halliday & Resnick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Exercı´cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Pintura Eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Se´rie triboele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Campo Ele´trico 17
3.1 Distribuic¸a˜o discreta de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Linhas de campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 Exercı´cios resolvidos Halliday & Resnick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.3 Exercı´cios campo ele´trico discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Distribuic¸a˜o cont´ınua de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Campo de um anel carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 Campo de um disco uniformemente carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Campo de duas placas infinitas carregadas com cargas opostas . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.4 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Para-raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Fluxos e integrais de linha 25
4.1 Fluxo de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Fluxo numa superf´ıcie fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Integral de superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1 Exemplos de aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.2 Exercı´cios lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Potencial ele´trico 31
5.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Exercı´cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
4
Capı´tulo 1
Carga ele´trica e induc¸a˜o eletrosta´tica
1.1 Carga Ele´trica: Um pouco da
Histo´ria do Eletromagnetismo
1.1.1 Uma pequena cronologia
Na antiguidade, encontramos a primeira citac¸a˜o so-
bre fenoˆmenos de natureza eletromagne´tica, com
Tales de Mileto1 , que realizou algumas observac¸o˜es
elementares sobre eletrizac¸a˜o ao friccionar o aˆmbar
(uma resina fossilizada de pinheiros pre´-histo´ricos)
com uma pele de animal: o aˆmbar (ele`ktron, em
grego), adquiria o poder de atrair pequenos objetos
pro´ximos, como gra˜os de poeira, por exemplo.
Tales tambe´m relata as propriedades de atrac¸a˜o e re-
pulsa˜o entre pedac¸os de um o´xido de ferro, chamado
de magnetita (Fe3SO4, cujo nome deriva provavel-
mente da regia˜o de origem do material - Magne´sia
- na A´sia Menor).
Aproximadamente no se´culo II ocorre a invenc¸a˜o
chinesa da bu´ssola, introduzida na Europa por volta
do se´culo XIII.
Je´roˆme Cardan (1501-1576), filo´sofo, matema´tico
e me´dico italiano, foi o primeiro a tratar dos
fenoˆmenos observados por Tales, explicando clara-
mente em que diferiam as atrac¸o˜es do aˆmbar e da
magnetita. Depois dele, em 1600, surge o traba-
lho de William Gilbert (1540-1603), me´dico da rai-
1Tales de Mileto (em grego antigo Jal¨
 å Mil svio
) foi o pri-
meiro filo´sofo ocidental de que se tem not´ıcia. Ele e´ o marco ini-
cial da filosofia ocidental. De ascendeˆncia fenı´cia, nasceu em Mi-
leto, antiga coloˆnia grega, na A´sia Menor, atual Turquia, por volta
de 624 ou 625 a.C. e faleceu aproximadamente em 556 ou 558
a.C.. Tales e´ apontado como um dos sete sa´bios da Gre´cia An-
tiga. Ale´m disso, foi o fundador da Escola Joˆnica. Considerava
a a´gua como sendo a origem de todas as coisas, e seus seguido-
res, embora discordassem quanto a` “substaˆncia primordial” (que
constituı´a a esseˆncia do universo), concordavam com ele no que
dizia respeito a` existeˆncia de um “princı´pio u´nico” para essa natu-
reza primordial. Entre os principais discı´pulos de Tales de Mileto
merecem destaque: Anaxı´menes que dizia ser o ”ar” a substaˆncia
prima´ria; e Anaximandro, para quem os mundos eram infinitos
em sua perpe´tua inter-relac¸a˜o.
nha inglesa Elisabeth I, que publicou um tratado sis-
tema´tico e cr´ıtico, De Magnete, sobre o que se sabia,
ate´ enta˜o, sobre magnetismo e eletricidade.
Figura 1.1.1: Capa da edic¸a˜o de 1628 doDe Magnete
Incluindo experimentos seus, em eletricidade rela-
tou que outras substaˆncias gozavam da propriedade
do aˆmbar depois de friccionadas por peles ou te-
cidos, denominando-as de ele´tricas, ou seja, que
podiam ser eletrizadas como o aˆmbar. Exemplos:
enxoˆfre, vidro, seda, etc.. Observou que metais
na˜o podiam ser eletrizados por fricc¸a˜o, chamando-
os de na˜o-eletriza´veis. Ale´m disso, diferenciou os
fenoˆmenos ele´tricos dos magne´ticos, criando a ex-
pressa˜o vis electrica (forc¸a ele´trica).
No magnetismo, trac¸ou a forma das linhas de
induc¸a˜o magne´tica aproximando uma pequena agu-
lha de uma bu´ssola de esferas de ferro magnetiza-
das, demonstrando a analogia da ac¸a˜o da terra so-
bre a bu´ssola. Ale´m disso, mostrou a impossibilidade
de se obter um po´lo magne´tico isolado partindo-
se um ima˜ em duas partes. A situac¸a˜o na˜o se al-
terou muito com os estudos de Otto von Guericke
(1602-1686), f´ısico alema˜o, que notou a repulsa˜o de
part´ıculas de mesma carga, e construiu a primeira
ma´quina eletrosta´tica para eletrizar um corpo, o ge-
5
rador eletrosta´tico2.
Observou tambe´m o poder das pontas nos corpos
eletrizados bem como que a chama de uma vela po-
dia deseletrizar um corpo meta´lico carregado. Des-
cobriu a induc¸a˜o ele´trica, uma maneira de eletri-
zar um corpo sem qualquer contato com ele. Uma
de suas mais importantes descobertas foi a de que
substaˆncias eletrizadas, ale´m da atrac¸a˜o, podiam so-
frer repulsa˜o. Entretanto na˜o conseguiu explicar
como uma bola carregada podia eletrizar outra por
contato, ou seja, a conduc¸a˜o ou transmissa˜o da ele-
tricidade.
Os investigadores do se´culo XVII e inı´cio do se´culo
XVIII tinhamna˜oma˜os uma se´ria bastante cao´tica de
observac¸o˜es sobre eletrizac¸a˜o por atrito, formac¸a˜o
de centelhas e efeitos da umidade atmosfe´rica, que
foram incapazes de explicar devido a faltade con-
ceitos eletrosta´ticos fundamentais. Apesar disto,
um considera´vel nu´mero de importantes observac¸o˜es
qualitativas surgiu neste per´ıodo.
Em1731, o ingleˆs StephenGray (1679-1736) demons-
trou claramente a conduc¸a˜o ele´trica nos corpos, que
classificou de condutores e na˜o-condutores (isolan-
tes, ou como chamamos vais frequentemente hoje
diele´tricos). Lanc¸ou a ide´ia de associar a eletricidade
a um fluı´do ele´trico, universal e impondera´vel, capaz
de depositar-se entre os poros e interstı´cios dos corpos
materiais.
Em 1759 Franz Ulrich Theodor A¨pinus (1724-1802)
mostrou a existeˆncia de todos os graus de transic¸a˜o
entre os condutores e os na˜o-condutores. Eles fi-
zeram as primeiras observac¸o˜es da influeˆncia exer-
cida por corpos carregados em condutores iso-
lados. Charles Du Fay (1698-1739), tornou-se
correspondente de Gray. Realizou suas pro´prias
observac¸o˜es de cara´ter cient´ıfico, deixando de lado
as interpretac¸o˜es metaf´ısicas e o sensacionalismo
das exibic¸o˜es nas cortes. Chegou a` conclusa˜o de que
todos os corpos sa˜o eletriza´veis, ou seja, de que toda
a mate´ria possui a propriedade que por se´culos ha-
2Sa˜o dispositivos mecaˆnicos que produzem eletricidade
esta´tica. Normalmente desenvolvem tenso˜es alt´ıssimas com
baixa amperagem. O conhecimento da eletricidade esta´tica,
remonta ao inı´cio das civilizac¸o˜es, onde era mistificada e sem
explicac¸o˜es para seu comportamento, tambe´m era muitas vezes
confundida com o magnetismo. Ate´ o final do se´culo 17, os pes-
quisadores tinham desenvolvido meios pra´ticos para a gerac¸a˜o
de eletricidade por atrito, mas o desenvolvimento das ma´quinas
eletrosta´ticas na˜o teve inı´cio em bom ritmo ate´ o se´culo 18,
quando se tornaram instrumentos fundamentais nos estudos
sobre a nova cieˆncia da eletricidade. Ma´quinas Eletrosta´ticas
operam manualmente (ou de outras formas), e transformam a
energia mecaˆnica em energia eletrosta´tica.
via sido peculiar ao aˆmbar ou a um pequeno grupo
de substaˆncias ditas ele´tricas.
Suspendendo a si mesmo por fios de seda, cons-
tatou que, quando era eletrizado e outra pessoa se
aproximasse bastante, ocorriam pequenas descargas
ele´tricas e estalidos e no escuro viam-se centelhas.
Notou tambe´m que todos os objetos eletrizados por
meio deummesmobasta˜o de vidro, repeliam-semu-
tuamente, mas atraiam objetos que haviam sido ele-
trizados por meio de aˆmbar. Concluiu, enta˜o, que
deveriam haver dois tipos de eletricidade, que deno-
minou vı´trea e resinosa. Isto constituiu a teoria dos
dois fluidos ele´tricos. De acordo com Du Fay, os cor-
pos neutros continham a mesma quantidade do dois
fluidos.
A etapa seguintemostra a tentativa de armazenar, de
alguma forma, o fluido ele´trico. Em 1745, Em outu-
bro de 1745, Ewald Georg von Kleist, descobriu que
uma carga poderia ser armazenada, conectando um
gerador de alta tensa˜o eletrosta´tica por um fio a uma
jarra de vidro com a´gua, que estava em sua ma˜o. A
ma˜o de Von Kleist e a a´gua agiram como condutores,
e a jarra como um diele´trico (mas os detalhes dome-
canismo na˜o forram identificados corretamente no
momento). A ide´ia comec¸ou por usar uma garrafa
de vidro tapada com uma tampa de cortic¸a com um
prego atravessado. Poˆs o prego em contato com um
gerador eletrosta´tico e, segurando a garrafa comuma
ma˜o e tocando no prego com a outra, levou um cho-
que considera´vel, bem mais intenso do que aqueles
que se sentia em contato com corpos comuns eletri-
zados. Repetindo a experieˆncia com a garrafa cheia
de a´gua, Von Kleist descobriu, apo´s a remoc¸a˜o do
gerador, ao tocar o fio, o resultado era um doloroso
choque. Cunhou, enta˜o, o termo condensador para a
garrafa, o primeiro capacitor construı´do.
Em uma carta descrevendo o experimento, ele disse:
”Eu na˜o levaria um segundo choque pelo reino de
Franc¸a”. No ano seguinte, na Universidade de Lei-
den, o f´ısico holandeˆs Pieter van Musschenbroek in-
ventou um capacitor similar, que foi nomeado de
garrafa de Leyden, e cujo relato da descoberta fora
lido na Academia Francesa de Cieˆncias, enquanto as
observac¸o˜es de Kleist foram apenas enviadas a um
amigo emBerlin. Assim, ome´rito da descoberta aca-
bou ficando com o holandeˆs, e o condensador ficou
conhecido como garrafa de Leyden.
