Introdução à Derivada em Cálculo

Prévia do material em texto

Derivada
Professor: Wellington Barros e Barbosa
Curso: Engenharias
Ano: 2014 e-mail: wbarros@icte.uftm.edu.br
MONITORIA DE CÁLCULO 1
Marcionílio
Terça de 8 as 11:40 na Biblioteca. (Mesas maiores ao fundo) 
Quinta de 7 as 10 na sala B302
Eduardo
Quinta de 14 as 16 na sala B201 
Sexta de 13 as 16 na sala B201
Derivação: A reta Tangente e a Derivada
DEFINIÇÃO 1:
(1)
Os limites do tipo (1) surgem sempre que calculamos uma taxa de variação em uma das ciências ou engenharias, por isso recebe uma notação especial.
DEFINIÇÃO 2:
DEFINIÇÃO 3:
DEFINIÇÃO 4:
A derivada como uma função
EXEMPLO: O gráfico da função f está ilustrado abaixo. Use-o para esboçar o gráfico de f ’ .
EXEMPLO: O gráfico da função f está ilustrado abaixo. Use-o para esboçar o gráfico de f ’ .
Logo o gráfico de f’ é:
Outras Notações
ou
Derivabilidade e Continuidade
DEFINIÇÃO 5:
Derivabilidade e Continuidade
DEFINIÇÃO 5:
TEOREMA 1: 
Derivabilidade e Continuidade
DEFINIÇÃO 5:
TEOREMA 1: 
OBS:
Derivabilidade e Continuidade
DEFINIÇÃO 5:
TEOREMA 1: 
OBS:
OBS: (Negativa do Teorema 1)
 Se f não é contínua em a então f não é derivável em a. 
Como Pode uma função não ser diferenciável??
Três maneiras de f não ser diferenciável em a:
Uma quina
Uma descontinuidade
Uma tangente vertical
f é diferenciável em a
f não é diferenciável em a
Regras de Derivação
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE
Dem:
 Derivadas de Funções Polinomiais 
REGRA DA POTÊNCIA
Dem: Sabendo que 
Então,
REGRA DA POTÊNCIA (Versão Geral)
REGRA DA POTÊNCIA
Dem: Sabendo que 
Então,
 Novas Derivadas a Partir de Antigas
Se c for uma constante e f uma função derivável, então:
A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
 Novas Derivadas a Partir de Antigas
Se c for uma constante e f uma função derivável, então:
A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
Dem: Seja g(x) = c.f(x)
 Novas Derivadas a Partir de Antigas
Se c for uma constante e f uma função derivável, então:
A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
Dem: Seja g(x) = c.f(x)
 Novas Derivadas a Partir de Antigas
Se c for uma constante e f uma função derivável, então:
A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
Dem: Seja g(x) = c.f(x)
 Novas Derivadas a Partir de Antigas
Se c for uma constante e f uma função derivável, então:
A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
Dem: Seja g(x) = c.f(x)
 Novas Derivadas a Partir de Antigas
Se c for uma constante e f uma função derivável, então:
A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
Dem: Seja g(x) = c.f(x)
Na Notação “Linha”:
(c.f)’=c.f’
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
Dem: Tome F(x)=f(x)+g(x). Então
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
Dem: Tome F(x)=f(x)+g(x). Então
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
Dem: Tome F(x)=f(x)+g(x). Então
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
Dem: Tome F(x)=f(x)+g(x). Então
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
Dem: Tome F(x)=f(x)+g(x). Então
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
Dem: Tome F(x)=f(x)+g(x). Então
TEOREMA: A derivada de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se elas existirem.
A REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis então:
Dem: Tome F(x)=f(x)+g(x). Então
TEOREMA: A derivada de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se elas existirem.
Na Notação “Linha”:
(f+g)’ = f’ + g’
Escrevendo f - g como f+(-1)g e aplicando a Regra da Soma e a Regra da Multiplicação por Constante, obtemos a seguinte fórmula:
A REGRA DA SUBTRAÇÃO
Se f e g forem ambas deriváveis, então:
Escrevendo f - g como f+(-1)g e aplicando a Regra da Soma e a Regra da Multiplicação por Constante, obtemos a seguinte fórmula:
A REGRA DA SUBTRAÇÃO
Se f e g forem ambas deriváveis, então:
Na Notação “Linha”:
(f-g)’ = f’ - g’
 Derivada de e de 
A DEFINIÇÃO DO NÚMERO e
e é o número tal que: 
 Derivada de e de 
A DEFINIÇÃO DO NÚMERO e
e é o número tal que: 
Geometricamente, isso significa que de todas as funções exponenciais , a função é aquela cuja reta tangente em (0,1) tem uma inclinação que é exatamente 1
Temos que:
ou
ou
OBS: Derivada da função exponencial
A REGRA DO PRODUTO
Se f e g forem diferenciáveis, então
 As regras do Produto e do Quociente
A REGRA DO PRODUTO
Se f e g forem diferenciáveis, então
Na Notação “Linha”:
(f.g)’ = f’.g – f.g’
 As regras do Produto e do Quociente
A REGRA DO PRODUTO
Se f e g forem diferenciáveis, então
A REGRA DO QUOCIENTE
Se f e g forem diferenciáveis, então
Na Notação “Linha”:
(f.g)’ = f’.g – f.g’
 As regras do Produto e do Quociente
A REGRA DO PRODUTO
Se f e g forem diferenciáveis, então
A REGRA DO QUOCIENTE
Se f e g forem diferenciáveis, então
Na Notação “Linha”:
(f.g)’ = f’.g – f.g’
Na Notação “Linha”:
 As regras do Produto e do Quociente
Resumindo: Algumas Regras de Derivação
Derivadas de Ordem Superior
Regra da Cadeia
TEOREMA [ A Regra da Cadeia]
Outra Notação:
Derivada das Funções Trigonométricas
Diferencial
Quando x varia de , qual é a variação dy da função? Como podemos medir essa variação???? 
