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1 TEC - Mecânica dos Corpos Rígidos Lista de Exercícios 02 Questões: Adição de Vetores: 1. [HIB09] Determine as componentes x e y da força de 500N. 2. [HIB09] Decomponha a força de 80N em componentes atuando ao longo dos eixos u e v e determine as magnitudes das componentes. 3. [HIB09] O vento atua em uma vela de um barco de forma que exerce uma força resultante de F=110lb perpendicular a vela. Decomponha essa força em duas componentes, uma paralela e uma perpendicular a quilha aa do barco. Nota: A habilidade de velejar no vento é conhecida como sailing (emborcamento), tornando-se possível pelas forças paralelas à quilha do barco. As componentes perpendiculares tendem a inclinar ou virar o barco. 2 4. [HIB09] O poste será arrancado do solo utilizando-se duas cordas A e B. A corda A está sujeita a força de 600lb e é direcionada a 60º da horizontal. Se a força resultante atuando no poste será de 1200lb, verticalmente de baixo para cima, determine a forca T na corda B e o ângulo θ correspondente. 5. [HIB09] Duas forças tendo magnitude de 10lb e 6lb atuam em um anel. Se a força resultante tem magnitude de 14lb, determine o ângulo θ entre as forças. 6. [HIB09] Duas forças F1 e F2 atuam em um gancho. Se o ângulo entra as suas linhas de ação é θ e a magnitude de cada força é F1 = F2 = F, determine a magnitude da força resultante FR e o ângulo entre FR e F1. 3 7. [HIB09] Determine a magnitude e direção da resultante FR = F1 + F2 + F3 das três forças, encontrando primeiramente a resultante F’ = F1 + F2 e depois formando FR = F’ + F3. 8. [HIB09] Determine a magnitude e direção da resultante FR = F1 + F2 + F3 das três forças, encontrando primeiramente a resultante F’ = F2 + F3 e depois formando FR = F’ + F1. Componentes Retangulares: 9. [HIB09] Determine as componentes x e y da força de 150lb. 10. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x positivo. 4 11. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x positivo. 12. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x positivo. 13. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x positivo. 5 14. [HIB09] Determinar as componentes x e y de cada força atuando na chapa da treliça de ponte. Mostre que a força resultante é zero. 15. [HIB09] Determine a magnitude e direção θ de F1 tal que a força resultante seja direcionada verticalmente para cima e tenha a magnitude de 800N. 16. [HIB09] Determine a magnitude e a direção da força resultante das três forças atuando no anel. Considere F1 = 500N e θ =20º. 6 17. [HIB09] Três forças atuam em um suporte. Determine a magnitude e direção θ de F1 tal que a força resultante esteja direcionada ao longo do eixo x´ positivo e tenha magnitude de 1000N. Vetores Cartesianos: 18. [HIB09] Expresse cada força na forma de vetor cartesiano. Determine a magnitude e os ângulos diretores das coordenadas da força resultante e esboce o vetor no sistema de coordenadas. 19. [HIB09] O homem puxa a corda com uma força de 60lb. Se F atua no octante mostrado na figura, tal que α=45º, β=60º, determine as componentes x, y, z de F. 7 20. [HIB09] O guincho está sujeito a força do cabo F que tem uma componente ao longo do eixo x de Fx=60N, uma componente ao longo do eixo z de Fz=-80N, e um ângulo diretor com a coordenada y de β=80º. Determine a magnitude de F. 21. [HIB09] O parafuso está sujeitado à força F, que tem as componentes atuando ao longo dos eixos x, y e z, como mostrado na figura. Se a magnitude de F é 80N, e α=60º, γ=45º, determine as magnitudes de suas componentes. 