Notas de Calculo

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Matemática I
Resumo dos conceitos mais importantes
1 Conjuntos
Definição 1.1. Um conjunto pode ser visto como uma coleção de objetos distintos de qualquer natu-
reza. Os objetos são os elementos do conjunto. Se A é um conjunto, então a ∈ A significa que a é um
elemento de A. Similarmente, a /∈ A, significa que a não pertence a A.
Definição 1.2. Sejam A e B conjuntos. Se todos os elementos de A são também elementos de B, então
diz-se que A é um subconjunto de B.
Definição 1.3. Se A e B são dois conjuntos, a sua união representa-se por A∪ B e consiste dos
elementos que estão em A, ou em B, ou em ambos. A interseção A∩ B consiste dos elementos
comuns aos dois conjuntos A e B.
Se os elementos de um conjunto gozam de uma dada propriedade, escrevemos A= {a : ... }, onde
a propriedade que descreve um elemento arbitrário a é enunciada depois do símbolo “:” que significa
tal que. Por exemplo, {x ∈ R : x > 1} indica o conjunto dos números reais superiores a 1.
Definição 1.4. Um intervalo é um subconjunto de R. Este é definido do seguinte modo:
(a,b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Este intervalo diz-se aberto visto que não inclui os elementos das extremidades, a e b.
Intervalo fechado: [a,b] = {x ∈ R : a≤ x ≤ b}.
Intervalos semi-abertos: [a,b) = {x ∈ R : a≤ x < b} e (a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.
Intervalos infinitos:
(a,+∞) = {x ∈ R : x > a},
[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a},
(−∞,a) = {x ∈ R : x < a},
(−∞,a] = {x ∈ R : x ≥ a},
(−∞,+∞) = R.
2 Potenciação
Para x ∈ R e a ∈ N, xa é definido por
x1 = x,
xa = x · x · ... · x︸ ︷︷ ︸
a fatores de x
,
onde a é expoente e x é a base.
1
Propriedades Para x,y ∈ R e a,b,c ∈ N,
1. xa · xb = xa+b,
2. xa · ya = (xy)a,
3. xa
xb
= xa−b,
4. xaya =
(
x
y
)a
,
5. (xa)b = xab,
6. xab = x(ab),
7. x0 = 1,
8. x−c = 1
xc
.
As propriedades mantêm-se se a,b,c ∈ R.
3 Radiciação
Sejam x ∈ R+ e n ∈ Z+. A n-ésima raiz de x é um número r tal que rn = x. A n-ésima raiz de x é
representada por r = n
√
x; a n chamamos de índice da raiz e a x chamamos de radicando.
Propriedades Para x,y ∈ R+, n ∈ Z+ e a,b ∈ N,
1. n
√
x = x1/n,
2. n
√
xn = x,
3. n√x · y = n√x · n√y,
4. n
√
x
y =
n
√
x
n
√y ,
5. ( n
√
xa)b =
n
√
xab = xab/n.
Note que é possível calcular a n-ésima raiz de um número real qualquer se n for ímpar.
4 Funções
Definição 4.1. Considere dois conjuntos A e B. Chama-se função de A em B a toda a correspondência
que associa a cada elemento de A um e um só elemento de B.
O conjunto A corresponde ao domínio de f e representa-se por D f . Podemos pensar nos elementos
de A como sendo os objetos aos quais aplicamos a função.
O conjunto B corresponde ao conjunto de chegada.
Nós representamos o conjunto das imagens por Im( f ) = f (D f ), e a este também chamamos de con-
tradomínio.
2
Exemplo 4.2. Considere a seguinte função.
A
1
2
3
B
1
2
3
4
5
f
f
f
O domínio de f é A = {1,2,3}, o conjunto de chegada é B = {1,2,3,4,5} e o contradomínio é
Im( f ) = {2,3,4}.
Exemplo 4.3. A curva representada no gráfico 1 não é uma função. Por quê? Olhe para a reta vertical
tracejada (paralela ao eixo das ordenadas (y)). Em quantos lugares ela intercepta? Dois lugares, ou
seja, isto significa que para um objeto x1, temos duas imagens√x1 e −√x1. Isto contradiz a definição
de função que diz que para cada elemento do domínio existe um e um só elemento do conjunto de
chegada.
x
y
0 x1
Figura 1: Gráfico de ±√x.
