Apostila - Flexao - Linha Elástica

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 1/4 
 
Linha Elástica 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 1 
 
 
RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS IIIIII 
AAppoossttiillaa –– LLiinnhhaa EElláássttiiccaa 
Índice 
 
LINHA ELÁSTICA ........................................................................................................ 2 
1. DEFORMAÇÕES EM PEÇAS FLETIDAS ............................................................................. 2 
1.1. Linha Elástica: ................................................................................................................. 2 
1.2. Rotação da Viga: ............................................................................................................. 2 
1.3. Equação Diferencial da Linha Elástica: .......................................................................... 3 
 
 
 
 
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LINHA ELÁSTICA 
 
1. DEFORMAÇÕES EM PEÇAS FLETIDAS 
1.1. Linha Elástica: 
Quando submetemos uma viga a um carregamento qualquer, esta viga se deforma, 
mudando a posição de seu eixo. A forma da que a viga toma é descrita pela sua 
elástica e suas deformações são chamadas de flechas. 
 
Devemos sempre verificar o valor da flecha atuante em uma viga e confrontar o 
resultado com a flecha admissível, constante em normas técnicas. 
 
Objetivo: Obtenção da equação: y = f(x) – equação da linha elástica 
 
1.2. Rotação da Viga: 
A rotação da seção “S” da viga é dada pelo ângulo θ formado pela tangente à 
elástica com o eixo da viga. 
 
 
Objetivo: Obtenção da equação: y’ = f’ (x) = tg Θ ≈ Θ - equação das rotações 
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1.3. Equação Diferencial da Linha Elástica: 
 
 
 
ρ
ε
y
= → da teoria da flexão pura [ 1 ] 
 
y
I
M
×=σ → da teoria da flexão pura [ 2 ] 
 
εσ ×= E → Lei de Hooke [ 3 ] 
 
[ 1] e [ 2 ] em [ 3 ]: 
ρ
yEy
I
M /×=/× [ 4 ] 
 
Do cálculo diferencial sabemos que a curvatura K = 1/ρ de uma curva é dada por: 
2/32
2
2
1
1














+
=
dx
dy
dx
yd
ρ
 
A rotação (dy/dx) é um número pequeno e (d2y/dx2) é bem menor, e pode ser 
desprezado em função da unidade. Então: 
2
21
dx
yd
=
ρ
 [ 5 ] 
 
[ 5 ] em [ 4 ], teremos: 
IE
M
dx
yd
×
−=2
2
 → Equação diferencial da linha elástica 
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θ=
dx
dy
 → rotação da viga 
 
K
dx
yd
=2
2
 → curvatura da viga 





× IE
M
 ; M = momento fletor 
 






×
=
IE
Q
dx
yd
3
3
 ; Q = cortante 
 






×
=
IE
q
dx
yd
4
4
 ; q = carga distribuída