Apostila - Flexao

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CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
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Flexão 
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RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS IIIIII 
AAppoossttiillaa -- FFlleexxããoo 
Índice 
 
 
1. – Tipos e Direções da Flexão: ............................................................. 2 
1.1. Reta: ..................................................................................... 2 
1.2. Oblíqua: ................................................................................. 2 
2. Flexão Pura Reta: ........................................................................... 3 
3. Flexão Simples: ............................................................................. 9 
4. Flexão Oblíqua: ............................................................................ 15 
 
 
 
 
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 ESTUDO DA FLEXÃO 
 
1. – Tipos e Direções da Flexão: 
1.1. Reta: 
Quando o plano do esforço solicitante (ES) coincide com um dos eixos principais de 
inércia. A linha neutra (LN) estará localizada no eixo de inércia oposto. 
Poderemos ter os seguintes tipos de flexão reta: 
a) Pura → só há momento fletor 
b) Simples → quando só existe momento fletor + esforço cortante 
c) Composta → quando existe momento fletor + esforço cortante + esforço 
normal 
 
1.2. Oblíqua: 
Quando o plano do esforço solicitante (ES) não coincide com um dos eixos 
principais de inércia. Assim sendo, em relação à seção transversal, o plano do 
esforço solicitante estará cortando dois diedros, enquanto o plano da linha neutra 
(LN) estará posicionado em diedros opostos. 
Poderemos ter os seguintes tipos de flexão oblíqua: 
a) Pura → só há momento fletor 
b) Simples → quando só existe momento fletor + esforço cortante 
c) Composta → quando existe momento fletor + esforço cortante + esforço 
normal 
 
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2. Flexão Pura Reta: 
Só há momento fletor 
 
 
Hipóteses das Seções Planas: As seções transversais da viga que eram planas antes 
da flexão permanecem planas após a flexão (Hipótese de Bernoulli). 
⋅ A linha 1-1 gira para a posição 1’-1’ (idem para 2-2); 
⋅ O trecho a-b se encurta (compressão); 
⋅ O trecho e-f se alonga (tração); 
⋅ O trecho c-d não altera seu comprimento (tensão nula) – plano neutro; 
⋅ y → distância da fibra à LN; 
⋅ ρ → raio de giração da LN; 
⋅ 0 → centro de curvatura. 
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Tomando o alongamento e’ e”, e a distância y, teremos: 
� O alongamento e’ e” de qualquer fibra à distância y da superfície neutra, é obtido 
traçando c’ e” paralela a 2-2; 
� Pela semelhança de triângulos: ∆c’0d’ e ∆e”e’c” 
Teremos o alongamento da fibra e’e”: 
ρ
ε
ρ
ε
yy
dc
ee
=⇒==
''
"'
 
Aplicando a Lei de Hook, vem: ε = σ / E 
 Igualando 
ρ
σ y
E
= , teremos: [ ]1....................1
yE ×
=
σ
ρ
 
 [ ]2......................
ρ
σ
yE ×
=
 
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Distribuição das tensões: 
A tensão em qualquer fibra é proporcional à distância y da linha neutra. 
 
 
 
 
 
dAxdF σ= 
 
Todas essas forças distribuídas na seção transversal representam um sistema 
equivalente a um conjugado. Logo, a resultante dessas forças na direção “z” deve 
ser igual a zero, isto é, o momento estático da área da seção transversal, em 
relação à Linha Neutra é igual a zero. Portanto, o eixo neutro passa pelo CG da 
seção transversal. 
- Fazendo o equilíbrio de forças na seção transversal, teremos; 
∫ ∫ ×==
A A
dAdF σ0 
De [2] vem: ∫ ∫=
×
=
A A
dAyEyE .0
ρρ
 
Como: ∫ =⇒≠
A
dAyE 0.0
ρ
 � daí, concluímos que o eixo neutro passa pelo 
centro de gravidade da seção transversal. 
 
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- Fazendo agora o equilíbrio de momento vem; 
∫∫∫ ∫ ××=⇒===
AAA A
dAyEMfdAyEydAydFyMf 2......
ρρ
σ 
Como: ∫ ×
A
dAy 2 (momento de inércia da seção), 
teremos: IEMfIEMf ××=⇒×=
ρρ
1
 
De [1] vem: 
yE ×
=
σ
ρ
1
 
Então: ⇒××
×
= IE
yE
Mf σ 
 
⇒ y
I
Mf
×=σ
 � Tensão normal em uma peça sujeita a flexão 
 onde: Mf = momento fletor na seção considerada; 
I = momento de inércia; 
y = distância do C.G. da seção transversal até o ponto onde se deseja 
calcular a tensão normal. 
 
Módulo de Resistência da Seção (ou Momento Resistente) 
 
;
max
maxmax






=→×=→×=
y
I
Mfy
I
Mfy
I
Mf
máxσσσ 
 Chamando: W = I / y, temos então: W
Mf
=σ
 
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Módulos de Resistência de algumas seções: 
• Quadrado 
 
 
 
 
 
• Retângulo 
 
 
• Círculo 
 
 
 
• Círculo Vazado 
 
 
 
6
3hW =
62
12
2
3
hxb
Wh
hxb
W
y
IW =⇒=⇒=
322
64
3
4
Dx
WD
Dx
W
pi
pi
=⇒=
( )
32
33 dD
W
−
=
pi
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• Triangulo 
 
 
Resumo do estudo da Flexão Pura: 
� O plano do esforço solicitante (pi) coincidirá com um dos dois eixos principais de 
inércia da seção transversal (eixos X e Y). O plano da linha neutra (LN) se situará no outro 
eixo. Esta situação é válida tanto para a flexão pura quanto para flexão simples. 
 