Definição 4.4. Diz-se que uma função f é par se e só se
f (−x) = f (x), ∀x ∈ D f .
3
Definição 4.5. Diz-se que uma função f é ímpar se e só se
f (−x) =− f (x), ∀x ∈ D f .
Definição 4.6. Uma função diz-se estritamente crescente se
x1 < x2 =⇒ f (x1)< f (x2), ∀x1,x2 ∈ D f .
Uma função diz-se crescente se
x1 < x2 =⇒ f (x1)≤ f (x2), ∀x1,x2 ∈ D f .
Definição 4.7. Uma função diz-se estritamente decrescente se
x1 < x2 =⇒ f (x1)> f (x2), ∀x1,x2 ∈ D f .
Uma função diz-se decrescente se
x1 < x2 =⇒ f (x1)≥ f (x2), ∀x1,x2 ∈ D f .
Definição 4.8. Uma função f de A em B diz-se injetiva se e só se quaisquer dois elementos distintos
de A têm imagens distintas em B. Pelas propriedades da lógica, simbolicamente, podemos escrever a
definição de injetividade como
f é injetiva⇐⇒∀x1,x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2.
Por negação da definição de injetividade, temos que
f não é injetiva⇐⇒∃x1,x2 ∈ A,x1 6= x2∧ f (x1) = f (x2).
Exemplo 4.9. De acordo com o gráfico da função f (x) = 1− 12x (ver figura 2) podemos ver que para
dois quaisquer objetos distintos em D f = R, as suas respectivas imagens também são distintas. Isto é
facilmente averiguado se considerarmos uma reta horizontal tracejada (paralela ao eixo das abcissas
(x)). Em quantos lugares ela cruza f ? Só um. Se deslocarmos para cima ou para baixo essa reta
tracejada, ela continuará a apenas interceptar f em um só lugar, logo f é injetiva.
No caso da função g(x) = x2 − 4x+ 3 (ver figura 2), se considerarmos a reta tracejada (paralela ao
eixo das abcissas) vemos que ela intercepta a função g em dois lugares. O que significa que existem
x1 6= x2 para os quais g(x1) = g(x2). Portanto, g não é injetiva.
Definição 4.10. Uma função f de A em B diz-se sobrejetiva se e só se o seu contradomínio coincide
com o conjunto de chegada, ou seja, Im( f ) = B. Por outras palavras, a função f de A em B é sobreje-
tiva se e só se todo o elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Simbolicamente,
f é sobretiva⇐⇒∀y ∈ B∃x ∈ A : y = f (x).
Por negação da afirmação acima, temos que
f não é sobrejetiva⇐⇒∃y ∈ B∀x ∈ A : y 6= f (x).
4
x
y
0
1
2
Gráfico da função f (x) = 1− 12x.
x
y
0 1 3
3
x1 x2
−1
Gráfico da função g(x) = x2−4x+3.
Figura 2
Exemplo 4.11. Considere a função f da figura 2. À medida que os valores de x vão aumentando
até +∞, f vai diminuindo para −∞ e à medida que os valores de x vão diminuindo até −∞, f vai
aumentando para +∞. Portanto, daqui vemos que a Im( f ) = R, e assim f é sobrejetiva.
Agora considere a função g da figura 2. Olhando para os valores de g(x), vemos que o contradomínio
de g é Im(g) = [−1,+∞). Como o conjunto de chegada, R, não é igual ao contradomínio, Im(g),
então g não é sobrejetiva.
Definição 4.12. Uma função f de A em B diz-se bijetiva se e só se ela for simultaneamente injetiva
e sobrejetiva. Simbolicamente,
f é bijetiva⇐⇒∀x1,x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2 ∧ ∀y ∈ B∃x ∈ A : y = f (x).