22. [HIB09] Determine a magnitude e ângulos diretores das coordenadas de F2 tal que a resultante das duas forças seja zero. 8 Vetores Posição e Força: 23. [HIB09] Expresse o vetor posição r na forma de vetor cartesiano. Em seguida, determine sua magnitude e os ângulos diretores das coordenadas. 24. [HIB09] Expresse o vetor posição r na forma de vetor cartesiano. Em seguida, determine sua magnitude e os ângulos diretores das coordenadas. 25. [HIB09] O cabo de comprimento de 8m é ancorado na superfície em A. Se x=4m e y=2m, determine a coordenada z para o ponto mais alto de fixação ao longo da coluna. 9 26. [HIB09] Determine a magnitude e ângulos diretores das coordenadas da força resultante. 27. [HIB09] Os dois cabos de atracação exercem forças na popa do navio, como mostrado na figura. Represente cada força como um vetor cartesiano e determine a magnitude e direção da resultante. 10 28. [HIB09] A força atuando em um homem, causada pela sua puxada na corda da âncora, é F={40i+20j-50k}N. Se o comprimento da corda é 30m, determine as coordenadas A(x,y,-z) da âncora. Assuma que a corda AO está ao longo de uma linha reta. Produto Interno: 29. [HIB09] Determine a magnitude da componente do vetor posição r ao longo do eixo Oa. 11 30. [HIB09] Determine a magnitude da componente da força F ao longo do eixo Aa. 31. [HIB09] Determine os ângulos θ e φ entre os eixos AO do mastro da bandeira e cada cabo, AB e AC, respectivamente. 12 32. [HIB09] Determine os ângulos θ e φ entre os segmentos do arame. 13 Referências: [HIB09] Hibbeler, RC (2009) Engineering Mechanics – Statics. Twelfth Edition. Pearson Prentice Hall. Respostas: 1. o500N sen(20 ) 171.0Nx xF F= ⇒ = o500N cos(20 ) 470.0Ny yF F= ⇒ = 2. Usando a lei dos senos, tem-se que o o o 80N sen(70 ) sen(70 ) sen(40 ) u vF F = = Logo o o sen(70 )80N 80N sen(70 )uF = = o o sen(40 )80N 54.7N sen(70 )vF = = 3. Usando a lei dos senos, tem-se que o110lb sen(25 ) 46.5lbaF = = o110lb cos(25 ) 99.7lbbF = = Nesse caso, apenas 46.5lb são aproveitadas para empurrar o barco na direção do trajeto. 4. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que o o : 600lb cos(60 ) sen( ) 0 : 600lb sen(60 ) cos( ) 1200lb x y F T F T θ θ − = + = ∑ ∑ Rearranjando as equações, tem-se o o sen( ) 600lb cos(60 ) cos( ) 1200lb 600lb sen(60 ) T T θ θ = = − Logo o o o 600lb cos(60 ) tg( ) 0.4409 23.8 1200lb 600lb sen(60 ) 744lbT θ θ= = ⇒ = − = 5. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que :10lb 6lb cos( ) 14lb cos( ) : 6lb sen( ) 14lb sen( ) x y F F θ φ θ φ + = = ∑ ∑ Tem-se duas equações e duas incógnitas, logo o o 60 21.8 θ φ = = 14 6. Usando a lei dos senos, tem-se que osen(180 ) sen( 2) RF F θ θ = − Logo o o osen(180 ) sen(180 ) cos( ) cos(180 ) sen( ) sen( 2) sen( 2)RF F F θ θ θ θ θ − − = = sen( ) 2sen( 2) cos( 2) 2 cos( 2) sen( 2) sen( 2)RF F F F θ θ θ θ θ θ = = = E o ângulo desejado é 2θ . 