AT 10.NormaPerfil.Curvas verticais

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Conferencia No 10. 
Tema III. Alinhamento vertical 
Perfil Longitudinal. Curvas Verticais
Definição.
Classificação.
Propriedades. 
Ordenadas em C.V.P.
Cálculo e Replante (Implantação). 
I. DEFINIÇÃO
As curvas verticais são aquelas curvas que se introduzem no perfil longitudinal da via nos lugares em que ocorrem mudanças da pendente da rasante do eixo da estrada; seu objectivo é conseguir uma transição gradual e cómoda de uma pendente da rasante a outra.
As curvas verticais podem ser parabólicas, circulares e até curvas como a clotoide. Geralmente prefere-se a parábola a qual é muito aproximada a uma curva circular, sendo além de mais fácil cálculo e replante. 
A utilização de curvas parabólicas no Desenho Geométrico de Rodovias não se limita somente às curvas verticais; senão também se utilizam no desenho de bombeio (abaulamento) e até inclusive se podem utilizar no caso de curvas horizontais curtas, sem a ajuda dum instrumento de medição angular, já que seu replante é possível realizá-lo com fita somente. 
II. CLASSIFICAÇÃO
O ponto onde se intercetam duas rasantes de diferente inclinação se designa com o nome de ponto vertical (PIV); e segundo a longitude de suas duas metades, as curvas verticais parabólicas podem ser: simétricas e assimétricas.
Propõe-se que uma curva vertical parabólica é simétrica se a longitude para a esquerda do ponto vertical tanto faz à longitude para a direita, ou seja que a linha vertical que passa por dito ponto divide à curva parabólica à metade. Na figura1 representa-se uma curva vertical parabólica simétrica.
Se a longitude para a esquerda do ponto vertical é maior que a longitude para a direita do PIV ou vice-versa então a curva vertical parabólica é assimétrica. Na figura 2 representa-se uma curva vertical parabólica assimétrica. 
Figura 1. Curva vertical parabólica simétrica.
Figura 2. Curva vertical parabólica assimétrica.
3. PROPRIEDADES DAS CURVAS PARABÓLICAS. 
As propriedades mais importantes das curvas parabólicas são as seguintes:
( Todas as distâncias ao longo da curva se medem horizontalmente; e todas as ordenadas desde a tangente se medem verticalmente. 
Segundo o assinalado anteriormente, pode-se dizer que a longitude duma curva vertical parabólica é sua projecção horizontal. Como a curva parabólica é uma curva muito plana, o erro que a proposta anterior implica pode se considerar como desprezível.
( As ordenadas desde a tangente à curva variam como o quadrado da distância ao longo da curva. 
( Ademais nas curvas parabólicas cumpre-se a propriedade de que a variação da inclinação da tangente em qualquer ponto da curva é uma constante. 
4. DETERMINAÇÃO DAS ORDENADAS (e) E (ev) EM CURVAS VERTICAIS PARABÓLICAS. 
A determinação das ordenadas e e ev das curvas verticais parabólicas é fundamental para seu cálculo e implantação. 
PCV: ponto de começo da curva vertical parabólica. 
PIV: ponto de inflexão das pendentes ou ponto vertical. 
PM: ponto médio da curva vertical parabólica. 
PTV: ponto de terminação da curva vertical parabólica. 
P: ponto qualquer que pertence à curva. 
ev: ordenada vertical entre o PIV e o PM. 
e = e a ordenada vertical entre a tangente e o ponto P. 
x: distância desde o PCV até o ponto P (projecção horizontal). 
g1 e g2: pendentes das rasantes que se interceptam no PIV. 
l1 e l2: comprimento da curva vertical parabólica (projecção horizontal desde PCV até PIV, l1 e desde PIV até PTV, l2). 
L: Comprimento total da curva vertical parabólica (projecção horizontal). Mede-se desde o PCV até o PTV da curva. 
Expressões para determinar as ordenadas entre a tangente e a curva.
Esta expressão permite calcular as ordenadas desde qualquer ponto da tangente à curva. Esta expressão é a demonstração da terceira propriedade das curvas parabólicas enunciadas anteriormente.
