F129 - Lista 3B - RESOLUÇÃO de Física Experimental 1

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Nome: Tiago Noboru Ukei RA: 104224 
Lista 3B – F129 
Questão 1 
Para facilitar os cálculos consideremos a combinação de dois pares de mesma distribuição quadrada. Para cada par, teremos: 
 
Tabela 1: Tabela de cálculo das flutuações para duas distribuições quadradas 
 
X1 = -2 X1 = -1 X1 = 0 X1 = 1 X1 = 2 
X2 = -2 -4 -3 -2 -1 0 
X2 = -1 -3 -2 -1 0 1 
X2 = 0 -2 -1 0 1 2 
X2 = 1 -1 0 1 2 3 
X2 = 2 0 1 2 3 4 
 
onde X1 e X2 são as flutuações em mm devido aos fatores 1 e 2, respectivamente. 
A partir da tabela acima, construímos a seguinte tabela para as probabilidades de ocorrência de cada flutuação na medida. 
 
Tabela 2: Probabilidade de ocorrência de flutuação para uma combinação de duas distribuições quadradas 
Flutuação 
(mm) 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
Probabilidade 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04 
 
Com os dados das tabelas acima, podemos combinar agora os dois pares de distribuições quadradas para construir as tabelas 
abaixo: 
 
Tabela 3: Flutuações para combinação de duas distribuições triangulares iguais 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
-4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 
-3 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 
-2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 
-1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
2 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 
3 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 
4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
 
Tabela 4: Probabilidades para combinação de duas distribuições triangulares iguais 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
 
0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04 
-4 0,04 0,0016 0,0032 0,0048 0,0064 0,0080 0,0064 0,0048 0,0032 0,0016 
-3 0,08 0,0032 0,0064 0,0096 0,0128 0,0160 0,0128 0,0096 0,0064 0,0032 
-2 0,12 0,0048 0,0096 0,0144 0,0192 0,0240 0,0192 0,0144 0,0096 0,0048 
-1 0,16 0,0064 0,0128 0,0192 0,0256 0,0320 0,0256 0,0192 0,0128 0,0064 
0 0,20 0,0080 0,0160 0,0240 0,0320 0,0400 0,0320 0,0240 0,0160 0,0080 
1 0,16 0,0064 0,0128 0,0192 0,0256 0,0320 0,0256 0,0192 0,0128 0,0064 
2 0,12 0,0048 0,0096 0,0144 0,0192 0,0240 0,0192 0,0144 0,0096 0,0048 
3 0,08 0,0032 0,0064 0,0096 0,0128 0,0160 0,0128 0,0096 0,0064 0,0032 
4 0,04 0,0016 0,0032 0,0048 0,0064 0,0080 0,0064 0,0048 0,0032 0,0016 
 
Finalmente, com os dados da tabela 4, podemos somar as probabilidades para cada flutuação, como apresentado na tabela abaixo. 
 
Tabela 5: Probabilidade de ocorrência de flutuação na medida para quatro fatores de mesma distribuição quadrada 
Flutuação (mm) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
Probabilidade 0,0016 0,0064 0,0160 0,0320 0,0560 0,0832 0,1088 0,1280 0,1360 0,1280 0,1088 0,0832 0,0560 0,0320 0,0160 0,0064 0,0016 
 
Plotando os dados da tabela 5, no Excel, obtemos o gráfico abaixo: 
 
 
Figura 1: Gráfico da probabilidade de ocorrência de flutuações para uma combinação de quatro fatores com mesma distribuição quadrada 
Questão 2 
Como a medida da distância entre a função e os pontos deve ser sempre positiva, tomemos para essa distância a soma das 
distâncias entre o valor da função ( ) e os pontos ( ) elevadas à quarta potência, dada por: 
 
 ∑ 
 
 
 
 ∑( ( ))
 
 
 
 
 
Veja a figura abaixo, que ilustra a distância para um dos pontos. 
 
 
Figura 2: Gráfico hipotético com ajuste linear para ilustrar a medida da distância entre um ponto e a função de ajuste 
Questão 3 
(a) Consideremos três casos distintos: no primeiro, coloquemos em uma posição anterior a todos os outros pontos; no segundo, 
posicionemos após todos os demais pontos; e por último, suponhamos numa posição entre o primeiro e o último ponto. 
 
