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Unidade I LÓGICA MATEMÁTICA Profa. Ana Carolina Bueno O que é lógica É a ciência do raciocínio dedutivo. Estuda a relação de consequência dedutiva. Pode ser considerada como “o estudo da razão” ou “o estudo do raciocínio”.razão ou o estudo do raciocínio . Ensina a colocar “ordem no pensamento”. Proposições Proposições: São sentenças declarativas, que satisfazem três princípios fundamentais: Princípio da identidade: se qualquer proposição é verdadeira, então, ela éproposição é verdadeira, então, ela é verdadeira. Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa. Princípio da não contradição: uma Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Continuação de proposições Uma proposição pode assumir dois valores lógicos: V (verdadeiro) e F (falso). Também encontrados como 0 (significa F) e 1 (significa V). As proposições simples são indicadas pelas letras minúsculas latinas p, q, r, s, t, u, v, x etc.; por exemplo: p: “Júpiter é um planeta”. q: “A somatória dos ângulos internos de q: A somatória dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º”. Proposições lógicas Proposições lógicas: p: “o estado do Paraná faz divisa com o Equador” (F) ou (0). q: “São Paulo é uma metrópole” (V) ou (1).(1). r: “todas as árvores são frutíferas” (F) ou (0). Proposições não lógicas: “5 + 7” “x + 8 = 23” Continuação das proposições A proposição composta é formada pela combinação de duas ou mais proposições e são indicadas pelas letras maiúsculas latinas P, Q, R, S etc; por exemplo: P: João é careca e Alice é estudante. Q: Alice é bonita ou Viviane é estudante. R: Se Roberto é físico, então sabe matemática. Conectivos são palavras que se usam para formar novas proposições a partirpara formar novas proposições a partir de outras (e, ou, não, então, se e somente se etc). Tabela verdade Para determinar o valor lógico de uma proposição composta, recorre-se à tabela verdade, na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis combinações de valorespossíveis combinações de valores lógicos das proposições simples componentes. p p q V V Proposição V F V F F V F F p ç composta de duas proposições simples Tabela verdade p q r V V V V V F Proposição composta de três proposições simples V F V V F F F V V proposições simples F V F F F V F F F Operações lógicas sobre proposição As proposições lógicas simples, por exemplo, p e q, podem ser combinadas através dos operadores lógicos (conectivos) ר, ש→ e ↔, e passarem a formar proposições compostas, do tipo p ר q p ש q p q e p qp ר q, p ש q, p → q e p ↔ q. Conjunção: p ר q (“p e q”). Disjunção: p ש q (“p ou q”). Condicional: p → q (“se p, então, q”). Bicondicional: p ↔ q (“p se e somente Bicondicional: p ↔ q ( p se, e somente se q”). Negação A negação da proposição p será ~p ou ~p, que se lê “não p”. p: “dois pontos determinam uma reta”. ~p: “dois pontos não determinam uma reta”.reta . Duas negações equivalem a uma afirmação. Dessa forma, ~(~p) = p. p: 3 + 3 = 6 (V) e ~p: 3 + 3 ≠ 6 (F), que pode ser reescrito por meio da expressão dos valores p ~p da expressão dos valores lógicos como: V(~p) = ~V(p) = ~V = F. V F F V Conjunção p q p ^ q V V V V F F F V FF V F F F F p: a clara do ovo é branca (V) q: 3 < 7 (V) p ר q: a clara do ovo é branca e 3 < 7 (V)p ר q: a clara do ovo é branca e 3 < 7 (V) V(p ר q) = V(p) ר V (q) = V ר V = V Disjunção p q p v q V V V V F