A expressão anterior permite calcular o valor ev no ponto vértice da curva e seu signo está em dependência de sim a mudança de pendente produz-se em cume (divisórias) ou depressão (vaguadas). 
Segundo pode-se inferir do parágrafo anterior existem duas formas na aplicação de curvas verticais. Sim consideram-se positivas (+) as rampas e negativas (-) as pendentes; tem-se que o porcento de mudança das pendentes da rasante; ou seja, a diferença algébrica, pode ser obtida por: 
Em crista (cume):
Rampa e pendente: (+g1) - (-g2)
 Rampa e rampa (+g1) - (+g2)
 Pendente e pendente (-g1) - (-g2)
�
Em vale (depressão)
Pendente e rampa (-g1) - (+g2)
Pendente e pendente (-g1) - (-g2)
Rampa e rampa (+g1) - (+g2)
Figura 4. Formas de aplicação das curvas verticais.
As curvas verticais só utilizem-se quando a diferença algébrica entre as pendentes da rasante, que se intercetam seja maior de 0,005 m/m ou seja 0,5%, no caso que esta diferença seja menor as curvas vertical são inecessárias. 
5. OUTRA FORMA DE DETERMINAR (e) E (ev)
. 
 
Onde: 
X: distância horizontal a qualquer ponto P pertencente à curva (m). 
g: diferença algébrica das pendentes da rasante que se intercetam no PIV; %. 
Kv: parâmetro da curva vertical; em metros. Representa a longitude da curva por unidade de variação de pendente ou seja: 
L: longitude da curva vertical parabólica; em metros. 
É um problema da geometria elementar achar a circunferência que passa por três pontos dados. O método consiste em construir as mediatrizes de dois quaisquer dos lados do triângulo que formam estes três pontos; o ponto de união das mediatrizes, será o centro, e a distância a qualquer dos pontos será o raio. Do anterior se infere que existe uma circunferência que passa pelo PCV, PM e PTV de qualquer curva vertical parabólica.
As parábolas que se utilizam nas curvas verticais são parábolas abertas portanto a diferença que pode existir entre o arco da circunferência e a longitude da parábola que unem ao PCV, PM e PTV, se pode considerar desprezível. Apoiados na proposta anterior analisa-se a relação que existe entre o parâmetro Kv e o raio da circunferência que passa pelos três pontos da parábola mencionados no parágrafo anterior.
O parâmetro Kv serve para designar às curvas verticais parabólicas. 
6. DETERMINAÇÃO DAS COTAS DE RASANTE EM CURVAS VERTICAIS PARABÓLICAS. 
Mediante a aplicação das expressões de (e) é possível determinar as ordenadas (e) de qualquer ponto da curva vertical parabólica; e mediante as expressões de (ev), as ordenadas no ponto médio da curva vertical parabólica simétrica. 
Com os valores das ordenadas procede-se a obter a cota de rasante dos pontos pertencentes à curva vertical parabólica. 
Os valores das ordenadas e e ev são positivas quando a curva vertical é em depressão e negativos quando a curva vertical é em cume. 
De forma geral é possível propor que a altura de um ponto P, pertencente a uma curva vertical, se pode determinar quando esta à esquerda do PIV pela expressão: 
ElevP = ElevPCV + g1.xp + e
E para os pontos à direita do PIV pela expressão:
ElevP = ElevPTV +g2.xp + e
Quando XP=l1 ou l2 então e = ev 
ElevP = ElevPCV + g1.l1 +ev
ElevP =ElevPTV +g2.l2 +ev
7. FACTORES QUE DETERMINAM A LONGITUDE DAS CURVAS VERTICAIS PARABÓLICAS. 
Quando se vai eleger a longitude das curvas verticais parabólicas, já estejam estas em cume ou em depressão a diferença algébrica de pendentes da rasante intervém nos cálculos de forma direta. 
No caso de rodovias os fatores que determinam a longitude de curva vertical parabólica são a visibilidade, a comodidade e o aspeto. 
A longitude da curva vertical parabólica deve ser tal que permita manter o grau de mudança de pendente num mínimo, o que faz que a rasante facilite uma condução normal e com um aspeto agradável. 
