04_Séries_de_pagamentos_iguais_S_e_R_2012_2

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SÉRIES DE PAGAMENTOS 
E RENDAS IGUAIS
2012_1
Prof. Reinaldo C. Sandes
SÉRIES DE PAGAMENTOS
Noções sobre Fluxo de Caixa
Pela conceituação de VIEIRA SOBRINHO (1997:64), 
entende-se por Fluxo de Caixa “(...) uma sucessão de 
recebimentos ou de pagamentos, em dinheiro, 
previstos para determinado período de tempo.”
Fluxo de Caixa, também chamado de cash flow , é, 
portanto, o conjunto de pagamentos e recebimentos 
do caixa de uma organização ou um indivíduo ao 
longo de um período de tempo, o qual pode ser 
diário, mensal, trimestral, anual, etc. O Fluxo de Caixa 
é um instrumento de planejamento e controle.
SÉRIES DE PAGAMENTOS
Noções sobre Fluxo de Caixa
A fim de facilitar o entendimento dos conceitos de 
Fluxo de Caixa, faz-se a representação gráfica do 
mesmo conforme demonstrado a seguir:
( + ) ( + )
0 1 2 3 4 TEMPO
( – ) ( – )
SÉRIES DE PAGAMENTOS
Noções sobre Fluxo de Caixa
No eixo horizontal representa-se o tempo, subdividido em 
períodos unitários (dia, mês, trimestre, ano, etc.), 
orientados da esquerda para a direita, de modo que todos 
os pontos são considerados como momentos futuros em 
relação ao tempo “zero”.
Os recebimentos, ou entrada de caixa, são representados 
na parte superior do eixo horizontal, com setas para cima. 
SÉRIES DE PAGAMENTOS
Noções sobre Fluxo de Caixa
Por sua vez, os pagamentos ou saídas de caixa, são 
representados na parte inferior, indicados com setas 
orientadas para baixo.
Se houver recebimento e pagamento no mesmo momento, 
pode-se representar apenas a diferença entre os dois 
valores.
Os valores de recebimento podem ser precedidos de sinal 
positivo (+) e os pagamentos de sinal negativo ( – ). 
Para demonstração do diagrama do Fluxo de Caixa, 
toma-se para exemplo os dados de recebimentos e 
pagamentos descritos a seguir:
50.000 30.000
0 1 2 3 4 TEMPO
(20.000) (25.000)
Em outro exemplo, suponha que um banco tenha 
concedido um empréstimo de R$ 20.000,00 a um cliente, 
para pagamento em 6 prestações iguais de R$ 5.000,00 . 
a)-Esquema do Fluxo de Caixa sob a ótica do banco:
5000 5000 5000 5000 5000 5000
0 1 2 3 4 5 6 TEMPO
20000
b)-Esquema do Fluxo de Caixa sob a ótica do cliente:
20000 
0 1 2 3 4 5 6 TEMPO
5000 5000 5000 5000 5000 5000
Um outro exemplo:
Suponha que uma pessoa aplique, em um fundo de renda 
fixa, 4 parcelas mensais e sucessivas de R$ 1.000,00. 
Sabe-se que a primeira parcela será efetivada hoje e que 
essa pessoa deseja saber o valor do montante ao final do 
40. mês. O anagrama a seguir esquematiza o Fluxo de 
Caixa sob a ótica desse do investidor.
Esquema do Fluxo de Caixa sob a ótica do investidor:
0 1 2 3 4 
1000 1000 1000 1000
S = ?
O QUE SÃO, AFINAL, SÉRIES DE PAGAMENTOS?
Entendem-se por Séries de Pagamentos a uma sucessão 
de pagamentos ou recebimentos V1, V2, V3 ... Vn, com 
vencimentos sucessivos t1, t2, t3 ... t n.
A seguir serão desenvolvidas séries de pagamentos com 
as seguintes características:
CARACTERÍSTICAS DAS SÉRIES DE PAGAMENTO
�A diferença de prazo entre um termo e o termo seguinte é
constante, ou seja, os vencimentos dos termos, a partir do 
primeiro deles, variam em tempos iguais (de 30 em 30 dias, 
de 60 em 60 dias, de ano em ano, etc.)
�Trabalha-se com número de termos finitos;
CARACTERÍSTICAS DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS
�Os valores dos termos que compõem a série podem ser
constantes ou variáveis;
�Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos 
podem ocorrer no final de cada período, neste caso 
identificados por termos vencidos ou postecipados; ou 
podem ocorrer no início de cada período, assim 
identificados por termos antecipados.