Figura 3: Três situações distintas para a localização de 
Note que, para o primeiro caso, temos: 
 | | | | | | 
e, para o segundo, temos 
 | | | | | | 
e, para o terceiro 
 | | | | | | 
 
Além disso, note que, para qualquer caso em que colocarmos entre as extremidades do conjunto de pontos, a soma das 
distâncias entre os valores extremos e será sempre igual à própria distância entre os extremos. Logo: 
 
| | | | ( ) ( ) 
 
Ademais, essa distância será sempre menor do que se tivéssemos posicionado além das extremidades, uma vez que teríamos 
que somar a esse valor o dobro da distância entre e a extremidade mais próxima, como podemos observar nos dois primeiros casos. 
Portanto, minimizar neste caso significa minimizar a distância entre e o valor do meio. Logo, devemos posicionar o ponto 
sobre o ponto do meio, ou seja, 
 
 
Mas, observando a figura abaixo, não parece ajustar muito bem os três pontos plotados, pois está muito próximo de uma das 
extremidades. 
 
Figura 4: Posição de que minimiza a medida 
(b) Definindo agora 
 ∑( )
 
 
 
 ( )
 ( )
 ( )
 
temos que 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
e 
 
 
 
 
Como a segunda derivada de em relação a é positiva, podemos afirmar que tem um mínimo onde sua derivada se anula. 
Logo: 
 
 
 ( ) 
 
⇒ 
 
 
 
é o valor que minimiza . 
Note que o valor encontrado para é a própria média dos valores que queremos ajustar. Esse ponto, portanto, é o que melhor 
ajusta os valores plotados na reta. 
 
Figura 5: Valor ajustado pelo 
(c) Havíamos definido 
 ∑( ( ))
 
 
 
 
que, adaptado ao nosso problema fica 
 ∑( )
 
 
 
 ( )
 ( )
 ( )
 
Temos: 
 
 
 ( )
 ( )
 ( )
 
e 
 
 
 ( )
 ( )
 ( )
 
 
Novamente, a segunda derivada de é sempre positiva e, portanto, deve ter um mínimo onde sua derivada se anula. Logo: 
 
 
 [( )
 ( )
 ( )
 ] 
 
⇒ 
 
 
 
Resolvendo a equação acima numa calculadora, obtemos a única raiz real: 
 
 
que é o valor que minimiza neste caso. 
 
Figura 6: Valor de que minimiza “inventado” 
Questão 4 
O Método dos Mínimos Quadrados só é aplicável para funções lineares nos parâmetros, ou se for possível fazer uma substituição 
de variáveis conseguindo transformar a função não linear em uma linear. De outra forma, não é possível encontrar soluções simples e não 
temos a garantia de encontrarmos um mínimo global. 
Em nosso caso, a função ( ) é linear para os parâmetros e , mas não é linear para . Note que se 
substituíssemos , a função continuaria não sendo linear, pois haveria um produto . 
No entanto, fixando-se valores para , a função torna-se linear para os parâmetros e , possibilitando a aplicação do método para 
encontrar os valores de e . 
Questão 5 
(a) Temos que , e 
Tabela 6: Pontos experimentais para ajuste 
 0 5 10 15 20 25 30 
 0,00 0,53 1,40 1,59 2,79 2,67 4,17 
 
Logo, temos ( ) e queremos minimizar 
 
 ∑
 
 
( ( ))
 
 
 
 ∑
 
 
( )
 
 
 
 
 
Como é o mesmo para todas as medidas e não depende de , podemos tirar da somatória. Derivando em relação a , temos 
 
 
 
 
 
∑[ ( )]
 
 
 
 
⇒
 
 
 
 
 
∑[ 
 ]
 
 
 
 
⇒∑[( 
 ) ( ) ]
 
 
 
Agora, derivando em relação a , temos 
 
 
 
 
 
 
∑[ ( )]
 
 
 
 
⇒
 
 
 
 
 
∑[ 
 ]
 