Nas estradas, a comodidade para o condutor exige que se conserve o grau de mudança de pendente dentro de limites aceitáveis. Isto é o mais importante nas curvas verticaisparabólicas em depressão, em que a força centrífuga e a força de gravidade atuam na mesma direção. 
Uma curva vertical parabólica longa brinda mais comodidade para o condutor, além de um aspeto mais agradável. É preferível para os condutores uma pendente da rasante suave, com mudanças graduais, que outra com numerosas mudanças de pendentes da rasante e longitude de rampa curtas. 
A visibilidade é outro dos fatores que intervêm de maneira determinante na longitude de uma curva vertical.
Em conclusão pode-se propor que para satisfazer as necessidades de visibilidade mínima de freado, comodidade e aspeto se recomenda que a longitude de curva vertical parabólica mínima deve ser: 
L =Kv.g%
Na tabela 1 mostram-se os parâmetros Kv para longitudes mínimas em curvas verticais parabólicas em cume e em depressão. 
As longitudes (comprimentos) mínimas recomendáveis são aproximadas por excesso a múltiplos de 40 metros, com o objetivo de que ao situar o PIV numa estação par do traçado, o PCV e o PTV estejam situados também em estações pares do traçado.
A colocação do PIV em uma estação par, sempre é possível salvo casos muito críticos no traçado. 
Tabela 1. Parâmetros KV para longitudes mínimas desejáveis e absolutas
	Velocidade de desenho (km / h) 
	30
	40
	50
	60
	80
	100
	Valor máximo de diferencia algébrica de pendente % 
	24
	20
	18
	16
	10
	6
	Em Crista ou Cume
	Longitudes mínimas desejáveis 
	4
	6
	12
	18
	48
	100
	
	Longitudes mínimas absolutas 
	3
	4
	7
	10
	24
	57
	
	Longitudes de adiantamento 
	48
	86
	134
	193
	344
	537
	Em Depressão
	Longitudes mínimas desejáveis 
	5
	8
	14
	18
	36
	54
	
	Longitudes mínimas absolutas 
	3
	4
	7
	10
	22
	47
As longitudes mínimas absolutas aproximam-se a múltiplos de 20 metros; com o objectivo de que ao situar o PIV em uma estação que seja múltiplo de 10 metros, o PCV e o PTV também estejam situados em estações múltiplos de 10 metros. 
No anexo I encontram-se as longitudes mínimas absolutas e mínimas recomendáveis de curvas verticais parabólicas Em ocasiões estes valores de longitude mínima absoluta e mínima recomendável podem coincidir. 
Não obstante, à hora de desenhar uma rodovia para uma velocidade de desenho determinada é recomendável utilizar as longitudes maiores de curva vertical parabólica que seja possível, para tratar de que o grau de mudança de pendente não seja maior de 3% em curvas verticais em cume e de 1,5% em curvas verticais em depressão. 
Geralmente o aumentar a longitude de curva vertical parabólica acima das mínimas desejáveis justifica-se quando: 
( As curvas verticais adaptem-se bem à topografia do terreno e não implique um aumento importante do movimento de terra. 
( Quando se enlaçam rasantes muito próximas. 
( Para manter a harmonia dum traçado com características gerais suaves. 
Em general, independentemente das recomendações fundamentadas por análises que se ofereceram para a determinação da longitude das curvas verticais parabólicas, depende do engenheiro o critério a seguir em função dos condicionais do projeto. 
Exemplo de cálculo de curva vertical parabólica simétrica. 
Calcular a curva vertical parabólica simétrica. Se têm-se como dados:
EST PV= 56+0.00 
g1 = 0.02m/m ; 
g2 = -0.03m/m ; cume 
VD = 60Km/h ; 
Elev PV= 34,25 m 
Utilizando a tabela de longitudes desejáveis do ANEXO I: 
Com:
VD = 60 km/h y 
g = g2 - g1 = -3 - 2 = - 5%; 
Obtém-se a longitude desejável de curva vertical parabólica em cume:
Ldes = 120,00 m; 
Então:
l1 = l2 = 60,00 m por ser a curva simétrica.