Equivalentemente, f de A em B diz-se bijetiva se e só se para cada elemento y ∈ B, existe um e um
só elemento x ∈ A tal que y = f (x), ou seja,
f é bijetiva⇐⇒∀y ∈ B∃1x ∈ A : y = f (x).
Exemplo 4.13. Considere as funções do Exemplo 4.9. A função f é bijetiva dado que já averiguamos
que ela é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. A função g não é bijetiva, porque ela não é injetiva,
nem sobrejetiva.
Definição 4.14. Seja f uma função de A em B, onde o conjunto de chegada é igual ao contradomínio,
i.e. B = Im( f ). (Note que pela definição de função, o domínio de f é D f = A.) Diz-se que f é
invertível se existir uma função g com domínio B = Im( f ) e contradominío A = D f tal que
y = f (x)⇐⇒ x = g(y).
Neste caso a função g é representada por f−1.
Teorema 4.15. Uma função f de A em B diz-se invertível se e só se ele for bijetiva.
5
Exemplo 4.16. Considere a seguinte função bijetiva:
f : R\{0} −→ R\{−2}
x 7→ 1−2x
x
.
Para obter a inversa de f , resolvemos a seguinte equação com respeito a x, y = 1−2x
x
. Portanto,
y =
1−2x
x
⇐⇒ xy = 1−2x⇐⇒ xy+2x = 1⇐⇒ x(y+2) = 1⇐⇒ x = 1
y+2
.
Assim temos que a função inversa é
f−1 : R\{−2} −→ R\{0}
x 7→ 1
x+2
.
Veja como D f = Im( f−1) e D f−1 = Im( f ).
É sempre bom averiguar que ( f ◦ f−1)(x) = ( f−1 ◦ f )(x) = x. Por quê? Para termos a certeza que
calculamos corretamente a inversa. Assim,
f ( f−1(x))= f
(
1
x+2
)
=
1−2( 1
x+2
)
1
x+2
=
x+2−2
x+2
1
x+2
=
x
x+2
· (x+2) = x,
e
f−1( f (x)) = f−1
(
1−2x
x
)
=
1
1−2x
x
+2
=
1
1−2x+2x
x
= x.
Definição 4.17. Se f : A → B e g : B → C são duas funções, então definimos a função composta,
g◦ f : A→C, por
(g◦ f )(a) = g( f (a)),∀a ∈ A.
Note que o domínio da função composta Dg◦ f ⊆D f , ou seja, o domínio de g◦ f ou é igual ao domínio
de f , ou é um subconjunto do domínio de f .
Exemplo 4.18. Sejam f (x) =√x+1 e g(x) = x2 + 2 duas funções reais de variável real. Determi-
nando (g◦ f )(x), obtemos
(g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(√x+1) = (√x+1)2 +2 = x+3.
Note que o domínio de f é D f = [−1,+∞). Olhando para x+3, podemos ser tentados em pensar que
o domínio de g◦ f é composto de todos os reais; no entanto, não se esqueçam que antes de aplicarmos
a função g, aplicamos a função f e esta só está definida para x ≥−1. Portanto, Dg◦ f = [−1,+∞).
Vamos agora calcular ( f ◦g)(x). Assim, temos que
( f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x2 +2) =
√
(x2 +2)+1 =
√
x2 +3.
Nós sabemos que o domínio de g é Dg = R. Como x2 + 3 é sempre positivo para qualquer x ∈ R,
então o domínio de f ◦g é D f ◦g = R.
Note que em geral ( f ◦g)(x) 6= (g◦ f )(x), como podem ver no exemplo anterior.
6
4.1 Função afim
Definição 4.19. A função afim é definida como segue:
f : R −→ R
x 7→ ax+b, onde a,b ∈ R.
A constante a representa o coeficiente angular e b é a ordenada do ponto em que o gráfico de f
cruza o eixo das ordenadas.
Se nos forem dados dois pontos no plano, digamos (x1,y1) e (x2,y2), é possível determinarmos a
equação da reta que une esses dois pontos. A equação da reta é
y = y1 +
(
y2− y1
x2− x1
)
︸ ︷︷ ︸
=a
(x− x1).