V F V VF V V F F F p: Camões escreveu “Os Lusíadas” (V) q: = 2,9 (F) p v q: Camões escreveu “Os Lusíadas” oup v q: Camões escreveu Os Lusíadas ou = 2,9 (V) V(p ש q) = V(p) ש V (q) = V ש F = V Condicional p q p q V V V V F F F V V • p é condição suficiente para q. • q é condição necessária para p.F V V F F V p: o mês de dezembro tem 31 dias (V) q: Marte é verde (F) p → q: se o mês de dezembro tem 31 diasp → q: se o mês de dezembro tem 31 dias, então Marte é verde (F). V(p → q) = V(p) → V (q) = V → F = F Condicional p q p q V V V V F F F V V p é condição suficiente para q. q é condição necessária para p.F V V F F V p: Cabral escreveu a “Odisseia” (F) q: Cantor criou a teoria dos conjuntos (V) p → q: se Cabral escreveu a “Odisseia”p → q: se Cabral escreveu a Odisseia , então Cantor criou a teoria dos conjuntos (V) V(p → q) = V(p) → V (q) = F → V = V Bicondicional p q p ↔ q V V V V F F F V F p é condição necessária e suficiente para q. q é condição necessária eF V F F F V p: Einstein descobriu o Brasil (F) q: Tiradentes foi um mártir (V) p ↔ q: Einstein descobriu o Brasil se e necessária e suficiente para p. p ↔ q: Einstein descobriu o Brasil se e somente se Tiradentes foi um mártir (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V (q) = F ↔ F = F Interatividade Dadas as proposições: A = “O sol é quente” B = “O sol é amarelo” A frase: “Se o sol não é quente ou não é amarelo“Se o sol não é quente ou não é amarelo, então o sol não é amarelo” Pode ser simbolicamente representado por: a) (~ A ^ B) → A. b) (A ^ ~ B) ↔ B.) ( ) c) ~ A ^ ~ (B → B). d) (~ A ^ B → B). e) NDA. Exemplo de p ר q Situação hipotética: um homem chega tarde em casa e a sua esposa, muito brava, pergunta: “o que houve?”. O homem responde: “trabalhei até tarde, o carro não quis pegar e tive que chamar o socorro mecânico do seguro”socorro mecânico do seguro”. Sendo: p: trabalhei até tarde. q: carro não quis pegar e tive que chamar o socorro mecânico do seguro.chamar o socorro mecânico do seguro. Resposta de p ^ q ^ E li ãp q p ^ q Explicação V V Situação 1 V O homem realmente trabalhou até tarde (p é verdadeiro) e o carro apresentou problema de fato, havendo a necessidade de se chamar o socorro mecânico (q é verdadeiroverdadeiro. V F Situação 2 F O homem realmente trabalhou até tarde (p é verdadeiro), mas o carro não apresentou problema (q é falso). F V Situação 3 F O homem não trabalhou até tarde (p é falso), mas o carro apresentou3 (p é falso), mas o carro apresentou problema de fato, havendo necessidade de se chamar o socorro mecânico (q é verdadeiro). F F Situação 4 F O homem não trabalhou até tarde (p é falso), e o carro não apresentou problema (q é falso). Exemplo de p ש q Situação hipotética: uma mulher que está fazendo compras em um supermercado chega ao caixa para pagar pelas suas mercadorias e percebe que o único caixa livre é o que tem a seguinte informação: caixa reservado parainformação: caixa reservado para gestantes e deficientes físicos. Sendo: p: reservado para gestante. q: reservado para deficientes físicos.q: reservado para deficientes físicos. Quando essa mulher poderá passar suas compras por esse caixa? Resposta de p v q E li ãp q p v q Explicação V V Situação 1 V A mulher é gestante (p é verdadeiro) e é deficiente (q é verdadeiro). V F Situação 2 V A mulher é gestante (p é verdadeiro) e não é deficiente (q é falso). F V Situação 3 V A mulher não é