A elucidac¸a˜o do fenoˆmeno da garrafa de Leyden
ocupou na˜o so´ A¨pinus, como tambe´m a Benjamin
6
Franklin (1707-1790). Norte-americano, interessou-
se pela eletricidade apo´s uma demonstrac¸a˜o pu´blica
em Boston, em 1746. Entre 1747 e 1754, Franklin
realizou uma se´rie de experimentos, num dos quais
descobriu que na garrafa de Leyden, o arame que sai
da garrafa possui eletricidade contra´ria a` do vidro da
garrafa. Elaborou sua pro´pria teoria para a eletrici-
dade, contra´ria a` enta˜o aceita teoria dos dois fluidos
ele´tricos de Du Fay. Aproximadamente no se´culo II
ocorre a invenc¸a˜o chinesa da bu´ssola, introduzida na
Europa por volta do se´culo XIII.
Para ele, havia apenas um fluido ele´trico, o qual
todo o corpo na˜o-eletrizado conteria em certa quan-
tidade, e que era um elemento comum a todos eles.
Se um corpo o possuı´sse em excesso, era chamado de
positivo. Se o possuı´sse de menos, era negativo, as-
sim chamou de positiva para a vı´trea e negativa a re-
sinosa. Esta foi a teoria do fluido u´nico, e na˜o foi bem
recebida pela comunidade cient´ıfica da da e´poca.
Em 1759 foi definitivamente rejeitada, com base ex-
perimental, pelo ingleˆs Robert Symmer. Entretanto,
a teoria do fluido u´nico teve o me´rito de introduzir
o conceito da conservac¸a˜o do fluido ele´trico. Ou-
tro me´rito de Franklin foi o de estabelecer a natureza
ele´trica dos relaˆmpagos (1752), com a invenc¸a˜o do
pa´ra-raios, ao empinar uma pandorga durante uma
tempestade. Em conexa˜o com os dois tipos de eletri-
cidade estabelecidas por Franklin, em 1758 Johann
Carl Wilcke (1732-1796) descobriu a polarizac¸a˜o dos
diele´tricos.
A forc¸a entre part´ıculas carregadas comec¸ou a ser
estabelecida em meados do se´culo XVIII. Comec¸ou
com a suspeita de uma relac¸a˜o com a lei da
gravitac¸a˜o de Newton.
Em 1767 Joseph Priestley (1733-1804) encontrou
forte evideˆncia disto na descoberta sua e de seus
amigos, entre eles Henry Cavendish (1731-1810), de
que a carga de umcondutor fica inteiramente em sua
superf´ıcie, ficando seu interior completamente livre
das influeˆncias ele´tricas, fato este que na˜o mereceu
muita atenc¸a˜o na e´poca.
Em 1775, Alessandro Count Volta (1745-1827) de-
senvolveu o eletro´foro3 a partir da qual ma´quinas
3O Eletro´foro e´ uma das mais simples ma´quinas de induc¸a˜o
eletrosta´tica. Consiste de um prato meta´lico circular munido de
um cabo isolante que e´ aplicado sobre um material isolante (ori-
ginalmente uma ”torta” resinosa)que foi previamente eletrizado
por atrito. A proximidade do disco meta´lico com o material iso-
lante provoca uma separac¸a˜o de cargas e o mesmo e´ enta˜o colo-
cado em contato com a terra, de forma a compensar o desequili-
brio ele´trico em sua superficie. Este contato e´ enta˜o interrompido,
ele´tricas foram mais tarde desenvolvidas. Durante o
se´culo XVIII, apenas uma descoberta sobre o mag-
netismo foi feita. Ta˜o prematura quanto a desco-
berta de Wilcke, em 1778 Anton Brugmans(1732-
1789) descobriu o diamagnetismo, quando observou
que o bismuto era repelido por um ima˜.
Figura 1.1.2: Eletro´foro de Volta
Em 1785, Charles Augustin de Coulomb4 realizou ex-
perieˆncias com uma balanc¸a de torc¸a˜o e enunciou a
famosa lei que hoje leva seu nome:
”a forc¸a entre duas cargas e´ diretamente proporci-
onal a carga em cada uma delas e inversamente ao
quadrado da distaˆncia queas separa”
Em 1786, Coulomb relatou que um condutor
tambe´m blinda seu interior (ele desconhecia os
relatos de Cavendish), e viu nisto tambe´m uma
indicac¸a˜o para a lei de forc¸a enunciada. Entretanto,
esta parte do relato foi ta˜o completamente esque-
cida, que o efeito de blindagem hoje esta´ ligado ao
nome da Faraday. Umme´dico italiano, Luigi Galvani
(1737-1798), por volta de 1770 comec¸ou a investi-
gar a natureza e os efeitos da eletricidade em tecidos
animais e na estimulac¸a˜o da musculatura por meios
ele´tricos. Em 1792 foi capaz de contrair os mu´sculos
de uma perna de ra˜ pela simples aplicac¸a˜o a eles de
uma espira5 constituı´da de dois metais diferentes.
e enta˜o o disco meta´lico e´ afastado da ”torta” carregada, atrave´s
de seu cabo isolante, permanecendo, destamaneira, carregado de
eletricidade. O funcionamento do eletro´foro e´ baseado, portanto,
no princı´pio da induc¸a˜o eletrosta´tica.
4Charles Augustin de Coulomb (Angouleˆme, 14 de junho de
1736 — Paris, 23 de agosto de 1806) . Em sua homenagem, deu-
se seu nome a` unidade de carga ele´trica, o coulomb. Publicou
7 tratados sobre a Eletricidade e Magnetismo, e outros sobre os
fenoˆmenos de torc¸a˜o, e atrito entre so´lidos. Experimentador ge-
nial e rigoroso, realizou a experieˆncia com uma balanc¸a de torc¸a˜o
para determinar a forc¸a exercida entre duas cargas ele´tricas (Lei de
Coulomb). Durante os u´ltimos quatro anos da sua vida, foi inspe-
tor geral do Ensino Pu´blico e teve um papel importante no sistema
educativo da sua e´poca.
5O termo espira, do grego speira ao latim spira, que significa
algo que se enrola, pode ser atribuı´do a diversas aplicac¸o˜es onde
esse enrolamento se observa. Em sentido lato designa cada uma
das voltas que formam uma helicoidal e que se observam em di-
versos objectos como parafusos, roscas, etc. Em eletromagne-
7
Figura 1.1.3: Representac¸a˜o de espiras componentes
de um transformador atenuador.
Este foi o primeiro elemento galvaˆnico: o mu´sculo
era tanto o eletro´lito quanto o indicador de cor-
rente. Galvani supoˆs, e na˜o completamente erra-
damente, que estas eram manifestac¸o˜es de eletrici-
dade animal, ja´ conhecida dos peixes ele´tricos. Volta,
em 1796, eliminou completamente a necessidade de
um elemento biolo´gico para o fenoˆmeno e estabe-
leceu que uma condic¸a˜o essencial para a circulac¸a˜o
ele´trica num circuito condutor era que este fosse
constituı´do de dois (ou mais) condutores de ”pri-
meira” classe e um de ”segunda” classe.
Ele criou estas ide´ias, bem como o conceito de cor-
rente ele´trica esta´tica, e sobre estas bases construiu,
em 1800, a pilha voltaica, a precursora das bate-
rias galvaˆnicas, que nos anos seguintes se proliferam
abundantemente.
A decomposic¸a˜o eletrol´ıtica, agora vista como causa
da produc¸a˜o da corrente galvaˆnica, foi descrita em
1797, antes da pilha voltaica, por Alexander von
Humboldt (1769-1859), descoberta feita com uma
ce´lula constituı´da por eletrodos de zinco e de prata
e com a´gua entre eles.
Em 1799, Johann Wilhelm Ritter (1776-1810) sepa-
rou eletroliticamente o cobre de uma soluc¸a˜o de sul-
fato de cobre, sendo o primeiro a dizer que a reac¸a˜o
quı´mica na ce´lula galvaˆnica era a causa da produc¸a˜o
da corrente. Em seguida, Humphry Davy (1778-
1829), em 1807, com suas pesquisas em eletro´lise
descobriu e separou os metais alcalinos. Em 1811,
Davy construiu o arco carboˆnico com uma bateria
tismo, e´ um tipo de circuito ele´trico que possui diversas func¸o˜es
voltadas, principalmente, a` produc¸a˜o de campomagne´tico, eletri-
cidade e energia mecaˆnica. E´ componente dos geradores de ener-
gia ele´trica, assim como dos motores ele´tricos, dos transformado-
res, indutores e de va´rios outros dispositivos.
Figura 1.1.4: Pilha de Volta
de 2000 elementos, que serviu como fonte de luz
ele´trica ate´ que Thomas Alva Edison (1847-1931) in-
ventasse a laˆmpada incandescente em 1880. Em
1802, Sir Humphry Davy observou o efeito do arco
de luz brilhante que se formava entre duas pec¸as de
carbono conectados em alta tensa˜o quando estavam
muito pro´ximas uma da outra. Embora ele nunca te-
nha usado este fenoˆmeno como fonte de iluminac¸a˜o,
nos setenta anos seguintes, muito engenheiros usa-
ram o arco para criar laˆmpadas ele´tricas.
Na Inglaterra, muitas laˆmpadas apareceram durante
os anos de 1850 e de 1870. Entretanto, nenhuma
laˆmpada a arco produzida neste per´ıodo poderia ser
um sucesso econoˆmico visto que as baterias enta˜o
disponı´veis para fonte de eletricidade eram muito
caras.
Excec¸o˜es aconteceram com as laˆmpadas de Dubosq
(1858) e de Serrin (1857), mostrada abaixo. Esta,
em particular, teve ta˜o grande sucesso que, quando
iniciou-se a indu´stria da iluminac¸a˜o ele´trica, as
laˆmpadas produzidas estavam baseada na laˆmpada
de Serrin.
Tambe´m em 1811, Sime´on Denis Poisson (1781-
1849) fez progressos com a lei de Coulomb, traba-
lhando na teoria do potencial, que tinha sido inici-
almente desenvolvida para a gravitac¸a˜o. Ele mos-
trou que toda a eletrosta´tica, na˜o considerando a
presenc¸a dos diele´tricos, pode ser explicada pela lei
de Coulomb ou, equivalentemente, pela equac¸a˜o di-
ferencial de Laplace-Poisson.
No magnetismo, Hans Christian Oersted (1777-
8
Figura 1.1.5: Laˆmpada de Serrin
1851), nascido numa pequena ilha do Ba´ltico, em
1820 publicou um panfleto de 4 pa´ginas com suas
descobertas sobre a deflexa˜o da agulha de uma
bu´ssola por uma corrente ele´trica. Ale´m disso, des-
cobriu a correspondente forc¸a de um ima˜ sobre
um circuito ele´trico girante. Concorrentemente, em
1820, Jean Baptiste Biot (1774-1862) e Fe´lix Savart
(1791-1841) formularam, a partir de observac¸o˜es ex-
perimentais, a lei que leva seus nomes e que permite
o ca´lculo de camposmagne´ticos produzidos por cor-
rentes ele´tricas.
O primeiro eletroima˜ foi descoberto em1822 porDo-
minique Franc¸ois Jean Arago (1786-1853) e por Jo-
seph Louis Gay-Lussac (1778-1850) quando verifica-
ram que uma barra de ferro fica magnetizada se en-
rolada por um fio conduzindo uma corrente ele´trica.
