Cap. 3
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Cap. 3


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MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS:
ESTÁTICA
Nona Edição
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Notas de Aula:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPÍTULO
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 
3 Corpos Rígidos: 
Sistemas Equivalentes 
de Forças
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
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o
n
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Edição
Conteúdo
3 - 2
Introdução
Forças Externas e Forças Internas
Princípio da Transmissibilidade: 
Forças Equivalentes
Produto Vetorial de Dois Vetores
Momento de uma Força em Relação a 
um Ponto
Teorema de Varignon
Componentes Retangulares do 
Momento de uma Força
Problema Resolvido 3.1
Produto Escalar de Dois Vetores
Produto Escalar de Dois Vetores: 
Aplicações
Produto Triplo Misto de Três Vetores
Momento de uma Força em Relação a 
um Dado Eixo
Problema Resolvido 3.5
Momento de um Binário
Adição de Binários
Binários Podem Ser Representados por 
Vetores
Substituição de uma Dada Força por uma 
Força em O e um Binário
Problema Resolvido 3.6
Sistema de Forças: Redução a Uma 
Força e Um Binário
Casos Particulares de Redução de um 
Sistema de Forças
Problema Resolvido 3.8
Problema Resolvido 3.10
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
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Edição
Introdução
3 - 3
\u2022 Nem sempre é possível tratar um corpo como uma única partícula. Em 
geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplicação específicos de cada 
uma das forças que nele atuam devem ser considerados.
\u2022 Supõe-se que a maioria dos corpos considerados em mecânica elementar 
são rígidos, isto é, as deformações reais são pequenas e não afetam as 
condições de equilíbrio ou de movimento do corpo.
\u2022 Este capítulo descreve o efeito de forças exercidas em um corpo rígido e 
como substituir um dado sistema de forças por um sistema equivalente mais 
simples. Para tanto, são importantes os seguintes conceitos:
\u2022 momento de uma força em relação a um ponto
\u2022 momento de uma força em relação a um eixo
\u2022 momento devido a um binário
\u2022 Qualquer sistema de forças atuando em um corpo rígido pode ser 
substituído por um sistema equivalente composto por uma única força 
atuando em um dado ponto e um binário.
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Edição
Forças Externas e Forças Internas
3 - 4
\u2022 Forças atuando em corpos rígidos 
são divididas em dois grupos:
- Forças Externas
- Forças Internas
\u2022 Forças externas são mostradas em 
um diagrama de corpo livre.
\u2022 Se não for contrabalanceada, 
cada uma das forças externas 
pode imprimir ao corpo rígido 
um movimento de translação ou 
de rotação, ou ambos.
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Princípio da Transmissibilidade: Forças Equivalentes
3 - 5
\u2022 Princípio da Transmissibilidade -
As condições de equilíbrio ou de movimen-
to de um corpo não se modificam ao se 
transmitir a ação de uma força ao longo de 
sua linha de ação.
OBSERVAÇÃO: na figura ao lado F e F\u2019 
são forças equivalentes.
\u2022 Para o caminhão ao lado, o fato de 
mudar o ponto de aplicação da 
força F para o para-choque traseiro 
não altera o seu movimento e nem 
interfere nas ações das demais 
forças que nele atuam.
\u2022 O princípio da transmissibilidade 
nem sempre pode ser aplicado na 
determinação de forças internas e 
deformações.
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Produto Vetorial de Dois Vetores
3 - 6
\u2022 O conceito de momento de uma força em relação 
a um ponto é mais facilmente entendido por meio 
das aplicações do produto vetorial.
\u2022 O produto vetorial de dois vetores P e Q é definido 
como o vetor V que satisfaz às seguintes condições:
1.A linha de ação de V é perpendicular ao plano 
que contém P e Q.
2.A intensidade de V é
3.A direção e o sentido de V são obtidos pela regra 
da mão direita.
\u3b8sen QPV =
\u2022 Produtos vetorias:
- não são comutativos,
- são distributivos,
- não são associativos,
( )QPPQ ×\u2212=×
( ) 2121 QPQPQQP ×+×=+×
( ) ( )SQPSQP ××\u2260××
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Produtos Vetoriais: Componentes Retangulares
3 - 7
\u2022 Produtos vetoriais de vetores unitários:
0
0
0
=×=×\u2212=×
\u2212=×=×=×
=×\u2212=×=×
kkikjjki
ijkjjkji
jikkijii
rrrrvrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
\u2022 Produto vetorial em termos de 
componentes retangulares:
( ) ( )kQjQiQkPjPiPV zyxzyx rrrrrrr ++×++=
( ) ( )
( )kQPQP
jQPQPiQPQP
xyyx
zxxzyzzy
r
rr
\u2212+
\u2212+\u2212=
zyx
zyx
QQQ
PPP
kji
rrr
=V
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Momento de uma Força em Relação a um Ponto
3 - 8
\u2022 Uma força é representada por um vetor que define sua 
intensidade, sua direção e seu sentido. Seu efeito em um 
corpo rígido depende também do seu ponto de aplicação.
\u2022 O momento de uma força F em relação a um ponto 
O é definido como
FrMO ×=
\u2022 O vetor momento MO é perpendicular ao plano que 
contém o ponto O e a força F.
\u2022 Qualquer força F\u2019 que tem a mesma intensidade, direção e 
sentido de F, é equivalente a ela se também tem sua mesma 
linha de ação e portando, gera o mesmo momento.
\u2022 A intensidade de MO expressa a tendência da força de 
causar rotação em torno de um eixo dirigido ao longo 
de MO.
O sentido do momento pode ser determinado pela regra 
da mão direita.
FdrFMO == \u3b8sen 
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Momento de uma Força em Relação a um Ponto
3 - 9
\u2022 Estruturas bidimensionais têm comprimento e largura, 
mas profundidade desprezível e estão sujeitas a forças 
contidas no plano da estrutura.
\u2022 O plano da estrutura contém o ponto O e a força F. MO, 
o momento da força em relação a O, é perpendicular ao 
plano.
\u2022 Se a força tende a girar a estrutura no sentido anti-
horário, o vetor momento aponta para fora do plano da 
estrutura e a intensidade do momento é positiva.
\u2022 Se a força tende a girar a estrutura no sentido horário, o 
vetor momento aponta para dentro do plano da estrutura e 
a intensidade do momento é negativa.
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Teorema de Varignon
3 - 10
\u2022 O momento em relação a um dado ponto O da 
resultante de diversas forças concorrentes é 
igual à soma dos momentos das várias forças 
em relação ao mesmo ponto O.
\u2022 O teorema de Varignon torna possível 
substituir a determinação direta do momento 
de uma força F pela determinação dos 
momentos de duas ou mais forças que a 
compõe.
( ) LrrrrLrrr +×+×=++× 2121 FrFrFFr
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Componentes Retangulares do Momento de uma Força
3 - 11
( ) ( ) ( )kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
kMjMiMM
xyzxyz
zyx
zyxO
rrr
rrr
rrrr
\u2212+\u2212+\u2212=
=
++=
O momento de F em relação a O,
kFjFiFF
kzjyixrFrM
zyx
O
rrrr
rrrrrrr
++=
++=×= ,
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Componentes Retangulares do Momento de uma Força
3 - 12
Momento de F em relação a B:
FrM BAB
rrr