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Unidade I
LÓGICA MATEMÁTICA
Profa. Ana Carolina Bueno
O que é lógica
 É a ciência do raciocínio dedutivo.
 Estuda a relação de consequência 
dedutiva.
 Pode ser considerada como “o estudo da 
razão” ou “o estudo do raciocínio”.razão ou o estudo do raciocínio .
 Ensina a colocar “ordem no 
pensamento”.
Proposições
Proposições:
São sentenças declarativas, que satisfazem 
três princípios fundamentais:
 Princípio da identidade: se qualquer 
proposição é verdadeira, então, ela éproposição é verdadeira, então, ela é 
verdadeira.
 Princípio do terceiro excluído: uma 
proposição só pode ser verdadeira ou
falsa.
 Princípio da não contradição: uma Princípio da não contradição: uma 
proposição não pode ser ao mesmo 
tempo verdadeira e falsa.
Continuação de proposições
 Uma proposição pode assumir dois 
valores lógicos: V (verdadeiro) e F 
(falso).
 Também encontrados como 0 (significa 
F) e 1 (significa V).
As proposições simples são indicadas 
pelas letras minúsculas latinas p, q, r, s, t, 
u, v, x etc.; por exemplo:
 p: “Júpiter é um planeta”.
 q: “A somatória dos ângulos internos de q: A somatória dos ângulos internos de 
qualquer triângulo é 180º”.
Proposições lógicas
Proposições lógicas:
 p: “o estado do Paraná faz divisa com o 
Equador” (F) ou (0).
 q: “São Paulo é uma metrópole” (V) ou 
(1).(1).
 r: “todas as árvores são frutíferas” (F) ou 
(0).
Proposições não lógicas: 
 “5 + 7”
 “x + 8 = 23” 
Continuação das proposições
A proposição composta é formada pela 
combinação de duas ou mais proposições e 
são indicadas pelas letras maiúsculas 
latinas P, Q, R, S etc; por exemplo:
 P: João é careca e Alice é estudante.
 Q: Alice é bonita ou Viviane é estudante.
 R: Se Roberto é físico, então sabe 
matemática.
 Conectivos são palavras que se usam 
para formar novas proposições a partirpara formar novas proposições a partir 
de outras (e, ou, não, então, se e 
somente se etc).
Tabela verdade
 Para determinar o valor lógico de uma 
proposição composta, recorre-se à 
tabela verdade, na qual figuram todos os 
possíveis valores lógicos da proposição 
composta correspondentes a todas as 
possíveis combinações de valorespossíveis combinações de valores 
lógicos das proposições simples 
componentes.
p
p q
V V Proposição 
V
F
V F
F V
F F
p ç
composta de duas 
proposições simples
Tabela verdade
p q r
V V V
V V F
Proposição 
composta de três 
proposições simples
V F V
V F F
F V V
proposições simples
F V F
F F V
F F F
Operações lógicas sobre 
proposição
 As proposições lógicas simples, por 
exemplo, p e q, podem ser combinadas 
através dos operadores lógicos 
(conectivos) ר, ש→ e ↔, e passarem a 
formar proposições compostas, do tipo 
p ר q p ש q p q e p qp ר q, p ש q, p → q e p ↔ q.
 Conjunção: p ר q (“p e q”).
 Disjunção: p ש q (“p ou q”).
 Condicional: p → q (“se p, então, q”).
 Bicondicional: p ↔ q (“p se e somente Bicondicional: p ↔ q ( p se, e somente 
se q”).
Negação
 A negação da proposição p será ~p ou 
~p, que se lê “não p”.
 p: “dois pontos determinam uma reta”.
 ~p: “dois pontos não determinam uma 
reta”.reta .
 Duas negações equivalem a uma 
afirmação. Dessa forma, ~(~p) = p.
 p: 3 + 3 = 6 (V) e ~p: 3 + 3 ≠ 6 (F), 
que pode ser reescrito por meio 
da expressão dos valores
p ~p
da expressão dos valores 
lógicos como: 
V(~p) = ~V(p) = ~V = F.
V F
F V
Conjunção
p q p ^ q
V V V
V F F
F V FF V F
F F F
p: a clara do ovo é branca (V)
q: 3 < 7 (V)
p ר q: a clara do ovo é branca e 3 < 7 (V)p ר q: a clara do ovo é branca e 3 < 7 (V)
V(p ר q) = V(p) ר V (q) = V ר V = V
Disjunção
p q p v q
V V V
V F V
F V VF V V
F F F
p: Camões escreveu “Os Lusíadas” (V)
q:  = 2,9 (F)
p v q: Camões escreveu “Os Lusíadas” oup v q: Camões escreveu Os Lusíadas ou 
 = 2,9 (V)
V(p ש q) = V(p) ש V (q) = V ש F = V
Condicional
p q p  q
V V V
V F F
F V V
• p é condição 
suficiente para q.