Nestemesmo ano, Andre´ Marie Ampe`re (1775-1836),
sabendo das descobertas de Oersted, dedicou-se ao
assunto e formulou a regra para indicar a direc¸a˜o do
campo magne´tico criado por um circuito ele´trico.
Ale´m disso, descobriu que circuitos paralelos com
correntes na mesma direc¸a˜o se atraem, e se repelem
quando as correntes sa˜o contra´rias, e que soleno´ides
atuam com ima˜s em barra. Os efeitos magne´ticos
das correntes ele´tricas agora forneciam meios para
se medir suas intensidade. Em 1826, Goerg Simon
Ohm (1789-1854) usou estes fatos para separar os
conceito de forc¸a eletromotriz, gradiente de poten-
cial e de intensidade de corrente ele´trica e derivou a
lei que leva seu nome e que estabelece a proporcio-
nalidade entre a diferenc¸a de potencial em um con-
dutor e a corrente ele´trica produzida. O fator de pro-
porcionalidade representa a resisteˆncia do material.
Provou tambe´m que a resisteˆncia de um fio e´ direta-
mente proporcional ao seu comprimento e inversa-
mente proporcional a sua sec¸a˜o reta, criando assim
a base para o conceito de condutividade dos materi-
ais.
George Green (1793-1841) publicou, em 1828 ”Um
ensaio sobre a aplicac¸a˜o de ana´lise matema´tica a`s te-
orias da eletricidade e do magnetismo”, onde exten-
deu o trabalho de Poisson para obter um me´todo de
soluc¸a˜o geral para o potencial. A complementac¸a˜o
deste trabalho foi obra de Karl FriedrichGauss (1777-
1855), que publicou seu famoso trabalho em 1839.
Sua teoria tornou-se mais abrangente, pois serviu
de modelo para muitos outros campos da f´ısica-
matema´tica.A contribuic¸a˜o de Gauss deu-se na˜o
apenas na definic¸a˜o de quantidade de eletricidade
a partir da lei de Coulomb, como tambe´m forneceu
a primeira medida absoluta do momento magne´tico
de ima˜s e da intensidade do campo magne´tico ter-
restre, dando continuidade ao trabalho de Gilbert.
Ele criou o primeiro sistema de unidades eletro-
magne´ticas racional, no qual ”uma unidade de quan-
tidade de eletricidade e´ a quantidade que, a uma
distaˆncia de um cent´ımetro, repele uma quantidade
igual comuma forc¸a de umadina”. Trabalhando com
Gauss, Wilhelm Eduard Weber (1804-1891), f´ısico
alema˜o, investigou o magnetismo terrestre em 1833.
Uma de suas maiores contribuic¸o˜es foi o desenvol-
vimento do tele´grafo eletromagne´tico. Joseph Henry
(1799-1878)foi o primeiro americano depois de Fran-
klin a realizar experimentos cient´ıficos. Em 1830 ele
observou o fenoˆmeno da induc¸a˜o eletromagne´tica,
mas como na˜o publicou seus resultados, na˜o rece-
beu o me´rito por isto. Entretanto, recebeu distinc¸a˜o
pela descoberta do fenoˆmeno da autoinduc¸a˜o. Em
1831 auxiliou a Samuel Finley Breese Morse (1791-
1872) a construir o tele´grafo.
Surge, enta˜o, aquele que se tornaria omaior f´ısico ex-
perimental em eletricidade e magnetismo do se´culo
XIX: Michael Faraday (1791-1867). Em 1831 Faraday
enrolou duas espiras de fio em torno de um anel de
ferro e observou que a corrente exercia uma ac¸a˜o
para tra´s que correspondia a sua ac¸a˜o magne´tica.
9
Quando ele criou uma corrente ele´trica na primeira
espira, um pulso de corrente surgiu na segunda es-
pira no instante em que o circuito foi fechado, e no-
vamente quando o circuito foi aberto, pore´m no sen-
tido contra´rio. Assim ele descobriu a induc¸a˜o. Al-
guns problemas com a direc¸a˜o da corrente induzida
foram esclarecidos em 1833 por Heinrich Friedrich
Emil Lenz (1804-1865), com sua conhecida lei (de
Lenz). Em 1837, Faraday descobriu a influeˆncia dos
diele´tricos nos fenoˆmenos eletrosta´ticos, e a partir
de 1846 dedicou-se a descrever a distribuic¸a˜o geral
das propriedades diamagne´ticas em todos os mate-
riais para os quais, em contraste, o paramagnetismo
aparece comouma excec¸a˜o. Em1845, comapenas 21
anos, Gustav Robert Kirchhof (1824-1887) enunciou
as leis que permitiam o ca´lculo de correntes, tenso˜es
e resisteˆncias para circuitos ramificados. Em 1846,
Weber criou um segundo sistema de unidades abso-
luto e consistente para a eletricidade independente
da Lei de Coulomb. Os dois sistemas relacionam-se
por uma constante com dimensa˜o de velocidade.
Weber, em 1852, calculou este valor chegando a um
resultado fanta´stico: era igual a da velocidade da
luz, 3 x 1010 cm/s. Num trabalho de 1855-1856, Ja-
mes Clerk Maxwell (1831-1879) forneceu a base ma-
tema´tica adequada para as linhas de forc¸a idealiza-
das por Faraday. Em 1862 ele adicionou a corrente
de deslocamento a` corrente de conduc¸a˜o na Lei de
Ampe`re, que ocorre em todos os diele´tricos com
campos ele´tricos varia´veis, completanto o trabalho
de Ampe`re. Em 1873 publicou seu ”Tratado sobre
eletricidade e magnetismo” . Em 1865 mostrou que
as ondas eletromagne´ticas possuem a velocidade da
luz, a qual ele recalculou comprecisa˜o, concordando
com o resultado deWeber. Em 1884, Heinrich Rudolf
Hertz (1857-1894) rederivou as equac¸o˜es de Maxwell
por um novo me´todo, colocando-as na forma atual.
Ale´m disso, foi o primeiro a emitir e receber ondas
de ra´dio.
1.1.2 Carga Ele´trica
Um corpo esta´ carregado eletricamente quando pos-
sui uma pequena quantidade de carga desequili-
brada ou carga l´ıquida. Objetos carregados eletrica-
mente interagem exercendo forc¸as, de atrac¸a˜o ou re-
pulsa˜o, uns sobre os outros. A unidade demedida da
grandeza carga ele´trica no Sistema Internacional de
Unidades e´ o coulomb, representado por C, que re-
Figura 1.1.6: Balanc¸a de Torc¸a˜o de Coulomb
cebeu este nome em homenagem ao f´ısico franceˆs
Charles Augustin de Coulomb. Mas o que e´ carga
ele´trica?
a carga ele´trica e´ uma propriedade fı´sica da
mate´ria
Tanto quanto a massa, a carga ele´trica e´ uma propri-
edade intrı´nseca da mate´ria. E as observac¸o˜es expe-
rimentais permitiram a descoberta de importantes
propriedades que a carga ele´trica possui (em comum
com amassa):
• cargas ele´tricas criam e sa˜o sujeitas a` forc¸as
ele´tricas, o que facilmente se observa dos expe-
rimentos de eletrizac¸a˜o;
• cargas ele´tricas na˜o podem ser criadas nem des-
truı´das.
1.1.3 Princı´pio de conservac¸a˜o da carga
ele´trica
Em relac¸a˜o a segunda das assertivas acima, quando
um corpo e´ eletrizado por fricc¸a˜o, por exemplo, o es-
tado de eletrizac¸a˜o final se deve a` transfereˆncia de
cargas de um objeto para o outro. Na˜o ha´ criac¸a˜o
de cargas no processo. Portanto, se um dos obje-
tos cede uma certa carga negativa ao outro, ele ficara´
carregado positivamente, com a mesma quantidade
de carga cedida ao outro.
Esta observac¸a˜o e´ coerente com a observac¸a˜o de
que a mate´ria neutra, isto e´, sem excesso de cargas,
conte´momesmonu´merode cargas positivas (nu´cleo
atoˆmico) e negativas (ele´trons). Estabelecemos as-
sim o princı´pio de conservac¸a˜o da carga ele´trica.
10
Entre part´ıculas ele´tricas existem forc¸as gravitaci-
onais de atrac¸a˜o devido a`s suas massas e forc¸as
ele´tricas devido a`s suas cargas ele´tricas. Nesse caso,
as forc¸as gravitacionais podemser desprezadas, visto
que a massa de uma carga ele´trica e´ ı´nfima. A forc¸a
gravitacional so´ e´ percept´ıvel quando ha´ a interac¸a˜o
entre corpo de massas de grandes proporc¸o˜es.
A massa do ele´tron e´me= 9,109×10−31kg
A massa do pro´ton e´mp= 1,673×10−27kg
A massa do neˆutron e´mn= 1,675×10−31kg
Os ele´trons apresentam uma carga ele´trica muito
pequena e seu movimento gera corrente ele´trica.
Visto que os ele´trons das camadas mais externas de
um a´tomo definem as atrac¸o˜es com outros a´tomos,
estas part´ıculas possuem um papel importante na
quı´mica.
O ele´tron tem uma carga ele´trica negativa de e−=
−1,6 × 10−19 C e o pro´ton tem um valor de carga
sime´trico 1,6 × 10−19 C . A eletricidade esta´tica na˜o e´
um fluxo de ele´trons. E´ mais correto denomina´-la de
”carga esta´tica”. Esta carga e´ causada por um corpo
cujos a´tomos apresentam mais ou menos ele´trons
que o necessa´rio para equilibrar as cargas positivas
dos nu´cleos dos seus a´tomos. Quando existe um ex-
cesso de ele´trons, diz-se que o corpo esta´ carregado
negativamente. Quando existemmenos ele´trons que
pro´tons, o corpo esta´ carregado positivamente. Se o
nu´mero total de pro´tons e ele´trons e´ equivalente, o
corpo esta´ num estado eletricamente neutro.
Robert Millikan (1868-1953) descobriu que que a
carga ele´trica era constituı´da por ummu´ltiplo inteiro
de uma carga fundamental e, ou seja a cargaQ de um
certo objeto pode ser escrita como
Q = ne−
assim, sabendo o nu´mero de ele´tron livres, ou em
falta, podemos determinar a carga de um corpo.
1.2 Eletrizac¸a˜o
Eletrizac¸a˜o por atrito e´ o processo bem simples de
gerac¸a˜o de cargas eletrosta´ticas, ele pode ocorrer
sempre que dois corpos de materiais diferentes sa˜o
esfregados um no outro. A eletrizac¸a˜o por atrito na˜o
acontece entre metais porque eles sa˜o bons condu-
tores e a descarga e´ muito ra´pida, na˜o conseguindo
manteˆ-los eletrificado.
O processo de induc¸a˜o eletrosta´tica ocorre quando
um corpo eletrizado redistribui cargas de um condu-
tor neutro. O corpo eletrizado, o indutor, e´ colocado
pro´ximo ao corpo neutro, o induzido, e isso permite
as cargas do indutor atrair ou repelir as cargas nega-
tivas do corpo neutro, devido a Lei de Atrac¸a˜oe Re-
pulsa˜o entre as cargas ele´tricas.