Cálculo das estações notáveis: 
EST PIV = 56+0,00
 -l1= 6+0.00 
EST PCV =50+0.00
 +Ldes = 12+0.00
EST PTV= 62+0.00
EST PCV = 50+0.00
 +l1 = 6+0.00
EST PM = 56+0.00
Cálculo das ordenadas à curva desde a tangente. 
 
Para as estações pares compreendidas na primeira metade da curva: 
e (PCV)= (0/60)2. (-0,75) = 0,00m
e (52)= (20/60)2. (-0,75) = -0,08m
e (54)= (40/60)2. (-0,75) = -0,33m
e (56)= (60/60)2. (-0,75) = -0,75m (PM)
Para as estações pares compreendidas na segunda metade da curva: 
e (PTV)= (0/60)2. (-0,75) = 0,00m
e (60)= (20/60)2. (-0,75) = -0,08m
e (58)= (40/60)2. (-0,75) = -0,33m
e (56)= (60/60)2. (-0,75) = -0,75m (PM)
Observa-se que as ordenadas são iguais, isso é produto de que a curva vertical parabólica é simétrica. Na tabela 2 colocaram-se os resultados em forma de registo: 
	Estacão
	Distancia (m)
	(x/l)²
	e (m)
	Cota tangente (m)
	Cota curva (m)
	PCV=50 +0,00
	0,00
	0,00
	0,00
	33,05
	33,05
	52 + 0,00
	20,00
	0,1111
	-0,08
	33,45
	33,37
	54 + 0,00
	40,00
	0,4444
	-0,33
	33,85
	33,52
	PM=56 +0,00
	60,00
	1,0000
	-0,75
	34,25
	33,50
	58 + 0,00
	40,00
	0,4444
	-0,33
	33,65
	33,32
	60 + 0,00
	20,00
	0,1111
	-0,08
	33,05
	32,97
	 PTV=62+0,00
	0,00
	0,00
	-0,00
	32,45
	32,45
Tabela 2. Registo de replante (implantação)
Na coluna correspondente a cota de rasante colocam-se os resultados obtidos no perfil longitudinal da rasante da via (troço reto). 
Para achar a cota pela curva; à cota pela tangente somam-se-lhe as ordenadas e calculadas anteriormente (neste caso e é negativo por estar a curva em cume). 
8. CURVAS VERTICAIS PARABÓLICAS ASIMÉTRICAS. 
As curvas verticais parabólicas assimétricas são aquelas que suas longitudes à esquerda e à direita do PIV são desiguales. Sua utilização justifica-se quando é capaz de resolver certas exigências impostas, que as curvas simétricas não são capazes de satisfazer. Entre estas podemos assinalar as seguintes: 
( Adaptar a curva o mais possível às características topográficas do terreno. Poupando desta forma volume de movimento de terra. 
( Quando existem problemas na coordenação entre a planta e o perfil da rasante. 
A expressão anterior permite calcular a ordenada no PV das curvas verticais parabólicas assimétricas.
Esta expressão permite calcular a ordenada no PIV das curvas verticais parabólicas assimétricas, em função do parâmetro Kv.
Figura 5. Curva vertical parabólica assimétrica.
Para calcular as ordenadas (e) nas estações da curva vertical parabólica assimétrica usam-se as expressões vista em epígrafes anteriores, já estudadas; mas o ev que se utiliza é o correspondente ao determinado pelas expressões desta epígrafe. 
Ao igual que as curvas verticais parabólicas simétricas a elevação de um ponto sobre a curva responde às expressões: 
ElevP = ElevPCV + g1.xp +e
E para os pontos à direita do PV pela expressão:
 ElevP =ElevPTV +g2.xp +e
Exemplo de cálculo de curva vertical parabólica assimétrica. 