dx
Quando x varia de , qual é a variação dy da função? Como podemos medir essa variação???? 
dx
Quando x varia de , qual é a variação dy da função? Como podemos medir essa variação???? 
dx
Quando x varia de , qual é a variação dy da função? Como podemos medir essa variação???? 
dx
Quando x varia de , qual é a variação dy da função? Como podemos medir essa variação???? 
 Observe que é o acréscimo que a função recebe quando passa de para .
 O erro - que se comete na aproximação de por será tanto menor quanto for dx.
No entender de Leibniz, a derivada pode ser vista como quociente de quantidades infinitesimais, ou infinitamente pequenas dy e dx.
Velocidade e Taxa de Variação
= velocidade média
Função Posição
Velocidade e Taxa de Variação
= velocidade média
Função Posição
Velocidade 
Média
deslocamento
tempo
Velocidade e Taxa de Variação
= velocidade média
Função Posição
Velocidade 
Média
deslocamento
tempo
 Suponha que queremos calcular a velocidade média em intervalos cada vez menores [a,a+h]. 
Velocidade e Taxa de Variação
= velocidade média
Função Posição
Velocidade 
Média
deslocamento
tempo
 Suponha que queremos calcular a velocidade média em intervalos cada vez menores [a,a+h]. 
 Fazemos h tender a zero. Temos então:
Velocidade e Taxa de Variação
= velocidade média
Função Posição
Velocidade 
Média
deslocamento
tempo
 Suponha que queremos calcular a velocidade média em intervalos cada vez menores [a,a+h]. 
 Fazemos h tender a zero. Temos então:
Velocidade Instantânea, no instante t=a.
Velocidade e Taxa de Variação
= velocidade média
Função Posição
Velocidade 
Média
deslocamento
tempo
 Suponha que queremos calcular a velocidade média em intervalos cada vez menores [a,a+h]. 
 Fazemos h tender a zero. Temos então:
Velocidade Instantânea, no instante t=a.
Ou seja,
v(a) = s’(t) = ds/dt 
Velocidade e Taxa de Variação
Exemplo: A posição de uma partícula é dada por:
onde t é medido em segundos e s em metros.
Encontre a velocidade instantânea do instante t.
Qual é a velocidade depois de 2s? E depois de 4s
Quando a partícula está em repouso?
Quando a partícula está se movendo para frente(isto é, no sentido positivo)?
Faça um diagrama para representar o movimento da partícula.
Encontre a distância total percorrida pela partícula durante os primeiros 5 segundos.
Encontre a aceleração no instante t e depois de 4s.
Resolução no Quadro!!!!
Taxas de Variação
Os valores de y variam rapidamente em P e lentamente em Q.
Taxa de Variação – Resumindo:
Se y=f(x) , então a derivada dy/dx pode ser interpretada como a taxa de variação de y com relação a x.
Essa ideia pode ser aplicada em diversas ciências, como por exemplo, física, química, biologia, economia, entre outras ciências.
Economia – Um Exemplo
 Na economia, a derivada é utilizada para estimar a variação sofrida por uma grandeza quando ocorre um aumento unitário na produção. Este procedimento é conhecido como análise marginal.
Economia – Um Exemplo
 C(x) é o custo total na produção de x itens de um determinado produto.
 Na economia, a derivada é utilizada para estimar a variação sofrida por uma grandeza quando ocorre um aumento unitário na produção. Este procedimento é conhecido como análise marginal.
Economia – Um Exemplo
 C(x) é o custo total na produção de x itens de um determinado produto.
 A função C é chamada de função custo.
 Na economia, a derivada é utilizada para estimar a variação sofrida por uma grandeza quando ocorre um aumento unitário na produção. Este procedimento é conhecido como análise marginal.
Economia – Um Exemplo
 C(x) é o custo total na produção de x itens de um determinado produto.
 A função C é chamada de função custo.
 Na economia, a derivada é utilizada para estimar a variação sofrida por uma grandeza quando ocorre um aumento unitário na produção. Este procedimento é conhecido como análise marginal.
 Se o número de itens produzidos aumenta de para , o custo adicional será 
e a taxa de variação média do custo será
Economia – Um Exemplo
 C(x) é o custo total na produção de x itens de um determinado produto.