A distribuic¸a˜o de cargas no corpo induzidomanteˆm-
se apenas na presenc¸a do corpo indutor. Para ele-
trizar o induzido deve-se coloca´-lo em contato com
outro corpo neutro e de dimenso˜esmaiores, antes de
afasta´-lo do indutor.
Deste modo, podemos sintetizar o seguinte; os
me´todos de eletrizac¸a˜o mais conhecidos e utiliza-
dos sa˜o os de eletrizac¸a˜o por conduc¸a˜o (ou por
”fricc¸a˜o”) e eletrizac¸a˜o por induc¸a˜o. A eletrizac¸a˜o
por conduc¸a˜o se da´ quando friccionamos entre si
doismateriais isolantes (ou condutores isolados) ini-
cialmente descarregados, ou quando tocamos um
material isolante (ou condutor isolado) inicialmente
descarregado com outro carregado.
Durante o contato, ocorre uma transfereˆncia de
ele´trons entre os dois objetos. Suponhamos que car-
reguemos desta forma um basta˜o de borracha atri-
tado com pele de animal e uma barra de vidro atri-
tada com seda. Se suspendermos o basta˜o de borra-
cha por um fio isolante e dele aproximarmos outro
basta˜o de borracha carregado damesmamaneira, os
basto˜es repelir-se-a˜o. O mesmo acontece para dois
basto˜es de vidro, nesta situac¸a˜o. Por outro lado, se
aproximarmos a barra de vidro ao basta˜o de borra-
cha, ocorrera´ uma atrac¸a˜o entre eles. Evidentemente
constatamos que a borracha e o vidro teˆm estados de
eletrizac¸a˜o diferentes, e pela experieˆncia concluı´mos
que;
• cargas iguais se repelem;
• cargas diferentes se atraem.
Franklin convencionou que a carga da barra de vi-
dro e´ positiva e a do basta˜o de borracha e´ nega-
tiva. Assim, todo o corpo que for atraı´do pelo basta˜o
de borracha (ou repelido pelo basta˜o de vidro) deve
ter carga positiva. Da mesma forma, todo o corpo
que for repelido pelo basta˜o de borracha (ou atraı´do
pela barra de vidro) deve ter carga negativa. No pro-
cesso de eletrizac¸a˜o por induc¸a˜o na˜o ha´ contato en-
tre os objetos. Atrave´s da induc¸a˜o podemos carre-
gar os materiais condutores mais facilmente. Veja-
11
mos como isto e´ possı´vel. Suponhamos que aproxi-
memosobasta˜o de borracha (carga negativa) deuma
barra meta´lica isolada e inicialmente neutra.
As cargas negativas (ele´trons) da barrameta´lica sera˜o
repelidas para regio˜es mais afastadas e a regia˜o mais
pro´xima ao basta˜o ficara´ com um excesso de cargas
positivas. Se agora ligarmos um fio condutor en-
tre a barra meta´lica e a terra (o que chamamos de
aterramento), os ele´trons repelidos pelo basta˜o esca-
para˜o por este fio, deixando a barra carregada posi-
tivamente ta˜o logo o fio seja removido. Se, por ou-
tro lado, fosse a barra de vidro (carga positiva) apro-
ximada da barra meta´lica, esta u´ltima ficaria carre-
gada negativamente, pois pelo fio condutor aterrado
seriam atraı´dos ele´trons da terra.
Observe que, em ambos os processos, os basto˜es
carregados (indutores) na˜o perderam carga alguma.
Situac¸a˜o parecida ocorre quando aproximamos ob-
jetos carregados dos isolantes. Novamente as car-
gas sera˜o separadas no material isolante e, uma vez
afastado o basta˜o indutor, as cargas na˜o retornam
a`s suas posic¸o˜es iniciais devido a` pouca mobilidade
que possuem no isolante. Dizemos enta˜o que o iso-
lante ficou polarizado.
Figura 1.2.1: Eletrizac¸a˜o por atrito
Figura 1.2.2: Eletrizac¸a˜o por contato
Figura 1.2.3: Eletrizac¸a˜o por induc¸a˜o
12
Capı´tulo 2
Lei de Coulomb
Como vimos, a lei de forc¸a para cargas ele´tricas foi
pensada como sendo semelhante a lei de Newton da
gravitac¸a˜o. Vimos tambe´m que Coulomb atrave´s de
seu experimento com uma balanc¸a de torc¸a˜o, ob-
servou que essa forc¸a era efetivamente de mesma
natureza: diminuı´a com o inverso do quadrado da
distaˆncia.
Forc¸as sa˜o grandezas vetoriais, representadas por ~F ,
ou F . O mo´dulo ou intensidade dessas grandezas e´
indicado por
∣∣∣~F ∣∣∣ou simplesmente F.
A intensidade da forc¸a gravitacional e´ dada por:
F1,2 =
GM1M2
r2
onde:
M1≡massa do corpo 1;
M2≡massa do corpo 2;
F1,2≡intensidade da forc¸a que o corpo 1 exerce sobre
o corpo 2;
r≡distaˆncia entre os centros dos corpos 1 e 2;
G ≡constante da gravitac¸a˜o universal, cujo valor e´
6,67×10−11N.m2/kg2.
No caso da lei de Coulomb:
F1,2 =
k0Q1Q2
r2
onde:
Q1≡carga do corpo 1;
Q2≡carga do corpo 2;
F1,2≡intensidade da forc¸a que o corpo 1 exerce sobre
o corpo 2;
r≡distaˆncia entre os centros dos corpos 1 e 2;
k0 ≡constante eletrosta´tica, cujo valor e´
8,988×109N.m2/C2.
Essa constante e´ definida em termos de outra cons-
tante, a permissividade ele´trica do va´cuo (ε0), da se-
guinte maneira:
k0 =
1
4πε0
A permissividade e´ uma constante f´ısica que des-
creve como um campo ele´trico afeta, e e´ afetado
por um meio. A permissividade do va´cuo (ε0) vale
8,8541878176× 10−12 F/m.
Vetorialmente, a lei de Coulomb pode ser escrita da
seguinte forma:
~F1,2 =
k0Q1Q2
r2
~ur
onde ~ure´ o versor radial, na direc¸a˜o dos centros de
carga.
Se a carga 1 estiver na posic¸a˜o ~r1 e a carga 2 no ponto
~r ambos com origem no ponto (0,0,0) de um sistema
de coordenadas cartesianas (x,y,z) a lei de Coulomb
toma a forma:
~F1,2 =
1
4πε0
Q1Q2
|~rj − ~ri|3/2
(~rj − ~ri)
Figura 2.0.1: Lei de Coulomb utilizando um sistema
de coordenadas cartesiano
Para a lei de Coulomb, vale o princı´pio da
superposic¸a˜o de forc¸as: dada uma distribuic¸a˜o
discreta de cargas, a forc¸a resultante sobre uma carga
i de um sistema de cargas com ı´ndices 1,2,3,..., j e´:
~Fi =
∑
j 6=i
~Fji =
Qi
4πε0
∑
j 6=i
Qj
|~rj − ~ri|3/2
(~rj − ~ri)
13
2.1 Exercı´cios
2.1.1 Exercı´cios resolvidos Halliday &
Resnick
Q23.1 - Sendo dadas duas esferas de metal monta-
das em suporte porta´til de material isolante, invente
um modo de carrega´-las com quantidades de cargas
iguais e de sinais opostos. Voceˆ pode usar uma barra
de vidro ativada com seda, mas ela na˜o pode tocar as
esferas. E´ necessa´rio que as esferas sejam do mesmo
tamanho, para o me´todo funcionar?
Resposta:
Um me´todo simples e´ usar induc¸a˜o eletrosta´tica: ao
aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das
esferas quando ambas estiverem em contato iremos
induzir
(i) na esfera mais pro´xima, uma mesma carga igual e
oposta a` carga da barra e,
(ii) na esfera mais afastada, uma carga igual e de
mesmo sinal que a da barra. Se separarmos enta˜o
as duas esferas, cada uma delas ir´a ficar com car-
gas de mesma magnitude por´em com sinais opos-
tos. Este processo na˜o depende do raio das esferas.
Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre
a superf´ıcie de cada esfera apo´s a separac¸a˜o obvia-
mente depende do raio das esferas.
Q23.2 Na questa˜o anterior, descubra um modo de
carregar as esferas com quantidades de carga iguais
e de mesmo sinal. Novamente, ´e necess´ario que as
esferas tenham o mesmo tamanho para o me´todo a
ser usado?
Resposta:
O enunciado do problema anterior na˜o permite
que toquemos com o basta˜o nas esferas. Por-
tanto, repetimos a induc¸a˜o eletrosta´tica descrita no
exercı´cio anterior. Pore´m, mantendo sempre a barra
pro´xima de uma das esferas, removemos a outra, tra-
tando de neutralizar a carga sobre ela (por exemplo,
aterrando-a). Se afastarmos o basta˜o da esfera e a co-
locarmos novamente em contato com a esfera cuja
carga foi neutralizada, iremos permitir que a carga
possa redistribuir-se homogeneamente sobre ambas
as esferas. Deste modo garantimos que o sinal das
cargas em ambas esferas e´ omesmo. Para que amag-
nitude das cargas seja tambe´m ideˆntica e´ necessa´rio
que as esferas tenham o mesmo raio. E´ que a densi-
dade superficial comum a`s duas esferas quando em
contatoir´a sofrer alterac¸o˜es¸ diferentes em cada es-
fera, apo´s elas serem separadas, caso os raios sejam
diferentes.
Q23.2 Uma barra carregada atrai fragmentos de
cortic¸a que, assim que a tocam, sa˜o violentamente
repelidos. Explique a causa disto.
Resposta:
Como os dois corpos atraem-se inicialmente, dedu-
zimos que eles possuem quantidades de cargas com
sinais diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de car-
gas menor e´ equilibrada pelas cargas de sinal oposto.
Como a carga que sobra reparte-se entre os dois cor-
pos, estes passam a repelir-se por possuı´rem, enta˜o,
cargas de mesmo sinal.
Note que afirmar existir repulsa˜o apo´s os corpos
tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quanti-
dade de cargas existente inicialmente emcada corpo.
Q23.6 Um isolante carregado pode ser descarregado
passando-o logo acima de uma chama. Explique por
queˆ?
Resposta:
E´ que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,
tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.
2.1.2 Exercı´cios propostos
I - Duas cargas puntiformes encontram-se no va´cuo
a uma distaˆncia de 10,0 cm uma da outra. As cargas
valemQ1 = 3,0 × 10
−8C eQ2 = 3,0 × 10
−9C.Determine
a intensidade da forc¸a de interac¸a˜o entre elas.
II - Treˆs cargas puntiformes esta˜o no eixo x: q1 = - 6,0
µC esta´ em x = -3,0 m, q2 = +4,0 µC esta´ na origem
e q3 =- 6,0µC esta´ em x = +3,0 m. Determine a forc¸a
ele´trica em q1.
Halliday & Resnick
23.12 Duas esferas condutoras ideˆnticas, manti-
das fixas, atraem-se com uma forc¸a eletrosta´tica de
mo´dulo igual a 0,108 N quando separadas por uma
distaˆncia de 50 cm. As esferas sa˜o enta˜o ligadas por
um fio condutor fino. Quando o fio e´ removido, as
esferas se repelem com uma forc¸a eletrosta´tica de
mo´dulo igual a 0,036 N. Quais eram as cargas inici-
ais das esferas?
