Apostila - Geometria das Areas

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
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Geometria das Áreas 
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RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS IIIIII 
AAppoossttiillaa -- GGeeoommeettrriiaa ddaass ÁÁrreeaass 
Índice 
 
GEOMETRIA DAS ÁREAS ............................................................................................... 2 
1. CENTRÓIDE........................................................................................................... 3 
2. MOMENTO ESTÁTICO ............................................................................................... 5 
2.1 – Seção Simples: ................................................................................................... 5 
2.2 – Seção Composta: ................................................................................................ 7 
3. MOMENTO DE INÉRCIA ........................................................................................... 12 
3.1 – Seção Simples: ................................................................................................. 12 
3.2 – Seção Composta: .............................................................................................. 13 
4. RAIO DE GIRAÇÃO ................................................................................................. 16 
5. MOMENTO DE INÉRCIA POLAR .................................................................................. 23 
5.1 – Seção Simples: ................................................................................................. 23 
5.2 – Seção Composta: .............................................................................................. 23 
6. PRODUTO DE INÉRCIA ............................................................................................ 23 
6.1 – Seção Simples: ................................................................................................. 23 
5.2 – Seção Composta: .............................................................................................. 24 
 
 
 
 
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GEOMETRIA DAS ÁREAS 
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais 
se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade 
de se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras 
geométricas que formam essas seções transversais. 
A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada 
barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é 
chamado de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é 
chamado de seção transversal. 
 
 
 
As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
• Área (A) 
• Momento de Inércia (I) 
• Momento estático (M) 
• Módulo de resistência (W) 
• Centro de gravidade (CG) 
• Raio de giração (i) 
 
 
 
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1. CENTRÓIDE 
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical 
atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas 
entre si constitui o peso do corpo. 
 
Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em 
relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se 
cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do 
corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG). 
 
Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada 
por uma única força P. Esta força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu 
baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizar-se 
dentro ou fora da superfície. 
 
O centro de gravidade de uma superfície plana é, por definição, o ponto de 
coordenadas: 
 
 
 
∫
∫
=
∫
∫
=
dA
dAyy
dA
dAx
x
.
;
.
 
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Centro de gravidade de algumas figuras planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. MOMENTO ESTÁTICO 
Analogamente à definição de momento de uma força em relação a um eixo 
qualquer, defini-se Momento Estático (M) de um elemento de superfície como o 
produto da área do elemento pela distância que o separa de um eixo de referência. 
 
O momento estático de uma área em relação a um eixo é dado por: 
2.1 – Seção Simples: 
 
 
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∫ ==
A
x
dAydAyM .. ; ∫ ==
A
y dAxdAxM .. 
 
Exemplo: 
 
 
M1 = 12 x 0 = 0 
M2 = 12 x 1,5 = 18 cm
3 
M3 = 12 x 2,5 = 30 cm
3 
 
� O momento estático de uma área em relação a um eixo é igual ao produto 
desta área pela distância do eixo ao CG da área (seção transversal); 
� Daí decorre que o momento estático de uma área em relação a qualquer eixo 
que passe pelo CG de uma área é nulo; 
 
 
 
 
M1-1 = d x A 
M2-2 = 0 � porque passa pelo CG. 
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� Dimensões do momento estático: cm3, dm3, m3, pol3, etc.; 
� O momento estático pode ser negativo ou positivo. 
 
2.2 – Seção Composta: 
 
 
 
Em relação ao eixo “X”: 
111 AyM ×= ; 222 AyM ×= ; 333 AyM ×= 
 
321 MMMM T ++= 
 
)()()( 332211 AyAyAyM T ×+×+×= 
 
)( 321 AAAyM T ++×= 
 
Logo: 
A
M
AAA
AyAyAyy
Σ
Σ
=
++
×+×+×
=
321
332211 
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Exemplo: Determinar o CG da Figura abaixo. (medidas em centímetros) 
 
Solução: 
 Primeiro passo é determinar os eixos de referencias e dividir a figura. Para 
esse exemplo, a figura foi dividida em 2 retângulos. 
 
