Elementos de teoria de campo

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UNIVERSIDADE POLITÉCNICA APOLITÉCNICA
Instituto Superior Universitário de Tete
ISUTE
Elementos de teoria de campo
Augusto Bito Carlos 
Aristides Joel Viagem
Mateus Emílio Da Costa
Tunísio Tarcísio Augusto
Rocha Lino Júlio
 
Tete, Novembro 2018
Augusto Bito Carlos
Aristides Joel Viagem
Mateus Emílio Da Costa
Tunísio Tarcísio Augusto
Rocha Lino Júlio
Elementos de teoria de campo
	Trabalho feito por estudantes de Engenharia na cadeira de Analise matemática II, que tem como tema Elementos de teoria de campo, que serve como requisito de avaliação. 
Docente: Belchior Miguel.
Tete, Novembro 2018
Introdução
O presente trabalho da cadeira Analise Matemática II, visa abordar “Elementos de teoria de campo” o objectivo desse trabalho é de explicar com clareza, objectividade, os capítulos apresentados, para melhor compreensão inclui-se exemplos para cada título, e alguns exercícios propostos. A metodologia utilizada foi a pesquisa bibliográfica que esta inclusa no fim deste trabalho.
Gradiente
No cálculo vectorial o gradiente (ou vector gradiente) é um vector que indica o sentido e a direcção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vectorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vector gradiente para a grandeza em consideração. 
O módulo do vector gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direcção e sentido do vector gradiente (deslocamentos infinitesimais). 
O campo vectorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direccionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial eléctrico determina-se o campo eléctrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado. 
Ex: ∇= distância vertical/ distância horizontal= Gradiente. O símbolo ∇, isto é, nabla é uma representação do gradiente. 
O vector gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar é determinado via ênupla ordenada definida por:
ou, via notação de soma de Euler, por:
onde e ^ i {\displaystyle {\hat {e}}_{i}} são os vectores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e ∂ ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}} representa o respectivo operador derivada parcial. 
Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo factor implicam somatório, para o campo escalar :
O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:
No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:
O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.
Exemplo
Para a função escalar
tem-se, na base cartesiana i ^ , j ^ , k ^ {\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}}
que fornece por resposta a ênupla
ou explicitamente
para qualquer ponto definido pelas coordenadas ( x , y , z ) {\displaystyle \left(x,y,z\right)}, restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.
Expressões
Para todo campo escalar f {\displaystyle f} diferenciável em função do espaço cartesiano r → = ⟨ x , y , z ⟩ {\displaystyle {\vec {r}}=\left\langle x,y,z\right\rangle } temos que:
O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:
Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:
Propriedades
Linearidade
O gradiente é linear: 
Onde é um corpo constante.
Lei de Leibniz
O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:
E na divisão:
Ortogonalidade às curvas de nível
O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja f ( x , y ) {\displaystyle f(x\,,y)} uma função definida em D ⊂ R 2 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} e diferenciável em todo seu domínio.
Seja o conjunto onde x e y são funções de um parâmetro t tal que x ( 0 ) = x 0 , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}} .
Então, temos:
 (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)
A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0}\,,y_{0})} , logo os dois são perpendiculares entre si.
Teorema do gradiente
O gradiente é revertido pela integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:
Derivada direccional
A derivada direccional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo,u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} ). Analiticamente, a derivada direccional de dada (função escalar), é a taxa de variação instantânea de em relação à distância na direcção e sentido .
Assim, podemos tirar algumas observações a partir do produto escalar entre o gradiente de f e o versor :
Se o ângulo entre os vectores ∇ → f {\displaystyle {\vec {\nabla }}f} e u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} , denotado por θ, for igual a zero. Então teremos que a derivada direccional é máxima, e será igual ao módulo do gradiente de , já que:
| D u ^ f | = | u ^ | | ∇ → f | c o s ( 180 ) = D u ^ f | m i n = − | ∇ → f | {\displaystyle \quad |D\!_{\hat {u}}\,f|=|{\hat {u}}||{\vec {\nabla }}f|cos(180)=D_{\hat {u}}\,f|_{min}=-|{\vec {\nabla }}f|} 
Se o ângulo θ for igual a 180°, então a derivada direccional terá seu valor mínimo e igual a menos o módulo do gradiente de :
Se representar uma curva de nível em que , onde é uma constante, e se o vetor u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} for tangente à tal curva de nível, então o valor da derivada direccional é nula, pois será perpendicular a , e normal à curva de nível . Neste caso: 
Sistemas de coordenadas
O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:
Coordenadas cartesianas
Para coordenadas espaciais x, y e z.
Coordenadas cilíndricas circulares
Onde representa a distância ao eixo z, é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.
Coordenadas esféricas
Onde representa a distância à origem, é o ângulo entre a recta que liga o ponto à origem e o eixo z e é o ângulo formado pela projecção da recta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.
Noção intuitiva de gradiente
O gradiente é o vector que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.