Calcular a curva vertical parabólica assimétrica. Se têm-se como dados
EST PIV = 630 + 0,00 
 g1 = + 0,03 m/m 
g2 = - 0,025 m/m 
VD = 80 km/h 
Elev PIV = 148,00 m 
Utilizando a tabela de longitudes desejáveis do ANEXO II: 
Com VD = 80 km/h e 
 g = g2 - g1 = - 2,5 - (+3) = - 5,5% ≈ 6%, 
Obtém-se a longitude desejável da curva vertical parabólica em cume: 
Ldes = 320,00 m
Segundo a análise de projecto as semilongitudes que se consideram óptimas são: 
l1 = 200,00 m
l2 = 120,00 m
Cálculo das estações notáveis:
EST PIV = 630 + 0,00 
 -l1 = 20 + 0,00
EST PCV = 610+0,00
 +Ldes = 32+0,00
EST PTV = 642+0,00
EST PCV = 610+0,00
 + l1 = 20+0,00
EST PM = 630+0,00 
Cálculo das ordenadas à curva desde a tangente pela expressão: 
Para a primeira metade da curva 
E para a segunda metade da curva: 
Considerando a primeira metade como uma curva vertical parabólica de longitude L = 400,00 m e l1 = 200,00 m, se tem que:
 e(PCV)= 0,000 (-2,06) = 0,00m
e(612)= (20/200)2 (-2,06) = -0,02m
e(614)= (40/200)2 (-2,06) = -0,08m
e(616)= (60/200)2 (-2,06) = -0,19m
e(618)= (80/200)2 (-2,06) = -0,33m
e(620)=(100/200)2 (-2,06) = -0,52m
e(622)= (120/200)2 (-2,06) = -0,74m
e(624)= (140/200)2 (-2,06) = -1,01m
e(626)= (160/200)2 (-2,06) = -1,32m
e(628)= (180/200)2 (-2,06) = -1,67m
e(630)= (200/200)2 (-2,06) = -2,06m PM
Considerando a segunda metade como uma curva vertical parabólica de longitude L = 240,00 m e l2 = 120,00 m, se tem:
e(PTV) =0,000.(−2,06) =0,00m
e(640) = (20/120)2.(−2,06) =−0,06m
e(638) = (40/120)2.(−2,06) =−0,23m
e(636) = (60/120)2.(−2,06) =−0,52m
e(634) = (80/120)2.(−2,06) =−092m
e(632) = (100/120)2.(−2,06) =−1,43m
e(630) =(120/120)2.(−2,06) =−2,06m PM
Tabla 3. Registo de replante (Implantação)
	Estacão
	Distancia (m)
	(x/l)²
	e (m)
	Cota tangente (m)
	Cota curva (m)
	PCV=610 + 0.00 
	0,00 
	0,00 
	0,00 
	142,00 
	142,00 
	612 + 0.00 
	20,00 
	0,0100 
	-0,02 
	142,60 
	142,58 
	614 + 0.00 
	40,00 
	0,0400 
	-0,08 
	143,00 
	142,92 
	616 + 0.00 
	60,00 
	0,0900 
	-0,19 
	143,80 
	143,61 
	618 + 0.00 
	80,00 
	0,1600 
	-0,33 
	144,44 
	144,07 
	620 + 0.00 
	100,00 
	0,2500 
	-0,52 
	145,00 
	144,48 
	622 + 0.00 
	120,00 
	0,3600 
	-0,74 
	145,60 
	144,86 
	624 + 0.00 
	140,00 
	0,4900 
	-1,01 
	146,20 
	145,19 
	626 + 0.00 
	160,00 
	0,6400 
	-1,32 
	146,80 
	145,48 
	628 + 0.00 
	180,00 
	0,8100 
	-1,67 
	147,40 
	145,73 
	PM=630 +0.00 
	200,00 
	1,0000 
	-2,06 
	148,00 
	145,94 
	PM=630 +0.00 
	120,00 
	1,0000 
	-2,06 
	148,00 
	145,94 
	632 + 0.00 
	100,00 
	0,6944 
	-1,43 
	147,00 
	146,07 
	634 + 0.00 
	80,00 
	0,4445 
	-0,92 
	147,00 
	146,08 
	636 + 0.00 
	60,00 
	0,2500 
	-0,52 
	146,50 
	145,98 
	638 + 0.00 
	40,00 
	0,1111 
	-0,23 
	146,00 
	145,77 
	640 + 0.00 
	20,00 
	0,0278 
	-0,06 
	145,50 
	145,44 
	PTV=642 + 0.00 
	0,00 
	0,00 
	0,00 
	145,00 
	145,00 
9. PONTO DE MUDANÇA DE PENDENTE DA RASANTE NUMA CURVA VERTICAL PARABÓLICA. 
O ponto de mudança é o ponto mais alto ou mais baixo duma curva vertical parabólica segundo encontre-se esta em cume ou depressão.