Note que a função afim para a 6= 0 é bijetiva. Para ilustrarmos a função afim num gráfico, precisamos
de calcular dois valores: o zero da função, que é x =−b
a
, e o valor da função quando ela cruza o eixo
das ordenadas, f (0).
4.2 Função quadrática
Definição 4.20. A função quadrática é definida como segue:
f : R −→ R
x 7→ ax2 +bx+ c, onde a,b,c ∈ R e a 6= 0.
Como se resolve a equação ax2 +bx+ c = 0?
Usando a seguinte fórmula
x =
−b±
√
b2−4ac
2a
,
à qual chamamos de fórmula quadrática.
À expressão b2 − 4ac chamamos de binômio discriminante; representamos o discrimante por ∆.
Quando ∆ > 0 =⇒ a função quadrática tem dois zeros reais,
x1 =
−b−
√
b2−4ac
2a
, x2 =
−b+
√
b2−4ac
2a
.
Quando ∆ = 0 =⇒ a função quadrática tem um zero com multiplicidade dupla,
x =− b
2a
.
Quando ∆ < 0 =⇒ a função quadrática não tem zeros.
Sejam x1 e x2 os zeros da função f (x) = ax2 + bx+ c. Então f (x) pode ser fatorizado do seguinte
modo
ax2 +bx+ c = a(x− x1)(x− x2).
Método de completar o quadrado
Uma função quadrática f (x) = ax2 + bx+ c pode ser escrita da seguinte forma a(x+λ)2 + k, onde
λ,k ∈ R. Vamos ilustrar isso com o seguinte exemplo.
7
Exemplo 4.21. Considere a seguinte função quadrática
f (x) = 2x2−6x+4.
Completar o quadrado de f (x) significa que podemos escrever f (x) como
2x2 −6︸︷︷︸x+ 4︸︷︷︸= a(x+λ)2 + k = a(x2 +2λx+λ2)+ k = ax2 + 2aλ︸︷︷︸x+(aλ2 + k)︸ ︷︷ ︸ .
Comparando os termos em x, iremos obter o valor de λ. Assim,
−6 = 2aλ⇐⇒−6 = 4λ⇐⇒= λ =−3
2
.
Agora comparando os termos constantes, obtemos o valor de k. Assim,
4 = aλ2 + k ⇐⇒ 4 = 2
(
−3
2
)2
+ k ⇐⇒ 4− 9
2
= k ⇐⇒ k =−1
2
.
Portanto,
2x2−6x+4 = 2
(
x− 3
2
)2
− 1
2
.
O gráfico da função quadrática é uma parábola, que terá a concavidade voltada para cima se a > 0 e a
concavidade voltada para baixo se a < 0. Para ilustrarmos a função quadrática precisamos de calcular
os seguintes valores:
1. os zeros da função, usando a fórmula quadrática;
2. o valor da função quando ela cruza o eixo das ordenadas, f (0);
3. o vértice da parábola, ou seja, o ponto mínimo, (xmín, f (xmín)), quando a> 0 e o ponto máximo,
(xmáx, f (xmáx)), quando a > 0. Assim para ∆ > 0, e zeros x1 e x2, temos
xmín =
x1 + x2
2
=− b
2a
=⇒ f (xmín),
xmáx =
x1 + x2
2
=− b
2a
=⇒ f (xmáx). (1)
4.3 Funções definidas por trechos
Funções definidas por trechos são funções onde o corpo da função é um conjunto de funções e sub-
domínios associados. Por exemplo, cosidere a função valor absoluto (módulo) que é definida da
seguinte forma
|x|=
{
x, x≥ 0,
−x x < 0.
8
Exemplo 4.22. Escreva a função f (x) = |x2 + x−2| na forma de uma função por trechos. Para isso,
vamos primeiro desenhar o gráfico da função.
x
y
0−2 1
3
− 94
− 12
Figura 3: Gráfico de x2 + x−2.
Olhando para o gráfico, vemos que x2 + x−2 é positivo para x ∈ (−∞,−2]∪ [1,+∞) e negativo para
x ∈ (−2,1). Portanto, a função por trechos de f (x) é
f (x) =


x2 + x−2, x > 1,
−(x2 + x−2), −2≤ x ≤ 1,
x2 + x−2, x <−2.
