1° lista de limites

Prévia do material em texto

“O trabalho é sempre digno”
1
	
	Engenharia
	
	Prof. Antunes Mendes
	
	Cálculo I – 1° Lista de exercícios de limite
	
Cálculo I
 
- Funções
	
	
	
	
Cálculo I
 
- Funções
	
	
	
Limite de uma Função de uma variável real
Limite de uma variável
 A idéia de uma variável aproximando-se de um valor limite aparece de forma clara quando se procura estabelecer a fórmula que representa a área de um círculo.
 Assim, considerando a área de um polígono regular de “n” lados inscrito no círculo, vemos que a medida que “n” cresce, a área do polígono se aproxima da área do círculo.
 Fazendo “n” crescer indefinidamente, a área do polígono tende a um limite e este é definido como a área do círculo.
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para |x - x0| <δ  , se tenha |f(x) - L | <ε , para todo x x0 . 
Indicamos que L é o limite de uma função f(x) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = Lx x0
O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:
a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando, x x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x 3.
Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2-9 = (x+3)(x-3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x δ 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3. 
b) o limite de uma função y = f(x), quando x x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).
c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite de f(x) quando x x0 .
d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite da função f(x) para x x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a função f(x) é Contínua no ponto x0 .
e) já vimos à definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0, ou x x0 . Se x tende para x0, para valores imediatamente inferiores a x0, dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0, para valores imediatamente superiores a x0, dizemos que temos um limite à direita da função. 
Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x x0.
 Se f(x) → b quando x → a, no gráfico de y = f(x) se interpreta:
LIMITES LATERAIS
	Notação
	Significação intuitiva
	Interpretação gráfica
	
(limite mínimo)
	Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x suficientemente próximo de a e x<a
	
	
(limite máximo)
	Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x suficientemente próximo de a e x>a
	
TEOREMA DOS LIMITES LATERAIS
				=
	O teorema nos diz que o limite de f(x), quando x se aproxima de a, existe se e somente se ambos os limites laterais existem (direito e esquerdo) e são iguais.
1) Esboce os gráficos da função f definida por: e determine , e 
2) Esboce os gráficos da função f definida por: e encontre , 	 e .
3) Esboce os gráficos da função f definida por: e determine , e .
4) Determine o limite de .
5) Determine o limite de .
6) Seja f definida por . Determine , e e esboce o gráfico da função.
7) Observe o gráfico abaixo e determine o que se pede:
Respostas:
 Propriedades Operatórias dos Limites: Sejam f(x) e g(x) funções limitadas
P1) onde A constante
P2) 
P3) 
P4) 
P5) 
P6) 
P7) 
P8) 
P9) 
P10) Conseqüência das Propriedades: O Limite da Função Polinomial: quando x tende a a é igual a f(a).
Calcule os seguintes limites, usando as propriedades.
a) 			h) 			p) 
b) 		i) 			p) 
c) 		j) 		r) 
d) 		l) 			s) 
e) 		m)		 		t) 
f) 		n)		u) 
g) 		o) 	v) 
									
Respostas: 
a) 2 	b) 8 	c) 2 	d) 1 	e) 6	f) 4/9 	g) 10 	h) 3/2 	i) 31 	j) 7 	l) 0 	m) ¾ 	 n) 2 	o) 3	p) 1 q) 1 	r) 243 	s) 5 	t) 0 	u) 1 	v) 3/2
Calcule os seguintes limites:
a) 		g) 			n)	
b) 		h) 			o) 
c) 		i) 		p) 
d) 		j) 		q) 
e) 	l) 	 	r) 
f) 		m) 		s) 
Respostas: 
a) 4 	b) -64 		c) -81 	d) 3 	e) -40 	f) -1 	g) -7 	h) -6 	i) 0 	j) 11 	l) 0 	m) 0 	n) -1 	o) 1 
p) -19 q) -78125 	r) 625 s) 0
Limites indeterminados: Para eliminarmos a indeterminação de um limite devemos, geralmente, utilizar uma das propriedades de fatoração.
Principais Produtos Notáveis
Fatoração
Calcule os seguintes limites indeterminados:
a) 				e) 			 i) 
b) 				f) 		j) 
c) 				g) 			 l) 
d) 				h) 			m)
Respostas: a) 6 b) 14 c) 1/10 d) -1/3 e) 0 f) 0 g) 0 h) -2 i) 1 j) -1 l) 0 m) ¼
Calcule os seguintes limites indeterminados:
a) 			e) 			i) 
b) 			f) 		j) 
c) 			g) 		 l) 
d) 			h) 		m)
Respostas: a) -8 b) 16 c) 1/18 d) -1/7 e) 0 f) 0 g) 0 h) 1 i) 1 j) 1 l) -6 m) 1/22
Calcule o limite, se existir:
Calcule o limite, se existir:
 		R: - 5 
 	 R: 1 
 	 R: 
 	 R: 4 
 	 R: 
f) 	 	 R: 
g) R: 6
h) 		 R:0 
i) 	 R: 2
Limites envolvendo infinito
   Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
    Exemplo:
a)    , ou seja, à medida que x aumenta,  y tende para zero e o limite é zero.
b)    , ou seja, à medida que x diminui,  y tende para zero e o limite é zero. 
c)    , ou seja, quando  x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d)    , ou seja, quando x  tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito
 
