aulas teoria da probabilidade

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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
AULA: PROBABILIDADE 
Prof.ª Larisse Pinheiro Schmid 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ – UFPI 
CAMPUS PROF.ª CINOBELINA ELVAS – CPCE 
CURSO DE ZOOTECNIA E ENGENHARIA AGRONÔMICA 
Bom Jesus, 26 de setembro de 2018. 
Teoria da probabilidade 
Obtenção de 
resultados 
Teoria da 
probabilidade 
Dados de uma amostra: variáveis aleatórias. 
Probabilidade 
• Inúmeros modelos probabilísticos podem ser 
usados para modelar a ocorrência à 
distribuição e facilitar a compreensão de como 
os eventos aleatórios ocorrem. 
• A inferência estatística usa esses modelos e 
suas propriedades para formular as principais 
teorias utilizadas em pesquisas. 
• Espaço amostral (Ω): conjunto de todas as 
possíveis formas de ocorrer um determinado 
fenômeno. Exemplo: lançamento de uma 
moeda – espaço amostral (cara, coroa). 
• Evento: é a representação de um subconjunto 
do espaço amostral. Exemplo: moeda – dois 
eventos, dado – seis eventos. 
Variável aleatória 
Uma função que associa a cada elemento do 
espaço amostral um número real. 
Variáveis 
• Qualitativa (ou categórica): são características que não possuem 
valor numérico, são definidas por categorias; 
- a. Nominais: não existe ordenação dentro das categorias. Ex.: 
sexo, cor dos olhos, doente/sadio. 
- b. Ordinais: existe uma ordenação dentro das categorias. Ex.: 
escolaridade (1º, 2º, 3º), mês de observação (jan, fev, mar, etc.) 
• Quantitativa: variáveis que podem ser medidas em escala 
quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos. 
- a. Discretas: podem assumir apenas um número finito ou infinito, 
contável de valores (somente valores inteiros). Ex.: nº de filhos, 
nº de bactérias por litro de leite, º de cigarros fumados por dia. 
- b. Contínua: assumem valores em uma escala contínua (valores 
fracionais fazem sentido). Ex.: peso, altura, pressão arterial. 
Probabilidade de ocorrência de um 
evento 
“a” maneiras de ocorrer 
“n” modos possíveis 
 
 P = 
𝒂
𝒏
 
Exemplo: 
• Nascimento de fêmeas em uma leitoada de 
tamanho 3. 
- Qual a probabilidade de nascer duas fêmeas? 
- E nenhuma fêmea? 
Variáveis aleatórias e distribuição de 
probabilidades 
• Variáveis aleatórias discretas 
 
 
 
• Variáveis aleatórias 
contínua 
Variável X = {X1, X2,...,Xn} 
P = {p1, p2,..., pn} 
∑pi=1 ou 100% 
Distribuição de probabilidade discreta 
• Distribuição binomial 
Sucesso = p 
Fracasso = q = (1-p) 
P(X=x)=𝑪𝒏
𝒙 .𝒑𝒙.𝒒𝒏−𝒙 
 
𝐶𝑛
𝑥 = 
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
 
µ=n.p σ2𝑥 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 = 𝑛. 𝑝. (1 − 𝑝) 
Exemplo 
• Nascimento de dois bezerros considerando o 
sucesso a ocorrência de fêmeas. Qual a 
probabilidade de nascer duas fêmeas? Uma 
fêmea? Nascer pelo menos uma fêmea? 
• Distribuição de Poisson 
Distribuição de uma variável X que mede a 
ocorrência de elementos por unidade de tempo, área 
ou espaço. 
Exemplo: planta de uma determinada espécie por unidade 
de área; formigueiros por talhão; doença por unidade de 
tempo. 
 
Pré-requisito: n≥50 e p≤0,10. 
Quando n é grande tendendo ao ∞ e p é pequeno tendendo a 
zero. 
Distribuição de probabilidade discreta 
Distribuição de Poisson 
Função de densidade 
 P(X=x)= 𝒆−𝒌. 
𝒌𝒙
𝒙!
 