Como podem ver no exemplo, para x ∈ [−2,1], x2 + x− 2 é negativa. No entanto, multiplicando
x2 + x−2 por −1 tornamos a função positiva entre −2 e 1. Portanto, para escrevermos uma função
valor absoluto por trechos, temos que determinar em que parte do domínio a função é negativa e
depois multiplicá-la por −1 nesse trecho.
4.4 Função exponencial
Definição 4.23. A função exponencial é definida como segue
f : R −→ R
x 7→ ax, a ∈ R+\{1}.
1. Domínio: D f = R
2. Contradomínio: Im( f ) = R+
3. A função exponencial é injetiva, mas não é sobrejetiva.
9
4. A função exponencial é estritamente crescente para a > 1 e estritamente decrescente para
0 < a < 1.
Para a > 1, o gráfico da função exponencial é como segue.
y
x0
1
Figura 4: Gráfico da função exponencial ax.
Para 0 < a < 1, o gráfico da função exponencial é como segue.
y
x0
1
Figura 5: Gráfico da função exponencial ax.
A base mais usada na função exponencial é e≈ 2,72.
4.5 Função logarítmica
Definição 4.24. Seja a ∈ R+\{1} e x ∈ R+, então
y = loga x⇐⇒ ay = x.
10
Chamamos a loga x, logaritmo na base a de x.
Propriedades Para a,b ∈ R+\{1} e x,y ∈ R+,
1. loga a = 1, visto que a1 = a,
2. loga 1 = 0, visto que a0 = 1,
3. loga(x · y) = loga x+ loga y,
4. loga
(
x
y
)
= loga x− loga y,
5. loga xz = z logx, ∀z ∈ R,
6. loga n
√
x = 1
n
loga x, ∀n ∈ Z+.
Nós vimos anteriormente que a função exponencial é injetiva, mas não é sobrejetiva. Para torná-
la sobrejetiva temos que restringir o conjunto de chegada ao seu contradomínio. Assim, a função
exponencial definida como
f : R −→ R+
x 7→ ax, a ∈ R+\{1},
tem uma função inversa, que passamos a definir a seguir.
Definição 4.25. A função logarítmica de base a é definida como segue
f−1 : R+ −→ R
x 7→ loga x, a ∈ R+\{1}.
1. Domínio: D f−1 = R+
2. Contradomínio: Im( f−1) = R
3. A função logarítmica é estritamente crescente para a > 1 e estritamente decrescente para
0 < a < 1.
Para a > 1, o gráfico da função logarítmica de base a é como segue.
y
x0 1
Figura 6: Gráfico da função logarítmica de base a.
11
Para 0 < a < 1, o gráfico da função logarítmica de base a é como segue.
y
x0 1
Figura 7: Gráfico da função logarítmica de base a.
5 Trigonometria
Considere o seguinte triângulo retângulo.
θ
cateto adjacente
cateto opostohip
ote
nu
sa
A B
C
Figura 8
Definição 5.1. As funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante são definidas
como segue:
senθ = cateto opostohipotenusa ,
cosθ = cateto adjacentehipotenusa ,
tgθ = senθ
cosθ =
cateto oposto
cateto adjacente ,
cotgθ = cosθ
senθ =
cateto adjacente
cateto oposto
,
12
secθ = 1
cosθ ,
cosecθ = 1
senθ .
