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Resolução da Lista de Exercícios 3-A (Lista da Apostila) Douglas D. Souza Questão 1 Para encontrarmos o melhor valor que representa um conjunto de medidas não similares (com diferentes desvios), precisamos levar em conta a precisão de cada medida, que está ligada à influência (expressa por wi = 1/σ 2 xi ) que ela deve ter sobre o resultado final. Partimos assim da expressão para χ2 e vamos minimizá-lo em termos do valor médio: χ2 = 3∑ i=1 wi (xi − xM )2 χ2 (xM ) = w1 (x1 − xM )2 + w2 (x2 − xM )2 + w3 (x3 − xM )2 Minimizando temos: d dxM χ2 (xM ) = 0 2w1 (x1 − xM ) (−1) + 2w2 (x2 − xM ) (−1) + 2w3 (x3 − xM ) (−1) = 0 Resolvendo para xM : (w1 + w2 + w3)xM − w1x1 − w2x2 − w3x3 = 0 xM = w1x1 + w2x2 + w3x3 w1 + w2 + w3 Ou seja, o melhor valor é uma média ponderada pelos wi, que estão intrinsecamente relacionados à precisão das medidas originais. Para encontrar o erro devemos usar propagação de erros. Temos portanto: σ2xM = ( ∂xM ∂x1 )2 σ2x1 + ( ∂xM ∂x2 )2 σ2x2 + ( ∂xM ∂x3 )2 σ2x3 Para as derivadas temos: ∂xM ∂x1 = w1 w1 + w2 + w3 , ∂xM ∂x2 = w2 w1 + w2 + w3 , ∂xM ∂x3 = w3 w1 + w2 + w3 Como σ2xi = 1 wi , temos: σ2xM = 1 (w1 + w2 + w3) 2 ( w21 w1 + w22 w2 + w23 w3 ) Finalmente: σ2xM = 1 w1 + w2 + w3 = 1 1 σ2 x1 + 1 σ2 x2 + 1 σ2 x3 = σ2x1σ 2 x2 σ2x3 σ2x1 + σ 2 x2 + σ2x3 ou, em outras palavras: 1 Douglas Textbox Para aulas particulares na UNICAMP:nullDouglas - delgadosouza@gmail.com wxM = w1 + w2 + w3 O que acontece quando as medidas são similares? Porque o erro é menor? Que tipo de erro estamos usando neste raciocínio? Questão 2 Temos um modelo matemático que descreve a medida indireta x em termos das medidas diretas x0, v0, t e a. O valor médio de x é aquele calculado sobre os valores médios das medidas diretas: x = x0 + v0t+ 1 2 at 2 A barra indica que o valor a ser usado é o valor médio, ou seja, o centro do intervalo. Para calculat o erro de x temos de usar propagação de erros: σ2x = ( ∂x ∂x0 )2 σ2x0 + ( ∂x ∂v0 )2 σ2v0 + ( ∂x ∂t )2 σ2 t + ( ∂x ∂a )2 σ2a Como a foi expresso sem desvio, assumiremos que seu desvio é muito menor que os outros desvios envolvidos e tomaremos σa = 0. Para as derivadas temos: ∂x ∂x0 = 1, ∂x ∂v0 = t, ∂x ∂t = v0 + at Devemos lembrar que as derivadas devem ser calculadas sobre os valores médios (x0 = x0, v0 = v0 e t = t), assim: σ2x = σ 2 x0 + t 2 σ2v0 + ( v0 + at )2 σ2 t Usando os valores dados no problema temos: x = 12, 8m σx = √ 1, 0145 = 1, 0072m Portanto: x = (13± 1)m Questão 3 Neste problema NÃO calcule diversos valores para a energia. Calcule a média da massa e seu respectivo erro, calcule a média da velocidade e seu erro e por fim a energia e seu erro, usando propagação de erros. 2 Cálculo da massa e seu erro Valor médio da massa m = 11, 0kg; Desvio padrão das medidas: σm = √∑5 i=1 (mi −m)2√ 5− 1 = √ 6 2 = 1, 22474 Erro estatístico (desvio padrão da média): σm = σm√ 5 = 0, 54772 Erro total (estatístico + instrumental): ∆m = √ σ2m + (∆minst.) 2 = 0, 74162kg Portanto: m = (11, 0± 0, 7) kg Cálculo da velocidade e seu erro Valor médio da velocidade v = 1, 1kg; Desvio padrão das medidas: σv = √∑5 i=1 (vi − v)2√ 5− 1 = √ 0, 06 2 = 0, 122474 Erro estatístico (desvio padrão da média): σv = σv√ 5 = 0, 054772 Erro total (estatístico + instrumental): ∆v = √ σ2v + (∆vinst.) 