 
Função de distribuição de Poisson 
 F(x)= P(X≤x)= 𝒆−𝒌𝒙𝒕=𝟎 .
𝒌𝒕
𝒕!
 
K=n.p 
µ=σ𝒙𝟐=K=n.p 
Exemplo 
• 2% de um rebanho são infectados com uma doença. 
EM um rebanho de 100 animais, pergunta-se, qual a 
probabilidade de ocorrer: 
a) Nenhuma animal doente? 
b) 1 animal doente? 
c) 2 animais doentes? 
d) Mais de 3 animais doentes? 
 
CONTINUAÇÃO... 
Probabilidade 
• Chance real de ocorrer um determinado evento, 
ou seja, a chance de ocorrer uma medida em um 
determinado intervalo. 
 
• A frequência relativa desse intervalo, observada a 
partir de uma amostra de medidas, é a 
aproximação da probabilidade. 
 
• A distribuição de frequências é a aproximação da 
distribuição de probabilidades. 
Propriedades da probabilidade 
1. 0≤ P(x)≥1, para qualquer evento x; 
2. P(Ω)=1; 
3. P(ᴓ)=0; 
 
4. P 
 
5. Se Ǡ for o evento complementar de A, então 
P(A)= 1 – Ǡ. 
 
 
Distribuição normal 
• Função densidade 
 f(x)=
1
2πσ2
 . 𝑒
−
(𝑥−µ)2
2σ2 
Características de uma distribuição normal 
i) Simétrica em relação a µ; 
ii) Tem forma de sino 
iii) Completamente definida sabendo-se a média 
e a variância; 
iv) É assintótica em relação a abscissa; 
v) Área total sob a curva é igual a 1. 
• Quando µ e σ são desconhecidos, esses valores 
são estimados por X e s, respectivamente, a 
partir da amostra em que: 
 
 
Distribuição normal 
• Para cada valor de µ e/ou σ temos uma curva 
de distribuição de probabilidade. 
• Mas e para se calcular áreas específicas? 
“Distribuição normal reduzida ou 
padronizada ou Standartizada” 
 
Distribuição normal reduzida ou 
padronizada 
• (σ= 1 e µ=0) 
• Se X pertence N(µ;σ), então a V.A. Z definida 
por: 
Z = 
𝑋−µ
σ
 , tem distribuição normal padronizada. 
 
Sabe-se que a probabilidade de X estar entre dois 
valores quaisquer (a,b) é dada pela área sob a 
curva normal entre esses dois valores. 
Exemplo: 
• Tendo coelhos híbridos, assumindo-se 
distribuição normal dos pesos, tem-se que 
µ=2,584 e S= 0,0675. Qual a probabilidade de 
ocorrer um animal pesando mais que 2,701 kg? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema da soma 
• P (A U B)= P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 
• P(A U B)= P(A) + P(B) 
 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado. 
A = sair o número 5 
B = sair um número par 
C = sair um número ímpar 
Determinar: Ω, P(A), P(B), P(C), P(A U B), P(A U 
C) e P(Ǡ). 
 
A e B Mutuamente exclusivos 
Probabilidade condicional 
• Existem situações em que a chance de um 
evento acontecer depende do resultado de 
outro evento. A probabilidade condicional de A 
dado pode ser determinada por: 
 
 P( A | B) =
P (A ∩ B)
𝑃 (𝐵)
 
 P(B) > 0 
Exemplo 
Uma amostra de 500 alunos, perguntou-se: você gosta da 
disciplina de Estatística? 240 homens responderam, 140 
disseram que sim. 260 mulheres, 200 responderam sim. Qual a 
probabilidade que um aluno escolhido seja: 
a) Um homem (H) 
b) Gostou da disciplina (G) 
c) Uma mulher (M) 
d) Não gostou da disciplina (NG) 
e) Seja uma mulher ou gostou da disciplina – P(M U G)] 
f) O aluno gostou da disciplina. Probabilidade que seja 
homem – P (H | G) 
g) O aluno é uma mulher. Probabilidade que não gostou da 
disciplina – P (NG | M) 
 
