Apostila- Química Quântica- Professor Alexandre

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1 
 
 2 
 
 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
Luiz Inácio Lula da Si lva 
 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
Fernando Haddad 
 
GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAUÍ 
José Well ington Barroso de Araújo Dias 
 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz de Sousa Santos Júnior 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC 
Carlos Eduardo Bielschowsky 
 
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
Celso Costa José da Costa 
 
DIRETOR DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI 
Gildásio Guedes Fernandes 
 
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
Helder Nunes da Cunha 
 
COORDENADORA DO CURSO DE QUÍMICA NA MODALIDADE EAD 
Rosa Lina Gomes Pereira do Nascimento da Si lva 
 
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
Cleidinalva Maria Barbosa Olivei ra 
 
DIAGRAMAÇÃO 
Roberto Denes Quaresma Rêgo 
 
COORDENADOR DE REVISÃO DE TEXTO 
Naziozênio Antonio Larcerda 
 
REVISÃO 
Francisca Augisiana de Meneses Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
1 O DESENVOLVIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA .................................... 07 
1.1 O espectro da radiação térmica ..................................................................... 07 
1.2 O efeito fotoelétrico ........................................................................................ 12 
1.3 O modelo atômico de Bohr ............................................................................. 15 
1.4 A dualidade onda-partícula............................................................................. 22 
1.5 O Princípio da Incerteza ................................................................................. 23 
1.6 Problemas ...................................................................................................... 25 
 
2 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER .................................................................. 31 
2.1 A função de onda ........................................................................................... 33 
2.2 Números complexo ........................................................................................ 35 
2.2 Operadores e valores esperados ................................................................... 36 
2.3 A equação dependente do tempo .................................................................. 45 
2.4 A equação independente do tempo ................................................................ 46 
2.5 Unidades atômicas ......................................................................................... 50 
2.6 Problemas ...................................................................................................... 52 
 
3 SISTEMAS SIMPLES ....................................................................................... 55 
3.1 A partícula livre ............................................................................................... 57 
3.2 A partícula na caixa ........................................................................................ 61 
3.3 O oscilador harmônico.................................................................................... 65 
3.4 O rotor rígido .................................................................................................. 69 
3.5 Problemas ...................................................................................................... 76 
 
4 ÁTOMOS HIDROGENOIDES .......................................................................... 83 
4.1 A equação angular ......................................................................................... 83 
4.2 A equação radial ............................................................................................ 84 
4.3 Orbitais atômicos ............................................................................................ 87 
4.4 Problemas ...................................................................................................... 88 
 
 
 4 
 
 
5 Átomos multieletrônicos........................................................................................ 89 
5.1 Spin eletrônico .................................................................................................... 91 
5.2 Princípio de Pauli ................................................................................................ 94 
5.3 Determinante de Slater ....................................................................................... 97 
5.4 Hamiltoniano atômico ....................................................................................... 99 
5.5 Métodos de aproximação .................................................................................. 104 
5.6 Método Hartree-Fock ......................................................................................... 109 
5.7 Problemas .......................................................................................................... 110 
 
6. MOLÉCULAS ....................................................................................................... 115 
6.1. Hamiltoniano Molecular .................................................................................... 115 
6.2. Aproximação de Born-Oppenheimer ................................................................. 115 
6.3. Espectroscopia Molecular .................................................................................. 118 
6.4. Teoria dos Orbitais Moleculares ........................................................................ 124 
6.5 Problemas ....................................................................................................... 126 
 
7. APÊNDICE ........................................................................................................... 130 
 
REFERENCIAS ........................................................................................................ 133 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 6 
 
1 O DESENVOLVIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA ....................................... 07 
1.1 O espectro da radiação térmica ....................................................................... 07 
1.2 O efeito fotoelétrico .......................................................................................... 12 
1.3 O modelo atômico de Bohr ............................................................................... 15 
1.4 A dualidade onda-partícula ............................................................................... 22 
1.5 O Princípio da Incerteza ................................................................................... 23 
1.6 Problemas ........................................................................................................ 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
1. O DESENVOLVIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA 
1.1. O espectro da radiação térmica 
 
 De acordo com a visão clássica proposta por James 
Clerk Maxwell, através das famosas equações de 
Maxwell, a luz é uma onda eletromagnética, ou seja, é a 
propagação de campos elétricos e magnéticos , 
oscilantes e perpendiculares entre si, através do espaço e 
do tempo. A luz é uma onda transversal, ou seja, a direção 
de oscilação é perpendicular à direção do deslocamento. 
Ao contrário das ondas mecânicas, uma onda 
eletromagnética não necessita de um meio material para 
se propagar, podendo deslocar-se no vácuo. O valor da 
velocidade da luz no vácuo é exatamente 
. 
 O comprimento de onda (lambda1) é a distância 
entre dois pontos de amplitude máxima na onda. O 
período da onda é o número de oscilações por unidade 
de tempo. A frequência da onda (ni) é o inverso do 
período: . O comprimento de onda e a frequência de 
uma onda eletromagnética relacionam-seentre si e com a 
velocidade da luz , através da relação abaixo. 
 
 
Uma equação cuja numeração aparece em negrito e 
está marcada com um asterisco* é uma equação 
especialmente importante, que deve ser memorizada. 
 
 
1
 Vide alfabeto grego, na Tabela 5 do apêndice. 
 (1.1)* 
 
James C. Maxwell 
(1831-1879) 
 
As Equações de 
Maxwell 
 
 
 
 
 
 
Onda eletromagnética 
 
Para saber mais, siga 
os links abaixo: 
http://pt.wikipedia.org/wi
ki/Radiação_eletromag
nética 
 
 8 
 A faixa do espectro eletromagnético, 
com comprimentos de onda de 380 a 750 nm, é 
denominada visível, pois podemos enxergá-la2. 
Em comprimentos de onda maiores situam-se o 
infravermelho e as ondas de rádio. Em 
comprimentos de onda menores estão o 
ultravioleta, os raios X e os raios gama. Vale 
lembrar que só podemos enxergar a faixa de 
comprimentos de onda denominada luz visível. 
 Os elétrons presentes em toda a matéria 
possuem carga elétrica e estão em constante 
movimento. Sabe-se do Eletromagnetismo que 
cargas elétricas aceleradas emitem ondas 
eletromagnéticas. Por isso, todos os corpos 
emitem e absorvem radiação eletromagnética 
com comprimentos de onda que dependem da 
temperatura do corpo. Essa radiação 
eletromagnética emitida ou absorvida é 
denominada radiação térmica. 
 À temperatura ambiente, a maior parte da 
radiação emitida por um corpo situa-se no 
infravermelho. Por isso, não podemos ver a 
radiação térmica emitida pelos corpos frios a 
nossa volta. Entretanto, ao aquecer um corpo, 
em temperaturas bastante elevadas ele passará 
a emitir luz visível, como ocorre com o carvão ou 
o ferro em brasa. Em temperaturas ainda mais 
elevadas, os corpos emitirão radiação térmica no 
ultravioleta. 
 Na maioria das vezes, vemos a luz que é 
refletida pelas superfícies dos corpos. Em alguns 
casos, vemos a luz que é emitida como radiação 
 
2
 1 nm = 10
–9
m. 
 
Espectro eletromagnético 
Exemplo 1.1. 
Calcule a frequência da 
luz, com o seguinte 
comprimento de onda: 
. Dados: 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1.1. 
Calcule a frequência da luz 
com o seguinte comprimento 
de onda: . 
Resposta: 
 
 9 
térmica, como no caso do Sol e das lâmpadas 
incandescentes. Um corpo que absorve toda a 
radiação que incide sobre a sua superfície é 
denominado corpo negro. Dessa forma, um corpo 
negro não refletirá luz, mas apenas emitirá radiação 
térmica. À temperatura ambiente, não se pode ver o 
corpo negro, pois ele emite no infravermelho. Só 
poderíamos vê-lo em temperaturas mais elevadas, 
quando ele passasse a emitir no visível. Este é o caso 
do Sol, que pode ser considerado um corpo negro. 
 Um corpo negro emite radiação 
eletromagnética em uma faixa de frequências 
denominada espectro do corpo negro, que depende 
da temperatura do corpo. A intensidade da radiação 
térmica emitida é medida como a energia emitida por 
unidade de tempo, por unidade de área do corpo 
negro, em um determinado intervalo de comprimento 
de onda. Essa grandeza é denominada radiância 
espectral, . No espectro do corpo negro, essa 
grandeza é que fica no eixo vertical. 
 
A lei do deslocamento de Wien 
 
 O comprimento de onda é aquele emitido 
com maior intensidade, em cada temperatura. A lei do 
deslocamento de Wien, dada pela relação: 
 
 (1.2) 
 
 
Espectro do corpo negro 
 
Exemplo 1.2. 
 
O comprimento de onda 
emitido com máxima 
intensidade pelo Sol é 
. Calcule a 
temperatura da superfície 
do Sol. 
 
Solução: 
 
 
 
Exercício 1.2. 
Sabendo que o 
comprimento de onda 
emitido com máxima 
intensidade pela Estrela 
do Norte é . 
Calcule a temperatura da 
superfície da Estrela do 
Norte. 
Resposta: 8.279 K 
 
 
 10 
 
é uma equação empírica que relaciona os valores de 
 (nm) com a temperatura (K) do corpo. Essa 
equação é utilizada para medir a temperatura de corpos 
bastante quentes, tais como fornos industriais e corpos 
celestes luminosos, como o Sol e as estrelas. 
 
A equação de Rayleigh e Jeans 
 
 No início do século XX, Rayleigh e Jeans 
utilizaram a Física Clássica para derivar a expressão 
para a radiância espectral, . Eles obtiveram a 
seguinte expressão: 
 
 
 
 
onde é a constante de 
Boltzmann e é a velocidade da luz no vácuo. 
 
