MEC442 - FunçõesdeTransferênciaJosemar

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Funções de Transferência 
 
 
 
 
 Em teoria de controle, funções chamada funções de transferência são 
comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes 
ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais. 
 
 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
 
 A função de transferência de um sistema de equação diferenciais lineares é 
definida como a relação da transformada de Laplace da saída para a transformada de 
Laplace da entrada. 
 
 Consideramos o sistema definido pela seguinte equação diferencial: 
 
a
d y
dt
a
d y
dt
a
dy
dt
a y b
d x
dt
b
d x
dt
b
dx
dt
b xn
n
n n
n
n m
m
m m
m
m+ + + + = + + + +−
−
− −
−
−1
1
1 1 0 1
1
1 1 0... ... 
 
Onde y é saída do sistema e x é a entrada e n ≥ m. 
 
 
 A função de transferência do sistema é obtida tomando-se a transformada de 
Laplace de ambos os membros da equação. 
 
 função de transferência ( )G s saída
entrada
= LL
[ ]
[ ]
condições iniciais nulas. 
 
 G s
Y s
X s
b s b s b s b
a s a s a s a
b s
a s
m
m
m
m
n
n
n
n
i
i
i
m
i
i
i
n( )
( )
( )
...
...
= = + + + ++ + + + =
−
−
−
−
=
=
∑
∑
1
1
1 0
1
1
1 0
0
0
 
 
 
 Usando o conceito de função de transferência, é possível representar a 
dinâmica do sistema pelas equações algébricas em "s". 
 
 A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos sistemas 
de equações diferenciais lineares invariantes no tempo. 
 
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29 
 
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
 
 
 Suponha a seguinte equação diferencial de 1a ordem : 
 
 V C
dT
dt
wC T T Qiρ = − +( ) 
 
 Se o processo está inicialmente no estado estacionário, portanto: 
 
 
( )
( )
( )
T T
T T
Q Q
i i
i
0
0
0
=
=
=
 
 
 A saída T está relacionada às entradas Ti e Q pelo balanço de energia no 
estado-estacionário. 
 
 0 = − +wC T T Qi( ) 
 
 Para eliminar a dependência do modelo das condições estacionárias, subtrai-se 
a relação no estado-estacionário da equação diferencial do modelo. 
 
 [ ] ( )V C dTdt wC T T T T Q Qi iρ = − − − + −( ) ( ) 
 
 [ ] ( )Vw d T Tdt T T T T wC Q Qi iρ ( ) ( ) ( )− = − − − + −1 
 
 fazendo ′= − ′ = − ′ = −T T T T T T e Q Q Qi i i , temos: 
 
 [ ]Vw dTdt T T wC Qiρ ′ = ′− ′ + ′1 
 
 Substituindo : τ ρ= =V
w
e K
wC
1 temos: 
 
 [ ]τ dTdt T T KQi′ = ′− ′ + ′ 
 
 Aplicando Laplace: 
 
 ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )τ sT s T T s T s KQ si' ' ' ' '+ = − +0 
 
 
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 Como T'(0) = 0 então: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )τ sT s T s T s KQ si' ' ' '= − + 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )τs T s T s KQ si+ = +1 ' ' ' 
 
 ( ) ( ) ( )T s
s
T s
K
s
Q si' ' '= + + +
1
1 1τ τ 
 
 Portanto: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T s G s T s G s Q si' ' '= +1 2 
 
 Onde: 
 
 ( )G s
s1
1
1
= +τ 
 
 ( )G s K
s2 1
= +τ 
 
 
 
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
 
 1- É um modelo matemático expresso através de uma equação 
diferencial que relaciona a saída com a entrada. 
 
 2- Independe da magnitude e da natureza da entrada . 
 
 3- Inclui as unidades das entradas e saídas. 
 
 4- Não fornece informações sobre a estrutura física do sistema. 
 
 5- Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se 
 entradas conhecidas e analisando as saídas. 
 
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PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
 
 
GANHO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
 A variação da saída no estado-estacionário é calculado diretamente, fazendo S 
= O. Em G(s) dá o ganho no estado-estacionário do processo, se ele existe. 
 
 O ganho no estado-estacionário é a razão entre a variação da saída com a 
variação da entrada. 
 
 K
y y
x x
b
a
= −− =
2 1
2 1
0
0
 
 
 Onde : 1 e 2 indicam diferentes estados-estacionários ( )y e x . 
 
 
ORDEM DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
 A ordem da função de transferência é a maior potência de "s" no denominador 
do polinômio que é a ordem da equação diferencial equivalente. O sistema é 
chamado de n-ésima ordem. 
 
