Apostila - Flexao Composta

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 1/6 
 
Flexão Composta 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 1 
 
 
RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS IIIIII 
AAppoossttiillaa –– FFlleexxããoo CCoommppoossttaa 
Índice 
 
FLEXÃO COMPOSTA .................................................................................................... 2 
1. – Definião: ........................................................................................................... 2 
2. Tensões: .............................................................................................................. 3 
3. Posição da Linha Neutra:.......................................................................................... 4 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 2/6 
 
Flexão Composta 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 2 
 
 
 FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
1. – Definião: 
 
Em uma seção transversal quando há a atuação concomitante de momentos fletores e força 
normal, dizemos que a peça estrutural está submetida a uma flexão composta. 
A ação do momento fletor pode-se ser dada por uma força que atua longitudinalmente 
(força normal) e/ou por excentricidade da carga em relação ao eixo da peça estrutural. 
Poderemos ter os seguintes tipos de flexão composta: 
 
a) Flexão Composta Reta → quando a força normal coincide com um dos eixos 
principais de inércia, que neste caso a ação do momento 
fletor se dará no eixo principal de inércia oposto (Mx ou 
My). 
 
 
Notar que neste caso o plano do esforço solicitante (ES) coincide com um dos eixos 
principais de inércia da seção. 
 
b) Flexão Composta Oblíqua → quando a força normal não coincide com um dos eixos 
principais de inércia. Neste caso haverá um momento fletor em cada eixo 
principal de inércia (Mx e My). 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 3/6 
 
Flexão Composta 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 3 
 
 
Notar que neste caso o plano do esforço solicitante (ES) não coincide com um dos eixos 
principais de inércia da seção. 
O plano de solicitações ou de cargas será obtido unindo o ponto CA ao CG da seção 
transversal. 
2. Tensões: 
O cálculo das tensões é feito a partir da soma das tensões ocasionadas pelos momentos 
fletores e pela força normal. 
 
→ Coordenadas do Centro de Ataque – CA: xc e yc 
CA → ponto de aplicação da carga 
→ Momentos atuantes nos eixos principais de inércia: Mx e My 
Mx = N x yc ; My = N x xc 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 4/6 
 
Flexão Composta 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 4 
 
→ Tensões em um ponto qualquer da seção: x
Jy
Myy
Jx
Mx
S
N
×+×+=σ 
→ Os sinais dos momentos são idênticos ao da Flexão Oblíqua. O esforço de tração será 
considerado positivo. 
 
3. Posição da Linha Neutra: 
→ Na LN → σ = 0 
→ Substituindo na equação, teremos: x
Jy
Myy
Jx
Mx
S
N
×+×+=0 
Mas: Mx = N x yc e My = N x xc 
→ Então: x
Jy
xN
y
Jx
yN
S
N cc ××+××+=0 
→ Dividindo a expressão por N/S, teremos: 
101110 +××+×=⇒×××+××××+×= y
S
Jy
xx
S
Jx
yy
S
NxJy
xN
y
S
NyJx
yN
S
NS
N cccc
 
Como o raio de giração vale: ix
2 = Jx / S e iy
2 = Jy / S 
→ Logo: 0122 =+
×
+
×
y
c
x
c
i
xx
i
yy
 → Equação da Linha Neutra 
 
Obs.: 
 A equação na será anulada para valores x = 0 e y = 0. Logo a Linha Neutra não 
passará pela origem do plano cartesiano; 
 Os pontos para traçar a Linha Neutra serão marcados sobre os eixos horizontal e 
vertical. 
 → Para x = 0 � y = y0 � � 
c
x
o y
iy
2
−= 
 → Para y = 0 � x = x0 � � 
c
y
o
x
i
x
2
−= 
 → O sinal negativo indica que o plano da LN estará em quadrante oposto. 
yc x yo = -ix
2 
xc x xo = -iy
2 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 5/6 
 
Flexão Composta 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 5 
 
 
 
y
x
2
2
0
0
J
J
tgtg =×⇒=×=
×
×
=
−
−
== βα
α
β
tg
J
J
y
x
J
J
xA
J
yA
J
x
i
y
i
x
y
tg y
x
c
c
y
x
c
y
c
x
c
y
c
x
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular as tensões normais atuantes na seção do pilar pela ação da força N de 350 tf. 
Traçar o DTN. 
 
 
 
A = 3600 cm
2
 ; Ix = Iy = 1080000 cm
4
 ; ix
2 = ix
2 = 300 cm2 ; xc = 20 cm ; xo = 15 cm 
σcomp = 0.292 tf/cm2 ; σtr = 0.097 tf/cm2 
 
 
2) Calcular as tensões máximas e as tensões nos pontos A e B, indicados na seção 
transversal. Traçar o DTN. 
` 
A = 58 cm
2
 ; Ix = 2189,33 cm4 ; Iy = 336.71 cm
4
 ; ix
2 = 37,76 cm2 ; ix
2 = 5.81 cm2 ; 
xc = 2,50 cm ; yc = 7,00 cm ; xo = 2,32 cm ; yo = 5,39 cm ; σcomp_máx = -4,00 kN/cm2 ; 
σtr_máx = 2,27 kN/cm2 ; σA = -0,18 kN/cm2 ; σB = -1,76 kN/cm2 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 6/6 
 
Flexão Composta 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 6 
 
 
3) Idem ao problema anterior, considerando também a ação de uma carga uniformemente 
distribuída de 10 kN/cm em todo o comprimento da viga. 
 
 
xc = 2,50 cm ; yc = 1447 cm ; xo = 2,068 cm ; yo = 0,026 cm ; σcomp_máx = -267,09 kN/cm2 ; 
σtr_máx = 265,37 kN/cm2 ; σA = 197,14 kN/cm2 ; σB = 195,56 kN/cm2 
 
4) Determinar a posição do centro de ataque (CA) e da linha neutra. Traçar o DTN na seção crítica. 
 
 
A = 6000 cm
2
 ; Ix = 11250000 cm4 ; Iy = 800000 cm
4
 ; ix
2 = 1875 cm2 ; ix
2 = 133,33 cm2 ; 
xc = 0 ; yc = 240 cm ; xo = ∞ ; yo = 7,81 cm ; σcomp_máx = -0,88 kN/cm2 ; σtr_máx = 0,72 kN/cm2 
 
5) Determinar a posição do centro de ataque (CA), da linha neutra e traçar o DTN para o pilar 
submetido à ação das cargas P1 = 40 kNe P2 = 120 kN. 
 
A = 1200 cm
2
 ; Ix = 90000 cm4 ; Iy = 16000 cm
4
 ; ix
2 = 75 cm2 ; ix
2 = 13,33 cm2 ; 
xc = 6,25 cm ; yc = 9 cm ; xo = 2,13 cm ; yo = 8,33 cm ; 
σcomp_máx = -1,62 kN/cm2 ; σtr_máx = 1,36 kN/cm2