• q é condição 
necessária para p.F V V
F F V
p: o mês de dezembro tem 31 dias (V)
q: Marte é verde (F)
p → q: se o mês de dezembro tem 31 diasp → q: se o mês de dezembro tem 31 dias, 
então Marte é verde (F).
V(p → q) = V(p) → V (q) = V → F = F
Condicional
p q p  q
V V V
V F F
F V V
 p é condição 
suficiente para q.
 q é condição 
necessária para p.F V V
F F V
p: Cabral escreveu a “Odisseia” (F)
q: Cantor criou a teoria dos conjuntos (V)
p → q: se Cabral escreveu a “Odisseia”p → q: se Cabral escreveu a Odisseia , 
então Cantor criou a teoria dos conjuntos 
(V) V(p → q) = V(p) → V (q) = F → V = V
Bicondicional
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
 p é condição 
necessária e 
suficiente para q.
 q é condição 
necessária eF V F
F F V
p: Einstein descobriu o Brasil (F)
q: Tiradentes foi um mártir (V)
p ↔ q: Einstein descobriu o Brasil se e
necessária e 
suficiente para p.
p ↔ q: Einstein descobriu o Brasil se e 
somente se Tiradentes foi um mártir (F)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V (q) = F ↔ F = F
Interatividade 
Dadas as proposições:
A = “O sol é quente” 
B = “O sol é amarelo”
A frase:
“Se o sol não é quente ou não é amarelo“Se o sol não é quente ou não é amarelo, 
então o sol não é amarelo”
Pode ser simbolicamente representado por:
a) (~ A ^ B) → A.
b) (A ^ ~ B) ↔ B.) ( )
c) ~ A ^ ~ (B → B).
d) (~ A ^ B → B).
e) NDA.
Exemplo de p ר q
 Situação hipotética: um homem chega 
tarde em casa e a sua esposa, muito 
brava, pergunta: “o que houve?”. O 
homem responde: “trabalhei até tarde, o 
carro não quis pegar e tive que chamar o 
socorro mecânico do seguro”socorro mecânico do seguro”.
Sendo:
 p: trabalhei até tarde.
 q: carro não quis pegar e tive que 
chamar o socorro mecânico do seguro.chamar o socorro mecânico do seguro.
Resposta de p ^ q
^ E li ãp q p ^ q Explicação
V V Situação 
1
V O homem realmente trabalhou até
tarde (p é verdadeiro) e o carro
apresentou problema de fato,
havendo a necessidade de se
chamar o socorro mecânico (q é
verdadeiroverdadeiro.
V F Situação 
2
F O homem realmente trabalhou até
tarde (p é verdadeiro), mas o carro
não apresentou problema (q é
falso).
F V Situação 
3
F O homem não trabalhou até tarde
(p é falso), mas o carro apresentou3 (p é falso), mas o carro apresentou
problema de fato, havendo
necessidade de se chamar o
socorro mecânico (q é verdadeiro).
F F Situação 
4
F O homem não trabalhou até tarde
(p é falso), e o carro não
apresentou problema (q é falso).
Exemplo de p ש q
 Situação hipotética: uma mulher que 
está fazendo compras em um 
supermercado chega ao caixa para pagar 
pelas suas mercadorias e percebe que o 
único caixa livre é o que tem a seguinte 
informação: caixa reservado parainformação: caixa reservado para 
gestantes e deficientes físicos.
Sendo:
 p: reservado para gestante.
 q: reservado para deficientes físicos.q: reservado para deficientes físicos.
 Quando essa mulher poderá passar suas 
compras por esse caixa?
Resposta de p v q
E li ãp q p v q Explicação
V V Situação 
1
V A mulher é gestante (p
é verdadeiro) e é
deficiente (q é
verdadeiro).
V F Situação 
2
V A mulher é gestante (p
é verdadeiro) e não é
deficiente (q é falso).
F V Situação 
3
V A mulher não é
gestante (p é falso) e é
deficiente (q édeficiente (q é
verdadeiro).
F F Situação 
4
F A mulher não é
gestante (p é falso) e
não é deficiente (q é
falso).
