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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 1/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 1 RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS IIIIII AAppoossttiillaa -- FFlleexxããoo Índice 1. – Tipos e Direções da Flexão: ............................................................. 2 1.1. Reta: ..................................................................................... 2 1.2. Oblíqua: ................................................................................. 2 2. Flexão Pura Reta: ........................................................................... 3 3. Flexão Simples: ............................................................................. 9 4. Flexão Oblíqua: ............................................................................ 15 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 2/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 2 ESTUDO DA FLEXÃO 1. – Tipos e Direções da Flexão: 1.1. Reta: Quando o plano do esforço solicitante (ES) coincide com um dos eixos principais de inércia. A linha neutra (LN) estará localizada no eixo de inércia oposto. Poderemos ter os seguintes tipos de flexão reta: a) Pura → só há momento fletor b) Simples → quando só existe momento fletor + esforço cortante c) Composta → quando existe momento fletor + esforço cortante + esforço normal 1.2. Oblíqua: Quando o plano do esforço solicitante (ES) não coincide com um dos eixos principais de inércia. Assim sendo, em relação à seção transversal, o plano do esforço solicitante estará cortando dois diedros, enquanto o plano da linha neutra (LN) estará posicionado em diedros opostos. Poderemos ter os seguintes tipos de flexão oblíqua: a) Pura → só há momento fletor b) Simples → quando só existe momento fletor + esforço cortante c) Composta → quando existe momento fletor + esforço cortante + esforço normal UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 3/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 3 2. Flexão Pura Reta: Só há momento fletor Hipóteses das Seções Planas: As seções transversais da viga que eram planas antes da flexão permanecem planas após a flexão (Hipótese de Bernoulli). ⋅ A linha 1-1 gira para a posição 1’-1’ (idem para 2-2); ⋅ O trecho a-b se encurta (compressão); ⋅ O trecho e-f se alonga (tração); ⋅ O trecho c-d não altera seu comprimento (tensão nula) – plano neutro; ⋅ y → distância da fibra à LN; ⋅ ρ → raio de giração da LN; ⋅ 0 → centro de curvatura. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 4/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 4 Tomando o alongamento e’ e”, e a distância y, teremos: � O alongamento e’ e” de qualquer fibra à distância y da superfície neutra, é obtido traçando c’ e” paralela a 2-2; � Pela semelhança de triângulos: ∆c’0d’ e ∆e”e’c” Teremos o alongamento da fibra e’e”: ρ ε ρ ε yy dc ee =⇒== '' "' Aplicando a Lei de Hook, vem: ε = σ / E Igualando ρ σ y E = , teremos: [ ]1....................1 yE × = σ ρ [ ]2...................... ρ σ yE × = UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 5/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 5 Distribuição das tensões: A tensão em qualquer fibra é proporcional à distância y da linha neutra. dAxdF σ= Todas essas forças distribuídas na seção transversal representam um sistema equivalente a um conjugado. Logo, a resultante dessas forças na direção “z” deve ser igual a zero, isto é, o momento estático da área da seção transversal, em relação à Linha Neutra é igual a zero. Portanto, o eixo neutro passa pelo CG da seção transversal. - Fazendo o equilíbrio de forças na seção transversal, teremos; ∫ ∫ ×== A A dAdF σ0 De [2] vem: ∫ ∫= × = A A dAyEyE .0 ρρ Como: ∫ =⇒≠ A dAyE 0.0 ρ � daí, concluímos que o eixo neutro passa pelo centro de gravidade da seção transversal. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 6/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 6 - Fazendo agora o equilíbrio de momento vem; ∫∫∫ ∫ ××=⇒=== AAA A dAyEMfdAyEydAydFyMf 2...... ρρ σ Como: ∫ × A dAy 2 (momento de inércia da seção), teremos: IEMfIEMf ××=⇒×= ρρ 1 De [1] vem: yE × = σ ρ 1 Então: ⇒×× × = IE yE Mf σ ⇒ y I Mf ×=σ � Tensão normal em uma peça sujeita a flexão onde: Mf = momento fletor na seção considerada; I = momento de inércia; y = distância do C.G. da seção transversal até o ponto onde se deseja calcular a tensão normal. Módulo de Resistência da Seção (ou Momento Resistente) ; max maxmax =→×=→×= y I Mfy I Mfy I Mf máxσσσ Chamando: W = I / y, temos então: W Mf =σ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 7/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 7 Módulos de Resistência de algumas seções: • Quadrado • Retângulo • Círculo • Círculo Vazado 6 3hW = 62 12 2 3 hxb Wh hxb W y IW =⇒=⇒= 322 64 3 4 Dx WD Dx W pi pi =⇒= ( ) 32 33 dD W − = pi UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 8/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 8 • Triangulo Resumo do estudo da Flexão Pura: � O plano do esforço solicitante (pi) coincidirá com um dos dois eixos principais de inércia da seção transversal (eixos X e Y). O plano da linha neutra (LN) se situará no outro eixo. Esta situação é válida tanto para a flexão pura quanto para flexão simples. � A flexão provoca o aparecimento de tensões normais (de tração e de compressão); � O diagrama de tensões normais é linear (máximo nos extremos); � A tensão na altura do C.G. é zero (linha neutra ou eixo neutro); � y I Mf ×=σ 24 3 2 36 2 3 hxb Whx hxb W y IW =⇒=⇒= UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 9/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 9 3. Flexão Simples: Quando há momento fletor e esforço cortante. As tensões de cisalhamento τ são paralelas ao esforço cortante Q. A distribuição das tensões de cisalhamento é uniforme ao longo da largura da viga. As tensões de cisalhamento num dos lados do elemento são acompanhadas por tensões iguais na face perpendicular. Haverá então tensões de cisalhamento horizontais entre as fibras horizontais da viga, bem como tensões de cisalhamento transversais nas seções transversais. Em qualquer ponto da viga, essas tensões complementares tem o mesmo valor. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSODE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 10/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 10 Se pegarmos um elemento dx de uma viga: N1, N2 = resultante das forças normais atuantes nas faces ab e cd, respectivamente; N3 = resultante das forças tangenciais atuantes na face ad. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 11/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 11 - Equilíbrio das forças horizontais: N1 – N3 – N2 = 0 ∫∫∫∫ ⇒−=⇒=−− 2 2 2 1 2 2 2 1 ....0.... h y h y h y h y dAdAdxbdAdxbdA σστστσ ( ) ⇒ − =⇒−=⇒ ∫∫∫ 2 21 2 2 2 1 ....... h y h y h y dAy I MMdxbdA I MdA I Mdxb ττ ( ) ∫×× − =⇒ 2 21 ... h y dAy dxbI MMdxbτ mas: (M1 – M2) = dM ∫× ×=⇒ 2 . 1 .. h y dAy bIdx dMdxbτ mas: dM / dx = 0 (força cortante) ∫ 2 . h y dAy → momento estático da parte hachurada da seção transversal Então: ⇒× × ×= M bI Q 1τ Ib Q × × = µ τ onde: τ = tensão tangencial despertada no ponto; Q = esforço cortante na seção considerada; M = momento estático, em relação a LN, da região delimitada entre a horizontal que passa no ponto e o extremo adjacente; b = espessura da seção transversal no ponto considerado. - Alguns diagramas de tensões cisalhantes: Os diagramas de tensões cisalhantes são, em geral, parabólicos. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 12/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 12 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 13/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 13 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 14/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 14 Exemplo: Determinar a lei de distribuição de esforço cortante em uma seção transversal retangular. Ib MQ × × =τ → Q, M, I = constantes onde: byhAhbI h × −= × = 2 ; 12 3 242 2 11 yhy yh y +=⇒ + = × −× +=⇒×= byhhhMhyM 2241 −×=⇒ 2 2 42 yhbM → equação de uma parábola Como “y” é uma variável, deveremos ver as condições de contorno: - Para y = ± h/2 → τ = 0 - Para y = 0 → o momento estático é máximo e vale: M = b x h2 / 8, e a tensão de cisalhamento máxima será: ⇒ × ×=⇒ × ×× × = hb Q hbb hbQ 2 3121 8 3 2 ττ A Q ×=⇒ 2 3 τ → só é válido para seções retangulares UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 15/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 15 4. Flexão Oblíqua: Dizemos que a flexão é oblíqua quando há momento fletor atuante nos dois planos principais da viga. Seja a seção transversal da viga submetida a uma carga F inclinada de “α” em relação ao eixo “X”. - Em torno do eixo X → Mx Mx = Fy ⋅ z = F ⋅ sen α ⋅ z (atuante no plano ZY) - Em torno do eixo Y → My My = - Fx ⋅ z = - F ⋅ cos α ⋅ z (atuante no plano ZX ) UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 16/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 16 - Cálculo das Tensões: O problema da flexão oblíqua pode ser resolvido decompondo-se o momento atuante (M) nos momentos “Mx” e “My” segundo os eixos principais de inércia da seção transversal, e tratando o problema como se fosse de duas flexões normais. Bastará, assim, a simples soma algébrica das tensões obtidas na flexão normal para cada momento “Mx” e “My” atuando separadamente. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 17/17 Flexão Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 17 ⇒∗ × +∗ × = y Ix senM x Iy M αα σ cos y Ix Mx x Iy My +=σ onde: σ → tensão normal resultante que atua em um determinado ponto da seção x , y → coordenadas do ponto onde se deseja calcular a tensão - Equação e Inclinação da Linha Neutra: Linha neutra é o lugar geométrico onde todos os pontos possuem tensões nulas. Fazendo σ = 0, teremos: ⇒∗−=∗⇒∗+∗=⇒∗+∗= y Ix senM x Iy My Ix senM x Iy My Ix Mx x Iy My αααα .cos..cos.00 xg Iy Ixyx senIy Ixy ××−=⇒××−=⇒ α α α cot cos → Equação da linha neutra: xtgy ×−= β Então: βα tgg Iy Ix −=×− cot → α β tgIy Ix tg 1×= → Equação do ES: xtgy ×−= α Notar que o plano do esforço solicitante (ES) estará em diedro oposto ao plano da linha neutra (LN).
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