Geralmente o ponto de mudança de signo da pendente da rasante numa curva vertical parabólica não coincide em coordenada x com a do PIV, senão que se encontra na semilongitude direita ou esquerda da curva. 
Os pontos baixos estão associados geralmente com problemas de drenagem, e em ocasiões com altura mínima de estruturas (é importante recordar que as ordenadas (e) em curvas verticais parabólicas em depressão são somadas à cota pela tangente à curva, o que faz que o valor de cota de rasante de um ponto na curva seja maior que o correspondente na tangente). 
Anteriormente realizou-se a análise de como determinar a cota de rasante de um ponto P pertencente a uma curva vertical parabólica. Na figura 6 representa-se uma curva vertical parabólica em cume e o ponto P é o ponto mais alto da curva. 
Figura 6. Ponto de mudança de pendente.
 Para determinar a posição do ponto P na curva podem-se empregar as expressões vistas em epígrafes anteriores.
Se se faz a análise desde o PCV: 
ElevP = ElevPCV + g1.xp +e
E se faz a análise desde o PTV: 
ElevP =ElevPTV +g2.xp +e
No caso de curvas verticais parabólicas assimétricas avaliam-se as expressões para calcular XP de igual forma que pára curvas simétricas, mas ev tem que ser calculado pelas expressões correspondentes à cada tipo de curva, simétricas ou assimétrica.
Para curvas verticais parabólicas em cume g é negativo e o ev é negativo; para curvas em depressão g é positivo e ev é positivo. Portanto, o valor de Xp sempre será um valor positivo em todos os casos. Com o valor de Xp, pode-se determinar a cota de rasante na curva no ponto máximo ou mínimo. 
Exemplo de determinação do ponto mais baixo numa curva vertical parabólica vertical simétrica. 
Calcular o ponto mais baixo na curva vertical parabólica simétrica em depressao cujos dados são: 
EST PIV = 58 + 0,00 
EST PCV = 44 + 0,00 
Elev PCV= 137,00 m
 L = 280,00 m
g1= - 0,05 m/m 
g2= + 0,03 m/m
Determina-se a ordenada no vértice pela expressão:
 
Para determinar a distância à que se encontra o ponto mais baixo com relação ao PCV, se utiliza a expressão: 
Ou seja que o ponto baixo da curva vertical parabólica se encontra a 175,00 metros do PCV de dita curva. 
De igual forma tivesse-se podido calcular a posição do ponto mínimo desde o PTV, da seguinte forma: 
Ou seja que o ponto baixo esta a 105,00 metros do PT da curva. 
Exemplo de determinação do ponto mais baixo numa curva vertical parabólica vertical assimétrica. 
Calcular o ponto mais baixo na curva vertical parabólica assimétrica em depressão cujos dados são:
EST PIV = 18 + 0,00 
EST PCV = 4 + 0,00 
Elev PCV= 156,00 m 
l1= 140,00 m 
g1= - 0,05 m/m
 l2= 110,00 m
g2= + 0,03 m/m 
Determina-se a ordenada no vértice pela expressão: 
Para determinar a distância à que se encontra o ponto mais baixo com relação ao PCV, se utiliza a expressão: 
Ou seja que o ponto baixo da curva vertical parabólica não pertence ao primeiro ramo de dita curva, pelo que há que calcular desde o PTV, utilizando para isso a expressão:
 
Ou seja, que o ponto baixo da curva vertical parabólica assimétrica se encontra a 73,66 metros do PTV. 
Portanto, o ponto baixo encontra-se a: 140,00 + (110,00 - 73,66) = 176,34 m, do PCV da curva.
Figura 3. Elementos em uma curva vertical parabólica
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