Exemplo de p → q
 Situação hipotética: uma mãe diz ao seu 
filho: “se fizer sol amanhã, iremos ao 
Parque do Ibirapuera”.
 p: fazer sol.
 q: ir ao Parque do Ibirapuera.q: ir ao Parque do Ibirapuera.Resposta de p → q
p q p  q Explicação
V V Situação 
1
V No dia seguinte fez sol (p é
verdadeiro) e a mãe levou o
filho ao Parque do Ibirapuera
(q é verdadeiro).
V F Situação F No dia seguinte fez sol (p éV F Situação 
2
F No dia seguinte fez sol (p é
verdadeiro), mas a mãe não
levou o filho ao Parque do
Ibirapuera (q é falso).
F V Situação 
3
V No dia seguinte não fez sol
(p é falso) e a mãe levou o
filho ao Parque do Ibirapuera
( é d d i )(q é verdadeiro).
F F Situação 
4
V No dia seguinte não fez sol
(p é falso) e a mãe não levou
o filho ao Parque do
Ibirapuera (q é falso).
Exemplo de p ↔ q
 Situação hipotética: Marquinho não foi 
um aluno aplicado neste semestre, suas 
notas foram baixas e teve um número de 
faltas muito elevado em todas as 
disciplinas, em especial matemática, na 
qual ele será aprovado se não faltar àsqual ele será aprovado se não faltar às 
duas últimas aulas se somente se 
conseguir tirar uma nota superior a 8,5 
na última prova.
 p: se não faltar nas duas últimas 
aulasaulas.
 q: e somente se conseguir tirar uma 
nota superior a 8,5 na última prova.
Resposta de p ↔ q
p q p  q Explicação
V V Situação 
1
V Não faltou às duas últimas
aulas (p é verdadeiro) e
conseguiu nota superior a
8,5 (q é verdadeiro).
V F Situação F Não faltou às duas últimasV F Situação 
2
F Não faltou às duas últimas
aulas (p é verdadeiro) e não
conseguiu nota superior a
8,5 (q é falso).
F V Situação 
3
F Faltou às duas últimas aulas
(p é falso) e conseguiu nota
superior a 8,5 (q é
d d i )verdadeiro).
F F Situação 
4
V Faltou às duas últimas aulas
(p é falso) e não conseguiu
nota superior a 8,5 (q é
falso).
Construção da tabela verdade
 Conhecendo-se os valores lógicos de 
duas proposições simples p e q, com o 
uso da tabela verdade é possível 
determinar os valores lógicos das 
proposições compostas decorrentes.
 O número de linhas da tabela verdade 
será igual a 2n = 2 (no de proposições).
 A tabela verdade de ~(P ^ ~P) = P (p, q) 
possuirá 2n = 22 = 4 linhas, pelo motivo 
de que existem apenas duas 
proposições (p e q). 
Exemplo de resolução de 
expressões lógicas
 Construir a tabela verdade da 
proposição: (p v q) ^ (p ^ q)
p q p v q p ^ q (p v q) ^ (p ^ q)
V V V V VV V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F F
Exemplo de resolução de 
expressões lógicas
Constr ir a tabela erdade da Construir a tabela verdade da 
proposição: P (p, q, r) = p ש ~r → q ר ~ r
p q r ~r p ש ~r q ר ~ r p ש ~r → q ר ~ r
V V V F V F F
V V F V V V VV V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
Interatividade 
Dadas as expressões (p v ~q) ^ (p v q), qual
o resultado final da tabela verdade?
a) V, V, F, V.
b) F, V, V, F.
c) F F F Fc) F, F, F, F.
d) V, V, F, F.
e) V, V, V, V.
Tautologia
 Ocorre quando, para qualquer valor 
lógico das proposições simples, a 
proposição composta “s” é sempre 
verdadeira. 
Tautologia
p q p ^ q p v q (p ר q) → (p ש q)
s: (p ר q) → (p ש q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F VF F F F V
Contradição
 É uma proposição composta cuja última 
coluna da sua tabela verdade tem 
sempre valor F. 
 Exemplo: p ר ~p / p↔~p
p ~p p ר ~p
V F F
F V F
p ~p p ↔~p
V F F
F V F
Contingências
 Contingência são todas as proposições 
compostas em que na última coluna da 
sua tabela verdade figuram as letras V e 
F, cada uma pelo menos uma vez, ou 
seja, a contingência é toda a proposição 
composta que não é tautologia nemcomposta que não é tautologia nem 
contradição.
 Exemplo: 
p ש q → p p q p v q p ש q → p
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
Relações de implicação e 
equivalência
Implicação lógica:
 Dadas as proposições compostas p e q, 
diz-se que ocorre uma implicação lógica 
entre p e q quando a proposição 
condicional (p  q) é uma tautologia.