23.27 Duas pequenas gotas esfe´ricas de a´gua pos-
suem cargas ideˆnticas de - 1,0 ×10−16C, e esta˜o se-
paradas, centro a centro, de1,0 cm.
(a) Qual e´ o mo´dulo da forc¸a eletrosta´tica que atua
entre elas?
(b) Quantos ele´trons em excesso existem em cada
gota?
14
23.34 Na estrutura cristalina do composto
CℓCe(cloreto de ce´sio), os ı´ons Cs+ formam os
ve´rtices de um cubo e um ı´on de Cl−esta´ no centro
do cubo . O comprimento das arestas do cubo e´ de
0,40 nm. Em cada ı´on Cs+ falta um ele´tron (e assim
cada um tem uma carga de +e), e o ı´on Cl−tem um
ele´tron em excesso (e assim uma carga−e ).
(a) Qual e´ o mo´dulo da forc¸a eletrosta´tica l´ıquida
exercida sobre o ı´on Cl− pelos oito ı´ons Cs+ nos
ve´rtices do cubo?
(b) Quando esta´ faltando um dos ı´ons Cs+ , dizemos
que o cristal apresenta um defeito; neste caso, qual
ser´a a forc¸a eletrosta´tica l´ıquida exercida sobre o ı´on
Cl− pelos sete ı´ons Cs+ remanescentes?
Tipler, Volume 2 Sexta Edic¸a˜o
Pa´gina 29 : Exercı´cios 21 a` 25
21-Um basta˜o pla´stico e´ esfregado contra uma blusa
de la˜, adquirindo uma carga de -0,80µC . Quan-
tos ele´trons sa˜o transferidos do blusa˜o de la˜ para o
basta˜o de pla´stico?
22-Uma carga igual a´ carga do nu´mero de Avogadro
de pro´tons (NA = 6,02 x 10
23 ) e´ denominada um fara-
day. Calcule o nu´mero de coulombs em um faraday.
23-Qual e´ a carga total de todos os pro´tons de 1,00 kg
de carbono?
24- Considere que um cubo de alumı´nio com aresta
de 1,00 cm acumule uma carga resultante de 2,50 pC.
(a) Que porcentagem dos ele´trons originalmente
presente no cubo foi removida?
25- Durante o processo descrito pelo efeito fo-
toele´trico , luz ultra violeta pode ser usada para car-
regar eletricamente um pedac¸o de metal.
(a) Se esta luz incide em uma barra de material con-
dutor e ele´trons sa˜o ejetados com energia sufici-
ente para escapar da superf´ıcie do material, quanto
tempo depois o metal tera´ uma carga resultante de
+1,50 nC se 1,00 x 106 ele´trons sa˜o ejetados por se-
gundo?
(b) Se 1,30 eV e´ necessa´rio para ejetar um ele´tron da
superf´ıcie , qual e´ a poteˆncia do feixe de luz? ( Consi-
dere que o processo seja 100 por cento eficiente.)
Pa´gina 29:
Exercı´cios 30 e 31:
30-Treˆs cargas puntiformes , cada uma com magni-
tude igual a 3,00 nC , esta˜o em 3 dos ve´rtices de um
quadrado de aresta igual a 5,00 cm. As duas cargas
puntiformes nos ve´rtices opostos sa˜o positivas e a
terceira carga e´ negativa. Determine a forc¸a exercida
por estas cargas puntiformes em uma quarta carga
puntiforme q4 = + 3,0 µC , que esta´ no quarto ve´rtice.
31- Uma carga puntiforme de 5,00 µC esta´ no eixo y,
em y = 3,00 cm , e uma segunda carga puntiforme de
-5,00 µC esta´ no eixo y, em y = -3,00 cm. Determine
a forc¸a ele´trica em uma carga puntiforme de 2,00 µC
que esta´ no eixo x, em x = 8,00 cm.
2.2 Pintura Eletrosta´tica
Extraı´do de “Fı´sica para cientistas e engenheiros”,
Paul A. Tipler & Gene Mosca; Vol.2, 6ª Edic¸a˜o, LTC,
pa´gina 25.
Pintura Esta´tica a Po´ - Industrial
Crianc¸as em qualquer lugar do mundo aproveitam
as propriedades triboele´tricas1. A companhia Ohio
Art introduziu um brinquedo baseado nestas pro-
priedades por volta de 1960. Bolinhas de estireno,
quando sacudidas fornecem carga para um po´ de
alumı´nio muito fino. O po´ carregado eletricamente
e´ atraı´do para a tela translu´cida do brinquedo. Uma
pequena ponteira e´, enta˜o, usada para desenhar li-
nhas no po´. O brinquedo baseia-se no fato de que o
alumı´nio e a tela se atraem com cargas opostas. Em-
bora um po´ carregado eletricamente possa ser usado
em um brinquedo, ele representa um assunto se´rio
para muitas indu´strias. Metais desprotegidos ten-
dema sofrer corrosa˜o e para prevenir a corrosa˜o, par-
tes meta´licas de automo´veis, utensı´lios e outros ob-
jetos meta´licos, sa˜o recobertas.
No passado, o recobrimento incluı´a tintas, laquea-
duras, vernizes e esmaltes que eram aplicados como
l´ıquidos e, depois, secos. Estes l´ıquidos apresentam
desvantagens. Os solventes levammuito tempo para
secar ou liberam componentes vola´teis indesejados.
Superf´ıcies com aˆngulos diferentes podem ser reber-
tas de maneira na˜o-homogeˆnea.
Lı´quidos pulverizados geram desperdı´cio e na˜o po-
dem ser reciclados de forma simples. O recobri-
mento com po´ eletrosta´tico reduz muito destes pro-
blemas. Este processo de recobrimento foi introdu-
zido pela primeira vez na de´cada de 1950 e, atual-
mente, e´ popular dentre os fabricantes que aderi-
1A se´rie triboele´trica e´ nada mais que uma lista de materiais,
que mostra quais sa˜o aqueles que teˆm uma maior tendeˆncia de
se tornarem positivamente eletrizados (+) e quais os que apre-
sentam maior tendeˆncia de se tornarem negativamente eletriza-
dos (-). Essa lista torna-se, assim, uma ferramenta indispensa´vel
para se determinar que combinac¸a˜o de materiais (que pares de
substaˆncias devem ser atritadas) podemos usar para um eficiente
processo de eletrizac¸a˜o por atrito.
15
ram a` regulamentac¸a˜o: protec¸a˜o do meio ambiente
atrave´s da reduc¸a˜o do uso de vola´teis quı´micos.
A pintura a po´ e´ aplicada fornecendo carga ele´trica
ao item a ser recoberto. Para fazer isso de forma
confia´vel, e´ melhor que o objeto a ser recoberto seja
condutor. Neste caso, part´ıculas muito pequenas (de
1 µm a 100 µm) em um po´ recebem cargas com si-
nal oposto ao do objeto. As part´ıculas da cobertura
sa˜o fortemente atraı´das para o objeto a ser recoberto.
Part´ıculas soltas podem ser recicladas e utilizadas
novamente. Quando as part´ıculas esta˜o no objeto,
o recobrimento passa, enta˜o, pelo processo de cura
atrave´s do aumento da temperatura ou por luz ultra-
violeta. O processo de cura fixa as mole´culas do re-
cobrimento umas as outras, e as part´ıculas e o objeto
perdem suascargas.
As part´ıculas do recobrimento recebem carga por
descarga corona ou por carregamento triboele´trico.
Na descarga corona, as part´ıculas passam atrave´s de
um plasma de ele´trons, recebendo carga negativa.
No carregamento triboele´trico, as part´ıculas passam
atrave´s de um tubo feito de um material que esta´ na
extremidade oposta do espectro triboele´trico, geral-
mente Teflon.
As part´ıculas do recobrimento recebem uma carga
positiva neste ra´pido contato. O item a ser recoberto
recebe uma carga que depende do me´todo de reco-
brimento usado. Dependendo da cobertura e dos
aditivos, as cargas do recobrimento variam de 500
a 1000 µC /kg. O processo de cura difere de acordo
com os materiais de recobrimento e dos itens a se-
rem recobertos. O de tempo de cura pode variar de 1
a 30 minutos. Apesar de o recobrimento com po´ ser
econoˆmico e ambientalmente correto, ele apresenta
suas dificuldades.
A capacidade das part´ıculas do recobrimento de
manterem sua carga pode variar com a umidade, a
qual deve ser precisamente controlada. Se o campo
ele´trico da descarga corona for muito intenso, o po´
pulveriza muito rapidamente em direc¸a˜o ao item
a ser recoberto, deixando um ponto descoberto no
centro de um anel, o que conduz a um acabamento
irregular do tipo ”casca de laranja”. Po´s eletrosta´ticos
podem ser brinquedo de crianc¸a, mas o recobri-
mento com po´ eletrosta´tico e´ um processo com-
plexo, u´til e em desenvolvimento.
2.3 Se´rie triboele´trica
A se´rie triboele´trica e´ apresentada como uma u´nica
lista que goza das seguintes propriedades:
1) Qualquer material atritado com qualquer ou-
tro que o precede, fica eletrizado negativamente e,
quando atritado com qualquer outro que o segue,
fica eletrizado positivamente.
2) Quanto mais afastados estiverem na lista, maior
sera´ a eficieˆncia na eletrizac¸a˜o.
Figura 2.3.1: Se´rie Triboele´trica
Va´rios pares demateriais quando colocados em con-
tato (o ato de friccionar e´ uma boa te´cnica para se
conseguir isso) e a seguir sa˜o separados, ficam eletri-
zados, isto e´, exibem fenoˆmenos relativos aos corpos
dotados de carga ele´trica positiva (falta de ele´trons)
ou negativa (excesso de ele´trons).
A se´rie triboele´trica e´ uma lista de materiais que
mostra a tendeˆncia relativa de ceder ou receber
ele´trons nesse processo de eletrizac¸a˜o. Esta lista
pode ser usada para determinar quais combinac¸o˜es
demateriais sa˜o asmais eficientes para gerar a deno-
minada (impropriamente) “eletricidade esta´tica”.
16
Capı´tulo 3
Campo Ele´trico
3.1 Distribuic¸a˜o discreta de carga
Ao contra´rio doque se pensava ate´ fins do se´culo XIX,
as cargas ele´tricas sa˜o quantizadas. Na˜o assumem
valores discretos, mas sim sa˜o mu´ltiplos inteiros de
uma carga elementar. A primeira prova experimen-
tal de tal carga foi feita por Helmholtz em 1881 uti-
lizando as leis da eletro´lise de Faraday, que diz que
a passagem de uma certa quantidade de eletricidade
atrave´s de um eletro´lito sempre causa o depo´sito, no
eletrodo, de uma quantidade estritamente definida
de um dado elemento. Mais tarde, Millikan (1910-
16) fez o famoso experimento da gota de o´leo num
campo ele´trico. Em 1912 Ioffe, na Ru´ssia, fez um
experimento semelhante ao de Millikan, pore´m uti-
lizando a irradiac¸a˜o de part´ıculas de metal em po´
(suspensas no ar) por luz ultravioleta. Todos os ex-
perimentos chegaram a mesma conclusa˜o, de que a
carga e´ um mu´ltiplo inteiro de uma carga elemen-
tar, e seu valor foi determinado com maior ou me-
nor precisa˜o em cada um deles. O valor aceito atu-
almente desta carga elementar e´ 1, 6× 10−19C. Este e´
o valor da carga do ele´tron (negativo) e da carga do
pro´ton (positivo) como ja´ vimos.