5.1 Ângulos negativos
O 1
1
θ
−θ
P=(x,y)=(cosθ,senθ)
P′=(cos(−θ),sen(−θ))=(x,−y)=(cosθ,−senθ)
Figura 9
Fórmulas de ângulos negativos
cos(−θ) = cosθ
sen(−θ) =−senθ
5.2 Ângulos do 2◦ quadrante
O 1
1
θ
P=(x,y)
(a) Ângulo θ
O 11
θ+ pi2
(−y,x)=P′
(b) Ângulo θ+ pi2
Figura 10
Fórmulas de ângulos no 2◦ quadrante
cos
(
θ+ pi
2
)
=−senθ
sen
(
θ+ pi
2
)
= cosθ
13
5.3 Ângulos do 3◦ quadrante
O 1
1
θ
P=(x,y)
(a) Ângulo θ
O 1
1
θ+pi
(−x,−y)=P′′
(b) Ângulo θ+pi
Figura 11
Fórmulas de ângulos no 3◦ quadrante
cos(θ+pi) =−cosθ
sen(θ+pi) =−senθ
Tabela 1: Valores das funções trigonométricas para os ângulos mais usados
θ senθ cosθ tgθ
0 0 1 0
pi
6
1
2
√
3
2
√
3
3
pi
4
√
2
2
√
2
2
1
pi
3
√
3
2
1
2
√
3
pi
2
1 0 –
pi 0 −1 0
3pi
2
−1 0 –
5.4 Função seno
Definição 5.2. A função seno é definida como segue
f : R −→ R
x 7→ senx.
1. Domínio: D f = R
2. Zeros: x = kpi,k ∈ Z
14
3. Contradomínio: Im( f ) = [−1,1]
4. A função seno não é injetiva, nem sobrejetiva.
5. A função seno é uma função ímpar.
6. A função seno é uma função periódica de período 2pi.
7. Mínimos locais: x = 3pi2 +2kpi,k ∈ Z
8. Máximos locais: x = pi2 +2kpi,k ∈ Z
pi−pi/2
pi/2
3pi/2
2piθ
−θ
y
x
Figura 12: Gráfico da função seno.
5.5 Função cosseno
Definição 5.3. A função cosseno é definida como segue
f : R −→ R
x 7→ cosx.
1. Domínio: D f = R
2. Zeros: x = pi2 + kpi,k ∈ Z
3. Contradomínio: Im( f ) = [−1,1]
4. A função cosseno não é injetiva, nem sobrejetiva.
5. A função cosseno é uma função par.
6. A função cosseno é uma função periódica de período 2pi.
7. Mínimos locais: x = pi+2kpi,k ∈ Z
8. Máximos locais: x = 2kpi,k ∈ Z
15
pipi/2
3pi/2 2piθ−θ x
y
Figura 13: Gráfico da função cosseno.
5.6 Função tangente
Definição 5.4. A função tangente é definida como segue
f : {x ∈ R : x 6= pi2 + kpi,k ∈ Z} −→ R
x 7→ tgx.
1. Domínio: D f = {x ∈ R : x 6= pi2 + kpi,k ∈ Z}
2. Zeros: x = pi2 + kpi,k ∈ Z
3. Contradomínio: Im( f ) = R
4. A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.
5. A função tangente é uma função ímpar.
6. A função tangente é uma função periódica de período pi.
pipi/2
3pi/2 2piθ−θ x
y
Figura 14: Gráfico da função tangente.
16
5.7 Fórmula fundamental da trigonometria
sen2 θ+ cos2 θ = 1
5.8 Fórmulas da soma e diferença de dois ângulos
cos(a−b) = cosacosb+ senasenb
cos(a+b) = cosacosb− senasenb
sen(a+b) = senacosb+ senbcosa
sen(a−b) = senacosb− senbcosa
tg(a+b) = tga+ tgb
1− tga tgb
tg(a−b) = tga− tgb
1+ tga tgb
5.9 Fórmulas de duplicação
cos(2a) = cos2 a− sen2a
sen(2a) = 2senacosa
tg(2a) = 2tga
1− tg2a
Para que valores de a, tg(2a) está definida?
