Lajes de concreto (Parte 2-A) - Alunos.pdf

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Concreto Armado I
Lajes de Concreto (Parte 2-A)
► Observação complementar para a condição de 
contorno entre lajes
● Nas plantas de forma de estruturas existem algumas 
convenções para a numeração dos elementos 
estruturais, como o caso das lajes.
● A numeração das lajes deve ser feita da
esquerda para a direita e de cima para baixo.
● Deve-se identificar as lajes, L1, L2, L3, etc., com seus 
respectivos números e indicação de espessura. De 
preferência, a numeração deve ser colocada próxima do 
centro de cada laje. 
► Estimativa de cargas atuantes nas lajes
As cargas atuantes nas lajes são de natureza 
permanente (g) e de natureza acidental (q).
Os valores dessas cargas são indicadas pela norma de 
cargas para o cálculo de estruturas, NBR-6120.
As cargas de natureza permanente que atuam nas 
lajes são compostas basicamente por: 
● Peso próprio da laje.
● Peso da regularização. 
● Peso do enchimento.
● Peso do revestimento. 
● Peso dos elementos construtivos fixos. 
● Peso das instalações permanentes, entre outras.
Esquema das camadas do piso
As camadas que compõem o piso são representadas 
por:
Onde:
● hrev� Espessura de revestimento.
● hreg � Espessura de regularização.
● hlaje� Espessura da laje.
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Peso específico dos materiais
● Concreto armado � 25 kN/m3
● Concreto simples � 24 kN/m3
● Alvenaria de tijolos furados � 13 kN/m3
● Alvenaria de tijolos maciços � 18 kN/m3
● Argamassa (cimento e areia) � 21 kN/m3
● Cerâmica � 18 kN/m3
● Ipê, angico, cabriúva � 10 kN/m3
As cargas de natureza acidental que atuam nas lajes 
são provenientes de pessoas, móveis, veículos, etc. A 
seguir, apresentam-se alguns valores indicados pela 
NBR-6120: 
● Edifícios residenciais:
- Dormitório, sala, copa, cozinha, banheiro � 1,5 kN/m2
- Despensa, área de serviço, lavanderia � 2,0 kN/m2
● Escadas: 
- Com acesso ao público (área comum) � 3,0 kN/m2
- Sem acesso ao público (área privativa) � 2,0 kN/m2
● Hall: 
- Com acesso ao público (área comum) � 3,0 kN/m2
- Sem acesso ao público (área privativa) � 2,5 kN/m2
● Terraços: 
- Com acesso ao público � 3,0 kN/m2
- Sem acesso ao público � 1,5 kN/m2
- Inacessíveis à pessoas � 0,5 kN/m2
● Forros:
- Sem acesso à pessoas � 0,5 kN/m2
● Lajes em balanço: 
Nas lajes em balanço, que se destinam a sacadas, além 
das cargas permanentes e acidentais citadas, devem 
ser considerados os seguintes carregamentos: 
Onde: 
q � Carga acidental do compartimento que lhe dá 
acesso. 
H � 0,8 kN/m. 
V � 2,0 kN/m. 
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► Considerações importantes sobre cargas nas 
lajes
● Peso próprio
O peso próprio da laje maciça é considerado 
uniformemente distribuído e é calculado por:
g = h . γC A 
Onde: γC A� Peso específico do concreto armado
h � Espessura da laje
● Revestimento
Esta carga vai depender do tipo de revestimento que vai 
ser usado no piso (taco, mármore, etc.). Nos pisos 
usuais, pode-se considerar esta carga como sendo igual 
a 0,5 kN/m2.
● Cargas de paredes ���� Lajes armadas em cruz
Se as lajes forem analisadas isoladamente, as cargas 
das paredes sobre a laje (p) podem ser calculadas 
dividindo-se o peso total das paredes (PPAR) pela área 
da laje (A).
p = PPAR / A e PPAR = VPAR . γ M
Onde:
VPAR� Volume de todas as paredes sobre a laje.
γ M� Peso específico do material das paredes.
● Cargas de paredes ���� Lajes armadas em cruz ● Cargas de paredes ���� Lajes armadas em uma só 
direção
Nas lajes armadas em apenas uma direção, a parede é 
considerada distribuída em uma faixa limitada, caso a 
parede esteja na direção do menor vão (lx). Se a parede 
estiver na direção do lado maior da laje (ly), a carga da 
parede (q) é considerada linear. 
PPAR = VPAR . γ M
Onde:
PPAR � Peso total da parede.
VPAR� Volume da parede sobre a laje.
γ M� Peso específico do material da parede.
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● Cargas de paredes ���� Lajes armadas em uma só 
direção
► Princípios da análise estrutural
Segundo a norma, as estruturas de placas podem ser 
analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses:
� Manutenção da seção plana após a deformação, em 
faixas suficientemente estreitas.
� Representação dos elementos por seu plano médio. 
● Uma vez que a determinação dos esforços solicitantes 
nas lajes envolve modelos matemáticos complexos de 
cálculos de placas, é comum a utilização de processos 
simplificados que permitem a determinação dos 
esforços solicitantes nas lajes, desde que os mesmos 
atendam às prescrições da NBR-6118/2014.