Existem cargas menores como a dos quarks, pore´m
os quarks na˜o ”sobrevivem” isoladamente por muito
tempo. Logo eles se combinam com outros quarks
formando pro´tons e neˆutrons, ou formam pares de
quark-antiquark que sa˜o chamadosme´sons. Pro´tons
e neˆutrons sa˜o formados de 3 quarks cada. O pro´ton
e´ formado por 2 quarks tipo u e umquark tipo d ( uud
) . E o neˆutron por 2 quarks tipo d e um quark tipo u
( udd ) . A carga do quark tipo u vale 2/3 e a do quark
tipo d - 1/3e .
Para estudarmos portanto o campo ele´trico gerado
por uma carga Qj qualquer utilizaremos uma se-
gunda carga qi muito menor que a primeira. Uma
carga elementar. Assim estudaremos os efeitos cau-
sados em qi pela cargaQj . Desta forma, dizemos que
o campo ele´trico e´ dado pela forc¸a sentida pela carga
qi por unidade de carga. Ou seja:
~Ei=
~Fi
qi
para um sistema discreto de cargas, e´ fa´cil ver que
(basta substituir ~Fi pela expressa˜o da lei de Cou-
lomb):
~Ei =
1
4π0
∑
j 6=i
Qj
(rji)
2 rˆji
A unidade de campo ele´trico e´ o N/C (new-
ton/coulomb) que e´ equivalente ao V/m
(volt/metro). O que aprendemos em Fı´sica IV e´
o campo eletrosta´tico (invaria´vel no tempo) no
espac¸o livre (va´cuo). Um campo eletrosta´tico e´
gerado por uma distribuic¸a˜o de cargas esta´ticas, por
exemplo o campo encontrado no interior de tubos
de raios cato´dicos.1
Definido desta forma, o campo sera´ determinado
inequivocamente, seja em escala macrosco´pica ou
microsco´pica. Naturalmente, se uma carga de prova
for introduzidano espac¸o, umanova configurac¸a˜o de
cargas surgira´ e sera´ necessa´rio recalcular o valor do
campo. Na˜o ha´ outra maneira... Contudo, em nosso
curso na˜o iremos nos deter diante disso, pois iremos
estudar apenas casos em que envolvam cargas fixas
1Os raios cato´dicos sa˜o radiac¸o˜es onde os ele´trons emergem
do polo negativo de um eletrodo, chamado aˆnodo, e se propa-
gam na forma de um feixe de part´ıculas negativas ou feixe de
ele´trons acelerados. Isto ocorre devido a` diferenc¸a de potencial
elevada entre os polos no interior de um tubo contendo ga´s ra-
refeito e tambe´m devido ao efeito termioˆnico, ocasionado pelo
aquecimento do metal que constitui o catodo. O dispositivo des-
tinado para a produc¸a˜o de raios cato´dicos chama-se tubo de Cro-
okes. Quando a pressa˜o interna no tubo chega a um de´cimo da
pressa˜o ambiente, o ga´s que existe entre os eletrodos passa a emi-
tir uma luminosidade. Quando a pressa˜o diminui ainda mais (100
mil vezes menor que a pressa˜o ambiente) a luminosidade desapa-
rece, restando uma ”mancha” luminosa atra´s do polo positivo.
17
ou casos onde as cargas sejammuito maiores do que
a carga elementar e. Uma u´ltima questa˜o se refere
a` necessidade de se definir o campo. Uma primeira
“vantagem” e´ que se conhecemos o campo em um
certo ponto e em suas redondezas iremos conhecer o
comportamento de qualquer carga que seja colocada
nessa regia˜o, independente de seu valor ou sinal. Se
o campo e´ conhecido em todo o espac¸o, o compor-
tamento de qualquer carga sera´ conhecido em todo
o espac¸o tambe´m. Para isso basta multiplicar o valor
da carga em questa˜o pelo valor do campo e teremos
a forc¸a - e portanto a equac¸a˜o demovimento – e o es-
tado f´ısico do sistema sera´ conhecido. A introduc¸a˜o
do campo serve tambe´m para se evitar o conceito da
ac¸a˜o a` distaˆncia. O formalismo apresentado pela lei
de Coulomb contempla apenas a interac¸a˜o entre as
cargas e apenas nos pontos onde elas se localizam.
Ademais na˜o contempla a importante questa˜o de
como a informac¸a˜o e´ transmitida, pressupondo in-
clusive que a troca de informac¸a˜o e´ realizada instan-
taneamente. Ora, sabemos que, ao contra´rio disso,
qualquer informac¸a˜o e´ transmitida com velocidade
finita e a troca de informac¸o˜es entre as cargas se da´ a
velocidade da luz. Assim, se uma carga semovebrus-
camente, o efeito dessemovimento em outrascargas
na˜o e´ sentido instantaneamente, mas sim so´ se dara´
depois de decorridos alguns instantes, ou seja, apo´s
o tempo em que essa informac¸a˜o e´ transmitida e re-
cebida por outras cargas. O agente que realiza essa
tarefa e´ o campo ele´trico.
3.1.1 Linhas de campo ele´trico
Uma visualizac¸a˜o qualitativa do campo ele´trico pode
ser feita introduzindo-se as chamadas linhas de
campo. Na figura 3.1.1 foram desenhadas algumas
destas linhas, possuindo as seguintes propriedades:
Figura 3.1.1: Linhas de campo Ele´trico
• As linhas sa˜o tangentes, em cada ponto, a` direc¸a˜o
do campo ele´trico neste ponto.
• A intensidade do campo e´ proporcional ao nu´mero
de linhas por unidade de a´rea de uma superf´ıcie per-
pendicular a`s linhas.
Na figura 3.1.2 esta˜o representadas as linhas as li-
nhas de campo de uma carga puntiforme positiva e
de uma carga puntiforme negativa e negativa.
Figura 3.1.2: Linhas de campo de uma carga punti-
forme
As linhas do campo de um dipolo esta˜o representa-
das na figura 3.1.3.
Figura 3.1.3: Linhas de campo de um dipolo
Figura 3.1.4: Outras representac¸o˜es de campo
ele´trico
Essas linhas de Campo Ele´trico fornecem uma forma
de visualizac¸a˜o da direc¸a˜o e da intensidade de cam-
pos ele´tricos. O vetor campo ele´trico em qualquer
ponto e´ tangente a uma linha de campo que passa
por esse ponto. A densidade de linhas de campo
em qualquer regia˜o e´ proporcional a` intensidade do
campo ele´trico nessa regia˜o. Linhas de campo se ori-
ginam em cargas positivas e terminam em cargas ne-
gativas.
3.1.2 Exercı´cios resolvidos Halliday &
Resnick
Q24.2 As linhas de forc¸a de umcampo ele´trico nunca
se cruzam. Por queˆ?
18
Resposta: Se as linhas de forc¸a pudessem se cruzar,
nos pontos de cruzamento ter´ıamos duas tangentes
diferentes, uma para cada linha que se cruza. Em ou-
tras palavras, em tal ponto do espac¸o ter´ıamos dois
valores diferentes do campo ele´trico.
Q24.5 Uma carga puntiforme q de massa m e´ colo-
cada em repouso num campo na˜o uniforme. Sera´
que ela seguira´, necessariamente, a linha de forc¸a
que passa pelo ponto em que foi abandonada?
Resposta: Na˜o. A forc¸a ele´trica sempre coincidira´
com a direc¸a˜o tangente a` linha de forc¸a. A forc¸a
ele´trica, em cada ponto onde se encontra a carga,
e´ dada por , q ~Eonde ~E e´ o vetor campo ele´trico no
ponto onde se encontra a carga. Como a carga parte
do repouso, a direc¸a˜o de sua acelerac¸a˜o inicial e´ dada
pela direc¸a˜o do campo ele´trico no ponto inicial. Se o
campo ele´trico for uniforme (ou radial), a trajeto´ria
da carga deve coincidir com a direc¸a˜o da linha de
forc¸a. Entretanto, para um campo ele´trico na˜o uni-
forme (nem radial), a trajeto´ria da carga na˜o precisa
coincidir necessariamente com a direc¸a˜o da linha de
forc¸a. Sempre coincidira´, pore´m, com a direc¸a˜o o
tangente a` linha de forc¸a.
3.1.3 Exercı´cios campo ele´trico discreto
Tipler, Volume 2 Sexta Edic¸a˜o
Pa´gina 30 : Exercı´cios : 38 , 39 e 40
38- Duas cargas puntiformes, cada uma com+4.0 µC,
esta˜o no eixo x; uma das cargas esta´ na origem e a
outra esta´ em x = 8,0 m. Determine o campo ele´trico
no eixo x em
(a) x = -2,0 m;
(b) x = 2,0 m;
(c) x = 6,0 m ;
(d) x = 10m.
(e) Em que ponto o eixo x o campo ele´trico e nulo?
(f) Esboce um gra´fico de E , versus x para -3,0 < x
<11 m.
39 - Quando uma carga de puntiforme de 2,0 nC e´ co-
locada na origem, ela experimenta uma forc¸a ele´trica
de 8,0 x 10−4 na direc¸a˜o de + y .
(a) Qual e´ o campo ele´trico na origem?
(b)Qual seria a carga ele´trica de uma carga punti-
forme -4,0 nC colocada na origem?
(c)Se esta forc¸a e´ devida a um campo ele´trico de uma
carga puntiforme no eixo y, y = 3,0 cm , qual e´ o valor
desta carga?
40 - O campo ele´trico na vizinhanc¸a da superf´ıcie da
terra aponta para baixo e tem omo´dulo de 150 N /C.
(a) Compare amagnitude da forc¸a ele´trica para cima
de um ele´tron com a magnitude da forc¸a gravitacio-
nal no ele´tron.
(b) Que carga deveria ser colocada em uma bola de
pingue-pongue de massa 2,70 g para que a forc¸a
ele´trica equilibrasse o peso da bola pro´ximo a su-
perf´ıcie da Terra?
3.2 Distribuic¸a˜o cont´ınua de
carga
Ocampo ele´trico devidoa umadistribuic¸a˜o cont´ınua
de cargas e´ determinado tratando elementos de
carga como cargas pontuais e depois somando, por
meiode integrac¸a˜o, os vetores de campo ele´tricopro-
duzidos por todos os elementos de carga.
