Fatoração e Simplificação de Frações Algébricas

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FATORAÇÃO
 Definição
Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais parcelas em um produto de dois ou mais fatores. Podemos separar a fatoração em seis casos.
1. Fator comum.
Este caso é usado quando algum elemento é comum a todas as parcelas.
Exemplos:
1. 
Na expressão fatorada, x é o fator comum colocado em evidência.
2. 
Na expressão fatorada, 2 é o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos 4 e 18, logo é o fator comum colocado em evidência.
3. 
Na expressão fatorada, x2 é a parte literal de menor grau, logo é o fator comum colocado em evidência.
Podemos ter as três situações em uma única expressão. Veja:
4. 
5. 
2. Fatoração por agrupamento.
Na expressão fatorada, os quatro termos não apresentam um fator comum. Logo agrupamos os termos de dois em dois, onde a é o fator comum do primeiro grupo e b é o fator comum do segundo grupo. E fatoramos novamente.
3. Diferença entre dois quadrados.
O produto da soma de dois números pela diferença é a diferença entre os quadrados dos dois números.
(x + y).(x – y) = x2- y2, pois:
Exemplos:
1) 
2) 
 
3) 16m2–25n4= (4m –5n2)(4m + 5n2)
4. Trinômio Quadrado Perfeito.
Neste caso examinaremos os dois termos dos extremos do trinômio, se os dois forem quadrados perfeitos, isto é se for possível extrair a raiz quadrada dos dois termos. Em seguida verificamos se o duplo produto dessas raízes é igual ao termo do meio. Se isto se verificar, trata-se de um trinômio quadrado perfeito, e a expressão fatorada será a soma dessas raízes ao quadrado.
Exemplos:
1) 
 
 
 
 
2) 
; ; 
Então: 
3) 
; ; 
Então: 
5. Trinômio do 2º grau
Os trinômios do tipo podem ser escritos pela forma fatorada , pois temos:
Observe que o termo ligado à incógnita x é originado pela soma de a com b e o termo constante é resultado da multiplicação de a por b. Portanto, todas as multiplicações envolvendo são representadas pela expressão .
Exemplo 1: No trinômio , temos que a forma fatorada é dada pela expressão , pois:
O problema consiste em determinar dois números tais que a soma seja 2 e o produto seja -24.
Soma: 6 – 4 = 2
Produto: 6 * (-4) = - 24
2) 
3) 
6. Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
4) 
 Frações Algébricas
Uma fração algébrica corresponde ao quociente de duas expressões algébricas. Observe:
 
O conjunto dos números reais para os quais o denominador de uma fração algébrica é diferente de zero é denominado domínio ou campo de existência da fração.
Assim, para a fração , o campo de existência é qualquer número real diferente de 3, já que a fração não tem nenhum significado quando x = 3, pois anula o seu denominador.
Dada uma fração algébrica, vamos considerar que sempre estão excluídos os números reais que, colocados no lugar das letras, anulam o seu denominador. Logo:
A fração , devemos ter x ≠0.
A fração , devemos ter x ≠3 e x ≠- 3.
Simplificação de frações Algébricas.
Simplificar uma fração algébrica é transformá-la em uma expressão mais simples e de menor grau. Para simplificar uma fração algébrica é preciso fatorá-la.
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
Exercícios:
1) Reduza os termos semelhantes:
a) (4a – 7) + (- 2a + 9) =
 
b) (13x – 1) + (2x – 1) =
c) (2x2 – 3x – 2) + (2x2 – 5x + 2) =
d) (-4y 2+ 5y – 3) + (4y2 + 3) =
e) (8y3– 6y2 + 16y – 1) + ( - 8y3– 6y2 + 16y –1) =
f) (4y –2) –(2y + 3) + ( - 2y + 4) =
g) (b2 – 3b + 2) – (- b2+ 3b –2) – (2b2 – 4b + 1) =
h) (4x – 2) – (3x2 + 7x – 2) + (- x2 + 1) =
i) (x3 – y3) + (2x3 – 4x2y + xy2) – (x3 – 8) =
2) Colocando o fator comum em evidência, fatore cada um dos polinômios:
a) c) e) 
b) d) f) 
3) Qual a forma fatorada do polinômio .
4) Colocando o fator comum em evidência, escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios:
a) c) 
b) d) 
5)Se a + b + c = 100 e a – 2y = 10, determine o valor numérico do polinômio: .
6) É dado o polinômio . Calcule o seu valor numérico quando ab = 9 e .
7) Sabe-se que e . Nessas condições, determine o valor de ax.
8) Dê a solução de cada uma das seguintes equações no conjunto R:
a) b) c) 
9) Vamos supor que os números x e y representam as medidas dos lados de um retângulo. Sabe-se que esse retângulo tem 32 unidades de área e seu perímetro, 24 unidades. Nessas condições, dado o polinômio , qual é seu valor numérico?
10) Fatore os seguintes polinômios:
a) f) 
b) g) 
c) h) 
d) i) 
e) j) 
11) Qual é a forma fatorada da expressão: .
12) Fatore o polinômio: 
13) Dado o polinômio , determine:
a) a forma fatotada desse polinômio.
b) o valor numérico do polinômio sabendo que x + y = 2,5 e .
14) Sabendo que 2a + 2b = 36 e 3b + 3c = 21. Nessas condições, qual é o valor numérico do polinômio ab + b2 + ac + bc?
15) Fatorar cada um dos seguintes polinômios:
a) f) 
b) g) 
c) h) 
d) i) 
e) j) 
16) A área de um retângulo é expressa pelo polinômio . Nessas condições, responda:
a) Como podemos expressar as medidas dos lados desse retângulo?
b) Qual o polinômio que expressa o perímetro desse retângulo?
17) Escreva a forma fatorada dos seguintes polinômios:
a) c) 
b) d) 
18) Determine a solução de cada equação no conjunto R:
a) c) 
b) d) 
19) Sabendo que m + n vale 12,5 e m – n vale 2, qual é o valor numérico do polinômio ?
20) Sabe-se que 2a + 2b = 28 e 3a – 3b = 45. Nessas condições, qual é o valor numérico da expressão ?
21) Fatore os trinômios quadrados perfeitos
a) x2 - 4x + 4 =   b) x2 - 6x + 9  =        
c) x2 - 10x + 25  =             d) m2 + 8m + 16  =           
e) p2 - 2p + 1 =           f) k4 + 14k2 + 49 = 
22) Sabe-se que x + y = 13 e x – y = 10. Nessas condições, determine o valor numérico da expressão .
23) Fatore a soma e a diferença de dois cubos
a) a3 + b3  b) r3 – s3 
c) x3 - 1 d) m3 + 8 =
 
24) Escreva na forma fatorada os trinômios do 2º grau:
a) b) 
c) d) 
25) Simplifique as frações:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h)