Lista 1 Calculo 2 (Sebastião)

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Exerc´ıcios de Ca´lculo II
Prof.:Sebastia˜o
18 de marc¸o de 2015
Teorema 1. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua, tal que [a,+∞) ⊂ Dom(f). Se∫ +∞
a
f(x)dx convergir, enta˜o lim
x→∞
f(x) = 0.
Teorema 2. Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas em [a,+∞), tais que f(x) ≥ 0,
g(x) > 0 e lim
x→+∞
f(x)
g(x
= L com L > 0. Enta˜o as integrais impro´prias∫ +∞
a
f(x)dx e
∫ +∞
a
g(x)dx comportam-se da mesma maneira, ou seja, am-
bas convergem ou ambas divergem.
Observac¸a˜o 1. Se f : [a,+∞) → R e´ uma func¸a˜o limitada, (isto e´, existe
uma constante M > 0 tal que para todo x ∈ [a,+∞), tem-se |f(x)| < M), e
lim
x→+∞
g(x) = 0, enta˜o lim
x→+∞
f(x)g(x) = 0
Observac¸a˜o 2. Seja f : [a,+∞)→ R uma func¸a˜o cont´ınua. se
∫ +∞
a
|f(x)|dx
converge, enta˜o
∫ +∞
a
f(x)dx tambe´m converge.
1. Analise a convergeˆncia das integrais impro´prias abaixo:
(a)
∫ +∞
0
e−xcos(x)dx
(b)
∫ +∞
0
x2
1 + xln(x)
dx
1
(c)
∫ +∞
−∞
1
4 + x2
dx
(d)
∫ ∞
2
1
(x2 − 1)dx
(e)
∫ 2
1
1
(1− x)dx
(f)
∫ ∞
0
1√
x(x+ 4)
dx
(g)
∫ ∞
1
e
1
x
(x2)
dx
(h)
∫ 1
0
ln(x)dx
(i)
∫ ∞
0
1√
x
ln(x)dx
(j)
∫ ∞
0
e−xsen4(x)dx
(k)
∫ ∞
1
1
x4 + 2x+ 1
dx
(l)
∫ ∞
2
1
x2ln(x)
dx
(m)
∫ ∞
1
x2 + 1
x3 + 2x+ 1
dx
2. Sabendo-se que
∫ ∞
0
sen(x2)dx =
√
2pi
4
, calcule
∫ ∞
0
sen(x)√
x
dx.
3. Mostre que a integral
∫ ∞
5
cos2(x)
x3
converge.
4. Mostre que a integral
∫ ∞
5
cos(5x)
x3
converge.
5. Calcule o volume do so´lido obtido ao girarmos o gra´fico de f(x) = x3
em torno do eixo x no intervalo de 1 ate´ 2.(R : 127pi
7
)
2
6. Calcule o volume do so´lido obtido ao girarmos em torno do eixo y a
regia˜o delimitada pelo gra´fico de y = x2, x = 0 e y = 4 com x ≥ 0.(R :
8pi)
7. Calcule o volume do so´lido obtido ao girarmos em torno do eixo x a
regia˜o delimitada pelos curvas y = x2 e y = x+ 2.(R : 72pi
5
)
8. Calcule o volume do so´lido obtido ao girarmos em torno da reta x = 6
a regia˜o delimitada pelos curvas y2 = 4x e x = 4.(R : 768pi
5
)
9. Calcule o volume do so´lido cuja base e´ um c´ırculo de raio 2, se todas
as sec¸o˜es de corte perpendiculares a um diaˆmetro fixo da base forem
quadrados.(R : 128
3
)
10. Calcule o volume do so´lido ao girarmos o gra´fico de f(x) = 2 + 2cos(x)
em torno do eixo y no intervalo de 0 a pi.
11. Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o em torno do eixo dos x da
regia˜o sob o gra´fico da func¸a˜o f(x) = sec(x), no intervalo [pi
4
, pi
3
].
12. Em uma esfera de raio 1 foi cavado um buraco cil´ındrico, cujo eixo de
simetria e´ um diaˆmetro ma´ximo da esfera. Calcule o volume obtido da
esfera menos o cilindro, sabendo que o raio do cilindro 1
2
.
13. Uma cunha e´ cortada do cilindro x2 + y2 ≤ 1 pelos planos z = 0 e
z = y. Calcule o volume da cunha.
14. Encontre o comprimento do arco de para´boloa y = x2 no intervalo de
0 ate´ 1.
15. Encontre a a´rea da superf´ıcie obtida pela revoluc¸a˜o da curva y =
√
x
entre x = 1 e x = 4 em torno do eixo x. Trace a curva e a superf´ıcie.
16. Calcule a a´rea do cone de raio da base r e de altura h.
17. Encontre a a´rea da superf´ıcie obtida pela revoluc¸a˜o da curva f(x) = x
2
2
,
no intervalo [0, 2].
18. Encontre a a´rea da superf´ıcie obtida pela revoluc¸a˜o da curva f(x) = ex,
no intervalo [0, 1].
3