A catástrofe do ultravioleta 
 
 A equação deduzida por Rayleigh e Jeans prevê 
uma intensidade emitida cada vez maior à medida que o 
comprimento de onda diminui. Esse comportamento não 
está de acordo com o espectro experimental, onde a 
intensidade emitida aumenta, passa por um máximo em 
 e depois diminui. Esse comportamento inesperado 
é denominado catástrofe do ultravioleta, pois ocorre na 
região do ultravioleta do espectro. 
 
 
 
 
(1.3) 
 
 
Catástrofe do 
ultravioleta 
 
 
 
Lord Rayleigh (1842-
1919) 
 
 
 
Max Planck (1858-
1947) 
 
 11 
A Equação de Planck 
 
 Em 1900, Max Planck deduziu a seguinte expressão 
para a radiância espectral: 
 
 
 
 
 
onde é uma constante, que hoje é 
denominada constante de Planck. Essa relação reproduz 
perfeitamente o espectro do corpo negro experimental. A 
constante de Planck é bastante importante na Mecânica 
Quântica, aparecendo em diversas equações. 
 Para chegar a essa expressão, Planck assumiu que 
a energia emitida pelo corpo se dava de maneira discreta, 
ou seja, em múltiplos de , onde é a frequência da 
radiação emitida: 
 
 
equação essa que é hoje conhecida como a hipótese de 
Planck da quantização da energia. 
 De acordo com a hipótese de Planck, a energia dos 
elétrons no corpo negro só poderia assumir valores 
discretos . Esse é o conceito da quantização 
da energia, que não existe na Física Clássica, onde a 
energia é uma grandeza contínua. Por essa hipótese 
revolucionária, Planck recebeu o Prêmio Nobel em Física 
de 1918 e é reconhecido como sendo o pai da Física 
Quântica. 
 
 
 
(1.4) 
 
(1.5)* 
 
 
Níveis de energia 
 
Para saber mais, siga 
os links abaixo: 
 
Biografias de 
Planck e Rayleigh 
 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Max_planck 
 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/John_William_St
rutt 
 
 12 
1.2. O efeito fotoelétrico 
 
 O efeito fotoelétrico consiste na emissão de 
elétrons de uma superfície metálica, denominada 
catodo, causada pela incidência de luz na superfície. A 
luz carrega energia através do espaço. Ao atingir o 
metal, essa energia é usada para vencer as forças de 
atração que prendem os elétrons à superfície, causando 
a sua emissão. O efeito fotoelétrico pode ser aproveitado 
para a conversão da energia luminosa em energia 
elétrica de forma utilizável. Os elétrons, emitidos pelo 
catodo dirigem-se para outra superfície metálica, o 
anodo, fazendo com que haja uma corrente elétrica. 
Esse é o princípio de funcionamento das células de 
energia solar. 
 Para se estudar o efeito fotoelétrico, o catodo e o 
anodo devem ser colocados em um recipiente 
previamente evacuado. A superfície metálica do catodo 
deve ser limpa, removendo-se previamente qualquer 
camada de óxido. Aplicando-se uma diferença de 
potencial elétrica entre o catodo e o anodo, existirá um 
valor , denominado potencial de corte, capaz de 
cessar o fluxo de elétrons. 
 A corrente fotoelétrica aumenta com o aumento 
da intensidade da luz incidente. Entretanto, o potencial 
de corte não depende da intensidade da luz. A 
energia cinética do fotoelétron mais rápido é 
proporcional ao potencial de corte, de acordo com a 
relação 
 
(1.6) 
 
 
Célula fotoelétrica:C 
é o catodo metálico de 
onde são ejetados os 
elétrons; A é o anodo; 
V é o potencial elétrico 
estabelecido entre as 
duas placas metálicas. 
 
 
Efeito fotoelétrico. 
Corrente versus 
voltagem. 
 
 
 13 
 
onde é o valor da carga elétrica 
fundamental. 
 Dessa forma, o resultado obtido de não depender 
da intensidade da luz significa que a energia cinética 
do elétron ejetado não depende da intensidade da luz 
incidente. Este resultado está em contradição com a visão 
clássica da luz. A energia de uma onda é tanto maior 
quanto maior for a sua amplitude. E a intensidade da luz é 
proporcional ao quadrado da amplitude da onda. 
 Um segundo resultado que não está de acordo com 
o que é previsto pela Física Clássica é o fato de 
depender da frequência da luz incidente e de existir um 
valor mínimo de frequência , denominado limiar de 
frequência, necessário para que ocorra o efeito 
fotoelétrico. Verifica-se experimentalmente que varia de 
forma linear com a frequência da luz incidente. 
 Um terceiro resultado que está em desacordo com a 
Física Clássica é o fato de que o efeito fotoelétrico ocorre 
quase que instantaneamente, a partir do instante da 
incidência de luz na superfície metálica. De acordo com a 
Física Clássica, a onda luminosa carrega a energia de 
forma difusa, através do espaço. Portanto, a superfície 
deveria aguardar tempo suficiente para chegar energia 
necessária para arrancar os elétrons. 
 
O modelo de Einstein 
 
 Em 1905, Albert Einstein propôs que a luz seria 
formada por inúmeras partículas, que hoje são 
denominadas fótons. Estas carregariam energia de forma 
concentrada. A energia carregada por um fóton é dada pela 
relação abaixo. 
 
Potencial de corte , 
em função da 
frequência de luz 
incidente. São 
mostrados os 
limiares de 
frequência para três 
metais: Rb, K e Na. 
 
 
 
Albert Einstein 
(1879-1955) 
 
Para saber mais, 
siga os links abaixo: 
 
Biografia de Albert 
Einstein 
 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Albert_Einstein 
 
 14 
 
 
 Durante a interação com a matéria, cada fóton 
transfere sua energia completamente para um elétron, 
arrancando-o da superfície metálica. A energia do 
fóton se converte na soma da energia cinética com a 
energia potencial (omega) do elétron, de acordo com 
a relação de conservação de energia abaixo. 
 
 
 Para elétron mais fracamente ligado à superfície 
metálica, a energia potencial é mínima e é 
denominada função trabalho do metal. Nesse caso, o 
elétron será emitido com a energia cinética máxima 
. Substituindo na Equação 1.8, teremos a 
expressão para o potencial de corte em função da 
frequência da luz. 
 
 
 Esta última expressão explica a dependência 
linear do potencial de corte com a frequência da 
luz. 
 O limiar de frequência é encontrado fazendo-
se a energia cinética máxima igual a zero na 
equação anterior. 
 
 
(1.7)* 
 
(1.8) 
 
(1.9) 
 
(1.10) 
Exemplo 1.3 
Calcule a função 
trabalho , do sódio 
metálico (Na), em 
elétrons-volts (eV), 
sabendo que o limiar de 
frequência para o efeito 
fotoelétrico desse metal 
é igual a 
. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1.3 
Calcule a função 
trabalho, do rubídio 
metálico (Rb), em 
elétrons-volts (eV), 
sabendo que o limiar de 
frequência para o efeito 
fotoelétrico desse metal 
é igual a 
. 
Resposta: 2.09 eV 
 
 15 
 
 Esta última expressão explica a origem do limiar de 
frequência . 
 De acordo com o modelo de Einstein, a intensidade 
da luz é proporcional ao número de fótons presentes. Cada 
fóton arranca um elétron da superfície metálica. Portanto, luz 
de intensidade maior irá arrancar um número maior de 
elétrons e a corrente fotoelétrica será maior. E porque os 
fótons carregam energia de forma concentrada, o elétron 
será ejetado de forma quase que instantânea, a partir da 
chegada do fóton na superfície metálica. 
 
1.3. O modelo atômico de Bohr 
 
 Quando se faz passar uma descarga elétrica através 
de um gás monoatômico, à pressão baixa, as colisões entre 
os elétrons e os átomos do gás fazem com que alguns dos 
átomos fiquem com energia mais alta. Ao retornar ao estado 
de menor energia, os átomos emitem radiação 
eletromagnética. 
 A questão que intrigava os físicos, até o início do 
século XX, era que o espectro de luz emitida pelos átomos 
era um espectro de linhas. Ao contrário do espectro da 
radiação térmica dos corpos, que é um espectro contínuo. 
 
Postulados de Bohr 
 
 Em 1913, Niels Bohr propôs um modelo atômico que 
explicava o espectro de emissão atômico como sendo um 
espectro de linhas. Bohr estruturou seu modelo através de 
quatro postulados. Este modelo vale para os denominados 
átomos hidrogenoides, que são átomos que contém 
apenas um elétron, tal como o hidrogênio H, e os íons He+, 
 
 
Niels Bohr (1885-
1962) 
 
Para saber mais, 
siga os links abaixo: 
 
Biografia de Niels 
Bohr 
 
http://pt.wikipedia.or
g/wiki/Niels_Bohr 
 
Átomos 
hidrogenoides são 
átomos que contém 
apenas um elétron, 
tal como o 
hidrogênio, H e os 
íons He+, Li+2, Be+3, 
etc. 
 
 16 
Li+2, Be+3, etc. 
 
1º Postulado. O elétron no átomo move-se em uma órbita 
circular ao redor do núcleo, devido à força de atração 
elétrica (lei de Coulomb, Equação 1.11), com aceleração 
centrípeta dada pela Equação 1.12 e obedecendo às leis 
de Newton da Mecânica Clássica (Equação 1.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Combinando as Equações 1.11 e 1.12 na segunda lei de 
Newton (Equação 1.13), obtém-se a seguinte relação: 
 
(1.11)* 
 
(1.12)* 
 
(1.13)* 
 
(1.14) 
 
 
Charles Augustin 
de Coulomb 
(1736-1806) 
 
Para saber mais, 
siga os links abaixo: 
 
Biografia de 
Coulomb 
 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Charles_de_Co
ulomb 
 
Lei de Coulomb 
 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Lei_de_Coulom
b 
 
Momento Angular 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Momento_angul
ar 
 
 
 17 
Nas Equações acima, foi utilizada a constante 
da lei de Coulomb , a 
massa do elétron e a carga 
elétrica fundamental . Nas 
equações, é o número atômico, ou seja, o número 
de prótons no núcleo do átomo. 
 