O campo ele´trico para uma distribuic¸a˜o cont´ınua de
cargas e´ tambe´m determinado a partir do princı´pio
de superposic¸a˜o. Suponha que Q seja a carga de um
objeto e que dq seja a carga contida no interior de
um volume infinitesimal dV localizado no interior
deste objeto. O campo ele´trico produzido por este
elemento de carga em um ponto P, localizado a uma
distaˆncia r do elemento, sera´:
d ~E =
1
4πε0
dq
r2
~ur
Desta forma, o campo produzido pela carga total Q
sera´ a soma (integral) vetorial destes campos infini-
tesimais, isto e´:
~E =
∫
d ~E =
1
4πε0
∫
dq
r2
~ur
3.2.1 Campo de um anel carregado
Figura 3.2.1: Anel carregado
19
Considere um condutor na forma de um anel, com
raio a e que possui uma carga Q, distribuı´da unifor-
memente ao longo dele (veja a figura 3.2.1). Vamos
determinar o campo ele´trico num ponto no eixo de
simetria do anel, que escolhemos por comodidade
ser o eixo z (poderia ser, o x ou o y) observe que o
diferencial de campo ele´trico d ~E, resultante no eixo
z, pode ser escrito como
d ~E = d ~E‖ + d ~E⊥
onde dE‖ e´ a componente paralela ao eixo z no ponto
P e, dE⊥e´ a componente perpendicular do campo no
ponto P.
E´ fa´cil perceber que a componente perpendicular se
anula, pois simetricamente a dq existe um dq’ que ira´
produzir uma componente perpendicular sime´trica
a componente produzida por dq. Desta forma, a
componente paralela a z, pode ser escrita como
d ~E‖ = d ~E cos (θ)~k
Tomando o mo´dulo e, por simplificac¸a˜o, escrevendo
dE‖ = dEz temos:
dEz =
1
4πε0
dq
r2
cos (θ)
da figura, cos (α) = zr =
z√
z2 + a2
e a equac¸a˜o acima
fica
dEz =
1
4πε0
zdq
(z2 + a2)
3
2
Integrando, e observando que o integral e´ em dq
∫
dEz =
∫
1
4piε0
zdq
(z2+a2)
3
2
Ez =
1
4piε0
z
(z2+a2)
3
2
∫
dq
Ez =
1
4piε0
zQ
(z2+a2)
3
2
Portanto
~E = Ez~k =
1
4πε0
zQ
(z2 + a2)
3
2
~k
Note que se z >> a, o campo deve tender ano campo
de uma carga puntiforme. para verificar isso, proce-
demos da seguinte maneira:
1. Colocamos z em evideˆncia no denominador:
~E =
1
4πε0
zQ(
z2
(
1 + a
2
z2
)) 3
2
~k
2. Sabendo que (ab)
n
= anbn, no denominador fica
~E =
1
4πε0
zQ
(z2)
3
2
(
1 + a
2
z2
) 3
2
~k
3. Como (an)
m
= anm, enta˜o
(
z2
)3/2
= z
2×3
2 = z3.
Portanto
~E =
1
4πε0
zQ
z3
(
1 + a
2
z2
) 3
2
~k
4. Simplificando z
~E =
1
4πε0
Q
z2
(
1 + a
2
z2
) 3
2
~k
5. Se z >> a, enta˜o a frac¸a˜o
a
z
→ 0 e finalmente
obtemos
~E =
1
4πε0
Q
z2
~k
que e´ o campo de uma carga puntiforme.
3.2.2 Campo de um disco uniforme-
mente carregado
Figura 3.2.2: Disco uniformemente carregado
Consideremos um disco de raio R, uniformemente
carregado com uma densidade superficial de carga
σv C/m2 .O campo dE produzido por um anel de raio
20
a e de largura da, que conte´m uma carga dq e´
σ = dqdA ⇔ dq = σdA
A = πa2 → dAda = 2πa⇔ dA = 2πada
dq = σ2πada
portanto
dEz =
1
4πε0
zdq
(z2 + a2)
3
2
=
1
4πε0
zσ2πada
(z2 + a2)
32
Integrando a = 0 ate´ a = R
Ez =
R∫
0
1
4πε0
zσ2πada
(z2 + a2)
3
2
simplificando 2π com 4π, e tendo em conta que o in-
tegral e´ em a:
Ez =
zσ
2ε0
R∫
0
ada
(z2 + a2)
3
2
Vamos calcular o integral em separado. Fazemos a
seguintemudanc¸a de varia´vel:
u = z2 + a2
du = 2ada
o integral fica enta˜o:
1
2
∫
2ada
(z2 + a2)
3
2
=
1
2
∫
du
u
3/2
=
1
2
∫
u−
3/2du
enta˜o
1
2
∫
u−
3/2du =
1
2
u−
1/2(
−1/2
) = 1
2
×−2
1
u−
1/2 = −u−1/2+C
retomando a varia´vel inicial e lembrando que nosso
integral e´ definido:
Ez =
zσ
2ε0
[ −1√
z2 + a2
]R
0
Ez =
zσ
2ε0
[ −1√
z2 +R2
−
(
− 1√
z2
)]
finalmente:
Ez =
zσ
2ε0
[
1
z
− 1√
z2 +R2
]
O que acontece com o campo do disco se fizermos
a → ∞ ? Se o raio for a infinito, teremos um plano
infinito de carga. Vamos ver como fazemos esse pro-
cedimentomatematicamente.
1. Passemos z para dentro da expressa˜o:
Ez =
σ
2ε0
[
z
z
− z√
z2 +R2
]
2. simplificamos z na primeira frac¸a˜o dentro do
parenteses reto, e colocamos z em evideˆncia
dentro do radical:
Ez =
σ
2ε0

1− z√
z2
(
1 + R
2
z2
)


3. procedendo a simplificac¸a˜o chegamos a:
Ez =
σ
2ε0

1− 1√(
1 + R
2
z2
)


4. fazemosR→∞ obtendo enta˜o:
lim
R→∞
Ez =
σ
2ε0

1− 1√(
1 + ∞
2
z2
)


Portanto, para um plano infinito de carga, obtemos
que seu campo e´ independente da distaˆncia ao plano.
Ez =
σ
2ε0
3.2.3 Campo de duas placas infinitas car-
regadas com cargas opostas
Figura 3.2.3: Duas placas infinitas carregadas com
cargas opostas
~E =


0 se z > d
σ
ε0
se 0 < z < d
0 se z < d
21
3.2.4 Exercı´cios
1 - Dois ane´is finos e conceˆntricos, de raios R1 = 5,0
cm e R2 = 10 cm, esta˜o uniformemente carregados
com cargas Q1 = 4,0 nC e Q2 = -8,0 nC, respectiva-
mente. Determine a intensidade do campo ele´trico
resultante no eixo comum aos dois ane´is, a uma
distaˆncia de 8,0 cm do plano que conte´m os ane´is e a
intensidade da forc¸a ele´trica que seria verificada so-
bre um pro´ton colocado no ponto em questa˜o.
2 - Umanel fino de raio r = 5,0 cm esta´ carregado uni-
formemente comcarga de 4,0 µC.Determine a inten-
sidade do campo ele´trico:
(a) No centro do anel;
(b) No eixo do anel, a uma distaˆncia de 12 cm do seu
centro.
Tipler, Volume 2 Sexta Edic¸a˜o, pa´gina 65
3 - Duas laˆminas carregadas, infinitas e na˜o condu-
toras, sa˜o paralelas entre si, estando a laˆmina A no
plano x = - 2,0 m e a laˆmina B no plano x = + 2,0 m.
Determine o campo ele´trico na regia˜o x< - 2,0 m, na
regia˜o x > + 2,0 m, e entre as laˆminas para as seguin-
tes situac¸o˜es.
(a) Quando cada laˆmina temuma densidade superfi-
cial uniforme de carga igual a + 3,0 μC/m2 e
(b) quando a laˆmina A tem uma densidade super-
ficial uniforme a de carga igual a + 3,0 μC/m2 e a
laˆmina B tem uma densidade uniforme e igual a - 3,0
μC/m2.
(c) Esboce o padra˜o de linhas de campo ele´trico para
cada caso.
4 - Uma carga de 2,75 μC e´ distribuı´da uniforme-
mente em um anel do raio 8,5 cm. Determine a in-
tensidade do campo ele´trico no eixo a distaˆncias de
(a) de 1,2 cm;
(b) 3,6 cm, e
(c) 4,0 m do centro do anel.
(d) Determine a intensidade do campo a 4,0 m
usando a aproximac¸a˜o que o anel equivale a uma
carga puntiforme na origem, e compare seus resul-
tados com as al´ıneas (c) e (d). O resultado de sua
aproximac¸a˜o e´ bom? Explique sua resposta.
Sears e Zemansky, Volume III 12ªEdic¸a˜o pa´gina 39
5 - Duas placas horizontais muito grandes esta˜o a
uma distaˆncia de 4,25 cm uma da outra e possuem
densidade de cargas iguais, pore´m contra´rias, de
mo´dulo σ. Voceˆ quer usar essas placas para manter
fixa na a´rea entre elas uma gota de o´leo demassa 324
µg que carrega 5 ele´trons em excesso. Supondo que
a gota esta´ num va´cuo,
(a) para que lado deve apontar o campo ele´trico entre
as placas e
(b) qual seria o valor de σ?
3.3 Para-raios
Chama-se tambe´m para-raios, ou descarregador, o
aparelho destinado a proteger instalac¸o˜es ele´tricas
contra o efeito de cargas excessivas (sobretenso˜es) e
descarrega´-las na terra. Os mais utilizados no Brasil
sa˜o o de Franklin e de Melsens, tambe´m conhecido
como Gaiola de Faraday. Ale´m deles ha´ o modelo ra-
dioativo, que tem seu uso proibido no paı´s devido a`
radioatividade que emite.
O para-raios foi inventado no se´culo XVIII, por Ben-
jamin Franklin, e e´ o equipamento mais indicado
para proteger edificac¸o˜es das descargas ele´tricas vin-
das da atmosfera - os raios. Ele e´ formado por treˆs
elementos principais: os captadores (uma haste de
metal pontiaguda), um cabo de ligac¸a˜o preso a iso-
ladores e uma grande placa meta´lica enterrada no
solo. Os materiais mais utilizados em para-raios sa˜o
o cobre e o alumı´nio. Deve ser instalado no ponto
mais alto da a´rea a ser protegida, ja´ que este e´ o lo-
cal mais atingido por raios. O equipamento funci-
ona de acordo com um princı´pio f´ısico conhecido
como “o poder das pontas”, segundo o qual as pon-
tasmeta´licas finas do para-raios atraem os raios para
si, ja´ que nelas se concentrammais cargas ele´tricas.
A descarga ele´trica e´ enta˜o conduzida pelo cabo de
ligac¸a˜o ate´ o solo, onde um cabo aterrado dissipa a
energia capturada. Dizer que o para-raios atrai o raio
e´ apenas uma expressa˜o, na realidade, ele oferece ao
raio um caminho para chegar a` terra com pouca re-
sistividade.
Quando uma nuvem com carga negativa passa por
cima da ponta do equipamento, part´ıculas positivas
sa˜o induzidas ali, ionizando o ar atmosfe´rico. Isso
transforma o ar em um bom condutor de eletrici-
dade. A nuvem, enta˜o, se descarrega por meio de
uma faı´sca, liberando ele´trons que sera˜o dissipados
no solo por meio da placa aterrada.
A a´rea protegida pelo para-raios tem o formato de
um cone, sendo a ponta da antena o seu ve´rtice. Sua
altura vai da ponta da antena ao cha˜o e seu raio no
solo mede cerca do dobro da altura em que esta´ a
ponta do dispositivo. O aˆngulo entre o ve´rtice e a ge-
22
ratriz do cone costuma ser de 55º. Para descobrir o
raio da a´rea protegidapelo equipamento, usa-se a se-
guinte fo´rmula: R = Htg (A) , em que R e´ o raio, H a
altura emmetros e A o aˆngulo em graus.