gestante (p é falso) e é deficiente (q édeficiente (q é verdadeiro). F F Situação 4 F A mulher não é gestante (p é falso) e não é deficiente (q é falso). Exemplo de p → q Situação hipotética: uma mãe diz ao seu filho: “se fizer sol amanhã, iremos ao Parque do Ibirapuera”. p: fazer sol. q: ir ao Parque do Ibirapuera.q: ir ao Parque do Ibirapuera.Resposta de p → q p q p q Explicação V V Situação 1 V No dia seguinte fez sol (p é verdadeiro) e a mãe levou o filho ao Parque do Ibirapuera (q é verdadeiro). V F Situação F No dia seguinte fez sol (p éV F Situação 2 F No dia seguinte fez sol (p é verdadeiro), mas a mãe não levou o filho ao Parque do Ibirapuera (q é falso). F V Situação 3 V No dia seguinte não fez sol (p é falso) e a mãe levou o filho ao Parque do Ibirapuera ( é d d i )(q é verdadeiro). F F Situação 4 V No dia seguinte não fez sol (p é falso) e a mãe não levou o filho ao Parque do Ibirapuera (q é falso). Exemplo de p ↔ q Situação hipotética: Marquinho não foi um aluno aplicado neste semestre, suas notas foram baixas e teve um número de faltas muito elevado em todas as disciplinas, em especial matemática, na qual ele será aprovado se não faltar àsqual ele será aprovado se não faltar às duas últimas aulas se somente se conseguir tirar uma nota superior a 8,5 na última prova. p: se não faltar nas duas últimas aulasaulas. q: e somente se conseguir tirar uma nota superior a 8,5 na última prova. Resposta de p ↔ q p q p q Explicação V V Situação 1 V Não faltou às duas últimas aulas (p é verdadeiro) e conseguiu nota superior a 8,5 (q é verdadeiro). V F Situação F Não faltou às duas últimasV F Situação 2 F Não faltou às duas últimas aulas (p é verdadeiro) e não conseguiu nota superior a 8,5 (q é falso). F V Situação 3 F Faltou às duas últimas aulas (p é falso) e conseguiu nota superior a 8,5 (q é d d i )verdadeiro). F F Situação 4 V Faltou às duas últimas aulas (p é falso) e não conseguiu nota superior a 8,5 (q é falso). Construção da tabela verdade Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, com o uso da tabela verdade é possível determinar os valores lógicos das proposições compostas decorrentes. O número de linhas da tabela verdade será igual a 2n = 2 (no de proposições). A tabela verdade de ~(P ^ ~P) = P (p, q) possuirá 2n = 22 = 4 linhas, pelo motivo de que existem apenas duas proposições (p e q). Exemplo de resolução de expressões lógicas Construir a tabela verdade da proposição: (p v q) ^ (p ^ q) p q p v q p ^ q (p v q) ^ (p ^ q) V V V V VV V V V V V F V F F F V V F F F F F F F Exemplo de resolução de expressões lógicas Constr ir a tabela erdade da Construir a tabela verdade da proposição: P (p, q, r) = p ש ~r → q ר ~ r p q r ~r p ש ~r q ר ~ r p ש ~r → q ר ~ r V V V F V F F V V F V V V VV V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V F F F V V F F Interatividade Dadas as expressões (p v ~q) ^ (p v q), qual o resultado final da tabela verdade? a) V, V, F, V. b) F, V, V, F. c) F F F Fc) F, F, F, F. d) V, V, F, F. e) V, V, V, V. Tautologia Ocorre quando, para qualquer valor lógico das proposições simples, a proposição composta “s” é sempre verdadeira. Tautologia p q p ^ q p v q (p ר q) → (p ש q) s: (p ר q) → (p ש q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F VF F F F V Contradição É uma proposição composta cuja última coluna da sua tabela verdade tem sempre valor F. Exemplo: p ר ~p / p↔~p p ~p p ר ~p V F F F