Implicação lógica
Os símbolos  e ֜ têm significados 
diferentes:
 O símbolo  realiza uma operação entre 
proposições, dando origem a uma nova 
proposição p  q, cuja tabela verdade 
pode conter tanto V quanto F.
 O símbolo ֜ entre duas proposições 
dadas indica uma relação, isto é, que a 
proposição condicional associada é uma 
tautologia.
 P (p, q, r,...) ֜ Q (p, q, r,...) é tautológica.
Exemplo de implicação lógica
 Mostrar que (p ^ q) ֜ p
p q p ^ q (p ^ q)  p
V V V V
V F F V
 Portanto, como (p ^ q)  p é uma 
tautologia, podemos afirmar que 
(p  q)p
F V F V
F F F V
(p q) p
Outro exemplo de implicação lógica
 Mostrar que (p  q) ֜ ~q 
p q ~q p  q (p  q)  ~q
V V F V F
V F V F V
 Portanto, (p  q) não é implicação lógica 
de ~q, pois não é uma tautologia, mas 
sim uma contingência.
F V F V F
F F V V V
g
Equivalência lógica
 Dadas as proposições compostas P e Q, 
diz-se que ocorre uma equivalência 
lógica entre P e Q quando suas tabelas 
verdade forem idênticas.
 Notação: P ≡ Q ou P ֞ Q (lê-se: “P é 
equivalente a Q”). Intuitivamente, 
proposições logicamente equivalentes 
transmitem a mesma informação, a 
mesma ideia, a partir das mesmas 
proposições componentes.
Exemplo de equivalência lógica
 Mostrar que 
(p  q) ^ (q  p) e p q são “֞”
p q p  q q  p (p  q) ^ (q  p) p q
V V V V V V
V F F V F F
 São equivalentes, pois o resultado foi 
igual para ambas as proposições 
compostas e, se aplicarmos a operação 
F V V F F F
F F V V V V
bicondicional entre as proposições aqui 
estudadas, veremos que o resultado será 
uma tautologia.
Mais um exemplo de equivalência 
lógica
 Mostrar que (p ^ q) ֞ ~ (~p v ~q)
A B ¬B
p q p ^ q ~p ~q ~p v ~q ~(~p v ~q) A ↔~B
V V V F F F V V
V F F F V V F V
 (p ^ q) é equivalência lógica (֞ ou ≡) de 
~ (~p v ~q), pois o resultado das duas 
proposições compostas é idêntico, além 
F V F V F V F V
F F F V V V F V
de ser uma tautologia na operação 
bicondicional.
Outro exemplo de equivalência 
lógica
 Mostrar que (p v q) v (p ↔q) ֞(p v q)
A B C
p q p v q p ↔ q A v B C ↔ A
V V V V V V
V F V F V V
 (p v q) v (p ↔q) não é equivalência lógica 
(֞ ou ≡) de (p v q) pois o resultado das
V F V F V V
F V V F V V
F F F V V F
(֞ ou ≡) de (p v q), pois o resultado das 
duas proposições compostas não é 
idêntico, além de não ser uma tautologia 
na operação bicondicional.
Interatividade 
Quais das proposições abaixo podemos 
afirmar que são equivalências lógicas e 
também implicações lógicas ao mesmo 
tempo?
I. (p ^ q) e q
II. ~(p ^ q) e (~p v ~q)
III. (~p v q) e (p  q)
IV.(p v q) e ~q
a) I e II.
b) I e III.
c) III e IV.
d) II e III.
e) NDA.
Métodos de raciocínio
 Dedução e indução.
 O raciocínio deve ser algo ordenado, 
coerente e lógico. 
 Os argumentos dedutivos e indutivos 
são fundamentados em premissas.são fundamentados em premissas. 
Todo homem é mortal.
Sócrates é mortal.
Então, Sócrates é homem.
 Conclusão falsa:
(i) “Sócrates pode ser um gatinho” que é(i) Sócrates pode ser um gatinho que é 
mortal, mas não é homem.
Métodos de raciocínio
 Seja o trinômio: n2 + n + 17. Se fizermos 
n = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, obtemos: 17, 19, 23, 
29, 37, 47. Todos esses resultados são 
números primos. Pode-se concluir que 
para todo n ∈ N, n2 + n + 17 é um número 
primoprimo.
 Conclusão falsa: para n = 17, n2 + n + 17 
= 17*19 que não é primo. Entretanto, a 
sentença é verdadeira para n < 16.
Métodos de raciocínio
 Pedro é pintor ou Pedro é engenheiro. 
Pedro não é engenheiro. Portanto, 
Pedro é pintor.
 Conclusão logicamente válida: pois ela 
segue determinadas normas que tornam 
verdadeiro o argumento.