Assim sendo, as séries de pagamentos que durante o 
curso serão desenvolvidas, estão classificadas em:
�Série de pagamentos iguais com termos vencidos ou 
postecipados;
�Série de pagamentos iguais com termos antecipados;
�Série de pagamentos variáveis com termos vencidos ou 
postecipados;
�Série de pagamentos variáveis com termos antecipados. 
SIMBOLOGIA DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS
S
R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 TEMPO
P
SIMBOLOGIA DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS
P
0 1 2 3 4 5 6 TEMPO
R R R R R R S
Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos 
(Postecipados)
VIEIRA SOBRINHO (1986:67) sugere que cada termo da série 
de pagamentos ou de recebimentos iguais seja identificado 
por R. As demais variáveis serão representadas pelos 
símbolos já conhecidos e utilizados no estudo de 
capitalização composta:
i = taxa de juros compatível com a unidade de tempo;
n = número de prestações;
P = capital principal, capital inicial, valor atual ou valor 
presente;
S = montante ou valor futuro. 
Esquema de séries postecipadas
S
0 1 2 3 4 5
R R R R R
Fator de Acumulação de Capital (FAC)
Suponha que uma pessoa faça uma série de 4 aplicações 
mensais, iguais, sucessivas, no valor de R$ 100,00 cada 
uma, a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. 
Sendo a primeira parcela aplicada no final do primeiro 
mês e a última aplicação no final do quarto mês, qual 
será o montante acumulado no final do período de 
aplicação?
R = 100,00 ; i = 10% a.m. ; n = 4 e S = ?
Esquema da situação proposta
i = 10% a.m S=?
0 1 2 3 4 
100 100 100 100
O montante ao final do quarto mês de aplicação poderia ser 
calculado de forma rudimentar pelo uso da capitalização 
composta S = P (1 + i )n , aplicada em cada uma das 
parcelas:
S1 = 100,00 ( 1 + 0,10)
3 ⇒⇒⇒⇒ 100,00 x 1,3310 = 133,10
S2 = 100,00 ( 1 + 0,10)
2 ⇒⇒⇒⇒ 100,00 x 1,2100 = 121,00
S3 = 100,00 ( 1 + 0,10)
1 ⇒⇒⇒⇒ 100,00 x 1,1000 = 110,00
S4 = 100,00 ( 1 + 0,10)
0 ⇒⇒⇒⇒ 100,00 x 1,0000 = 100,00
St = .................................................................... 464,10
Este procedimento, entretanto, é muito trabalhoso, 
principalmente quando a série de pagamentos é
constituída de muitos períodos. Para facilitar o cálculo, 
usa-se o Fator de Acumulação de Capital (FAC), descrito 
pela expressão seguinte:
( 1 + i )n – 1 
FAC = 
i
Assim sendo, a fórmula genérica a seguir, em que nela 
aparece o Fator de Acumulação de Capital, multiplicado 
pelo termo “R”, permite calcular o montante S ao final 
da série de pagamentos:
( 1 + i )n – 1 
S = R x  onde
i
S = montante ao final da série de pagamentos
R = Valor de cada termo ou de cada parcela
n = número de termos ou de parcelas
i = taxa de juros compostos
Usando a fórmula retro descrita, ter-se-ia então, para o 
problema descrito:
( 1 + 0,10 )4 – 1 
S = 100,00 x 
0,10
S = 100 x 4,6410 ⇒⇒⇒⇒ S = 464,10
Fator de Formação de Capital (FFC)
A dedução da fórmula genérica para cálculo do montante 
S permite, ainda, a resolução do problema quando a 
incógnita é o valor R dos termos, ou das parcelas.
O cálculo do valor dos termos R, conhecidas as demais 
variáveis, pode ser obtido a partir do Fator de Formação 
de Capital (FFC), descrito pela expressão:
i 
FFC = 
( 1 + i)n – 1
Fator de Formação de Capital (FFC)
Dessa forma, o valor do termo R pode ser, também, obtido 
pela multiplicação do montante S pelo Fator de Formação 
de Capital (FFC). Isso significa dizer que a fórmula para 
calcular R, tomando por base o FFC, é a que se segue: 
i 
R = S x  onde, idem
( 1 + i )n – 1
Para exemplificação, pergunta-se, quanto uma pessoa 
terá de aplicar mensalmente num Fundo de Renda Fixa, 
durante 5 meses, para que possa resgatar R$ 2.500,00 no 
final do período de aplicação, sabendo-se que o Fundo 
proporciona um rendimento de 1,5% ao mês?
Resolução: S= 2.500
0 1 2 3 4 5
R R R R R
Resolução
i
R = S x 
( 1 + i )n – 1
0,015
R = 2.500 x 
( 1 + 0,015 )5 – 1
R = 2.500 x 0,194089 ⇒⇒⇒⇒ R = 485,22