A Associac¸a˜o Brasileira de Normas Te´cnicas (ABNT)
tem uma norma especı´fica para a protec¸a˜o de estru-
turas contra descargas ele´tricas, a ABNT-NBR-5419.
Segundo ela, o cabo do para-raios, que vai da an-
tena ao solo, deve ser isolado para na˜o entrar em
contato com as paredes da edificac¸a˜o. E´ indicado
tambe´m utilizar parafusos de alumı´nio ou ac¸o ino-
xida´vel, para que na˜o haja ferrugem.
Figura 3.3.1: Captor Franklin da empresa TERMO-
TECNICA. Para-raios de protec¸a˜o atmosfe´rica
O princı´pio de para-raios de Franklin e´ o poder das
pontas2, sendo o modelo mais utilizado, composto
por uma haste meta´lica onde ficam os captadores e
um cabo de conduc¸a˜o que vai ate´ o solo e a energia
da descarga ele´trica e´ dissipada por meio do aterra-
mento. O cabo condutor, que vai da antena ao solo,
deve ser isolado para na˜o entrar em contato com
as paredes da edificac¸a˜o. As chances de o raio ser
atraı´do por esse tipo de equipamento sa˜o de 90%.
2Poder das pontas e´ a capacidade de os corpos eletrizados se
descarregarem pelas pontas. A carga ele´trica em excesso num
corpo condutor distribui-se apenas pela superf´ıcie exterior do
corpo e concentra-se nas zonas mais pontiagudas (ou de menor
raio), rarefazendo-se nas restantes. Na proximidade doscorpos
existem sempre no ar a´tomos e mole´culas ionizadas. Havendo
grande concentrac¸a˜o de cargas ele´tricas numa ponta (zona pon-
tiaguda) dum corpo, havera´ atrac¸a˜o para a ponta dos io˜es de sinal
contra´rio a`s cargas na ponta e repulsa˜o dos io˜es com o mesmo si-
nal. Os io˜es que sa˜o atraı´dos provocam a descarga da ponta. Por
sua vez, os movimentos de part´ıculas junto da ponta originamno-
vas ionizac¸o˜es no ar e o fenoˆmeno de descarga da ponta aumenta.
Com a mesma finalidade do para-raios de Franklin,
o para-raios de Melsens adota o princı´pio da gaiola
de Faraday3. O edif´ıcio e´ envolvido por uma arma-
dura meta´lica, daı´ o nome gaiola. No telhado, e´ ins-
talada uma malha de fios meta´licos com hastes de
cerca de 50 cm. Elas sa˜o as receptoras das descar-
gas ele´tricas e devem ser conectadas a cada oito me-
tros. A malha e´ divida em mo´dulos, que devem ter
dimensa˜o ma´xima de 10 x 15 m. Sua conexa˜o com o
solo, onde a energia dos raios e´ dissipada pelas has-
tes de aterramento, e´ feita por um cabo de descida.
Esse cabo pode ser projetado usando a pro´pria es-
trutura do edif´ıcio. As ferragens de suas colunas po-
demestar conectadas a`malha do telhado e funcionar
como ligac¸a˜o com o solo.
Ospara-raios radioativos podemser distinguidos dos
outros, pois seus captadores costumam ter o for-
mato de discos sobrepostos em vez de hastes pon-
tiagudas. O material radioativo mais utilizado para
sua fabricac¸a˜o e´ o radioiso´topo Amer´ıcio-2414. Esses
para-raios tiveram sua fabricac¸a˜o autorizada no Bra-
sil entre 1970 e 1989. Nessa e´poca, acreditava-se que
os captadores radioativos eram mais eficientes do
que os outrosmodelos. Pore´m, estudos feitos no paı´s
e no exterior mostraram que os para-raios radioati-
vos na˜o tinham desempenho superior ao dos para-
raios convencionais na protec¸a˜o de edif´ıcios, o que
na˜o justificaria o uso de fontes radioativas para esta
func¸a˜o. Sendo assim, em 1989, a Comissa˜o Nacional
de Energia Nuclear (CNEN), por meio da Resoluc¸a˜o
Nº 4/89 suspendeu a produc¸a˜o e instalac¸a˜o desse
modelo de captador.
O Brasil e´ o paı´s com maior incideˆncia de raios no
mundo. De acordo com o Instituto Nacional de Pes-
quisas Espaciais (Inpe), cerca de 70 milho˜es de raios
atingem o paı´s todos os anos, uma me´dia de duas
3Gaiola de Faraday foi um experimento conduzido porMichael
Faradaypara demonstrar que uma superf´ıcie condutora eletrizada
possui campo ele´trico nulo em seu interior dado que as cargas
se distribuem de forma homogeˆnea na parte mais externa da su-
perf´ıcie condutora (o que e´ fa´cil de provar com a Lei de Gauss),
como exemplo podemos citar o Gerador de Van de Graaf. No ex-
perimento de Faraday foi utilizada uma gaiola meta´lica, que era
eletrificada e um corpo dentro da gaiola poderia permanecer la´,
isolado e sem levar nenhuma descarga ele´trica.
4O americio ( nome dado em homenagem ao Continente Ame-
ricano ) e´ um elemento quı´mico, sı´mbolo Am, nu´mero atoˆmico 95
( 95 pro´tons e 95 ele´trons ) commassa atoˆmica [243] u, situado no
grupo dos actinı´deos na tabela perio´dica dos elementos. Todos os
seus iso´topos sa˜o radioativos. A` temperatura ambiente, o amerı´cio
encontra-se no estado so´lido. Foi descoberto em1944 por GlennT.
Seaborg, Leon O.Morgan,Ralph A. James e Albert Ghiorso, sinteti-
zado a partir do plutoˆnio. O Am-241 e´ empregado em alguns tipos
detectores de fumac¸a, e como fonte de raios gama e neˆutrons que
podem ser usados em radiografia.
23
ou treˆs descargas ele´tricas por segundo. Ale´m de
causar inceˆndios e grandes prejuı´zos econoˆmicos,
esse fenoˆmeno representa tambe´m uma ameac¸a a`
populac¸a˜o. Anualmente cerca 300 pessoas sa˜o atin-
gidas por raios no Brasil, cerca de 100 acabam fale-
cendo.
Isso representa 10% dos o´bitos relacionados a des-
cargas ele´tricas em todo o mundo. Entre os anos
2000 e 2010, ocorreram 1321 mortes relacionadas
ao fenoˆmeno. Esses nu´meros na˜o sa˜o exatos, ja´
quemuitasmortes provocadas por raios sa˜o registra-
das como o´bitos por parada cardı´aca, fazendo a es-
tat´ıstica parecer mais baixa.
Os raios sa˜o um fenoˆmeno comum em regio˜es tro-
picais, e sendo o Brasil o maior dos paı´ses tropi-
cais, e´ normal que ele seja o mais atingido. A regia˜o
centro-sul e´ a que apresenta maior incideˆncia, prin-
cipalmente o sul do Mato Grosso do Sul, onde ocor-
rem 20 raios por quiloˆmetro quadrado ao ano. En-
tre 2005 e 2008, houve um aumento de 102,7% na in-
cideˆncia de raios no paı´s. Uma hipo´tese para o au-
mento constante desses nu´meros esta´ sendo estu-
dada pelos cientistas do Inpe emparceria comaNasa
e Universidades norte-americanas. Segundo eles, o
aquecimento global pode estar contribuindo para o
fenoˆmeno. Isso ocorreria porque, com mais raios,
mais florestas sa˜o incendiadas, aumentando o efeito
estufa.
Esses inceˆndios liberariam mais dio´xido de carbono,
aumentando o nu´mero de raios e alimentando o ci-
clo. Os cientistas acreditamque, a cada grau de aque-
cimento da temperatura terrestre, a incideˆncia de
raios aumente de 10% a 20%. NoBrasil, amaior parte
dos acidentes com vı´timas ocorre em zonas rurais,
quando os raios atingem pessoas que esta˜o em a´reas
descampadas.
Outro local que costuma ser alvo de raios sa˜o os cam-
pos de futebol, mesmo em grandes cidades. Fre-
quentemente, escutamos not´ıcias de jogadores que
foram atingidos por descargas ele´tricas durante uma
partida. Por isso, em caso de tempestade, e´ recomen-
dado procurar um abrigo seguro, ja´ que no campo
seu corpo funciona como um para-raios, atraindo
para si as descargas ele´tricas vindas da atmosfera.
24
Capı´tulo 4
Fluxos e integrais de linha
4.1 Fluxo de um campo vetorial
Suponha inicialmente uma superf´ıcie plana de a´rea
A dentro de um campo de velocidades~v . Este campo
pode ser, por exemplo, um co´rrego, o fluxo de ga´s
dentro de uma tubulac¸a˜o, etc. De qualquer forma,
havera´ nesse campo umfluido onde a cada ponto as-
sociaremos um vetor velocidade ~v .
Vamos supor inicialmente que o campo e´ uniforme
(ou seja, a velocidade e´ a mesma para todos os pon-
tos desse espac¸o e a direc¸a˜o e sentido se mantem
constante) e que a superf´ıcie esteja perpendicular ao
campo. Definimos enta˜o
Φ =
Quantidade de fluido que atravessa a superf ı´cieA
tempo
Figura 4.1.1: Superf´ıcie aberta perpendicular ao fluxo
Podemos expressar esta definic¸a˜o em termos de v
e de A com a seguinte considerac¸a˜o: num tempo
Δt, cada part´ıcula do fluido percorre uma distaˆncia
v Δt. Assim, se construirmos um paralelepı´pedo de
base A e comprimento v Δt, notaremos que toda a
part´ıcula que estiver dentro desta ”caixa” atravessa a
superf´ıcie A no tempo Δt. As part´ıculas que estive-
rem fora na˜o conseguira˜o, neste tempo, atravessar a
superf´ıcie. Assim, a quantidade de fluido que atra-
vessa a superf´ıcie A no tempoΔ t sera´ simplesmente
o volume dessa ”caixa” , ou seja v Δt A. O fluxo sera´
enta˜o:
Φ =
v∆tA
∆t
=vA
Suponha agora que a superf´ıcieA esteja inclinada de
um aˆngulo θ, como mostra a figura 4.1.2. Observe
que a quantidade de fluidoque atravessaAno tempo
Δt e´ a mesma que atravessa A’ (que e´ a projec¸a˜o de
A em um plano perpendicular a`s linhas de campo) .
Assim ΦA = ΦA′ = v A’ .
Figura 4.1.2: Superf´ıcie inclinada relativamente ao
fluxo
comoA’ =Acos (θ), enta˜o ΦA = vAcos (θ)
⇒ΦA = ~v · ~A, onde ~A = A~n e ~n um vetor unita´rio
normal a superf´ıcie.
4.1.1 Fluxo numa superf´ıcie fechada
Considere a figura a seguir:
Figura 4.1.3: Superf´ıcie fechada
O fluxo atrave´s da superf´ıcie e´:
Φ = Φsai − Φentra
25
observando localmente a superf´ıcie (figura 5.1.4),
observamos que igualdade acima pode