 
Teorema do produto 
• Da probabilidade condicional podemos retirar o 
teorema do produto, que nos permite calcular a 
probabilidade de ocorrência simultânea de dois 
eventos. 
• Sejam A e B dois eventos de Ω, a probabilidade 
de A e B ocorrerem juntos é dada por: 
 P(A∩B) = P(A) . P (B | A), com P(A) > 0 
Ou 
P (A ∩B) = P(B). P (A | B), com P(B) > 0 
Exemplo: 
• Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. 
Duas são retiradas, uma após a outra, sem 
reposição. Qual a probabilidade de que ambas 
sejam boas? 
Probabilidade independente – 
Independência estatística 
• Dois eventos são independentes quando a 
ocorrência de um não influencia na ocorrência 
de outro. 
• Dois eventos são ditos independentes se: 
 
 P (A ∩ B)= P(A) . P(B) 
• Dois eventos são independentes quando a 
ocorrência de um não altera a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
 
 P(A∩B) = P(A). P(B) 
Exemplo: 
• Lote com 10 peças, sendo 7 boas(B) e 3 
defeituosas (D). Retira-se duas peças, ao acaso 
e com reposição para inspeção. 
• Qual a probabilidade de se obter duas peças 
defeituosas? 
Exemplo: 
• S={1,2,3,4} 
• A={1,2} 
• B={1,3} 
• C={1,4} 
Verificar se A, B e C são independentes. 
Teorema da probabilidade total 
Exemplo: 
• Uma caixa I contém 2 fichas verdes e 3 fichas 
vermelhas. Uma segunda caixa II contém 4 
fichas verdes e 3 vermelhas. Escolhe-se ao 
acaso, uma caixa e dela retira-se também ao 
acaso uma ficha. Qual a probabilidade de que a 
ficha retirada seja verde? 
Exemplo: 
• Um estabilizador pode provir de três 
fabricantes I, II e III com probabilidades de 
0.25, 0.35 e 0.40, respectivamente. As 
probabilidades de que durante determinado 
período de tempo o estabilizador não funcione 
bem são, 0.10, 0.05 e 0.08 para cada um dos 
fabricantes. Qual a probabilidade de que um 
estabilizador escolhido ao acaso não funcione 
bem durante um período de tempo 
especificado. 
Teorema de Bayers 
• Considere B1, B2,..., Bn eventos mutuamente 
exclusivos - partição Ω 
• P(Bi)= conhecidas dos vários eventos 
• A um evento qualquer Ω 
• Conhecidas todas as probabilidades 
condicionais. 
Exemplo: 
• Considerando o exemplo das fábricas. Dado o 
estabilizador escolhido ao acaso não funciona 
bem durante o período de tempo especificado, 
qual a probabilidade de que ele tenha sido 
produzido pelo fabricante I, isto é P(A|CI)). 
Esperanças matemáticas 
• A média de uma variável aleatória X recebe o 
nome de valor esperado ou esperança matemática 
de X: 
E(x)= 𝑥𝑖𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑠𝑒 𝑋 é 𝑢𝑚𝑎 𝑣. 𝑎. 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎;
𝑛
𝑖 
E(x)= 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑒 𝑋 é 𝑢𝑚𝑎 𝑣. 𝑎. 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎
∞
−∞
 
Exercícios 
Três cartas são retiradas sucessivamente de um baralho, 
sem reposição. Calcule a probabilidade de que o evento 
A1 ∩ A2 ∩ A3 ocorra, sabendo-se que A1 é o evento da 
1ª carta ser um ás vermelho, A2 é o evento da 2ª carta 
ser um 10 ou um valete e A3 é o evento da 3ª carta ser 
maior do que 3 mas menor do que 7.