2º Postulado. O elétron no átomo só pode assumir 
valores quantizados de momento angular L, de 
acordo com a relação: 
 
 
 
 
onde se utiliza a constante de Planck reduzida, 
definida como . 
 Vale lembrar que no caso do movimento 
circular de raio r, de uma partícula de massa , com 
velocidade escalar , o momento angular é dado 
pela seguinte relação: 
 
 
3º 
Postulado. O elétron em uma órbita, apesar de 
eletricamente carregado e acelerado, não emitirá 
radiação eletromagnética e sua energia permanecerá 
constante. 
 
4º Postulado. Durante uma transição eletrônica para 
um nível de menor energia, o átomo emitirá um fóton 
de energia igual à diferença de energia entre os 
níveis. Durante uma transição eletrônica para um 
 
(1.15)* 
 
(1.16)* 
Exemplo 1.4 
Calcule o comprimento de 
onda , do fóton absorvido 
na transição entre níveis de 
energia e 
. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1.4 
Repita o cálculo acima para 
 e . 
 
Resposta: 102,5 nm 
 
 18 
nível de maior energia, o átomo absorverá um fóton de 
energia igual à diferença de energia entre os níveis. 
 
 
(1.17)* 
 
 Multiplicando a Equação 1.14 por , chega-se ao 
seguinte resultado: 
 
 
 
 
 Rearranjando esta última relação, chega-se ao 
seguinte: 
 
 
 
 
 A grandeza , entre parênteses, na última 
equação, é o momentoangular do elétron que é 
quantizado de acordo com o 2º postulado. Fazendo essa 
consideração, chega-se à seguinte expressão: 
 
 
 
 
 Rearranjando a expressão acima, chega-se à 
equação para o raio da órbita do elétron no átomo, onde 
se verifica que o raio da órbita é quantizado: 
 
 
(1.18) 
 
 
 19 
 Substituindo os valores das constantes na última 
equação, encontra-se o valor da constante ao denominada 
raio de Bohr: 
 
 
 
Para o átomo de hidrogênio ( ), o valor do raio de Bohr 
corresponde ao raio da primeira órbita, ou seja , 
correspondente a . 
 A energia total do elétron no átomo é dada pela 
soma das respectivas energias cinética , e potencial : 
 
 
(1.20)* 
 
 
(1.21)* 
 
 
(1.22)* 
 
 A partir da Equação 1.14, verifica-se que a energia 
cinética do elétron, é metade do negativo da energia 
potencial : 
 
 
 
 Este resultado decorre de um importante teorema da 
Física denominado teorema do virial, que pode ser 
enunciado da seguinte forma: 
 
 Para um sistema de duas partículas em que a 
média temporal da energia potencial total varie com 
uma potência da distância entre as partículas, ou 
 
(1.19) 
Para saber mais, 
siga os links abaixo: 
 
Teorema do virial 
 
http://pt.wikipedia.or
g/wiki/Teorema_do_
virial 
 
 20 
seja, , a média temporal da energia cinética total 
 será dada pela seguinte expressão: 
 
 
(1.23)* 
 
 No caso do potencial de Coulomb, a potência da 
distância é , ou seja, . Portanto, chega-se 
ao seguinte resultado: . Aplicando este resultado 
na Equação 1.20, chega-se à seguinte relação: 
 
 
(1.24) 
 
 Usando a energia potencial de Coulomb, dada na 
Equação 1.22, na expressão acima, obtém-se o seguinte: 
 
 
(1.25) 
 
 Substituindo o raio da órbita, dada na Equação 1.18, 
no resultado acima, obtém-se o seguinte: 
 
 
 
 
 Rearranjado esta última expressão, obtém-se a 
equação para a energia total do elétron no átomo: 
 
 
(1.26) 
 
 
 21 
 Verifica-se, na última expressão, que a energia do 
elétron em um átomo hidrogenoide é quantizada. 
 
 As constantes podem ser calculadas na equação 
acima, de forma a se obter o seguinte resultado: 
 
 
(1.27)* 
 
onde foi usada a relação entre o elétron-volt (eV) e o joule 
(J): 
 
 
(1.28)* 
 
 Para o átomo de hidrogênio ( ), o valor da 
energia total do elétron que ocupa a primeira órbita é 
igual a . Esta energia é a chamada energia do 
estado fundamental do átomo de hidrogênio. 
Para saber mais, 
siga os links abaixo: 
 
Elétron-Volt 
 
http://pt.wikipedia.or
g/wiki/Elétron-volt 
 
 22 
 
1.4. A dualidade onda-partícula 
 
 De acordo com o modelo de Einstein para explicar o 
efeito fotoelétrico, a luz se comporta como partícula 
durante sua interação com a superfície metálica. 
Entretanto, a luz também apresenta propriedades de onda, 
tais como interferência e difração. Por isso, dizemos que a 
luz apresenta um caráter dual, ou seja, a luz apresenta 
dualidade onda-partícula. 
 Em 1924, Louis de Broglie defendeu sua tese de 
doutorado, na qual introduzia a hipótese revolucionária de 
que toda a matéria, e não apenas a luz, apresentaria 
dualidade onda-partícula. Essa hipótese inovadora pode 
ser expressa na denominada relação de De Broglie: 
 
 
 
Na relação de De Broglie, é o momento linear da 
partícula, é o comprimento de onda associado, e é a 
constante de Planck. Assim, pode-se calcular o 
comprimento de onda da onda material associada a uma 
partícula. 
Para uma partícula que possua massa m e que tenha uma 
velocidade bem inferior à velocidade da luz o 
momento linear é dado pelo produto da massa pela 
velocidade: 
 
 
(1.30)* 
 
 
(1.29)* 
 
 
Louis de Broglie 
(1892-1987) 
 
Para saber mais, 
siga os links abaixo: 
 
Biografia de Louis 
de Broglie 
 
http://pt.wikipedia.or
g/wiki/Louis_de_bro
glie 
 
 23 
 A energia cinética , de uma partícula de massa 
m e velocidade bem inferior à velocidade da luz 
, é dada pela seguinte expressão: 
 
 
 
Devido à constante de Planck ter um valor muito 
pequeno, objetos macroscópicos terão um comprimento 
de onda bem abaixo do limite de detecção. Por isso, a 
dualidade onda-partícula não é evidente na nossa 
experiência cotidiana. Já com partículas microscópicas, 
como elétrons, os comprimentos de onda associados 
são mensuráveis e a característica dual é evidente. Para 
comparar os dois casos, veja o quadro com o Exemplo 
1.2 e o Exercício 1.2. 
 A dualidade onda-partícula da matéria foi 
comprovada, experimentalmente, pelo experimento da 
difração de elétrons por um monocristal de níquel, 
realizado em 1927 por Davisson e Germer. Hoje, a 
difração de elétrons é utilizada na Química para estudar 
a estrutura cristalina de sólidos. 
 
 
1.5. O Princípio da Incerteza 
 
 Em 1925, Werner Heisenberg criou a Mecânica 
Quântica na forma matricial. Nesse processo, um 
princípio importante da natureza descoberto por 
Heisenberg foi o Princípio da Incerteza. Esse princípio 
estabelece que determinados pares de grandezas 
físicas, tais como a posição e o momento de uma 
partícula, não podem ser determinados, 
simultaneamente, com qualquer precisão. Mais ainda, 
 
(1.31)* 
Exemplo 1.5 
Calcule o comprimento 
de onda associado a um 
elétron de energia 
cinética igual a 54 eV. 
Primeiro, convertemos a 
unidade de energia de 
elétron-volt (eV) para 
joule (J): 
 
 
Depois, calculamos o 
momento linear do 
elétron, usando a 
Equação 1.34: 
 
 
 
Por fim, calculamos o 
comprimento de onda 
associado: 
 
 
 
Exercício 1.5 
Calcule o comprimento 
de onda associado a 
uma partícula 
macroscópica, de 
massa 1 kg e 
velocidade 10 m/s. 
Resposta: 6,6 x 10–25 m 
 
 24 
esse princípio determina que a precisão com 
que se mede uma das grandezas, limita a 
precisão com que se pode medir a outra 
grandeza. Dessa forma, podemos saber muito 
bem onde está uma partícula (posição), mas 
não podemos saber ao mesmo tempo sua 
velocidade (momento) e vice-versa. 
 Devido ao Princípio da Incerteza, a noção 
de trajetória de uma partícula, tão comum na 
Mecânica Clássica, torna-se sem significado na 
Mecânica Quântica. Isto ocorre porque a 
trajetória de uma partícula presume a medida 
simultânea da posição e do momento da 
partícula, a cada instante. 
 O Princípio da Incerteza é dado pela 
seguinte expressão: 
 
 
onde . 
 
 Não é possível determinar o momento 
linear e a posição de uma partícula, 
simultaneamente, com precisão maior do que a 
expressa pelo princípio da incerteza. 
 
 
 
(1.32)* 
Exemplo 1.3. 
Calcule a incerteza na 
posição de um elétron de 
velocidade cuja 
incerteza na velocidade é de 
0,01%. 
Primeiro, calculamos o 
momento do elétron: 
 
 
Depois, calculamos a incerteza 
no momento do elétron: 
 
 
 
Por fim, calculamos a incerteza 
na posição do elétron: 
 
 
 
 
 
Exercício 1.2. 
Repita o cálculo para um 
projétil de massa . 
Resposta: . 
 
