Buscar

F129 - Lista 3A - RESOLUÇÃO de Física Experimental 1

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Resolução da Lista de Exercícios 3-A
(Lista da Apostila)
Douglas D. Souza
Questão 1
Para encontrarmos o melhor valor que representa um conjunto de medidas não similares (com diferentes
desvios), precisamos levar em conta a precisão de cada medida, que está ligada à influência (expressa
por wi = 1/σ
2
xi
) que ela deve ter sobre o resultado final. Partimos assim da expressão para χ2 e vamos
minimizá-lo em termos do valor médio:
χ2 =
3∑
i=1
wi (xi − xM )2
χ2 (xM ) = w1 (x1 − xM )2 + w2 (x2 − xM )2 + w3 (x3 − xM )2
Minimizando temos:
d
dxM
χ2 (xM ) = 0
2w1 (x1 − xM ) (−1) + 2w2 (x2 − xM ) (−1) + 2w3 (x3 − xM ) (−1) = 0
Resolvendo para xM :
(w1 + w2 + w3)xM − w1x1 − w2x2 − w3x3 = 0
xM =
w1x1 + w2x2 + w3x3
w1 + w2 + w3
Ou seja, o melhor valor é uma média ponderada pelos wi, que estão intrinsecamente relacionados à
precisão das medidas originais.
Para encontrar o erro devemos usar propagação de erros. Temos portanto:
σ2xM =
(
∂xM
∂x1
)2
σ2x1 +
(
∂xM
∂x2
)2
σ2x2 +
(
∂xM
∂x3
)2
σ2x3
Para as derivadas temos:
∂xM
∂x1
=
w1
w1 + w2 + w3
,
∂xM
∂x2
=
w2
w1 + w2 + w3
,
∂xM
∂x3
=
w3
w1 + w2 + w3
Como σ2xi =
1
wi
, temos:
σ2xM =
1
(w1 + w2 + w3)
2
(
w21
w1
+
w22
w2
+
w23
w3
)
Finalmente:
σ2xM =
1
w1 + w2 + w3
=
1
1
σ2
x1
+ 1
σ2
x2
+ 1
σ2
x3
=
σ2x1σ
2
x2
σ2x3
σ2x1 + σ
2
x2
+ σ2x3
ou, em outras palavras:
1
Douglas
Textbox
Para aulas particulares na UNICAMP:nullDouglas - delgadosouza@gmail.com 
wxM = w1 + w2 + w3
O que acontece quando as medidas são similares? Porque o erro é menor? Que tipo de erro estamos
usando neste raciocínio?
Questão 2
Temos um modelo matemático que descreve a medida indireta x em termos das medidas diretas x0, v0,
t e a. O valor médio de x é aquele calculado sobre os valores médios das medidas diretas:
x = x0 + v0t+
1
2
at
2
A barra indica que o valor a ser usado é o valor médio, ou seja, o centro do intervalo.
Para calculat o erro de x temos de usar propagação de erros:
σ2x =
(
∂x
∂x0
)2
σ2x0 +
(
∂x
∂v0
)2
σ2v0 +
(
∂x
∂t
)2
σ2
t
+
(
∂x
∂a
)2
σ2a
Como a foi expresso sem desvio, assumiremos que seu desvio é muito menor que os outros desvios
envolvidos e tomaremos σa = 0.
Para as derivadas temos:
∂x
∂x0
= 1,
∂x
∂v0
= t,
∂x
∂t
= v0 + at
Devemos lembrar que as derivadas devem ser calculadas sobre os valores médios (x0 = x0, v0 = v0 e
t = t), assim:
σ2x = σ
2
x0 + t
2
σ2v0 +
(
v0 + at
)2
σ2
t
Usando os valores dados no problema temos:
x = 12, 8m
σx =
√
1, 0145 = 1, 0072m
Portanto:
x = (13± 1)m
Questão 3
Neste problema NÃO calcule diversos valores para a energia. Calcule a média da massa e seu respectivo
erro, calcule a média da velocidade e seu erro e por fim a energia e seu erro, usando propagação de erros.
2
Cálculo da massa e seu erro
Valor médio da massa m = 11, 0kg;
Desvio padrão das medidas:
σm =
√∑5
i=1 (mi −m)2√
5− 1 =
√
6
2
= 1, 22474
Erro estatístico (desvio padrão da média):
σm =
σm√
5
= 0, 54772
Erro total (estatístico + instrumental):
∆m =
√
σ2m + (∆minst.)
2
= 0, 74162kg
Portanto:
m = (11, 0± 0, 7) kg
Cálculo da velocidade e seu erro
Valor médio da velocidade v = 1, 1kg;
Desvio padrão das medidas:
σv =
√∑5
i=1 (vi − v)2√
5− 1 =
√
0, 06
2
= 0, 122474
Erro estatístico (desvio padrão da média):
σv =
σv√
5
= 0, 054772
Erro total (estatístico + instrumental):
∆v =
√
σ2v + (∆vinst.)
2
= 0, 074162kg
Portanto:
v = (1, 10± 0, 07)m/s
Cálculo da energia e seu erro
O valor médio da energia é a expressão para a energia calculada sobre os valores médios da massa e
velocidade:
E =
1
2
mv2 = 6, 655J
Para o erro da energia nos é solicitado utilizar a forma reduzida:(