 
 
 
⇒∑[( ) ( 
 ) ]
 
 
 
 
Vamos retirar os índices por efeito de simplificação e separar as somatórias, obtendo o seguintesistema: 
 
{
(∑ ) (∑ ) (∑ )
(∑ ) (∑ ) (∑ )
 
 
Resolvendo o sistema pela regra de Cramer, temos: 
 
 
(∑ )(∑ ) (∑ )(∑ )
(∑ )(∑ ) (∑ ) 
 
 
 
(∑ )(∑ ) (∑ )(∑ )
(∑ )(∑ ) (∑ ) 
 
 
Colocando os dados numa tabela auxiliar, obtemos: 
 
Tabela 7: Tabela para cálculo do ajuste para os pontos pelo método dos mínimos quadrados 
 
0 0,00 0,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 
5 0,53 2,65 25 -0,5410 0,0117 -0,0573 
10 1,40 14,00 100 2,1512 0,0463 0,3012 
15 1,59 23,85 225 -4,7928 0,1021 -0,5080 
20 2,79 55,80 400 8,4033 0,1765 1,1723 
25 2,67 66,75 625 -12,8970 0,2661 -1,3774 
30 4,17 125,10 900 18,1662 0,3667 2,5251 
Soma 288,15 2275 10,4899 0,9694 2,0558 
 
Logo, substituindo os valores nas equações acima, temos: 
 
 e 
 
(b) Plotando os dados no Origin, temos 
 
Figura 7: Gráfico dos pontos da tabela 6, com curva de ajuste 
Questão 6 
(a) O tamanho médio da vara é dado por: 
 ̅ ∑ ̅
 
 
 
 
Como cada gomo possui tamanho ( ) , uma vara de três gomos terá um tamanho médio de: 
 
 ̅ ̅ ̅ ̅ 
 
Para o cálculo do erro, temos 
 
 ∑(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
Como os erros são os mesmos para todos os gomos e 
 
 
 , podemos simplificar, fazendo: 
 
 
 
 ∑( ) 
 
 
 
 
⇒ 
 
 
 
⇒ √ 
 
Para uma vara de , temos: 
 √ 
 
Logo, temos que o comprimento total da vara é: 
 ( ) 
 
(b) Procedendo da mesma maneira que no item anterior, agora para , temos: 
 ̅ ∑ ̅
 
 
 
e 
 √ 
Logo, temos: 
 ( ) 
Questão 7 
(a) Calculemos a propagação de erros para a função: 
 ( ) 
 
Da fórmula de propagação de erros, temos 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
⇒ 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Dividindo a expressão acima por ( ) : 
 
 
 
 
 
( ) 
( ) 
 
 
( ) 
( ) 
 
 
( ) 
( ) 
 
 
 
 
⇒ (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
⇒ (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
⇒ (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
Como estamos trabalhando com o valor médio, podemos escrever: 
 
(
 ̅
 ̅
)
 
 (
 ̅
 ̅
)
 
 (
 ̅
 ̅
)
 
 (
 ̅
 ̅
)
 
 
 
(b) Sim, a constante influencia no valor do erro ̅, pois 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
⇒ √( ) ( ) ( ) 
Logo, o erro ̅ é diretamente proporcional à constante , apesar de esta não influenciar o erro relativo (
 ̅
 ̅
). 
(c) Essa “fórmula” é válida para quaisquer valores de , , reais. 
Questão 8 
Calculemos primeiramente a constante elástica média ̅: 
 
 ̅ 
 ̅ ̅ 
 ̅ ̅ 
 
⇒ ̅ 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Agora, calculando o erro pela fórmula demonstrada na questão anterior, temos: 
 
(
 ̅
 ̅
)
 
 (
 ̅
 ̅
)
 
 (
 ̅
 ̅
)
 
 ( ) (
 ̅
 ̅
)
 
 ( ) (
 ̅
 ̅
)
 
 
 
⇒ (
 ̅
 ̅
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
⇒
 ̅
 ̅
 √ 
 
⇒ ̅ 
 
 
Logo, temos 
 
 ( ) 
 
Ou ainda, 
 
 ( )