 
 25 
 
1.6. Problemas 
 
01. Escreva os símbolos, os valores e as unidades no 
Sistema Internacional (SI), das constantes físicas 
dadas a seguir: 
(a) velocidade da luz no vácuo. 
(b) constante de Boltzmann. 
(c) constante de Planck. 
(d) constante de Planck reduzida. 
(e) constante da lei de Coulomb. 
(f) carga elétrica fundamental. 
(g) massa do elétron. 
(h) massa do próton. 
(i) massa do nêutron. 
02. Calcule a frequência, em Hertz (1 Hz = 1 s–1), 
para radiação eletromagnética em cada comprimento 
de onda abaixo. (1 nm = 10–9 m; 1 µm = 10–6 m; 1 cm 
= 10–2 m)(a) 0,01 nm (raios gama) 
(a) 1,00 nm (raios X) 
(b) 100 nm (ultravioleta). 
(c) 380 nm (visível, violeta). 
(d) 500 nm (visível, verde). 
(e) 750 nm (visível, vermelho). 
(f) 10,0 µm (infravermelho). 
(g) 1,00 cm (microondas). 
(h) 1,00 m (radiofrequência). 
03. O que é radiação térmica? Dê exemplos de corpos 
que emitem radiação térmica no infravermelho e no 
visível. 
 
 26 
04. O que é corpo negro? Apresente exemplos de corpos 
reais que se comportem como corpos negros. 
05. Explique de que forma a medida da radiação térmica 
emitida por um corpo permite determinar a 
temperatura do corpo. 
06. Em uma explosão nuclear, a temperatura pode chegar 
a 107 K. Nesse caso, calcule o comprimento de onda 
máximo da radiação térmica emitida. 
07. O valor médio da temperatura normal do corpo 
humano é 36,8 oC. Calcule o comprimento de onda 
máximo da radiação térmica emitida pelo corpo 
humano. Não se esqueça de converter a temperatura 
para kelvin. 
 
08. Calcule a temperatura de um corpo negro que esteja 
emitindo radiação térmica de comprimento de onda 
, ou seja, luz de cor verde. Apresente o 
resultado em kelvin e em graus Celsius. 
 
09. Explique o que vem a ser a catástrofe do ultravioleta. 
10. Explique a hipótese de Planck da quantização da 
energia. 
11. O que é efeito fotoelétrico? Existe alguma utilidade 
prática para ele? 
12. Que metais e que região do espectro eletromagnético 
são normalmente utilizados no estudo do efeito 
fotoelétrico? 
13. Esquematize a montagem utilizada no estudo do 
efeito fotoelétrico, explicando a função de cada parte. 
Que cuidados devem ser tomados para assegurar 
medidas confiáveis? 
 
 27 
14. Como se explica o efeito fotoelétrico classicamente? 
Qual é o significado da função trabalho de uma 
superfície metálica? O que são fotoelétrons? 
15. Com relação ao gráfico da variação da corrente 
fotoelétrica em função da diferença de potencial V 
aplicada entre as placas metálicas, responda: (a) Por 
que a corrente não cai para zero quando V=0? (b) O 
que acontece com os elétrons, quando se aplica o 
potencial de corte Vo? (c) Como se calcula a energia 
cinética Kmax do mais rápido elétron emitido? (d) 
Explique como a corrente fotoelétrica depende da 
intensidade da luz incidente. (e) Em que ponto os 
resultados mostrados nesse gráfico estão em 
desacordo com a Física Clássica? 
16. Com relação ao gráfico do potencial de corte Vo, em 
função da frequência da luz incidente, responda: (a) O 
que significa limiar de frequência, νo? (b) Qual é a 
função matemática que melhor descreve esse 
gráfico? (c) Em que ponto os resultados mostrados 
nesse gráfico estão em desacordo com a Física 
Clássica? 
17. Observa-se, experimentalmente, que não há um 
intervalo de tempo mensurável entre o instante da 
incidência da luz e a emissão dos elétrons. Explique 
por que esse resultado está em desacordo com a 
Física Clássica. 
18. Explique a teoria de Einstein sobre o efeito 
fotoelétrico. O que são fótons? 
19. De acordo com a teoria de Einstein, como se explica a 
intensidade da luz? 
20. Mostre que a teoria de Einstein explica os resultados 
que estão em desacordo com a Física Clássica. Em 
 
 28 
particular, deduza a equação que descreve 
corretamente o gráfico do potencial de corte Vo, em 
função da frequência da luz incidente. 
21. Como se pode medir a constante de Planck através 
do efeito fotoelétrico? Por que essa medida, em 
particular, é tão importante para a Teoria Quântica? 
22. Converta as energias para elétrons-volt eV: (a) 1 kJ; 
(b) 1 J; (c) 10–13 J; (d) 10–16 J; (e) 10–19 J; (f) 10–22 J. 
23. Calcule a energia de um fóton, considerando os 
comprimentos de ondas dados no problema 02. 
Repita os cálculos, considerando um mol de fótons. 
Constante de Avogadro: . 
24. O comprimento de onda limite para a emissão de 
fotoelétrons de uma superfície de lítio é λmax=520 nm, 
calcule: (a) a função trabalho da superfície metálica; 
(b) a velocidade máxima com que um elétron é 
emitido, quando luz de comprimento de onda λ=360 
nm incide sobre a superfície. 
25. Discuta a evolução do conceito de átomo, desde à 
Antiguidade até os modelos modernos. 
26. O que são átomos hidrogenoides? Exemplifique. 
27. Enuncie os postulados de Bohr. 
28. Faça a dedução da expressão para a energia 
eletrônica de átomos hidrogenoides, segundo o 
modelo de Bohr. 
29. Escreva alguns comprimentos de onda das séries de 
Balmer, Paschen e Lyman. Diga em que região do 
espectro eletromagnético elas se encontram e atribua 
as emissões de luz de cada comprimento de onda às 
transições eletrônicas correspondentes. 
 
 29 
30. O que significa espectro contínuo? E espectro de 
linhas? Exemplifique. 
31. Calcule os comprimentos de onda das cinco primeiras 
linhas de emissão do átomo de hidrogênio, utilizando 
a fórmula de Balmer. 
32. Calcule os raios, as velocidades, os momentos 
angulares e as energias (cinética, potencial e total) 
dos elétrons, para as cinco primeiras órbitas do átomo 
de hidrogênio, usando o modelo de Bohr. 
33. Explique o conceito de transição eletrônica e a sua 
conexão com a emissão e a absorção de luz pelos 
átomos. 
34. Calcule as diferenças de energia e as frequências dos 
fótons absorvidos durante as seguintes transições 
eletrônicas do átomo de hidrogênio (ni→nf): (a) 1→2; 
(b) 1→3; (c) 1→4; (d) 2→3; (e) 3→4. 
35. Explique por que o espectro de emissão do átomo de 
deutério (2H) é diferente do espectro de seu isótopo, o 
átomo de hidrogênio (1H). 
36. Explique se podemos usar o modelo atômico de Bohr 
para prever o espectro de emissão de átomos 
multieletrônicos (p.ex. He, Li, Na, etc)? 
37. Explique as diferenças entre os conceitos de onda e 
de partícula. 
38. Discuta o experimento da difração de elétrons de 
Davisson e Germer. Qual é a importância deste 
experimento? 
39. Discuta a dualidade onda-partícula. Explique porque a 
natureza ondulatória da matéria não é evidente para 
objetos macroscópicos. 
 
 30 
40. A partir da relação de de Broglie, calcule o 
comprimento de onda associado a um feixe de 
elétrons acelerado a uma energia cinética de: a) 1 eV; 
b) 1 keV; c) 1 Mev; d)1 Gev. 
41. Calcule o comprimento de onda associado ao 
movimento de um projétil de 100 g, arremessado com 
uma velocidade de 100 km/h. 
42. Considere um feixe de elétrons de comprimento de 
onda λ=0,45 nm. Calcule o momento linear e a 
velocidade dos elétrons. 
43. Discuta o Princípio da Incerteza de Heisenberg. 
44. Explique porque o microscópio eletrônico permite 
visualizar objetos que não são visíveis ao microscópio 
ótico comum? 
45. Pesquise as biografias de: Max Planck, Albert 
Einstein, Niels Bohr e Louis de Broglie. Sugestão no 
link abaixo: 
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/ 
 
 31 
 
 
 32 
 
 
2 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ...................................................................... 31 
2.1 A função de onda ............................................................................................... 33 
2.2 Números complexo ............................................................................................. 35 
2.2 Operadores e valores esperados ....................................................................... 36 
2.3 A equação dependente do tempo ....................................................................... 45 
2.4 A equação independente do tempo .................................................................... 46 
2.5 Unidades atômicas ............................................................................................. 50 
2.6 Problemas .......................................................................................................... 5233 
2 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 
 
A Mecânica Quântica é a teoria que descreve 
corretamente o comportamento de sistemas 
submicroscópicos como, átomos e moléculas. Por isso a 
sua grande importância na Química. O estado de um 
sistema é completamente descrito por uma função da 
posição das partículas e do tempo, denominada função de 
onda. A equação de Schrödinger permite encontrar a 
função de onda de um sistema físico. 
 
2.1. A função de onda 
 
Na Mecânica Clássica, o estado de um sistema é 
definido pelas posições e pelos momentos das partículas 
que o constituem. Na Mecânica Quântica, postula-se a 
existência de uma função matemática Ψ das posições das 
partículas e do tempo denominada função de onda, ou 
função de estado, ou ainda, autofunção do sistema. Essa 
função descreve completamente o estado de um sistema. 
Para um sistema contendo partículas, as posições 
de cada uma podem ser dadas pelas respectivas 
coordenadas cartesianas . Sendo o tempo, a função 
de onda Ψ (psi) do sistema pode ser escrita na seguinte 
forma3: 
 
 
 
Se o sistema for uma molécula como, por exemplo, a 
molécula de água (H2O), a respectiva função de onda será 
função das posições dos três núcleos e dos dez elétrons, 
além do tempo . 
 