Gradientes de tensão
Os gradientes de tensão em redes eléctricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos. 
O retorno da energia eléctrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmónicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.
Divergência e Rotação
Divergência
Se é um campo vetorial em e existem então a divergência de é a função de três variáveis definida por:
Observe que é um campo escalar. Em termos do operador gradiente
A divergência de pode ser escrita simbolicamente como o produto escalar de e :
Exemplos: 
Se , Determine a divergência de .
Dado o campo vectorial 
Observação:
A divergência mede a magnitude de uma fonteou um sorvedouro de um campo vectorial em um determinado ponto. Assim ele pode ser considerado um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vectores do campo num determinado ponto
Rotacional
Se é um campo vectorial em e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de é um campo vectorial sobre definido por:
Exemplos
Determinar o rotacional de 
Determinar o rot de , sendo 
Teorema de Clairaut
Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem 
contínuas, então .
Se é campo vectorial conservativo, então .
Mostre que é um campo vectorial conservativo
é o conservativo
Exercícios
Calcule o divergente e a rotacional dos campos abaixo:
Fluxo do vector
Denomina-se fluxo do campo vectorial contínuo através da superfície S, no sentido determinado pelo vector unitário da normal } a esta superfície, a integral 
Se S é uma superfície fechada, que limita um volume V, e n é o vector unitário da norma 
externa á superfície S, será validada a fórmula de Ostrogradski-Gauss, Cujo a forma vectorial é
Exemplo: Pede-se para determinar o fluxo do campo vectorial sobre a esfera unitária 
Resolução
Primeiro passo, calcularemos a divergência de F:
A esfera unitária S é a fronteira da bola unitária B dada por , então o 
Teorema da Divergência dá o fluxo como 
Circulação do vector, trabalho do campo 
A integral linear do vector continua a sobre a curva parcialmente regular C é determinada pela fórmula 
e representa o trabalho do campo a ao longo da curva C (as é a projecção do vector a sobre a tangente a C). 
Se a curva C é fechada, a integral linear se chama circulação do campo vectorial a ao longo do contorno C. 
Se a curva fechada C limita uma superfície bilateral S, é valida a fórmula de Stokes, cuja forma vectorial é
Onde n é o vector da normal á superfície S, cuja direcção deve ser escolhida de tal modo, que para o observar que olhe no sentido de n, o percurso do contorno C seja efetuado em direcção contrária á dos ponteiros do relógio, quando o sistema de coordenadas é direito.
Exemplo 1 
Pede-se para calcular , onde e C é a curva intersecção do plano com o cinlindro 
Resolução 
Para resolver o problema é mais simples usar o Teorema de Stokes. Vamos inicialmente 
calcular
Exemplo 2 
Pede-se para calcular a seguinte integral usando o teorema de Stokes , onde e S é a parte da esfera com o cinlindro que esta dentro do cilindro e acima plano xy.
Resolução
Para achar a curva fronteira C resolvemos as equações e Subtraindo, obtemos (uma vez que z>0). Enato, C é a circunferência dada pelas equações , , a equação vectorial de C é
Portanto, Teorema de Stokes,
Nota-se que no exemplo 2 calculamos a integral simplesmente sabendo os valores de F na curva C.
Campo Potencial e Campo solenoidal 
Campo Potencial 
Um campo vectorial a(r) chama-se potencial, se 
Onde é uma função escalar diferencial (potencial do campo)
Para que um campo a seja potencial, dado em um campo simplesmente conexo que se derive continuamente, é necessário e suficiente que a seja irrotacional, isto é, que rot . Neste caso existe um potencial U, determinado pela equação 
Se o potencial U é uma função uniforme, temos 
Em particular, a circulação do vector a será igual a zero: 
Um campo vectorial derivado a(r) chama-se solenoidal, se em cada ponto do campo div a=0; neste caso o fluxo do vector através de qualquer superfície fechada será igual a zero.
Se o campo é ao mesmo tempo potencial e solenoidal, então div (grad U)=0 e a função potencial U é harmónica, isto é, satisfaz a equação de Laplace.
Ou seja , onde é o operador de Laplace.
Conclusão
No desenvolvimento do trabalho conclui-se que: 
 Campo de vectores é uma construção em cálculo vectorial que associa um vector a todo 
ponto de uma variedade diferenciável; 
 Em cálculo vectorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície 
infinitesimal, o quanto os vectores de um campo vectorial se afastam ou se aproximam 
de um vector normal a esta superfície.; 
 O operador divergência é um operador que mede a magnitude de "fonte", ele pode 
ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vectores do 
campo num determinado ponto; 
Referências Bibliográficas 
[1].https://pt.wikipedia.org/wiki/Gradiente
[2].Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
[3].DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de Análise Matemática. Editora Mir, 
4ªed. Moscovo. 
[5].STEWART, James, Cálculo:Vol. 2, Editora Thomson, 5a. Edição, 2006 
[6].CUNHA, Marcelo. Calculo III. Minas gerais 
u ^ {\displaystyle {\hat {u}}}