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SIMULADO CÁLCULO NUMÉRICO 1) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a: a) 2 b) 6 c) 0 d) 12 e) 18 GABARITO: 3u = (3,6). Assim, 3u – v = ([3-(-2); 6-5] = (5, 1) Logo x + y = 6 2) Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P-Q, se: a) b – a = c - d b) a = b = c = d= e – 1 c) b = a + 1, c = d= e = 4 d) a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e – 1 e) 2b = 2c = 2d = a + c GABARITO: Para que exista M + N , M e N devem ter mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Assim, a= 2 e b = 3 N x P – para existir o produto, o número de colunas de N deve ser igual ao número de linhas de P, ou seja, b = c = 3. Para que exista P - Q ,P e Q devem ter mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Assim, c = d = 3 e e = 4. 3) Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente: a) 0,020 e 2,0% b) 2.10-2 e 1,9% c) 0,030 e 3,0% d) 3.10-2 e 3,0% e) 0,030 e 1,9% GABARITO: Erro absoluto = 1,030 – 1,010 = 0,020 = 2.10-2 Erro relativo = 0,020/1,030 = 0,019 = 1,9% 4) Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: a) Bisseção b) Ponto fixo c) Newton Raphson d) Gauss Jordan e) Gauss Jacobi 5) No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos. a) o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. b) não há diferença em relação às respostas encontradas. c) o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. d) no método direto o número de iterações é um fator limitante. e) Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema. 6) Seja f(x)= x3 - 3x - 2. Encontre a fórmula iterativa de Newton-Raphson: a) b) c) d) e) GABARITO: f´(x) – derivada da função f(x) f´(x) = 3x2 - 3 7) Considere a equação x3 – x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: a) (-2,0; -1,5) b) (-1,5; - 1,0) c) (-1,0; 0,0) d) (0,0; 1,0) e) (1,0; 2,0) GABARITO: Teorema de Bolzano, isto é: Se f(a).f(b) < 0 podemos garantir um número ímpar de raízes no intervalo (a,b). Substituindo os valores, f(-1,5).f(-1,0) < 0 8) Considere o algoritmo a seguir: Declaração de x0, n, , f(x) e f´(x) n 1 Repetir xn xn-1 – f(xn-1)/f´(xn-1) Se f(x) < ou n > 100 então Interrompa Fim se n n + 1 Fim repetir Se n > 100 então Escreva “ Não converegência” Senão, Escreva “ A raiz é”: xn Fim se Este algoritmo refere-se a que método: a) Gauss Jacobi b) Gauss Jordan c) Bisseção d) Ponto fixo e) Newton Raphson GABARITO: Perceba na lei de recorrência a derivada da função f(x), isto é, f´(x) 9) Suponha a equação 3x3 – 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação. SOLUÇÃO: Ponto médio: (0+1)/2 = 0,5 f(0,5).f(1) < 0 Intervalo (0,5 ; 1). Ponto médio (0,5 +1)/2 = 0,75 f(0,5).f(0,75)<0 Intervalo (0,5;0,75). Ponto médio (0,5 +0,75)/2 = 0,625 a) 0,500 b) 0,750 c) 0,625 d) 0,687 e) 0,715 10) Considere o seguinte sistema linear: Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida? a) b) c) d) e)
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