3
 Vide alfabeto grego, na Tabela 5 do apêndice. 
 
(2.1)* 
 
Max Born 
(1882-1970) 
 
Para saber mais, 
siga os links abaixo: 
 
Biografia de 
Heisenberg 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Heisenberg 
 
Biografia de 
Schrödinger 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Schrödinger 
 
Biografia de Paul 
Dirac 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Paul_Dirac 
 
Biografia de Max 
Born 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Max_Born 
 
 34 
 A função de onda, em si, não possui significado 
físico, mas guarda informação sobre o estado do 
sistema. Entretanto, Max Born deu uma interpretação 
estatística para a função de onda. Supondo uma 
partícula pontual que se mova em uma única direção 
x, o quadrado do módulo da função de onda 
da partícula é a função densidade de 
probabilidade. Considerando um sistema com n 
partículas idênticas, sendo que dnx delas estão no 
intervalo infinitesimal de a , então 
é a probabilidade de uma partícula qualquer estar 
nesse intervalo, a qual é dada pela Equação 2.2: 
 
 
(2.2) 
 
 Assim, a probabilidade de a partícula estar no 
intervalo finito é dada pela seguinte integral: 
 
 
(2.3)* 
 
 Suponha que uma partícula possa se deslocar 
na direção x, em todo o intervalo . 
Como a partícula certamente está em algum lugar 
desse intervalo, a probabilidade de encontrá-la será 1, 
ou seja, 100%. Essa condição é chamada de 
normalização da função de onda e é dada pela 
equação seguinte: 
 
 
(2.4)* 
 
 
 35 
 Vamos considerar agora o caso tridimensional. 
Considere uma partícula pontual que possa se deslocar ao 
longo das três direções espaciais: . A função de onda 
dessa partícula será escrita na forma . Assim, a 
probabilidade de encontrar a partícula em um volume 
infinitesimal dV=dxdydz é dada por . Assim, 
a probabilidade P de encontrar a partícula em um volume 
finito V, com , e é da pela 
integral tripla da equação seguinte: 
 
 
(2.5) 
 
 A função de onda deve ser bem comportada. 
Isto significa, basicamente, que ela seja contínua e 
derivável. Que o seu valor caia para zero nos valores 
extremos das variáveis, e que o quadrado de seu módulo 
seja integrável, isto é, que a integral dada pela Equação 2.4 
seja convergente, ou seja, tenha um valor finito. 
 
 
2.2. Números Complexos 
 
 A função de onda de um sistema é, em geral, uma 
função complexa. Isso significa que será importante fazer 
uma pequena revisão dos conceitos básicos que envolvem 
números complexos. 
 A motivação mais básica para se estudar os números 
complexos vem da necessidade de se encontrar uma 
solução para a equação x2+1=0. Essa equação não possui 
solução dentro do conjunto dos números reais, já que 
 não é um número real. Entretanto, se for definido 
outro conjunto numérico do qual faça parte, o problema 
 
 36 
está resolvido. Assim, define-se o conjunto dos números 
complexos. 
 Considere dois números reais x e y e um número 
imaginário i definido da seguinte forma. 
 
 
 Um número complexo z pode ser escrito na forma 
seguinte: 
 
 
 O conjugado complexo z* do número z é dado 
por: 
 
 
 O quadrado do módulo de um número complexo z, 
representado por |z|2, é um número real, calculado pelo 
produto do número z pelo seu conjugado complexo, como 
mostrado na equação seguinte: 
 
 
 Acima, foi empregada a notação cartesiana 
para números complexos. Pode-se escrever um número 
complexo em notação polar , onde é o módulo de 
, ou seja, e é denominado fase, ou argumento 
de : 
 
 
(2.6)* 
 
(2.7)* 
 
(2.8)* 
 
(2.9)* 
 
 
Leonhard Paul Euler 
(1707-1783) 
 
Para saber mais, siga 
os links abaixo: 
 
Fórmula de Euler 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Fórmula_de_Eul
er 
 
Biografia de Euler 
 
http://pt.wikipedia.org
/wiki/Leonhard_Euler 
 
 37 
 
(2.10)* 
 
 As duas notações podem ser interconvertidas, através 
do uso da fórmula de Euler, dada por: 
 
 
(2.11)* 
 
onde e são o cosseno e o seno de , 
respectivamente. 
 Combinando as Equações 2.7 e 2.10 na fórmula de 
Euler, obtêm-se as relações abaixo, que permitem fazer a 
conversão entre os dois sistemas de notação considerados, 
: 
 
 
(2.12) 
 
(2.13) 
 
(2.14) 
 
(2.15) 
 
 Pode-se calcular a soma de dois números complexos, 
 através da Equação 2.16: 
 
 
(2.16)* 
 
 O produto e a razão de dois números complexos 
 podem ser encontrados através das 
Equações 2.17 e 2.18, respectivamente: 
 
 
(2.17)* 
 
(2.18)* 
 
 
 
René Descartes 
(1596-1650) 
 
Para saber mais, 
siga os links 
abaixo: 
Coordenadas 
Cartesianas 
http://pt.wikipedia.o
rg/wiki/Sistema_de
_coordenadas_cart
esiano 
 
Coordenadas 
Polares 
http://pt.wikipedia.o
rg/wiki/Coordenada
s_polares 
 
Biografia de René 
Descartes 
http://pt.wikipedia.o
rg/wiki/Descartes 
 
 38 
 Veja que a notação cartesiana é mais conveniente 
para expressar a soma, enquanto que a notação polar é 
melhor para representar o produto e o quociente de dois 
números complexos. 
 
2.3. Operadores e valores esperados 
 
 Um operador é uma regra matemática que 
transforma uma dada função em outra função : 
 
 
(2.19)* 
 
 Para ilustrar a ideia, consideremos que o operador 
seja a regra matemática que diz, encontre a derivada de 
uma função . Dessa forma, podemos escrever , 
ou seja, é o operador de derivada. Então, podemos aplicar 
o operador a qualquer função , que encontraremos 
outra função que é a derivada de . 
Matematicamente fica: 
 
 
 
(2.20) 
 
 Exemplificando, fica assim: 
 
 
(2.21) 
 
(2.22) 
 
(2.23) 
 
(2.24) 
 
 39 
 
(2.25) 
 
Álgebra de Operadores 
 
 Podem-se definir as operações de adição e de 
multiplicação de operadores, de acordo com as Equações 
2.26 e 2.27, respectivamente: 
 
 
(2.26)* 
 
(2.27)* 
 
 Na adição de operadores, cada operador é aplicado 
individualmente na função e depois a soma é encontrada 
adicionado os resultados encontrados. 
 Na multiplicação de operadores, o operador que 
está mais próximo à função, ou seja, mais à direita, é 
aplicado primeiro. O produto é então encontrado, aplicando 
o outro operador ao resultado anterior. 
 Para exemplificar essas duas operações, considere 
os seguintes operadores: e . O primeiro 
operador diz para derivar a função em relaçãoà 
variável , enquanto que o segundo diz para multiplicar a 
função pela variável . Considerando a função 
, teremos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 40 
 
 
 
 Observe que a adição de operadores é sempre 
comutativa, o que está indicado na Equação 2.28: 
 
 
(2.28)* 
 O mesmo não vale para a multiplicação, ou seja, a 
multiplicação de operadores em geral não é comutativa. 
Isto é mostrado na Equação 2.29: 
 
 
(2.29)* 
 
 Podemos usar o exemplo anterior para ilustrar a não 
comutatividade da multiplicação de operadores: 
 
 
 
 Verifique que este último resultado é diferente do 
resultado obtido para . Isto mostra que nem sempre 
a multiplicação será comutativa. 
 Ocorre, porém, que para alguns pares de operadores, 
a multiplicação pode ser comutativa. Nesse caso, diz-se que 
os operadores comutam. Por exemplo, considerando os 
seguintes operadores e . O primeiro continua 
sendo o operador de derivada. Mas, o segundo diz para 
multiplicar a função pela constante c. Nesse caso, 
pode-se verificar que , graças à 
propriedade das derivadas que diz que a derivada de uma 
constante é zero (vide Exemplo 2.1). 
 
 41 
 O comutador de dois operadores e , 
aplicados em uma função , é a operação matemática 
definida pela Equação 2.30: 
 
 
(2.30)* 
 
 Pode-se verificar que, o comutador de dois 
operadores e que comutam é zero. Caso contrário, será 
diferente de zero. As Equações 2.31 e 2.32 resumem esses 
resultados: 
 
 e comutem (2.31)* 
 e não comutem (2.32)* 
 
 Com relação aos operadores e , o 
comutador é calculado da forma dada abaixo: 
 
 
 
 
 
 No caso acima, o operador é a identidade, ou seja, 
o operador de preservar a função na forma como ela é, sem 
modificá-la. Como se vê, os operadores e não 
comutam. 
 Saber se dois operadores comutam ou não, é de 
extrema importância em Mecânica Quântica. Este assunto 
será discutido mais adiante. 
 Considere duas funções, e , e duas constantes e 
. Um operador será denominado operador linear se 
obedecer à Equação 2.33: 
 
 42 
 
 
(2.33)* 
 
 Pode-se mostrar que nem todo operador é linear. 
Por exemplo, o operador , que significa tirar a raiz 
quadrada da função, não é linear, como mostra a Equação 
2.34: 
 
 
(2.34) 
 
 Já o operador de derivada é linear, como 
mostra a Equação 2.35: 
 
 
(2.35) 
 
 Considere uma função complexa, cujo conjugado 
seja . Um operador linear será denominado operador 
hermitiano se obedecer à Equação 2.36, onde significam 
as variáveis da função, por exemplo, . Mais à frente, 
vamos esclarecer melhor, o significado e a importância desta 
definição: 
 
 
(2.36)* 
 
 Em Mecânica Quântica, cada grandeza física 
observável de um sistema, por exemplo, posição, 
momento, energia, etc, possui um operador linear e 
hermitiano associado. 
 