 
 Em relação ao eixo “X”: 
 Mx,1 = 4 x (2 x 4)
 
= 32 cm3 
 Mx,2 = 1 x (8 x 2)
 
= 16 cm3 
 Momento estático total: MT = Mx1 + Mx2 → MT = 48 cm
3 
 cmyy
A
My 2
24
48
=⇒=⇒
Σ
Σ
=
 
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 Em relaçãoao eixo “Y”: 
 My1 = 4 x (2 x 4)
 
= 32 cm3 
 My2 = 4 x (8 x 2)
 
= 64 cm3 
 Momento estático total: MT = My1 + My2 → MT = 96 cm
3 
 cmxx
A
M
x 4
24
96
=⇒=⇒
Σ
Σ
=
 
 
 
Exercícios: 
1) Determinar o CG da Figura. (medidas em centímetros) 
 
A = A1 - A2 - A3 
A = (8 x 15) - (6 x 4) - (4 x 3) 
A = 84 cm2 
M1,x = yCG1 x A1 = 7,5 x (8 x 15) = 900 cm
3 
M2,x = yCG2 x A2 = 10 x (6 x 4) = 240 cm
3 
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M3,x = yCG3 x A3 = 3,5 x (3 x 4) = 42 cm
3 
Mx = M1,x - M2,x - M3,x = 900 - 240 - 42 = 618 cm
3 (momento estático em relação ao eixo x). 
cmyy
A
My CGCGxCG 36,784
618
=⇒=⇒= 
 
2) Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 
 
A1 = (12 x 8) = 96 cm
2 
A2 = (3 x 3) = 9 cm
2 
A = A1 - A2 = 87 cm
2 
M1,x = yCG1 x A1 = 6 x (12 x 8) = 576 cm
3 
M2,x = yCG2 x A2 = 9 x (3 x 3) = 81 cm
3 
Mx = M1,x - M2,x = 576 - 81 = 495 cm
3 (momento estático em relação ao eixo x). 
 
cmyy
A
My CGCGxCG 69,587
495
=⇒=⇒= 
 
3) Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). 
• A Figura hachurada pode ser o resultado de um retângulo (12×6) cm do qual 
foram retirados um triângulo e um semicírculo. 
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A = AR - AT - ASC 
A = (12 x 6) - [0,5 x (3 x 6)] - (0,5 x pi x r2) = 56,72 cm2 
A = 56,72 cm2 
Momento Estático (em relação ao eixo x). 
MR,x = yCG,R x AR = (12 x 6) x 3 = 216 cm
3 
MT,x = yCG,T x AT = 4 x [0,5 x (3 x 6)] = 36 cm
3 
MSC,x = yCG,SC x ASC = (0.5 pi x 22) x (6 - 
pix
x
3
24 ) = 32,37 cm3 
Mx = MR,x - MT,x - MSC,x = 216 - 36 - 32,37 = 147 cm
3 
 
cmyy
A
My CGCGxCG 6,272,56
63,147
=⇒=⇒= 
 
Analogamente, determina-se a coordenada XCG. 
 
 
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Momento Estático (em relação ao eixo y). 
MR,y = yCG,R x AR = 6 x (12 x 6) = 432 cm
3 
MT,y = yCG,T x AT = 1 x ((3 x 6)/2)) = 9 cm
3 
MSC,y = yCG,SC x ASC = 8 x ((pi x 22)/2) = 50,26 cm3 
My = MR,y - MT,y - MSC,y = 432 - 9 - 50,26 = 372,74 cm
3 
 
cmxx
A
M
x CGCG
y
CG 57,672,56
74,372
=⇒=⇒= 
 
3. MOMENTO DE INÉRCIA 
O momento de inércia (ou inércia rotacional) é uma medida da resistência que um 
corpo oferece a uma mudança em seu movimento de rotação em torno de um dado 
eixo. 
 
O momento de inércia de uma área em relação a um eixo é dado por: 
3.1 – Seção Simples: 
 
 
dAxIydAyIx
AA
∫=∫=
22 ; 
� O momento de inércia é sempre positivo; 
� Unidades do momento de inércia: m4, dm4, cm4, mm4, etc. 
 
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3.2 – Seção Composta: 
IT = Σ Ii (Teorema dos eixos paralelos ou Teorema de Steiner). 
O teorema de Steiner, também conhecido como teorema dos eixos paralelos, é 
utilizado para determinar o momento de inércia de superfícies em relação a eixos 
que não tocam a mesma. 
 
