Lista de exrcícios de derivadas

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Engenharia
	
	Prof. Antunes Mendes
	
	Cálculo I – 2° Lista de exercícios de derivada
“O trabalho é sempre digno”
DERIVADA 
TABELA DE DERIVADAS
	FUNÇÃO
	DERIVADA
	
	FUNÇÃO
	DERIVADA
	 
c = constante
	 
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	 y = cf
	 y’ = 
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Calcule, pela definição, a derivada das seguintes funções:
�
a) 
	
b) 
	 
c) 
 
d) 
e)
�
Calcule, pela definição, a derivada das funções nos seguintes pontos:
�
a) 
 e 
b) 
 e 
c) 
 e 
d) 
 e 
e) 
 e 
f)
 e 
g) 
 e 
h) 
 e 
�
�
Dada a função 
, verificar se existe 
. Esboçar o gráfico.
Dada a função 
, verificar se existe 
. Esboçar o gráfico.
Mostre que a função 
 não é derivável em x = 0.
Mostre que a função 
 não é derivável em x = 1. Esboce o gráfico de f.
Seja 
.
Mostre que f é derivável em x = 1 e calcule 
.
Esboce o gráfico de f. 
Seja 
.
Esboce o gráfico de f. 
f é derivável em x = 0? Em caso afirmativo, calcule 
. 
Seja 
.
Esboce o gráfico de f. 		b) f é derivável em x = 1? Por quê? 
�
�
Nos exercícios de 10 a 43, Calcule f ’(x), onde:
�
�
�
Nos exercícios de 44 48, determine a equação da reta tangente em 
 sendo dados:
�
 e 
 e 
 e 
 e 
 e 
�
Determinar a equação da reta tangente à curva 
, que seja paralela à reta 
.
Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva, 
 no ponto 
.
Encontrar a equação da reta tangente à curva 
, que seja perpendicular à reta 
.
Encontre a equação da reta tangente à curva 
no ponto de abscissa x = –1.
Encontrar a equação da reta normal 
 no ponto de abscissa x = 2.
Dada a função 
, encontrar 
.
Seja 
, a e b constantes. Mostrar que se 
 então 
, mas 
 e 
.
Dada as funções 
 e 
, determinar A e B de tal forma que 
De um balão a 150 m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância S(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos, é dada por 
. Determinar a velocidade do saco de areia:
 a) Quando t = 2 segundos. b) No instante em que ele toca o solo. 											
Um projétil é lançado do solo com uma velocidade inicial de 112 m/s. Após t segundos, sua distância do solo é de 
 metros. 
a) Encontre a velocidade do projétil para t = 2 e t = 5.
b) Encontre a velocidade no momento em que ele toca o solo.
c) Encontre a aceleração do projétil para t = 1 e t = 4.
d) Encontre a aceleração no momento em que ele toca o solo.
Um atleta percorre uma pista de 100 m de modo que a distância S(t) percorrida após t segundos é dada por 
 metros. Determine a velocidade do atleta.
a) no início da corrida. b) quando t = 5 segundos. c) na reta final. 
Um balão meteorológico é solto e sobe de modo que sua distância S(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vôo é dada por 
, na qual S(t) é contada em metros e t em segundos. 
a) Determine a velocidade do balão quando t = 4 e t = 9.
b) Determine a velocidade do balão no instante em que ele está a 50 metros do solo.
c) Determine a aceleração do balão quando t = 2 e t = 7.
d) Determine o instante em que a aceleração é de 13 m/s2.
Uma bola desce um plano inclinado de modo que a distância (cm) que ela percorre em t segundos é dada por 
 para 
. 
a) Determine a velocidade da bola em t = 2 segundos.
b) Em que instante a velocidade é 30 cm/s?
c) Determine a aceleração da bola em t = 1 segundos.
d) Determine o instante em que a aceleração é de 8 cm/s2.
O volume V (em m3) de água em um pequeno reservatório durante o degelo da primavera é dado por 
 para t em meses e 
. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é a taxa de fluxo para o reservatório. 
a) Encontre a taxa de fluxo nos instantes t = 0 e t = 2.
b) Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11.250 m3?
A lei de Boyle para os gases confinados afirma que se a temperatura permanece constante, então 
, onde P é a pressão, V o volume e C uma constante. Suponha que no instante t (minutos) 
 para 
. Determine a taxa na qual o volume varia em relação ao tempo quando t = 5 minutos.
 Uma frente fria aproxima-se de Itumbiara. A temperatura é T graus após, t horas, a meia noite e 
. Ache a taxa de variação de T em relação a t às 4 horas.
A função horária do movimento de uma partícula é dada por 
. Calcule a velocidade desta partícula nos instantes 
 e t = 1.
 A cidade de Rio Verde é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por
. Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? E para t = 8?
Pressão sanguínea Quando o sangue se move do coração para as grandes artérias, destas para os capilares e dos capilares para as veias, a pressão sistólica diminui progressivamente. Considere uma pessoa cuja pressão sistólica P (em milímetros de mercúrio) é dada por
 