 A Tabela 2.1 mostra a forma de alguns operadores 
quânticos e as respectivas grandezas físicas observáveis a 
 
 43 
que estão associados. O porquê de esses operadores terem 
essas formas, em particular, pode ser discutido. Entretanto, 
para os propósitos da aplicação da Mecânica Quântica na 
Química, a Tabela 2.1 pode ser assumida simplesmente 
como um postulado, não sendo, portanto, necessário 
demonstrá-la. 
 
Tabela 2.1 Grandezas físicas observáveis e seus 
respectivos operadores quânticos 
associados. 
Grandeza física 
observável 
Expressão 
clássica 
Operador 
quântico 
Posição 
 
Tempo 
 
Momento linear 
(componente na 
direção ) 
 
 
Energia cinética 
(componente na 
direção ) 
Energia 
potencial 
(uma dimensão) 
 
Energia total 
(uma dimensão) 
; . 
 
 O operador de energia total mostrado na Tabela 2.1 é 
particularmente importante para a Química Quântica. Ele é 
denominado operador hamiltoniano do sistema e é 
usualmente representado por . A expressão para o 
operador hamiltoniano em uma dimensão é dada na 
Equação 2.37: 
 
 44 
 
 
(2.37)* 
 
Valor esperado 
 
 Se a função de onda do sistema for conhecida, 
então, é possível calcular o valor esperado de uma 
grandeza física, utilizando o respectivo operador quântico na 
seguinte equação: 
 
 
(2.38)* 
 
 O significado do valor esperado, calculado pela 
equação acima é o seguinte: imagine uma coleção contendo 
um número muito grande de sistemas idênticos. Em um 
dado instante de tempo, cada sistema apresentará um 
determinado valor para a propriedade física em questão. Se 
calcularmos a média das propriedades para todos os 
sistemas, então, obteremos o valor esperado da 
propriedade. 
 
 45 
 
2.3. A Equação dependente do tempo 
 
 Como foi dito na Seção 2.1, o estado de um 
sistema é descrito na Mecânica Quântica pela 
respectiva função de onda . A questão que surge é a 
seguinte: como se encontra a função de onda de um 
sistema? A resposta é: resolvendo a equação de 
Schrödinger. A equação proposta, em 1927, pelo físico 
austríaco Erwin Schrödinger, e que leva o seu nome, 
permite, em princípio, encontrar a função de onda de um 
sistema físico. Nesse sentido, a Equação de 
Schrödinger desempenha, na Mecânica Quântica, papel 
análogo ao da segunda lei de Newton na 
Mecânica Clássica. 
 A Equação 2.39 apresenta a forma da equação 
de Schrödinger dependente do tempo, para uma 
partícula pontual, de massa , deslocando-se em uma 
única direção . 
 
 
 
 
Na Equação 2.39, e 
. A solução dessa equação é a função de onda 
 da partícula. 
 Utilizando o conceito de operador, a Equação 
2.39 pode ser escrita na forma da Equação 2.40: 
 
 
 
 
Comparando-se as Equações 2.37 e 2.40, verifica-se 
 
(2.39) 
 
(2.40) 
Equação de onda 
 
A equação de 
Schrödinger é muitas 
vezes chamada de 
equação de onda. 
Entretanto, rigorosamente 
falando, ela não é uma 
equação de onda. A 
equação de onda 
descreve a variação da 
amplitude de uma onda, 
no tempo e no espaço. 
Abaixo está 
apresentada a equação 
de onda, para uma onda 
unidimensional de 
amplitude e 
velocidade c. Compare 
com a equação de 
Schrödinger (Equação 
2.39). 
 
 
 
A equação de onda e a 
equação de Schrödinger 
guardam certa 
semelhança entre si. 
Contudo, a última, 
representa a variação da 
função de onda de um 
sistema, e não da 
amplitude de uma onda 
real. 
 
 46 
que se pode escrever a Equação de Schrödinger 
dependente do tempo, utilizando o operador hamiltoniano. 
Assim, ela assume a forma bastante compacta, dada na 
Equação 2.41. Nessa forma, a Equação de Schrödinger 
assume uma generalidade muito grande, tendo em vista que 
pode ser utilizada para qualquer sistema, não só para uma 
partícula movendo-se em uma única direção: 
 
 
(2.41)* 
 
 A Equação 2.41 sugere que o operador 
hamiltoniano também pode ser escrito na forma alternativa 
dada pela Equação 2.42: 
 
 
(2.42)* 
 
 
2.4. A Equação independente do tempo 
 
 Considere a função de onda de uma única 
partícula pontual, de massa , que se move ao longo de 
uma única direção . Vamos agora considerar que a função 
de onda possa ser escrita como o produto de duas funções, 
 e , de acordo com a Equação 2.43: 
 
 
(2.43)* 
 
 Vamos agora substituir a Equação 2.43 na Equação 
2.39. E vamos considerar também que a energia potencial 
não varie com o tempo, ou seja, V= . Com isso, obtemos 
a Equação 2.44: 
 
 
 47 
(2.4
4) 
 
 Na Equação 2.44, a função sai da derivada e 
a função sai da derivada , resultando na forma 
apresentada na equação 2.45: 
 
 
(2.45
) 
 
 Vamos agora dividir a Equação 2.45, em ambos os 
lados da igualdade, pelo produto : 
 
 
 Após efetuar as simplificaçõesindicadas acima, a 
equação assume a forma dada na Equação 2.46: 
 
 
(2.46) 
 
 Na Equação 2.46 nota-se que o lado esquerdo da 
igualdade só depende da variável , enquanto que o lado 
direito só depende da variável . Essa situação só pode ser 
verdadeira se ambos os lados da igualdade forem 
independentes de e , ou seja, se forem ambos iguais a 
uma constante E: 
 
 
(2.47) 
 
 
 48 
 Assim, ficamos na verdade com duas equações, uma 
somente com a variável e outra com a variável . Dessa 
forma, rearranjando a Equação 2.47, obtemos as Equações 
2.48 e 2.49: 
 
 
(2.48) 
 
 
(2.49) 
 
 A Equação 2.49 é bastante simples de ser resolvida, 
uma vez que só temos que pensar qual é a função que, 
derivada uma vez, resulta nela mesma multiplicada por uma 
constante. Recorrendo à Equação 2.22, verificamos que tal 
função só pode ser a exponencial, dada abaixo: 
 
 
(2.50)* 
 
 Assim, observando a Equação 2.42, chegamos à 
conclusão que a função de onda deve ter a forma 
dada na equação 2.50: 
 
 
(2.50)* 
 
 Usando o conceito de operador, podemos reescrever 
a Equação 2.47 na forma da equação 2.51: 
 
 
(2.51) 
 
 Comparando as Equações 2.36 e 2.51, verificamos 
que podemos escrever esta última, utilizando o operador 
hamiltoniano , na forma da Equação 2.52: 
 
 49 
 
 
(2.52)* 
 
 A Equação 2.52 é denominada equação de 
Schrödinger independente do tempo e talvez seja a 
equação mais importante da Mecânica Quântica com 
aplicação na Química. Como o operador hamiltoniano é o 
operador quântico associado à energia total do sistema, a 
Equação 2.52 indica que a constante E seja a energia total 
do sistema. Nessa forma compacta a equação de 
Schrödinger assume uma generalidade muito grande, tendo 
em vista que pode ser utilizada para qualquer sistema. Sua 
resolução fornece como solução a função de onda 
independente do tempo , também denominada estado 
estacionário do sistema e a energia total E do sistema. A 
função de onda tem esse nome porque representa 
estados de energia E constantes. 
 Podemos demonstrar um resultado importante, para a 
função densidade de probabilidade: 
 
 
 
 Em outras palavras, o resultado obtido acima mostra 
que a densidade de probabilidade é independente do 
tempo. Esse resultado é resumido na Equação 2.53: 
 
 
(2.53)* 
 
 Assim, a condição de normalização dada pela 
Equação 2.4 pode também ser expressa pela Equação 2.54: 
 
 
 50 
 
(2.54)* 
 
 Utilizando a Equação 2.37 com o operador 
hamiltoniano e considerando a equação 2.52, obtemos o 
importante resultado, dado na Equação 2.55, de que o valor 
esperado para o operador hamiltoniano é igual à energia 
total E do sistema: 
 
(2.55
) 
 
 Na Equação 2.55, foi considerada a condição de 
normalização dada pela Equação 2.54. 
 
 
 
2.5. Unidades atômicas 
 
 É bastante comum fazer algumas considerações com 
relação às unidades, para simplificar a forma das equações 
usadas na Mecânica Quântica. Uma consideração que 
simplifica bastante as equações é com relação ao valor da 
carga fundamental. Define-se a carga fundamental de 
acordo com a relação abaixo: 
 
 
(2.56)* 
 
 Esta definição simplifica as expressões que são 
baseadas na Lei de Coulomb, pois o potencial de atração 
elétron-núcleo pode ser escrito na seguinte forma, 
dispensando o termo : 
 
 
 51 
 
(2.57)* 
 
 Outra consideração que se costuma fazer em 
Mecânica Quântica é utilizar o denominado sistema de 
unidades atômicas. Nesse sistema, os valores de algumas 
constantes físicas são assumidos como sendo iguais à 
unidade, a saber: 
 
Massa do elétron, . 
Carga fundamental, . 
Constante de Planck reduzida, 
 
 Fazendo as considerações acima, as Equações 1.18 
e 1.26, obtidas com o modelo de Bohr para o raio da órbita 
 e para a energia total do elétron no átomo, assumem 
as formas abaixo: 
 
 
(2.58) 
 
 
(2.59) 
 
 Considerando o átomo de hidrogênio , obtêm-
se os seguintes valores para o raio e para a energia total do 
elétron, na primeira órbita : 
 
 
(2.60)* 
 
(2.61)* 
 
onde significa unidade atômica. 
 