Limite de uma função polinomial para 
    Seja a função polinomial . Então:
	
    Demonstração:
     
    Mas:
    
    Logo:
    
    De forma análoga, para , temos: 
	
    Exemplos:
    
Tabela de indeterminações
	
	
	
	
	simbolicamente
	±∞
	±∞
	f+g
	±∞
	±∞∙±∞=±∞
	+∞
	+∞
	f-g
	+∞-∞
	indeterminação
	+∞
	k
	f+g
	+∞
	+∞+k=+∞
	-∞
	k
	f+g
	-∞
	-∞+k=-∞
	+∞
	+∞
	f ∙ g
	+∞
	+∞∙+∞=+∞
	-∞
	+∞
	f ∙ g
	-∞
	+∞ ∙ -∞=-∞
	+∞
	k > 0
	f ∙ g
	+∞
	+∞ ∙ k=+∞, k>0
	+∞
	k < 0
	f ∙ g
	-∞
	+∞ ∙ k=-∞, k<0
	±∞
	0
	f ∙ g
	±∞ · 0
	indeterminação
	k
	±∞
	f / g
	0
	k / ±∞ = 0
	±∞
	±∞
	f / g
	±∞ /±∞
	indeterminação
	k > 0
	0+
	f / g
	+∞
	k / 0+= +∞
	+∞
	0+
	f / g
	+∞
	+∞ / 0+ = +∞
	k > 0
	0-
	f / g
	- ∞
	k / 0-= - ∞
	+∞
	0-
	f / g
	-∞
	+∞ / 0- = -∞
	0
	0
	f / g
	0/0
	indeterminação
Calcule os limites laterais:
a) 				b) 
c) 				d) 
e) 				f) 
g) 				h) 
i) 				j) 
Respostas: a. ∞ b. - ∞ c. - ∞ d. ∞ e. ∞ f. - ∞ g.∞ h. - ∞ i. - ∞ j.- ∞
Calcule os valores dos seguintes limites infinitos:
a) 		f) 			 j) 
b) 		g) 			 l) 
c) 		h) 		m) 
d) 		i) 		n) 	
e) 
Respostas: a) 12 b) -8/7 c) 1 d) -1 e) -5/6 f) -5 g)∞ h)∞ i)∞ j)-∞ l)∞ m)0 n) -∞
Calcule os valores dos seguintes limites infinitos:
a) 			f) 			l) 
b) 		g) 			m) 
c) 		h) 		n) 
d) 		i) 		o) 		
e) 		j) 			
Respostas: a) 6 b) 4/7 c) 4 d) 1/3 e) ½ f) -1/3 g) ∞ h) -∞ i) ∞ j) -∞ l) ∞ m) 0 n) -∞ o) -∞
Calcule os valores dos seguintes limites infinitos:
Respostas: a) 1/3 b) 0 c) d) 1/3 e) 0 f) 0 g) 5/4 h) 0 i)0 j)1 l)0 m) 0 
Limites de funções racionais:
Caso 1) x a
Exemplos 
a), que é uma indeterminação. Porém podemos fatorar o numerador de forma a obter:. 
Note que a expressão original e a expressão fatorada apresentam os mesmos resultados numéricos, porém domínios diferentes. O domínio da função original é o válido!
b) Como x se aproxima de quatro pela direita, os valores do denominador serão sempre positivos, ou seja .
Caso 2) x ±∞
c) Vamos dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de x, x3 no caso, obtendo:
Caso 3) Razões entre polinômios para x ±∞, procedimento geral
Colocando xn e xm em evidência no numerador e denominador da função, temos
d) 
Caso 4) Limites envolvendo radicais
A técnica é semelhante à empregada no Caso 1, lembrando que 
e) 
Note que neste caso, como , os valores de x são positivos e . Se o limite acima fosse em , então e o limite seria . 
1
16
	
17