2 = 0, 074162kg Portanto: v = (1, 10± 0, 07)m/s Cálculo da energia e seu erro O valor médio da energia é a expressão para a energia calculada sobre os valores médios da massa e velocidade: E = 1 2 mv2 = 6, 655J Para o erro da energia nos é solicitado utilizar a forma reduzida:( σE E )2 = p2 (σm m )2 + q2 (σv v )2 Onde p é o expoente de m e q é o expoente de v: E = Ampvq. Identificamos p = 1 e q = 2 e obtemos: 3 σE = 6, 655 √ 1 ( 0, 7 11, 0 )2 + 4 ( 0, 07 1, 10 )2 = 0, 94697J Finalmente: E = (6, 7± 0, 9) J Questão 4 Inicialmente precisamos expressar G como função das outras quantidades: G = − FR 2 M1M2 De forma análoga à questão anterior, fazemos a propagação de erros: σ2 G = ( ∂G ∂F )2 σ2 F + ( ∂G ∂R )2 σ2 R + ( ∂G ∂M1 )2 σ2 M1 + ( ∂G ∂M2 )2 σ2 M2 Obtemos: ∂G ∂F = − R 2 M1M2 , ∂G ∂R = −2 FR M1M2 , ∂G ∂M1 = FR2 M21M2 , ∂G ∂M2 = FR2 M1M22 Calculando essas derivadas sobre os valores médios e dividindo tudo por G 2 obtemos: σ2 G G 2 = (1) 2 σ2 F F 2 + (2) 2 σ2 R R 2 + (−1)2 σ2 M1 M 2 1 + (−1)2 σ2 M2 M 2 2 Portanto: σG G = √√√√σ2F F 2 + 4 σ2 R R 2 + σ2 M1 M 2 1 + σ2 M2 M 2 2 Observe que esta expressão pode ser obtida diretamente da expressão da lista 3B. Questão 5 Item a Se temos conservação do momento linear devemos ter: pTi = m1vi = pTf = (m1 +m2) vf Portanto: vf = m1 m1 +m2 vi E imediatamente identificamos a equação que determina k: k = m1 m1 +m2 4 Item b Aparentemente o item pede que o gráfico seja feito à mão. A seguir traçamos visualmente uma reta que ajuste os pontos. Por "questões didáticas" segue o gráfico na forma digital. ATENÇÃO: Cuidado com as escalas - Ao desenhar as retas vertical e horizontal calcule o comprimento dessas retas lendo as coordenadas das extremidades da reta nos eixos do gráfico e não através de uma régua!!! A régua pode ser usada apenas em papel log-log. 1,94 6 2 4 6 8 10 vi 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 vf Figura 1: Gráfico da velocidade vf do conjunto como função da velocidade vi da esfera incidente. O coeficiente angular da reta é: a = k ≈ 1, 94 6 ≈ 0, 323 Item c Usando os valores médios m1 = 1, 0kg e m2 = 2, 0kg temos k = 0, 33333. Já para o erro devemos usar propagação de erros: σ2 k = ( ∂k ∂m1 )2 σ2m1 + ( ∂k ∂m2 )2 σ2m2 As derivadas são: ∂k ∂m1 = m2 (m1 +m2) 2 , ∂k ∂m2 = − 1 (m1 +m2) 2 Calculando essas derivadas nos valores médios temos ∂k ∂m1 = 29 , e ∂k ∂m2 = − 19 , assim: σ2 k = 4 81 (0, 1) 2 + 1 81 (0, 1) 2 σk = 0, 024845 Temos finalmente k = 0, 33± 0, 02. 5 Tabela 1: Tabela para o cálculo do MMQ. Item d Para o cálculo dos coeficientes da reta pelo Método dos Mínimos Quadrados precisamos conhecer a somatória de diversas combinações entre diferentes valores da tabela. Como na questão anterior, colocaremos vi no eixo x e vf no eixo y. A equação da reta é da forma y (x) = ax+ b. Para facilitar os cálculos e evitar erros montamos uma tabela como mostrado abaixo: Agora calculamos os coeficientes e seus erros. Denominador ∆: ∆ = ( 10∑ i=1 wi )( 10∑ i=1 wix 2 i ) − ( 10∑ i=1 wixi )2 = 25000× 962500− (137500)2 = 5156250000 Coeficiente angular a: a = (∑10 i=1 wi )(∑10 i=1 wixiyi ) − (∑10 i=1 wixi )(∑10 i=1 wiyi ) ∆ = 25000× 322700− 137500× 46125 5156250000 = 0, 334606 Coeficiente linear b: b = (∑10 i=1 wiyi )(∑10 i=1 wix 2 i ) − (∑10 i=1 wixiyi )(∑10 i=1 wixi ) ∆ = 46125× 962500− 322700× 137500 5156250000 = 0, 004666m/s Erro do coeficiente angular σa: 6 σa = √√√√(∑10i=1 wi) ∆ = √ 25000 5156250000 = 0, 002202 Erro do coeficiente linear σb: σb = √√√√(∑10i=1 wix2i) ∆ = √ 962500 5156250000 = 0, 01366m/s Portanto: a = k = 0, 335± 0, 002 b = (0, 00± 0, 01)m/s Conforme o modelo teórico parak deveríamos ter b = 0, o que aproximadamente é verdade. Notamos ainda que os valores de k obtidos pelos dois métodos coincidem perfeitamente dentro dos intervalos de confiança, pois [0, 333; 0, 337] ∈ [0, 31; 0, 35]. 7 Douglas Textbox Para aulas particulares na UNICAMP:nullDouglas - delgadosouza@gmail.com
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