► Análise dos esforços nas lajes
Após a determinação do carregamento da laje, parte-se 
para o cálculo dos esforços nela atuantes, ou seja, a 
determinação das solicitações. As lajes trabalham, 
basicamente, à flexão simples, isso quer dizer que nela 
estarão atuando momentos fletores e esforços 
cortantes. Para isso, existem alguns métodos para a 
análise de esforços nas lajes. Alguns são listados a 
seguir:
● Teoria da Elasticidade.
● Método das Linhas de Ruptura.
● Teoria das Grelhas.
● Tabelas de dimensionamento.
● Além da determinação dos momentos fletores e forças 
cortantes, determinam-se, também, as reações das 
lajes, que irão carregar as vigas.
● Para as lajes maciças apoiadas sobre vigas, 
despreza-se o esforço cortante atuante, que será 
posteriormente analisado. 
● Para o cálculo das lajes maciças só irá interessar a 
determinação dos momentos fletores e das reações 
sobre as vigas. 
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► Teoria das Grelhas (TG)
● Essa teoria é adotada sobretudo para o cálculo de 
esforços em lajes nervuradas. A idéia básica desse 
processo consiste em considerar que um painel de laje 
seja constituído de apenas duas faixas de larguras 
unitárias e ortogonais entre si, formando assim uma 
pequena grelha. 
● Para as lajes retangulares sobre quatro apoios, com 
carga uniformemente distribuída, pode-se utilizar essa 
teoria para o cálculo dos esforços, que é um processo 
rápido e simplificado.
● Essa teoria consiste em dividir a carga total (p), carga 
distribuída por unidade de área, em duas cargas lineares, uma 
para cada direção da laje (px e py). Do estudo das grelhas, sabe-
se que cada faixa é responsável por conduzir parte do 
carregamento total (p) até os respectivos apoios. Uma vez 
conhecido essa parte de carga que atua em cada faixa (px e py), 
pode-se determinar os diagramas de momento e cortante, 
conhecendo-se as condições de contorno do painel.
● A montagem do problema é conduzida com base nas seguintes 
hipóteses: 
� As faixas são independentes entre si.
� As partes de carga são constantes em cada direção.
� O carregamento é uniformemente distribuído na faixa. 
Esquema geral dos valores de carga pela TG
Valores para as flechas pela TG
● Considerando as condições de contorno em uma 
dada direção.
● Os valores de carga (p) e de comprimento (l) é para a 
direção considerada no cálculo da flecha, não para o 
carregamento total da laje, ou seja, será px e py, assim 
como lx e ly.
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Valores para momentos e reações de apoio pela TG
● Considerando as condições de contorno em uma 
dada direção.
● Os valores de carga (p) e de comprimento (l) é para a 
direção considerada no cálculo dos momentos e 
reações de apoio, não para o carregamento total da laje, 
ou seja, será px e py, assim como lx e ly.
► Tabelas de dimensionamento
● Para facilitar a determinação das solicitações nas 
lajes, foram criadas várias tabelas com uma série de 
coeficientes que levam em conta os diversos 
parâmetros utilizados no cálculo das lajes. Algumas 
tabelas se baseiam na Teoria das Grelhas e outras na 
Teoria da Elasticidade. Algumas das tabelas mais 
utilizadas são:
● Czerny (TE).
● Erturk (TE).
● Barés (TE).
● Marcus (TG + TE), entre outras.
● Nos dias atuais o uso das tabelas está sendo 
substituídopela utilização de softwares de análise 
estrutural, que tanto podem trabalhar com as tabelas 
internamente, como com o cálculo matemático mais 
preciso.
● Para o cálculo dos esforços nas lajes, ou seja, os 
momentos fletores e reações de apoio, analisaremos as 
tabelas de Czerny, que se baseiam na teoria da 
elasticidade, e as tabelas de Marcus, que se baseia na 
teoria da elasticidade e na teoria das grelhas.
► Tabelas de Czerny
● O cálculo dos esforços nas lajes, através das tabelas de 
Czerny, são representados através das tabelas a seguir:
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Continuação da tabelas de Czerny Continuação da tabelas de Czerny
Continuação da tabelas de Czerny Continuação da tabelas de Czerny
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Continuação da tabelas de Czerny Continuação da tabelas de Czerny
Continuação da tabelas de Czerny Continuação da tabelas de Czerny
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► Cálculo dos esforços nas lajes armadas em uma só 
direção e nas lajes em balanço
● A determinação das reações de apoio e dos momentos fletores 
das lajes armadas em uma só direção e das lajes em balanço
é feito de forma simplificada.
● Serão apresentadas a seguir os valores de reações de apoio, 
momentos fletores máximos positivos e negativos, assim como de 
flecha imediata para a situação de carregamento uniformemente 
distribuído.
● As situações envolvem três tipos de lajes considerando os 
casos de vinculação possíveis de existirem quando se 
consideram apenas apoios simples e engastes perfeitos. 
Lajes armada em uma só direção
Laje armada em uma direção sobre apoios simples e 
com carregamento uniforme
Flecha
imediata
Laje armada em uma direção sobre apoio simples e 
engaste perfeito com carregamento uniforme
Flecha
imediata
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Laje armada em uma direção bi-engastada com 
carregamento uniforme
Flecha
imediata
► Cálculo das solicitações nas lajes em balanço
● As lajes em balanço, como as lajes de 
marquises e varandas, são também casos típicos de 
lajes armadas em uma direção, que devem ser 
calculadas como viga segundo a direção do menor vão.
Laje em balanço armada em uma direção