Método dedutivo
 As demonstrações das implicações e 
das equivalências serãorealizadas pelo 
método dedutivo. Nele, usa-se com 
frequência as propriedades das 
proposições.
 Partir de uma afirmação geral para se 
chegar a uma afirmação particular.
 Na álgebra das proposições, o método 
dedutivo consiste em demonstrar 
implicações (H  T) e equivalências 
lógicas (H  T que equivale provar H 
T e T  H).
Suposições
 Suposições: dadas as proposições 
simples p, q, r; a proposição t 
(verdadeira – tautologia) e a proposição 
c (falsa – contradição). Elas serão 
substituídas, respectivamente, por 
proposições compostas P Q R Tproposições compostas P, Q, R, T 
(tautologia) e C (contradição) quando
for o caso.
Regras para o método dedutivo
(1) c v p  p (2) t  p  p (3) c  p  c 
(4) t v p  t (5) p  q  p (6) p  q  q
(7) p  p v q (8) q  p v q (9) p  q  ~p v q
(10) ~(p v q)  ~p  ~q (11) ~(p  q)  ~p v ~q
(12) p v q  ~(p « q) (13) ~(p  q)  p  ~q
(14) p  q  (p  ~q) v (q  ~p), 
(15) p q  q p (com tati idade da disj nção)(15) p v q  q v p (comutatividade da disjunção)
(16) p  q  q  p (comutatividade da conjunção)
(17) p q  q  p (comutatividade da 
bicondicional)
Regras para o método dedutivo
(18) (p  q)  r  p  (q  r) (associatividade
da disjunção)
(19) (p  q)  r  p (q r) (associatividade da 
conjunção)
(20) p (q  r) (p  q)  (p  r) (distributividade da 
disjunção em relação à conjunção)disjunção em relação à conjunção)
(21) p (q r)  (p  q) (p  r) (distributividade da 
conjunção em relação à disjunção)
(22) p  ~p = c (contradição)
(23) p  ~p = t (tautologia)
Exemplo de método dedutivo
 Demonstrar que p ר q ֜ p
 Demonstração:
p ר q → p ֞
~(p ר q) ש p (9) ֞
(~p ש ~q) ש p (11) ֞
(~p ש p) ש ~ q (18) ֞
T ש ~q (23) ֞ T (4)
(4) t  p  t 
(9) p  q  p q(9) p q ~p q
(11) ~(p q)  ~p  ~q
(18) (p  q) r  p (q  r) 
(23) p  ~p = t 
Outro exemplo de método dedutivo
 Demonstrar que (p  q)  p  q.
Demonstração:
(p  q)  p  p  (p  q) (16)
p  (p  q)  p  (~p  q) (9) 
p  (~p  q)  (p  ~p)  (p  q) (21)
(p  ~p)  (p  q)  c  (p  q) (22)(p  p)  (p  q)  c  (p  q) (22)
c  (p  q)  p  q (1)
p  q  q (6).
(1) c  p  p
(6) p  q  q
(9) p q ~p q( ) p q p q
(16) p  q  q  p
(21) p (q r) Û (p  q) (p  r)
(22) p ~p = c 
Mais exemplo de método dedutivo
 Demonstrar que (p  q)  ~q  ~p
Demonstração:
(p  q)  ~q  (~p  q)  ~q (9)
(~p  q)  ~q  (~p  ~q)  (q  ~q) (21)
(~p  ~q)  (q  ~q)  (~p  ~q)  c (22)
(~p  ~q)  c  c  (~p  ~q) (15) 
c  (~p  ~q)  (~p  ~q) (22)
(~p  ~q)  ~p (5).
(5) p  q  p
(9) p  q  p q(9) p q  ~p  q
(15) p  q  q  p
(21) p (q r)  (p  q) (p  r)
(22) p ~p = c
Interatividade
Assinale a alternativa que corresponde a 
demonstração de (p  q)  ~p  q.
a) (p  q)  ~p  (p  ~p)  (q  ~p) 
 c  (q  ~p)  (q  ~p)  ~p 
b)(p  q)  ~p  (p  p)  (q  p) 
 c  (q  p)  (q  p)  t 
c) (p  q)  ~p  (p  p)  (q  p) 
 t  (q  p)  (q  p)  p 
d)(p  q)  ~p  (p  ~p)  (q  ~p) 
 t  (q  ~p)  (q  ~p)  ~p 
) ( ) ( ) ( )e) (p  q)  ~p  (p  ~p)  (q  ~p) 
 c  (q  ~p)  (q  ~p)  t 
ATÉ A PRÓXIMA!

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