 52 
 Comparando esses resultados com aqueles obtidos 
na seção 1.3, verificam-se as seguintes relações de 
conversão de unidades4: 
 
 
(2.62) 
 
(2.63) 
 
 
2.6 Problemas 
 
01. O que é função de onda? Qual é a sua 
interpretação física? 
02. Explique a condição de normalização de uma 
função de onda. 
03. Quais são os requisitos para uma função de onda 
ser bem comportada? 
04. O que são operadores? Dê exemplos. 
05. O que são observáveis? Dê exemplos. 
06. O que são números complexos? Para que 
servem? Dê exemplos. 
07. O que significa conjugado complexo de uma 
função de onda? Dê exemplos. 
08. Dê a definição e exemplos de: (a) operador linear; 
(b) operador hermitiano. 
09. Quais são os requisitos para um operador 
representar um observável? 
10. Escreva os operadores correspondentes a: (a) 
posição; (b) tempo; (c) momento linear; (d) energia 
cinética; (e) energia potencial; (f) energia total. 
 
4
 Vide Tabela 2, no apêndice; = 1 bohr (raio de Bohr). 
 
 53 
11. Escreva o operador Hamiltoniano e explique o seu 
significado físico. 
12. Como podemos calcular o valor médio de um 
observável, através de seu operador? Discuta seu 
significado físico. 
13. Escreva a condição de normalização de uma 
função de onda e a expressão para o valor médio 
de um observável, utilizando a notação de Dirac. 
14. O que é uma equação diferencial? Dê exemplos. 
15. Escreva a Equação de Schrödinger: (a) 
dependente do tempo; (b) independente do tempo. 
Comente sua importância. 
16. Como podemos encontrar a função de onda de um 
sistema físico? 
17. Pesquise as biografias de: Werner Heisenberg, 
Erwin Schrödinger, Paul Dirac e Wolfgang Pauli. 
Sugestão: 
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureate
s/ 
 
 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
 
 
 56 
 
3 SISTEMAS SIMPLES ........................................................................................... 55 
3.1 A partícula livre ................................................................................................... 57 
3.2 A partícula na caixa ............................................................................................ 61 
3.3 O oscilador harmônico ........................................................................................ 65 
3.4 O rotor rígido ...................................................................................................... 69 
3.5 Problemas .......................................................................................................... 76 
 
 57 
3 SISTEMAS SIMPLES 
3.1. A partícula livre 
 
 O sistema físico mais simples é o de uma partícula 
pontual, de massa , que se movimenta ao longo de apenas 
uma direção , com uma força resultante nula, , 
atuando sobre si. Esse caso é chamado de partícula livre. 
 Na Mecânica Clássica, usando a segunda lei de 
Newton, , obtemos que a aceleração da partícula livre 
é nula ( ), ou seja, sua velocidade é constante. Esse é o 
caso conhecido do movimento retilíneo uniforme. 
 Na Mecânica Quântica não podemos falar em 
movimento retilíneo uniforme, devido ao Princípio da 
Incerteza que impede o conhecimento da trajetória da 
partícula. No entanto, podemos encontrar a função de onda 
 para a partícula livre unidimensional, resolvendo a 
equação de Schrödinger independente do tempo, Equação 
2.52. 
 Para resolver a equação deSchrödinger, precisamos 
saber a energia potencial do sistema. A Equação 3.1 
apresenta a relação entre a força que atua sobre a uma 
partícula e a energia potencial da partícula: 
 
 
(3.1)* 
 
 Se a força que atua sobre a partícula for zero, ou seja, 
, então a energia potencial assumirá um valor 
constante . Por isso, o problema da partícula livre 
pode, também, ser denominado como problema do 
potencial constante. 
A primeira etapa para resolver um problema em Mecânica 
Quântica é escrever o operador hamiltoniano para o sistema, 
 
 58 
de acordo com a Equação 2.36. Neste caso, com , 
chega-se à Equação 3.2: 
 
 
(3.2) 
 
 A segunda etapa é escrever a equação de 
Schrödinger independente do tempo. Observando a 
Equação 2.52, chegamos à seguinte equação: 
 
 
(3.3) 
 
que pode ser reescrita na forma abaixo, definindo 
, somente por questão de simplicidade: 
 
 
(3.4) 
 
 A terceira etapa consiste em resolver a equação de 
Schrödinger independente do tempo, no sentido de 
encontrar a função de onda . Assim, devemos encontrar 
a função que, derivada duas vezes, resulta nela 
mesma, multiplicada por uma constante. Nesse caso, pode-
se verificar que essa função é a exponencial dada abaixo, 
onde e são constantes arbitrárias complexas: 
 
 
(3.5) 
 
 Observe que a função de onda é complexa, pois 
contém o número imaginário . Com o sinal positivo, 
temos a denominada solução positiva. Com o sinal negativo, 
temos a denominada solução negativa. A solução geral é a 
combinação linear dessas duas. 
 
 59 
 De acordo com a fórmula de Euler, dada na Equação 
2.11, a função de onda encontrada pode ser convertida em 
uma combinação linear de seno e cosseno. Isto mostra que 
a função de onda para uma partícula livre é periódica, 
 
 
(3.6) 
 
onde e são constantes arbitrárias 
complexas e . 
 No caso da partícula livre, para a função de onda ser 
bem comportada, no sentido que foi discutido na Seção 2.1, 
ela deve permanecer como uma função complexa. Isso 
somente ocorrerá caso o termo dentro da raiz quadrada na 
Equação 3.5 seja positivo, ou seja, . Ocorre que essa 
diferença entre e é a energia cinética da partícula, 
. Portanto, o resultado da Mecânica 
Quântica para a partícula livre é o mesmo da Mecânica 
Clássica, no sentido de que a energia cinética da partícula 
seja positiva, . 
 Podemos encontrar o valor esperado do momento 
linear da partícula livre, através da equação 2.38, usando o 
respectivo operador quântico, dado na Tabela 2.1. Vamos 
considerar a solução positiva apenas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se tivéssemos usado a solução negativa, teríamos 
encontrado o negativo do resultado acima. 
 Então, o valor esperado para o momento linear de 
uma partícula livre é dado pela equação abaixo, onde 
 é a energia cinética da partícula: 
 
 
(3.7)* 
 
 O resultado positivo está relacionado com a partícula 
movendo-se no sentido de crescente. O resultado negativo 
está relacionado com a partícula movendo-se no sentido de 
 decrescente. Assim, conclui-se que as soluções, positiva e 
negativa, da função de onda, descrevem a partícula livre 
movendo-se no sentido crescente e decrescente de , 
respectivamente. 
 Da última equação, também se conclui que a energia 
cinética da partícula deve ser positiva, pois, o valor 
esperado do momento deve assumir um valor real. 
 Como a energia da partícula livre é apenas cinética, 
então encontramos a expressão clássica para o momento 
linear, como o produto da massa pela velocidade, dada pela 
Equação 3.8: 
 
(3.8) 
 
 61 
 É importante notar que, a única restrição que se faz à 
energia total da partícula livre é que ela seja positiva. Nesse 
sentido, a energia de uma partícula livre é contínua, da 
mesma forma que ocorre na Mecânica Clássica, não 
havendo quantização. 
 
 
3.2. A partícula na caixa 
 
 Depois da partícula livre, a partícula na caixa talvez 
seja o segundo problema mais simples. Este problema 
também é denominado como problema do poço de 
potencial infinito. No caso unidimensional, o problema 
consiste de uma partícula de massa que pode se deslocar 
ao longo de apenas uma direção , de tal forma que a sua 
energia potencial seja constante na região e 
infinito fora dessa região, ou seja: 
 
a) (3.9) 
a) (3.10) 
 
 
 
 Assim, dentro da caixa, ou seja, na região 
o operador hamiltoniano é o mesmo da partícula livre, dado 
pela Equação 3.2 e a solução será a mesma obtida na 
Equação 3.6, ou seja: 
 
 62 
 
 
 
 
 Fora da caixa, a energia potencial é infinita. O 
operador hamiltoniano e a equação de Schrödinger 
independente do tempo, para essa região, são dados nas 
Equações 3.11 e 3.12, respectivamente: 
 
 
(3.11) 
 
(3.12) 
 
 A única solução possível para a Equação 3.12 é 
. Isso significa que a probabilidade de encontrar a 
partícula fora da caixa é nula. Dessa forma, a partícula 
permanece confinada na caixa. 
 Para que a função de onda seja bem comportada, ela 
deve ser contínua. Por isso, devemos forçar as condições de 
contorno dadas na Equação 3.13: 
 
 
(3.13) 
 
 Vamos aplicar cada condição de contorno à função de 
onda dada na Equação 3.6: 
 
 
 
 Como e , chegamos ao valor da 
constante , que deve ser nulo: 
 
 
(3.14) 
 
 
 63 
 Assim, a função de onda, dentro da caixa, reduz-se à 
forma dada na Equação 3.15: 
 
 
(3.15) 
 
 Aplicando a condição de contorno , 
chegamos ao seguinte resultado: 
 
 
 
 
 Como , então: 
 
 
 
 
 O seno de um número só é zero quando esse número 
for um múltiplo inteiro de . Logo, teremos o seguinte 
resultado: 
 
 
 
 Considerando, arbitrariamente, que o potencial dentro 
da caixa seja nulo, , obtemos que . 
Com isso, chega-se à expressão abaixo para a energia total 
da partícula na caixa: 
 
 
(3.16)* 
 
 Verifica-se que a energia depende de um número 
inteiro , denominado número quântico. Por isso, ela não 
 
 64 
pode assumir qualquer valor, mas apenas múltiplos inteiros 
de certa unidade. Em outras palavras, a energia total da 
partícula na caixa é quantizada. 
 Substituindo a última expressão na função de onda, 
dada na Equação 3.15, e lembrando que consideramos 
, obtemos o seguinte resultado: 
 
 
(3.17) 
 
Normalização da função de onda 
 
 A constante é denominada constante de 
normalização. Ela é determinada de forma que a condição 
de normalização abaixo seja satisfeita: 
 
 
 
A área total abaixo da curva de é igual à soma das 
áreas nas três regiões consideradas: 
 
 
 
 
 
Ou seja, teremos o seguinte resultado: 
 
 
 
 
 Substituindo a expressão para a função de onda, na 
condição de normalização, obtém-se o seguinte: 
 
Exemplo 3.1 
Utilize as Equações 
3.18 e 3.19 para 
chegar à constante 
de normalização 
dada na Equação 
3.20. Lembre-se: 
 
Solução 
Primeiro, resolve-se a 
integral definida 
abaixo, utilizando o 
resultado da Equação 
3.19. Consideramos 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Por fim, aplica-se a 
Equação 3.18, para 
encontrar a constante 
de normalização. 
 