Exemplo: Calcular Ix, sabendo-se que “X” é o eixo que passa pelo centro de 
gravidade de um retângulo de base “b” e altura “h”. 
 
 
dAyIx
A
∫=
2
 
mas: dA = b x dy 
logo: 
⇒∫ ××=⇒××∫=
+
−
2
2
22
h
hA
dyybIxdybyIx 
( ) ( )
⇒








−
−×=⇒



×=⇒
+
−
3
2
3
2
3
33
2
2
3 hh
bIxybIx
h
h
 
 
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



×=⇒


 ×
×=⇒


 +×=⇒
1224
2
2424
3333 hbIxhbIxhhbIx 
 
12
3hbIx ×= 
 
E para o eixo y: 
12
3bhIy ×= 
 
 
 
- Momento de Inércia de algumas seções: 
• Quadrado 
 
 
• Retângulo 
 
 
 
 
 
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• Triângulo 
 
 
 
• Círculo 
 
 
 
• Círculo vazado 
 
 
 
 
- Teorema dos Eixos Paralelos (ou Teorema de Steiner): 
“O momento de inércia de uma área em relação a um eixo, é igual ao momento de 
inércia desta área em relação a um eixo paralelo ao primeiro, passando pelo centro 
de gravidade da área, mais o produto da área pelo quadrado da distância entre os 
dois eixos”. 
 
2
0011 dAII ×+= 
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4. RAIO DE GIRAÇÃO 
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento 
de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O 
raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem. 
 
A
Ii = cm
cm
cmi ==
2
4
 
 
Exercício: 
A figura representa a seção transversal de uma viga “T”. Para a figura, determinar: 
a) o centro de gravidade; 
b) o momento de inércia em relação aos eixos “x e y”; 
c) os módulos resistentes “superior e inferior”; 
d) o raio de giração. 
(medidas em centímetros) 
 
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Solução: 
 
Figura b (cm) h (cm) X CG 
(cm) 
Y CG 
(cm) 
Área 
(cm2) 
Mx 
(cm3) 
My 
(cm3) 
1 3,0 2,0 1,5 6,0 6,0 36,0 9,0 
2 2,0 7,0 4,0 3,5 14,0 49,0 56,0 
3 3,0 2,0 6,5 6,0 6,0 36,0 39,0 
Σ = 26 121 104 
 
 
Momento Estático (em relação aos eixos x e y de referência).: 
Para x � yAM
x
×= 
Para y � xAM y ×= 
 
• Centro de Gravidade (CG): 
 
cm
A
M
Y xCG 65,426
121
==
∑
∑
=
 
 
cm
A
M
X yCG 0,426
104
==
∑
∑
=
 
 
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf = 4,65cm e ysup = 2,35cm. 
• Momento de Inércia: em relação ao eixo "x" 
 
Figura 1 e Figura 3 
 
2
3
12
dAhbI
x
×+
×
= 
 
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42
3
94,1235,16
12
23
cmI
x
=×+
×
=
 
 
488,2594,122 cmxI
x
== 
 
Figura 2 
3
3hbI
x
×
= � 
4
3
65,8
3
35,22
cmI
x
=
×
= � 
4
3
03,67
3
65,42
cmI
x
=
×
=
 
 
468,7503,6765,8 cmI
x
=+= 
 
ou para figura 2 
 
42
3
68,7515,114
12
72
cmI
x
=×+
×
=
 
 
• Momento de Inércia: em relação ao eixo "y" 
 
Figura 1 e Figura 3 
2
3
12
dAbhI y ×+
×
= 
42
3
425,26
12
32
cmI y =×+
×
= 
 
Figura 2 
12
3bhI y
×
=4
3
67,4
12
27
cmI y =
×
= 
 
Figura Ix (cm3) Iy (cm3) 
1 12,94 42,0 
2 75,68 4,67 
3 12,94 42,0 
Σ 101,56 88,67 
 
 
 
 
 
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• Momentos resistentes: 
Para X superior: 
sup
sup, y
IW x
x
= � 
3
sup, 22,4335,2
56,101
cmW
x
== 
 
Para X inferior: 
inf
inf, y
IW x
x
= � 
3
inf, 84,2165,4
56,101
cmW
x
== 
 
Para Y esquerdo: 
esq
y
esqy
x
I
W =
,
 � 3
,
17,22
00,4
67,88
cmW
esqy ==
 
 
Para Y direito: 
dir
y
diry
x
I
W =
,
 � 3
,
17,22
00,4
67,88
cmW diry == 
 
 
• Raio de Giração: 
A
Ii x
x
= � cmi
x
98,1
26
56,101
== 
 
A
I
i yy = � cmiy 85,126
67,88
== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1) Determinar as características geométricas das figuras (medidas em centímetros) abaixo: 
a) área; 
b) centro de gravidade (XCG , YCG); 
c) momento de inércia em relação aos eixos x e y que passam pelo centróide; 
d) módulo resistente em relação ao eixo principal de inércia; 
e) raio de giração em relação aos eixos principais de inércia "x" e "y" que passam 
pelo centróide. 
 