 
CONSTANTE DE TEMPO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
 Se ambos o numerador e denominador forem divididos por ao polinômio 
característico (denominador) pode ser fatorado na forma de produto ( )τ i si +∏ 1 . O 
termo em "s" é chamado constante de tempo (τi) que dá uma informação da 
velocidade e das características da resposta do sistema. 
 
 
REALIZAÇÃO FÍSICA 
 
 Dado um sistema descrito por 
 
 G s
b s b s b s b
a s a s a s a
m
m
m
m
n
n
n
n( )
...
...
= + + + ++ + + +
−
−
− −
−
1
1
1 0
1 1
1
1 0
 
 
é fisicamente possível se n m≥ . 
 
 
 
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PÓLOS E ZEROS 
 
 Dada a função de transferência: 
 
 G s
b s b s b s b
a s a s a s a
m
m
m
m
n
n
n
n( )
...
...
= + + + ++ + + +
−
−
− −
−
1
1
1 0
1 1
1
1 0
 
 Esta expressão pode ser fatorada em 
 
 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )G s
b
a
s z s z s z
s p s p s p
m
n
m
n
= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − −
− − −
1 2
1 2
...
...
 
onde: zi são os zeros da função de transferência 
 pi são os pólos de função de transferência 
 
 Os pólos e zeros tem um papel importante na determinação do comportamento 
dinâmico do sistema. 
 Podemos visualizar o tipo de comportamento dinâmico associado a cada tipo de 
pólo: 
• distintos e reais; 
• pares complexos e conjugados (a ± b j); 
• múltiplos 
 
 raízes forma Lugar 
das 
raízes 
Compor
tamento
1 pólos reais e 
negativos 
 
p1 = -a1
( )y t C e a t= −1 1 
 
2 pólos reais e 
positivos 
 
p1 = a1 
( )y t C ea t= 1 1 
 
3 pólos 
complexos 
conjugados 
com parte real 
negativa 
p1 = - a 
+ bi 
p2 = - a -
bi 
( ) ( )y t e C bt C btat= +− 1 2cos sen
 
4 pólos 
imaginários 
puros 
p1 = bi 
p2 = - bi
( )y t C bt C bt= +1 2cos sen
 
5 pólos 
complexos 
conjugados 
com parte real 
positiva 
p1 = a + 
bi 
p2 = a - 
bi 
( ) ( )y t e C bt C btat= +1 2cos sen 
 
 
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33 
PROCESSO 
 
 
 Os processos reais consistem na combinação de sistemas básicos elementares. 
É fundamental para o bom conhecimento desses processos entender o 
comportamento dos sistemas elementares. 
 
 
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 Sistemas de primeira ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por 
equações diferenciais de primeira ordem . 
 
Modelo 
 
 a dy
dt
a y bu1 0+ = 
 
Onde: y - Variável saída 
 u - Variável entrada 
 
 
a
a
dy
dt
y
b
a
u
dy
dt
y K up p
1
0 0
+ = ∴ + =τ 
 
Parâmetros de dinâmica 
 
 τp - constante de tempo 
 Kp - ganho do processo 
 
Função de transferência 
 
 No domínio “s” temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )τ τp p
p
p
sy s y s K u s G s
K
s
+ = ∴ = +1 
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Exemplo 
 
 Um reator de mistura perfeita , com nível constante e reação de primeira ordem. 
 
 
Balanço Material 
 
 ( )V dCdt F C C KCA A A A+ − + =0 0 
 
 ( )V dC
dt
F K C FCA A A+ + = 
 
 V
F K
dC
dt
C
F
F K
CA A A+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + = + 0 
 
 τ dC
dt
C K CA A p A+ = 0 
 
onde: 
 K
F
F K
e
V
F Kp
= + = +τ 
 
No domínio "s" temos : 
 
 () ( ) ( )τ p A A p AsC s C s K C s+ = 0 
 
 ( ) ( )( )G s
C s
C s
Kp
s
A
A p
= = +
0
1τ 
 
A resposta dinâmica de primeira ordem depende do tipo de entrada 
 
 
 
 
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Resposta ao degrau 
 
 ( ) ( )( )G s
C s
C s
Kp
s
A
A p
= = +
0
1τ (Função de transferência) 
 
 ( ) ( )C s K
s
C sA
p
p
A= +τ 1 0 
 
 ( )C s M
SA0
= (Degrau) 
 
 ( )C s K
s
M
SA
p
p
= + ⋅τ 1 
 
 No domínio t (transformada inversa de Laplace) 
 
 ( )C t K M eA p
t
p= −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
1 τ 
 
 
 
 
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
 Sistema de segunda ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por 
equações diferenciais de segunda ordem. 
 
 Também pode ser composto por duas funções de transferência de 1a ordem em 
série. 
 