 A função C é chamada de função custo.
 Na economia, a derivada é utilizada para estimar a variação sofrida por uma grandeza quando ocorre um aumento unitário na produção. Este procedimento é conhecido como análise marginal.
 Se o número de itens produzidos aumenta de para , o custo adicional será 
e a taxa de variação média do custo será
 A taxa de variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos é denominado custo marginal.
Custo marginal
 A taxa de variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos é denominado custo marginal.
 Uma vez que x pode geralmente assumir somente valores inteiros não faz sentido tomar
Custo marginal
 A taxa de variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos é denominado custo marginal.
 Uma vez que x pode geralmente assumir somente valores inteiros não faz sentido tomar
 Fazendo o e n muito grande (de modo que é pequeno comparado com n, temos:
Custo marginal
 A taxa de variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos é denominado custo marginal.
 Uma vez que x pode geralmente assumir somente valores inteiros não faz sentido tomar
 Fazendo o e n muito grande (de modo que é pequeno comparado com n, temos:
Custo marginal
 Em geral, é apropriado representar uma função custo por um polinômio
onde a representa os custos gerais indiretos (aluguel, aquecimento, manutenção), e os outros termos representam o custo das matérias-prima, da mão de obra e assim por diante.
 Os economistas também estudam a demanda marginal, a renda marginal e o lucro marginal, que são as derivadas das funções demanda, renda e lucro.
 Os economistas também estudam a demanda marginal, a renda marginal e o lucro marginal, que são as derivadas das funções demanda, renda e lucro.
Resolução no quadro!!!
Exemplo: Suponha que uma companhia tenha estimado que o custo (em reais) de produção de x itens seja
Qual a função custo marginal?
Qual o custo marginal no nível de produção do 501ª unidade?
Qual o custo real de produção da 501ª unidade?
Derivação Implícita
 As funções y=f(x) encontradas até agora são todas dadas por fórmulas que exprimem y em termos de x, explicitamente, como:
ou
Derivação Implícita
 As funções y=f(x) encontradas até agora são todas dadas por fórmulas que exprimem y em termos de x, explicitamente, como:
ou
 Algumas funções, entretanto, são dadas implicitamente, por uma relação entre x e y, tal como: 
e
(1)
(2)
Derivação Implícita
 As funções y=f(x) encontradas até agora são todas dadas por fórmulas que exprimem y em termos de x, explicitamente, como:
ou
 Algumas funções, entretanto, são dadas implicitamente, por uma relação entre x e y, tal como: 
e
(1)
(2)
 Em alguns casos é possível resolver tais equações isolando y como uma função explícita de x.
 Por exemplo, resolvendo a equação (1) em y obtemos outras duas funções determinadas pela Equação Implícita (1):
e
 Por exemplo, resolvendo a equação (1) em y obtemos outras duas funções determinadas pela Equação Implícita (1):
e
 Não é fácil resolver a equação (2) e escrever y explicitamente como uma função de x à mão. 
 (2) é a equação da curva chamada fólio de Descartes, e implicitamente define y como várias funções de x.
 Não é fácil resolver a equação (2) e escrever y explicitamente como uma função de x à mão. 
 (2) é a equação da curva chamada fólio de Descartes, e implicitamente define y como várias funções de x.
 Não é fácil resolver a equação (2) e escrever y explicitamente como uma função de x à mão. 
 (2) é a equação da curva chamada fólio de Descartes, e implicitamente define y como várias funções de x.
 Felizmente não precisamos resolver uma equação e escrever y em termos de x para encontrar a derivada. Em vez disso utilizamos o método chamado derivação implícita que consiste em deriavar ambos os lados da equação em relação a x e isolar y’ na equação resultante.
Arco-seno
arco cosseno 
Arco-tangente
Arco-cotangente
Secante
Cossecante
Arcosecante
Arcocossecante
Derivada das Funções Trigonométricas Inversas
 Com a derivação implícita é possível provar que:
Derivação Logarítmica
 Os cálculos de derivadas de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos. O método usado no exemplo a seguir é chamado derivação logarítmica.
Passos na Derivação Logarítmica
Derivação da Função Inversa
Taxas Relacionadas
 Quando bombeamos o ar dentro de um balão, tanto o volume quanto o raio do balão crescem, e suas taxas de crescimento estão relacionadas. 
 Mas é muito mais fácil medir diretamente a taxa de volume do que a do raio.
 Em um problema de taxas relacionadas, a ideia é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação de outra (que pode ser medida mais facilmente).
 O procedimento é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo.
Taxas Relacionadas - Exemplos
1) Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100cm /s . Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for 50cm?
3
95
Taxas Relacionadas - Exemplos
1) Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100cm /s . Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for 50cm?
3
2) Uma escada com 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede?
96
Taxas Relacionadas - Exemplos
1) Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100cm /s . Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetrofor 50cm?
3
2) Uma escada com 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede?
3) Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2m /min, encontre a taxa pela qual o nível da água estará se elevando quando a água tiver 3m de profundidade.
3
97