7. Usando a lei dos senos, tem-se que o o o 20N 30N sen(73.1 ) sen( ) sen(180 73.1 ) F θ θ ′ = = − − Logo o30.84N, 38.4F θ′ = = Usando novamente a lei dos senos,tem-se que o o o 30.84N 50N sen(1.48 ) sen( ) sen(180 1.48 ) RF α α = = − − Logo o19.2N, 2.38RF α= = 8. Usando a lei dos senos, tem-se que o o o 20N 50N sen(70 ) sen( ) sen(180 70 ) F θ θ ′ = = − − Logo o47.07N, 23.53F θ′ = = Usando novamente a lei dos senos, tem-se que o o o 47.07N 30N sen(13.33 ) sen( ) sen(180 13.33 ) RF α α = = − − Logo o19.2N, 145.5RF α= = 9. As componentes são 24150lb 144lb 25x F = = 7 150lb 42lb 25y F = − = − 10. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que o o 4 : 4kN sen(30 ) 2.5kN cos( ) 5 3 : 4kN cos(30 ) 2.5kN sen( ) 5 x R y R F F F F α α + = − + = − ∑ ∑ Rearranjando as equações, tem-se 15 cos( ) 4kN sen( ) 1.964kN R R F F α α = = Logo o o 1.964kN tg( ) 0.491 26.2 4kN 4kN 4.46kN cos(26.2 )RF α α= = ⇒ = = = 11. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que o o 12 :800N cos(40 ) 600N cos( ) 13 5 :800N sen(40 ) 600N sen( ) 13 x y F R F R α α + = + = ∑ ∑ Rearranjando as equações, tem-se cos( ) 59.0N sen( ) 745N R R α α = = Logo o o 745N tg( ) 12.63 85.5 59.0N 59.0N 747N cos(85.5 )R α α= = ⇒ = = = 12. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que o o o o : 70N 50N cos(30 ) 65N cos(45 ) cos( ) : 50N sen(30 ) 65N sen(45 ) sen( ) x R y R F F F F α α + − = − − = − ∑ ∑ Rearranjando as equações, tem-se cos( ) 67.3N sen( ) 71.0N R R F F α α = = Logo o o 71.0N tg( ) 1.054 46.5 67.3N 67.3N 97.8N cos(46.5 )RF α α= = ⇒ = = = 13. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que o o 4 1 : 50kN 40kN 20kN cos(60 ) cos( ) 5 2 3 1 : 50kN 40kN 20kN sen(60 ) sen( ) 5 2 x R y R F F F F α α + − = − − = − ∑ ∑ Rearranjando as equações, tem-se cos( ) 58.3kN sen( ) 15.6kN R R F F α α = = Logo 16 o o 15.6kN tg( ) 0.268 15.0 58.3kN 58.3kN 60.3N cos(15.0 )RF α α= = ⇒ = = = 14. Expressando cada vetor em termos de suas componentes cartesianas: 1 o o 2 o o 3 4 515.7lb 399.5lb sen(40 ) 399.5lb cos(40 ) 256.8lb 306.0lb 612.0lb cos(30 ) 612.0lb sen(30 ) 530.0lb 306.0lb 271.1lb = − = − = − = + = + = − F i F i j i j F i j i j F i Para mostrar que a resultante é zero basta somar as componentes : ( 515.7lb 256.8lb 530.0lb 271.1lb) 0 : (0 306.0lb 306.0lb+0) 0 x y F F − + + − = − + = ∑ ∑ 15. Resultado o 1 29.1 275NF θ = = 16. Resultado o87.9 1031NRF α = = 17. Resultado o37.1 717NRF α = = 18. Resultado 1 2 o o o [175 175 247 ]N [173.2 100.0 150.0 ]N [348 75 97.5 ]N 369N 19.5 78.3 105.3 R RF α β γ = + − = − + = + − = = = = F i j k F i j k F i j k 19. Resultado o120 42.4lb 30lb 30lb x y z F F F γ = = = = − 17 20. Resultado 101.5NF = 21. Resultado o120 40N 40N 56.6N x y z F F F β = = = − = 22. Resultados 2 o 2 o 2 o 2 180N 146.8 118.9 75 F α β γ = = = = 23. Resultado 1 o o o [ 3 12 4 ]m 13m 103.3 157.4 72.1 r α β γ = − − + = = = = r i j k 24. Resultado 1 o o o [ 3 6 2 ]m 7m 115.4 149.0 73.4 r α β γ = − − + = = = = r i j k 25. Resultado 6.63mz = 26. Resultado o o o [1.964 23.1 46.7 ]lb 52.2lb 87.8 63.7 153.6 R RF α β γ = + − = = = = F i j k 18 27. Resultado o o o [254 50.7 152.1 ]lb [260 260 156.2 ]lb [514 311 308 ]lb 675lb 40.4 62.6 117.2 A B R RF α β γ = + − = + − = + − = = = = F i j k F i j k F i j k 28. Resultado 17.89m 8.95m 22.4m x y z = = = 29. Resultado 2.67mOa =r 30. Resultado 36.0NAaF = 31. Resultado o o 74.4 55.4 θ φ = = 32. Resultado o o 74.0 33.9 θ φ = =
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