Modelo 
 
 a
d y
dt
a
dy
dt
a y bu
a
a
d y
dt
a
a
dy
dt
y
b
a
u2
2
2 1 0
2
0
2
2
1
0 0
+ + = ∴ + + = 
 
 τ ζτ2
2
2 2
d y
dt
dy
dt
y k up+ + = 
 
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36 
se considerarmos ω τn =
1
 e multiplicando todos os termos por ωn2 temos: 
 
 
d y
dt
dy
dt
y k un n p n
2
2
2 22+ + =ζω ω ω 
 
Parâmetros de dinâmicos 
 
 Kp - Ganho estacionário do processo 
 ξ - Fator de amortecimento 
 τ - Determina a velocidade da resposta ( equivalente à constante de 
 tempo do processo ) 
 ωn - Freqüência natural de oscilação do processo. 
 
Função de transferência 
 
 No domínio "s" temos 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )τ ζ τ2 2 2s y s sy s y s K u sp+ + = 
 
 ( ) ( )( )G s
y s
u s
K
s s
p= = + +τ ζτ2 2 2 1 
 
ou 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )s y s sy s y s K u sn n p n2 2 22+ + =ζ ω ω ω 
 
 ( ) ( )( )G s
y s
u s
K
s s
p n
n n
= = + +
ω
ζω ω
2
2 22
 
 
 
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Há três formas importantes das funções de transferência de segunda ordem: 
 
 
Form
a 
Faixa do 
Fator de 
Amortecimen
to 
característic
a de 
resposta do 
sistema 
características 
dos pólos 
(raízes) 
1 ζ > 1 sobre 
amortecido
pólos reais e 
distintos
2 ζ = 1 criticamente 
amortecido
pólos reais e 
iguais
3 0 < ζ < 1 sub 
amortecido
pólos 
complexos e 
conjugados 
 
 
 O caso mais importante é o sistema sub-amortecido. 
 
 Há uma série de parâmetros de interesse na resposta do sistema. 
 
 
 
 Freqüência de Oscilação Amortecida 
 
 ω ω ζ ω ζτd n dou= − =
−
1
12
2
 
 
 Período de Oscilação Amortecida 
 
 Pd
d
= 2πω 
 
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 Rise Time(tr) - tempo de subida - Tempo onde a resposta alcança o 
 novo estado-estacionário pela 1a vez. É uma medida da 
 velocidade de resposta do sistema ao degrau. 
 
 tr
d
= πω2 
 
 Time to first peak (tp) - instante para o 1o pico - Tempo em que o 
 sistema atinge o 1o pico. 
 
 t p
d
= πω 
 
 Settling Time - tempo de estabilização - Tempo requerido para que o 
 processo tenha a resposta na banda de 5% do estado- 
 estacionário 
 
 t s
n
= 4ζω 
 
 Overshoot - sobre-sinal - Quantidade máxima na qual a resposta 
 ultrapassa o valor do estado-estacionário. É representado 
como uma fração do valor em estado-estacionário. 
 
 O
a
b
es = =
−
−
πζ
ζ1 2 
 
 Decay-ratio - razão de decaimento - Razão entre as amplitudes de dois 
 picos consecutivos. 
 
 ( )D c
a
O er s= = =
−
−2
2
1 2
πζ
ζ 
 
 
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SISTEMAS COM TEMPO MORTO 
 
 
 O tempo morto é uma característica presente em muitos processos, é 
conhecida como dinâmica de tubulação e a propriedade do sistema de responder a 
uma entrada após um certo tempo, td. 
 
 
 
Modelo 
 
 ( ) ( )y t x t td= − 
 
Parâmetros de dinâmica 
 
 td - Tempo morto 
 
Função de transferência 
 
 
( ) ( )( )Gp s
y s
x s
e t d s= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−
 
 
SISTEMA COM RESPOSTA INVERSA 
 
 A resposta inversa é o resultado de dois efeitos opostos. 
 
 
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Função de transferência 
 
 ( ) ( )( )( )G s
K s
s s
ondep a a=
+
+ + <
τ
τ τ τ
1
1 1
0
1 2
 
 
ou 
 
 ( ) ( ) ( )G s
K
s
K
s
= + − +
1
1
2
21 1τ τ 
 
supondo K1 e K2 positivos, então K1τ2 < K2τ1. 
 
PROCESSOS DE INTEGRADORES 
 
 Processos integradores são aqueles que não estabilizam com o tempo. Um 
caso típico é um sistema de nível de líquido. 
 
 
 
Exemplo - Nível de Líquido 
 
 
 A
dh
dt
q qi= − 
 
fazendo ′ = −q q qi temos: 
 
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 A dh
dt
q= ′ 
 
No domínio "s" temos 
 
 ( ) ( )Ash s q s= ′ 
 
 ( ) ( )h s
As
q s= ′1 
 
 
( )
( )
h s
q s As′ =
1