 
 
 
 
 65 
 
(3.18) 
 
 Utilizando a integral I2, dada na tabela 3 do apêndice, 
verifica-se a seguinte igualdade: 
 
 
(3.19) 
 
 Aplicando o resultado acima na Equação 3.18, obtém-
se a constante de normalização: 
 
 
(3.20) 
 
 Dessa forma, a função de onda normalizada 
para a partícula na caixa é dada pela seguinte 
equação: 
 
 
(3.21)* 
 
 A figura ao lado mostra a representação gráfica 
da função de onda da partículana caixa, para 
quatro valores do número quântico . 
 
 
3.3. O oscilador harmônico 
 
 O oscilador harmônico unidimensional é 
constituído por uma partícula pontual de massa , fixada 
por uma mola de constante de mola , e que se desloca ao 
longo de uma única direção . Ao ser comprimida ou 
Gráficos da função 
de onda para 
uma partícula na 
caixa de tamanho 
. 
 
n=1 
 
 
n=2 
 
 
n=3 
 
 
n=4 
 
 
 66 
distendida por um agente externo, a mola executa na 
partícula uma força restauradora , proporcional à 
distensão . Esse fato é resumido na equação 
seguinte, denominada Lei de Hooke: 
 
 
(3.22)* 
 
Tratamento clássico 
 
 O tratamento teórico clássico é feito utilizando a 
segunda lei de Newton: 
 
 
(3.23)* 
 
Considerando , obtém-se que . 
Substituindo a lei de Hooke na segunda lei de Newton, 
obtém-se o resultado abaixo: 
 
 
 
 
 A última equação pode ser rearranjada na forma da 
equação diferencial do oscilador harmônico, dada abaixo: 
 
 
(3.24) 
 
 A solução da última equação consiste no movimento 
 do oscilador harmônico. Verifica-se que se trata de um 
movimento periódico, dado por uma função seno, conforme 
a equação abaixo: 
 
 
(3.25)* 
 
Lei de Hooke. 
 
 67 
 
onde é a frequência de oscilação, ou seja, o número de 
ciclos por unidade de tempo, e é dada pela equação abaixo. 
A constante é a amplitude da oscilação. 
 
 
(3.26)* 
 
 A energia potencial pode ser encontrada a partir 
da relação dada na Equação 3.1, ou seja, 
 
 
 
 
 
(3.27)* 
 
 
(3.28) 
 
 Pode-se mostrar que a energia total é dada 
pela equação abaixo, ou seja, a energia total clássica do 
oscilador harmônico depende do quadrado da amplitude 
 da oscilação: 
 
 
(3.29) 
 
Tratamento quântico 
 
 Primeiramente, escreve-se o operador hamiltoniano 
para o oscilador harmônico: 
 
 
(3.30) 
 
 
Funções de onda do 
oscilador harmônico. 
 
Fatorial 
 
O fatorial de um 
número inteiro n é 
definido da seguinte 
forma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 68 
 
 A seguir, escreve-se a equação de Schrödinger 
independente do tempo: 
 
 
(3.31) 
 
 A solução desta equação diferencial é dada abaixo, 
onde se verifica que a energia total do oscilador harmônico é 
quantizada: 
 
 
(3.32) 
 
 
(3.33)* 
 
onde se define , é o número quântico 
vibracional e é o fatorial de . 
 
Atenção: não confunda os símbolos e , pois são muito 
parecidos. O primeiro é a letra vê do nosso alfabeto, que 
representa o número quântico. O segundo é a letra grega ni, 
que representa a frequência da vibração. 
 
 é um polinômio denominado polinômio de 
Hermite, que pode ser encontrado pela equação abaixo, 
denominada relação de Rodrigues: 
 
 
(3.34) 
 
 
 69 
A Tabela abaixo apresenta os seis primeiros polinômios de 
Hermite: 
 
 
 
 
 
Estado fundamental e energia de ponto zero 
 
 A função de onda correspondente ao estado 
fundamental do oscilador harmônico, ou seja, o estado de 
menor energia correspondente a é dada pela 
expressão abaixo: 
 
(3.35) 
 
 A menor energia possível para o oscilador harmônico 
é a denominada energia de ponto zero , correspondente 
a e dada pela expressão abaixo: 
 
 
(3.36)* 
 
 
3.3. O rotor rígido 
 
 O rotor rígido é um sistema de duas partículas 
pontuais, com massas e , separadas por uma 
distância fixa R. Colocado em um sistema de coordenadas, 
o movimento de rotação do rotor rígido pode ser expresso 
pela variação dos ângulos e com o tempo. 
 
 
O Modelo do Rotor 
rígido. 
 
 70 
 A energia cinética do rotor rígido é dada pela soma 
dos termos relativos a cada partícula: 
 
 
(3.37)* 
 
onde cada termo de velocidade ao quadrado é 
dado em termos das respectivas coordenadas cartesianas 
, através da expressão abaixo: 
 
 
 
(3.38) 
 
 O conjunto de coordenadas espaciais de cada 
partícula 
 
 
 
 
pode ser convertido em outro conjunto de coordenadas 
espaciais 
 
 
 
da seguinte forma: 
 
 
(3.39) 
 
(3.40) 
 
(3.41) 
 
 são as coordenadas do centro de massa do 
rotor rígido e estão associadas ao movimento de translação 
 
 71 
do sistema. Pode-se colocar arbitrariamente o centro de 
massa do sistema na origem, ou seja: . O 
movimento de translação não é de interesse aqui, mas 
apenas a rotação. Por isso, as coordenadas do centro de 
massa não precisam ser levadas em consideração. Com 
isso, o problema se simplifica, pois teremos de lidar apenas 
com as outras três coordenadas espaciais , 
denominadas coordenadas internas: 
 
 
(3.42) 
 
(3.43) 
 
(3.44) 
 
 Substituindo as coordenadas do centro de massa e as 
coordenadas internas na Equação 3.37 para a energia 
cinética do rotor rígido, obtém-se o seguinte: 
 
 
(3.45) 
 
onde é a massa total do sistema e é a denominada 
massa reduzida do sistema, dadas pelas expressões 
abaixo: 
 
 
(3.46) 
 
(3.47) 
 
 
(3.48) 
 
(3.49) 
 
 
 72 
 Desprezando o movimento de translação, 
obtém-se a expressão para a energia cinética 
rotacional : 
 
 
(3.50) 
 
Tratamento quântico 
 
 Primeiramente, escreve-se o operador 
hamiltoniano para o movimento rotacional do rotor 
rígido. A energia potencial é constante, podendo ser 
arbitrariamente considerada como nula, . Dessa 
forma, o operador hamiltoniano do sistema pode ser 
escrito na forma: 
 
 
(3.51) 
 
onde é o denominando operador laplaciano, dado 
em coordenadas cartesianas, pela expressão 
abaixo: 
 
 
(3.52)* 
 
 O problema do rotor rígido é bem mais simples 
de ser resolvido no sistema de coordenadas esféricas 
. Neste caso, a distância é uma constante, 
devendo ser levada em conta apenas a variação dos 
ângulos . 
 
 
(3.53) 
 
(3.54) 
Texto 
 
 
Sistemas de 
coordenadas. 
 
 73 
 
(3.55) 
 
 O operador laplaciano pode ser escrito em coordenadas 
esféricas. No caso de constante, a expressão assume a 
forma abaixo: 
 
 
(3.56) 
 
 A seguir, escreve-se a equação de Schrödinger 
independente do tempo, onde : 
 
 
(3.57
) 
 
 Considerando as soluções que possam ser escritas na forma 
do produto: 
 
 
(3.58) 
 
a equação de Schrödinger pode ser separada nas duas 
equações a seguir, onde é uma constante: 
 
 
(3.59) 
 
 
(3.60
) 
 
 A solução da Equação 3.59 é dada abaixo: 
 
 
(3.61) 
 
 
 74 
onde , e é a constante de 
normalização. 
 A solução da Equação 3.60 é dada abaixo: 
 
 
(3.62) 
 
onde é a constante de normalização da função 
 e . 
As funções são os polinômios associados 
de Legendre de grau e ordem , dados na Tabela 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Harmônicas esféricas 
 
 O produto fornece as funções de 
onda para o rotor rígido. Essas funções são 
denominadas harmônicas esféricas, : 
 
 
(3.63) 
 
onde a constante de normalização é dada por: 
 
 
 
(3.64) 
As harmônicas 
esféricas reais são 
utilizadas na parte 
angular dos orbitais 
atômicos. 
 
 
 
 
 
 75 
 
 
 
Abaixo, as Harmônicas esféricas : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Combinando as harmônicas esféricas 
complexas e usando a fórmula de Euler (Equação 
2.11), obtêm-se as harmônicas esféricas reais, dadas 
na Tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 76 
 
 
 
 
 
 A energia do rotor rígido é quantizada. Ela 
depende do número quântico e do momento de 
inércia do rotor rígido: 
 
 
(3.65)*