Onde t é o tempo em segundos após o sangue deixar o coração. Qual é a taxa de variação da pressão sistólica oito segundos após o sangue deixar o coração?
Nos exercícios 68 a 104, utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
�
 
 
 
 
�
�
Calcule 
, se 
.
Calcule 
, se 
.
Dada 
, calcular 
.
Mostre que a função 
 satisfaz a equação 
.
Mostre que a função 
 satisfaz a equação 
.
Mostre que a função 
 satisfaz a equação 
.
Uma torneira lança água em um recipiente, sendo o volume da água no instante t igual a 
, V(t) em m3 e t em horas. 
		a) Calcule a vazão em um instante t
		b) Sabendo que em certo instante a vazão é de 
 , determine este instante.
Nos exercícios 112 a 119, calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
�
�
 ; n = 5.
; n = 3.
 ; n = 2.
 ; n = 4.
; n = 4.
 ; n = 3.
 ; n = 2.
; n = 2.
�
Nos exercícios 89 a 109, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de f(x):
�
�
Antomar produz semanalmente doce de leite em sua fazenda e vende, cada embalagem, a um preço unitário de R$ 13,00, obtendo uma receita 
. Estima-se que o custo total C (x) para produzir e vender x unidades é dado por 
. Sabe-se que o lucro total, semanalmente, é dado por 
, em que 
 é o lucro total, 
 é a receita total e 
 é o custo total da produção. Suponha que toda produção seja vendida para os professores do IFET, determine: 
A quantidade x que deverá ser produzida para se ter lucro máximo.
O lucro máximo do Antomar com a venda de doces. 
Um fabricante de computadores estima que o custo semanal para fabricar x computadores é dado por 
. Cada computador é vendido por R$ 2800,00.
Qual é a produção semanal para que o lucro seja máximo?
Qual o lucro máximo semanal possível?
Gabriela pensando em seu futuro, resolveu investir suas economias em ações da Petrobrás. O preço de uma ação da Petrobrás na Bolsa de Valores, em função do tempo t decorrido após sua compra, é dado por: 
, onde t é dado em anos e P(t) em reais. Determine a melhor ocasião (após a compra) para a Gabriela vender suas ações e ter um bom lucro.O custo total 
da produção de x toneladas de um produto, em reais, é dado por 
. Suponha que a empresa possa vender tudo o que produz, determinar o lucro máximo que pode ser obtido, se cada tonelada do produto é vendida por R$ 21,00.
Um estudo de eficiência revela que um operário que chega para trabalhar às 8h produziu 
 unidades. Em que instante a produtividade do operário é máxima?
A projeção revela que daqui a t anos a população do bairro Canaã será 
mil habitantes. Em que instante a taxa de crescimento da população será máxima?
A expressão para a carga que entra no terminal de um elemento é: 
. Sabendo que 
, determine se a corrente que entra no terminal atinge valor máximo ou mínimo. Qual o instante que isto ocorre? 
Com o auxílio da regra de L’Hospital, nos exercícios de 148 à 170, calcule os limites: 
�
 
 
 
 
 
�
Calcule a derivada
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
 
h) 
i) 
constante
j) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
�
RESPOSTAS
a) –5 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
a) 9 b) 8 c) 
 d) –20 e) –29 f) 
	 g) 
	h) 
�
?
?
?
?
?
?
?
�
____________________________________________________________________________________
�
3
0
�
____________________________________________________________________________________
�
 e 
?
A
a) –19,6 b) –54,2
 a) 92,4 e 63 b) –111,9 c) –9,8 d) –9,8
 a) 8 b) 10 c) 12
 a) 10 e 20 b) 13,4 c) 2 d) ñ existe
a) 36 b) 1,8 c) 18 d) 0,1666
 10.000 e 30.000 b) 15.000 
 –2,66
 –3,2
 a) 
 b) 
 48 e 0
–0,379 �
�
________________________________________________________________________�
�
			
	
�
_____________________________________________________________________________________
�
�
?
?
?
a) 
	b) 
0 
�
____________________________________________________________________________________
�
–1min 
 2/3 min e –2 máx
1 min e –7 máx
2 máx
1 min e 2?
0,78 min e 2,55 máx
4/3 min e 0 máx
4 min e 0 máx 
3 min e –3 máx
1/3 min e –1 máx
 –1/2 min e 2 máx
–1 min e 1 máx
0 e 2 min; –1 e 1 máx
0,56 e 3,56 min; 0 máx
–1/2 min
0 max
–1 min
Não
 –1 min e 0 max
0 max
–2 min e –1/2 max
�
_____________________________________________________________________________________�
a) 3 b) 25
a) 32 b) 61964
4 anos
289,7
13 horas
8 anos
t = 27,18 e 
�
_____________________________________________________________________________________
�
0	
1
1
0
 
0
 
0 
0
1
0
0
0�
171) a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
 
h) 
i) 
j) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
�
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