V F p ~p p ↔~p V F F F V F Contingências Contingência são todas as proposições compostas em que na última coluna da sua tabela verdade figuram as letras V e F, cada uma pelo menos uma vez, ou seja, a contingência é toda a proposição composta que não é tautologia nemcomposta que não é tautologia nem contradição. Exemplo: p ש q → p p q p v q p ש q → p V V V V V F V V F V V F F F F V Relações de implicação e equivalência Implicação lógica: Dadas as proposições compostas p e q, diz-se que ocorre uma implicação lógica entre p e q quando a proposição condicional (p q) é uma tautologia. Implicação lógica Os símbolos e ֜ têm significados diferentes: O símbolo realiza uma operação entre proposições, dando origem a uma nova proposição p q, cuja tabela verdade pode conter tanto V quanto F. O símbolo ֜ entre duas proposições dadas indica uma relação, isto é, que a proposição condicional associada é uma tautologia. P (p, q, r,...) ֜ Q (p, q, r,...) é tautológica. Exemplo de implicação lógica Mostrar que (p ^ q) ֜ p p q p ^ q (p ^ q) p V V V V V F F V Portanto, como (p ^ q) p é uma tautologia, podemos afirmar que (p q)p F V F V F F F V (p q) p Outro exemplo de implicação lógica Mostrar que (p q) ֜ ~q p q ~q p q (p q) ~q V V F V F V F V F V Portanto, (p q) não é implicação lógica de ~q, pois não é uma tautologia, mas sim uma contingência. F V F V F F F V V V g Equivalência lógica Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre P e Q quando suas tabelas verdade forem idênticas. Notação: P ≡ Q ou P ֞ Q (lê-se: “P é equivalente a Q”). Intuitivamente, proposições logicamente equivalentes transmitem a mesma informação, a mesma ideia, a partir das mesmas proposições componentes. Exemplo de equivalência lógica Mostrar que (p q) ^ (q p) e p q são “֞” p q p q q p (p q) ^ (q p) p q V V V V V V V F F V F F São equivalentes, pois o resultado foi igual para ambas as proposições compostas e, se aplicarmos a operação F V V F F F F F V V V V bicondicional entre as proposições aqui estudadas, veremos que o resultado será uma tautologia. Mais um exemplo de equivalência lógica Mostrar que (p ^ q) ֞ ~ (~p v ~q) A B ¬B p q p ^ q ~p ~q ~p v ~q ~(~p v ~q) A ↔~B V V V F F F V V V F F F V V F V (p ^ q) é equivalência lógica (֞ ou ≡) de ~ (~p v ~q), pois o resultado das duas proposições compostas é idêntico, além F V F V F V F V F F F V V V F V de ser uma tautologia na operação bicondicional. Outro exemplo de equivalência lógica Mostrar que (p v q) v (p ↔q) ֞(p v q) A B C p q p v q p ↔ q A v B C ↔ A V V V V V V V F V F V V (p v q) v (p ↔q) não é equivalência lógica (֞ ou ≡) de (p v q) pois o resultado das V F V F V V F V V F V V F F F V V F (֞ ou ≡) de (p v q), pois o resultado das duas proposições compostas não é idêntico, além de não ser uma tautologia na operação bicondicional. Interatividade Quais das proposições abaixo podemos afirmar que são equivalências lógicas e também implicações lógicas ao mesmo tempo? I. (p ^ q) e q II. ~(p ^ q) e (~p v ~q) III. (~p v q) e (p q) IV.