 
 
 
 
 
Resposta 
A 16,00 cm2 
y CG 4,00 cm 
x CG 1,75 cm 
Iy,CG 36,33 cm4 
Ix,CG 141,33 cm4 
WY, Esquerdo 20,76 cm3 
WY, Direito 11,18 cm3 
Wx, Superior 35,33 cm3 
Wx, Inferior 35,33 cm3 
iy 1,51 cm 
ix 2,97 cm 
Resposta 
A 74,00 cm2 
y CG,Inferior 4,87 cm 
y CG, Superior 5,13 cm 
x CG 4,00 cm 
Iy,CG 424,67cm4 
Ix,CG 647,57 cm4 
WY, Esquerdo 106,17 cm3 
WY, Direito 106,17 cm3 
Wx, Superior 126,48 cm3 
Wx, Inferior 132,70 cm3 
iy 5,73 cm 
ix 2,96 cm 
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Resposta 
A 25,00 cm2 
y CG,Inferior 1,70 cm 
y CG, Superior 3,30 cm 
x CG,Direita 5,70 cm 
x CG,Esquerda 7,30 cm 
Iy,CG 556,08 cm4 
Ix,CG 56,08cm4 
WY, Esquerdo 76,18 cm3 
WY, Direito 97,56 cm3 
Wx, Superior 16,99 cm3 
Wx, Inferior 32,99 cm3 
iy 4,72 cm 
ix 1,50 cm 
Resposta 
A 18 cm2 
y CG 4,00 cm 
x CG 3,00 cm 
Iy,CG 36,50 cm4 
Ix,CG 166,00 cm4 
WY, Esquerdo 12,17 cm3 
WY, Direito 12,17 cm3 
Wx, Superior 41,50 cm3 
Wx, Inferior 41,50 cm3 
iy 1,42 cm 
ix 3,04 cm 
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Resposta 
A 18,72 cm2 
y CG 3,00 cm 
x CG 3,00 cm 
Iy,CG 89,34 cm4 
Ix,CG 43,72 cm4 
WY, Esquerdo 29,78 cm3 
WY, Direito 29,78 cm3 
Wx, Superior 14,57 cm3 
Wx, Inferior 14,57 cm3 
iy 2,18 cm 
ix 1,53 cm 
Resposta 
A 23,20 cm2 
y CG 4,00 cm 
x CG,Direita 3,15 cm 
x CG,Esquerda 1,85 cm 
Iy,CG 43,29 cm4 
Ix,CG 179,06 cm4 
WY, Esquerdo 23,40 cm3 
WY, Direito 13,74 cm3 
Wx, Superior 44,76 cm3 
Wx, Inferior 44,76 cm3 
iy 1,36 cm 
ix 2,78 cm 
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CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 23/24 
 
Geometria das Áreas 
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5. MOMENTO DE INÉRCIA POLAR 
O momento de uma área em relação ao pólo O ou eixo z. Este é referenciado como 
momento polar de inércia de área dJ=ρ² dA. Neste caso r é a distancia 
perpendicular do pólo (eixo z) até o elemento dA. 
 
 
 
5.1 – Seção Simples: 
( ) JxJydAydAxdAyxdAJp
AAAA
+=+=+== ∫∫∫∫
22222ρ 
5.2 – Seção Composta: 
JpTOTAL = Σ Jpi 
 
6. PRODUTO DE INÉRCIA 
O produto de inércia de uma área em relação a um sistema de eixos ortogonais é 
dada por: 
6.1 – Seção Simples: 
 
 
 
AyxdAyxJp ××=∫ ××= . 
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Caso Particular: Se um dos eixos é um eixo de simetria, então: Jxy = 0 
 
5.2 – Seção Composta: 
JxyTOTAL = Σ Jxyi