� A flexão provoca o aparecimento de tensões normais (de tração e de compressão); 
� O diagrama de tensões normais é linear (máximo nos extremos); 
 
� A tensão na altura do C.G. é zero (linha neutra ou eixo neutro); 
� y
I
Mf
×=σ 
24
3
2
36
2
3
hxb
Whx
hxb
W
y
IW =⇒=⇒=
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3. Flexão Simples: 
Quando há momento fletor e esforço cortante. 
 
As tensões de cisalhamento τ são paralelas ao esforço cortante Q. 
A distribuição das tensões de cisalhamento é uniforme ao longo da largura da viga. 
 
 
 
As tensões de cisalhamento num dos lados do elemento são acompanhadas por 
tensões iguais na face perpendicular. Haverá então tensões de cisalhamento 
horizontais entre as fibras horizontais da viga, bem como tensões de cisalhamento 
transversais nas seções transversais. Em qualquer ponto da viga, essas tensões 
complementares tem o mesmo valor. 
 
 
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Se pegarmos um elemento dx de uma viga: 
 
 
 
 
 
 
 
N1, N2 = resultante das forças normais atuantes nas faces ab e cd, respectivamente; 
N3 = resultante das forças tangenciais atuantes na face ad. 
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- Equilíbrio das forças horizontais: 
N1 – N3 – N2 = 0 
∫∫∫∫ ⇒−=⇒=−−
2
2
2
1
2
2
2
1 ....0....
h
y
h
y
h
y
h
y
dAdAdxbdAdxbdA σστστσ 
( )
⇒
−
=⇒−=⇒ ∫∫∫
2
21
2
2
2
1
.......
h
y
h
y
h
y
dAy
I
MMdxbdA
I
MdA
I
Mdxb ττ 
( )
∫××
−
=⇒
2
21
...
h
y
dAy
dxbI
MMdxbτ 
mas: (M1 – M2) = dM ∫×
×=⇒
2
.
1
..
h
y
dAy
bIdx
dMdxbτ 
mas: dM / dx = 0 (força cortante) 
 ∫
2
.
h
y
dAy → momento estático da parte hachurada da seção transversal 
Então: 
⇒×
×
×= M
bI
Q 1τ
 Ib
Q
×
×
=
µ
τ 
 onde: τ = tensão tangencial despertada no ponto; 
 Q = esforço cortante na seção considerada; 
M = momento estático, em relação a LN, da região delimitada entre a 
horizontal que passa no ponto e o extremo adjacente; 
 b = espessura da seção transversal no ponto considerado. 
- Alguns diagramas de tensões cisalhantes: 
 Os diagramas de tensões cisalhantes são, em geral, parabólicos. 
 
 
 
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Exemplo: 
Determinar a lei de distribuição de esforço cortante em uma seção transversal 
retangular. 
 
Ib
MQ
×
×
=τ → Q, M, I = constantes 
onde: byhAhbI h ×





−=
×
=
2
;
12
3
 
242
2
11
yhy
yh
y +=⇒
+
= 






×





−×



+=⇒×= byhhhMhyM
2241
 






−×=⇒ 2
2
42
yhbM → equação de uma parábola 
Como “y” é uma variável, deveremos ver as condições de contorno: 
 - Para y = ± h/2 → τ = 0 
 - Para y = 0 → o momento estático é máximo e vale: M = b x h2 / 8, e a 
tensão de cisalhamento máxima será: 
⇒
×
×=⇒
×
××
×
=
hb
Q
hbb
hbQ
2
3121
8 3
2
ττ 
A
Q
×=⇒
2
3
τ → só é válido para seções retangulares 
 
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4. Flexão Oblíqua: 
Dizemos que a flexão é oblíqua quando há momento fletor atuante nos dois planos 
principais da viga. 
Seja a seção transversal da viga submetida a uma carga F inclinada de “α” em 
relação ao eixo “X”. 
 
 
- Em torno do eixo X → Mx 
Mx = Fy ⋅ z = F ⋅ sen α ⋅ z (atuante no plano ZY) 
 
- Em torno do eixo Y → My 
My = - Fx ⋅ z = - F ⋅ cos α ⋅ z (atuante no plano ZX ) 
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- Cálculo das Tensões: 
O problema da flexão oblíqua pode ser resolvido decompondo-se o momento 
atuante (M) nos momentos “Mx” e “My” segundo os eixos principais de inércia da 
seção transversal, e tratando o problema como se fosse de duas flexões normais. 
Bastará, assim, a simples soma algébrica das tensões obtidas na flexão normal para 
cada momento “Mx” e “My” atuando separadamente. 
 
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⇒∗
×
+∗
×
= y
Ix
senM
x
Iy
M αα
σ
cos
 y
Ix
Mx
x
Iy
My
+=σ 
 
onde: σ → tensão normal resultante que atua em um determinado ponto da seção 
x , y → coordenadas do ponto onde se deseja calcular a tensão 
 
- Equação e Inclinação da Linha Neutra: 
Linha neutra é o lugar geométrico onde todos os pontos possuem tensões nulas. 
Fazendo σ = 0, teremos: 
 
⇒∗−=∗⇒∗+∗=⇒∗+∗= y
Ix
senM
x
Iy
My
Ix
senM
x
Iy
My
Ix
Mx
x
Iy
My αααα .cos..cos.00
 
xg
Iy
Ixyx
senIy
Ixy ××−=⇒××−=⇒ α
α
α
cot
cos
 
→ Equação da linha neutra: xtgy ×−= β 
Então: βα tgg
Iy
Ix
−=×− cot → 
α
β
tgIy
Ix
tg 1×= 
 
 → Equação do ES: xtgy ×−= α 
 
Notar que o plano do esforço solicitante (ES) estará em diedro oposto ao plano da 
linha neutra (LN).