(p v q) e ~q a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) II e III. e) NDA. Métodos de raciocínio Dedução e indução. O raciocínio deve ser algo ordenado, coerente e lógico. Os argumentos dedutivos e indutivos são fundamentados em premissas.são fundamentados em premissas. Todo homem é mortal. Sócrates é mortal. Então, Sócrates é homem. Conclusão falsa: (i) “Sócrates pode ser um gatinho” que é(i) Sócrates pode ser um gatinho que é mortal, mas não é homem. Métodos de raciocínio Seja o trinômio: n2 + n + 17. Se fizermos n = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, obtemos: 17, 19, 23, 29, 37, 47. Todos esses resultados são números primos. Pode-se concluir que para todo n ∈ N, n2 + n + 17 é um número primoprimo. Conclusão falsa: para n = 17, n2 + n + 17 = 17*19 que não é primo. Entretanto, a sentença é verdadeira para n < 16. Métodos de raciocínio Pedro é pintor ou Pedro é engenheiro. Pedro não é engenheiro. Portanto, Pedro é pintor. Conclusão logicamente válida: pois ela segue determinadas normas que tornam verdadeiro o argumento. Método dedutivo As demonstrações das implicações e das equivalências serãorealizadas pelo método dedutivo. Nele, usa-se com frequência as propriedades das proposições. Partir de uma afirmação geral para se chegar a uma afirmação particular. Na álgebra das proposições, o método dedutivo consiste em demonstrar implicações (H T) e equivalências lógicas (H T que equivale provar H T e T H). Suposições Suposições: dadas as proposições simples p, q, r; a proposição t (verdadeira – tautologia) e a proposição c (falsa – contradição). Elas serão substituídas, respectivamente, por proposições compostas P Q R Tproposições compostas P, Q, R, T (tautologia) e C (contradição) quando for o caso. Regras para o método dedutivo (1) c v p p (2) t p p (3) c p c (4) t v p t (5) p q p (6) p q q (7) p p v q (8) q p v q (9) p q ~p v q (10) ~(p v q) ~p ~q (11) ~(p q) ~p v ~q (12) p v q ~(p « q) (13) ~(p q) p ~q (14) p q (p ~q) v (q ~p), (15) p q q p (com tati idade da disj nção)(15) p v q q v p (comutatividade da disjunção) (16) p q q p (comutatividade da conjunção) (17) p q q p (comutatividade da bicondicional) Regras para o método dedutivo (18) (p q) r p (q r) (associatividade da disjunção) (19) (p q) r p (q r) (associatividade da conjunção) (20) p (q r) (p q) (p r) (distributividade da disjunção em relação à conjunção)disjunção em relação à conjunção) (21) p (q r) (p q) (p r) (distributividade da conjunção em relação à disjunção) (22) p ~p = c (contradição) (23) p ~p = t (tautologia) Exemplo de método dedutivo Demonstrar que p ר q ֜ p Demonstração: p ר q → p ֞ ~(p ר q) ש p (9) ֞ (~p ש ~q) ש p (11) ֞ (~p ש p) ש ~ q (18) ֞ T ש ~q (23) ֞ T (4) (4) t p t (9) p q p q(9) p q ~p q (11) ~(p q) ~p ~q (18) (p q) r p (q r) (23) p ~p = t Outro exemplo de método dedutivo Demonstrar que (p q) p q. Demonstração: (p q) p p (p q) (16) p (p q) p (~p q) (9) p (~p q) (p ~p) (p q) (21) (p ~p) (p q) c (p q) (22)(p p) (p q) c (p q) (22) c (p q) p q (1) p q q (6). (1) c p p (6) p q q (9) p q ~p q( ) p q p q (16) p q q p (21) p (q r) Û (p q) (p r) (22) p ~p = c Mais exemplo de método dedutivo Demonstrar que (p q) ~q ~p Demonstração: (p q) ~q (~p q) ~q (9) (~p q) ~q (~p ~q) (q ~q) (21) (~p ~q) (q ~q) (~p ~q) c (22) (~p ~q) c c (~p ~q) (15) c (~p ~q) (~p ~q) (22) (~p ~q) ~p (5). (5) p q p (9) p q p q(9) p q ~p q (15) p q q p (21) p (q r) (p q) (p r) (22) p ~p = c Interatividade Assinale a alternativa que corresponde a demonstração de (p q) ~p q. a) (p q) ~p (p ~p) (q ~p) c (q ~p) (q ~p) ~p b)(p q) ~p (p p) (q p) c (q p) (q p) t c) (p q) ~p (p p) (q p) t (q p) (q p) p d)(p q) ~p (p ~p) (q ~p) t (q ~p) (q ~p) ~p ) ( ) ( ) ( )e) (p q) ~p (p ~p) (q ~p) c (q ~p) (q ~p) t ATÉ A PRÓXIMA!
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