σE
E
)2
= p2
(σm
m
)2
+ q2
(σv
v
)2
Onde p é o expoente de m e q é o expoente de v: E = Ampvq. Identificamos p = 1 e q = 2 e obtemos:
3
σE = 6, 655
√
1
(
0, 7
11, 0
)2
+ 4
(
0, 07
1, 10
)2
= 0, 94697J
Finalmente:
E = (6, 7± 0, 9) J
Questão 4
Inicialmente precisamos expressar G como função das outras quantidades:
G = − FR
2
M1M2
De forma análoga à questão anterior, fazemos a propagação de erros:
σ2
G
=
(
∂G
∂F
)2
σ2
F
+
(
∂G
∂R
)2
σ2
R
+
(
∂G
∂M1
)2
σ2
M1
+
(
∂G
∂M2
)2
σ2
M2
Obtemos:
∂G
∂F
= − R
2
M1M2
,
∂G
∂R
= −2 FR
M1M2
,
∂G
∂M1
=
FR2
M21M2
,
∂G
∂M2
=
FR2
M1M22
Calculando essas derivadas sobre os valores médios e dividindo tudo por G
2
obtemos:
σ2
G
G
2 = (1)
2
σ2
F
F
2 + (2)
2
σ2
R
R
2 + (−1)2
σ2
M1
M
2
1
+ (−1)2
σ2
M2
M
2
2
Portanto:
σG
G
=
√√√√σ2F
F
2 + 4
σ2
R
R
2 +
σ2
M1
M
2
1
+
σ2
M2
M
2
2
Observe que esta expressão pode ser obtida diretamente da expressão da lista 3B.
Questão 5
Item a
Se temos conservação do momento linear devemos ter:
pTi = m1vi = pTf = (m1 +m2) vf
Portanto:
vf =
m1
m1 +m2
vi
E imediatamente identificamos a equação que determina k:
k =
m1
m1 +m2
4
Item b
Aparentemente o item pede que o gráfico seja feito à mão. A seguir traçamos visualmente uma reta que
ajuste os pontos. Por "questões didáticas" segue o gráfico na forma digital.
ATENÇÃO: Cuidado com as escalas - Ao desenhar as retas vertical e horizontal calcule o comprimento
dessas retas lendo as coordenadas das extremidades da reta nos eixos do gráfico e não através de uma
régua!!! A régua pode ser usada apenas em papel log-log.
1,94
6
2 4 6 8 10
vi
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
vf
Figura 1: Gráfico da velocidade vf do conjunto como função da velocidade vi da esfera incidente.
O coeficiente angular da reta é:
a = k ≈ 1, 94
6
≈ 0, 323
Item c
Usando os valores médios m1 = 1, 0kg e m2 = 2, 0kg temos k = 0, 33333.
Já para o erro devemos usar propagação de erros:
σ2
k
=
(
∂k
∂m1
)2
σ2m1 +
(
∂k
∂m2
)2
σ2m2
As derivadas são:
∂k
∂m1
=
m2
(m1 +m2)
2 ,
∂k
∂m2
= − 1
(m1 +m2)
2
Calculando essas derivadas nos valores médios temos
∂k
∂m1
= 29 , e
∂k
∂m2
= − 19 , assim:
σ2
k
=
4
81
(0, 1)
2
+
1
81
(0, 1)
2
σk = 0, 024845
Temos finalmente k = 0, 33± 0, 02.
5
Tabela 1: Tabela para o cálculo do MMQ.
Item d
Para o cálculo dos coeficientes da reta pelo Método dos Mínimos Quadrados precisamos conhecer a
somatória de diversas combinações entre diferentes valores da tabela.
Como na questão anterior, colocaremos vi no eixo x e vf no eixo y. A equação da reta é da forma
y (x) = ax+ b.
Para facilitar os cálculos e evitar erros montamos uma tabela como mostrado abaixo:
Agora calculamos os coeficientes e seus erros.
Denominador ∆:
∆ =
(
10∑
i=1
wi
)(
10∑
i=1
wix
2
i
)
−
(
10∑
i=1
wixi
)2
= 25000× 962500− (137500)2
= 5156250000
Coeficiente angular a:
a =
(∑10
i=1 wi
)(∑10
i=1 wixiyi
)
−
(∑10
i=1 wixi
)(∑10
i=1 wiyi
)
∆
=
25000× 322700− 137500× 46125
5156250000
= 0, 334606
Coeficiente linear b:
b =
(∑10
i=1 wiyi
)(∑10
i=1 wix
2
i
)
−
(∑10
i=1 wixiyi
)(∑10
i=1 wixi
)
∆
=
46125× 962500− 322700× 137500
5156250000
= 0, 004666m/s
Erro do coeficiente angular σa:
6
σa =
√√√√(∑10i=1 wi)
∆
=
√
25000
5156250000
= 0, 002202
Erro do coeficiente linear σb:
σb =
√√√√(∑10i=1 wix2i)
∆
=
√
962500
5156250000
= 0, 01366m/s
Portanto:
a = k = 0, 335± 0, 002
b = (0, 00± 0, 01)m/s
Conforme o modelo teórico parak deveríamos ter b = 0, o que aproximadamente é verdade. Notamos
ainda que os valores de k obtidos pelos dois métodos coincidem perfeitamente dentro dos intervalos de
confiança, pois [0, 333; 0, 337] ∈ [0, 31; 0, 35].
7
Douglas
Textbox
Para aulas particulares na UNICAMP:nullDouglas - delgadosouza@gmail.com

Outros materiais