5.10 Fórmulas de transformação
senθ+ senφ = 2sen
(
θ+φ
2
)
cos
(
θ−φ
2
)
senθ− senφ = 2sen
(
θ−φ
2
)
cos
(
θ+φ
2
)
cosθ+ cosφ = 2cos
(
θ+φ
2
)
cos
(
θ−φ
2
)
cosθ− cosφ =−2sen
(
θ+φ
2
)
sen
(
θ−φ
2
)
17
5.11 Função inversa da função seno: arco seno
Como nós vimos anteriormente, a função seno não é injetiva, nem sobrejetiva. Para resolvermos o
problema de injetividade, basta restringirmos o domínio. Para resolvermos o problema de sobrejeti-
vidade, basta considerarmos como conjunto de chegada o contradomínio da função seno. Assim,
f : [−pi2 , pi2 ] −→ [−1,1]
x 7→ senx,
é uma função bijetiva, e portanto admite função inversa. Logo a função arco seno,
f−1 : [−1,1] −→ [−pi2 , pi2 ]
x 7→ arcsenx = sen−1(x)
é a função inversa da função seno.
x
y
1−1
pi
2
− pi2
Figura 15: Gráfico da função arco seno.
5.12 Função inversa da função cosseno: arco cosseno
Como nós vimos anteriormente, a função cosseno não é injetiva, nem sobrejetiva. Para resolvermos o
problema de injetividade, basta restringirmos o domínio. Para resolvermos o problema de sobrejeti-
vidade, basta considerarmos como conjunto de chegada o contradomínio da função cosseno. Assim,
f : [0,pi] −→ [−1,1]
x 7→ cosx,
é uma função bijetiva, e portanto admite função inversa. Logo a função arco cosseno,
f−1 : [−1,1] −→ [0,pi]
x 7→ arccosx = cos−1(x)
é a função inversa da função cosseno.
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x
y
1−1
pi
2
pi
0
Figura 16: Gráfico da função arco cosseno.
5.13 Função inversa da função tangente: arco tangente
Como nós vimos anteriormente, a função tangente não é nem injetiva, mas é sobrejetiva. Para resol-
vermos o problema de injetividade, basta restringirmos o domínio. Assim,
f : [−pi2 , pi2 ] −→ R
x 7→ tgx,
é uma função bijetiva, e portanto admite função inversa. Logo a função arco tangente,
f−1 : [−1,1] −→ [0,pi]
x 7→ arctgx = tg−1(x)
é a função inversa da função tangente.
x
y
pi
2
pi
2
0
Figura 17: Gráfico da função arco tangente.
5.14 Resolução de equações trigonométricas
Equações que envolvem a função seno
Quando se aplica o arco seno num ângulo, a calculadora dá-nos apenas uma solução. A primeira coisa
que temos que fazer é descobrir a que quadrante pertence o ângulo. Se obtivermos um ângulo positivo
θ do 1◦ quadrante, então a segunda solução, que pertence ao 2◦ quadrante, será pi−θ = 180◦−θ. Do
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mesmo modo, se a calculadora nos der um ângulo positivo θ do 2◦ quadrante, então a segunda solução,
que pertence ao 1◦ quadrante, será pi−θ = 180◦−θ.
Se a calculadora der um ângulo negativo θ do 4◦ quadrante, então a segunda solução que pertence ao
3◦ quadrante será−pi−θ =−180◦−θ. Do mesmo modo, se a calculadora nos der um ângulo negativo
θ do 3◦ quadrante, então a segunda solução, que pertence ao 4◦ quadrante, será −pi−θ =−180◦−θ.
Portanto, a solução geral para um ângulo positivo θ no 1◦ ou 2◦ quadrante é
x = θ+2kpi ∨ x = (pi−θ)+2kpi, k ∈ Z.
A solução geral para um ângulo negativo θ no 3◦ ou 4◦ quadrante é
x = θ+2kpi ∨ x = (−pi−θ)+2kpi, k ∈ Z.
Equações que envolvem a função cosseno
Quando se aplica o arco cosseno num ângulo, a calculadora dá-nos apenas uma solução. No entanto,
como a função cosseno é par, o caso é mais simples. Aplicando o arco cosseno, a calculadora dar-
nos-á um ângulo θ. A outra solução será −θ.
Portanto, a solução geral para um ângulo θ é
x = θ+2kpi ∨ x =−θ+2kpi, k ∈ Z.
Equações que envolvem a função tangente
Quando se aplica o arco tangente, a calculadora dá-nos apenas uma solução. No entanto, como o
período da tangente é apenas pi, então só precisamos de uma solução.
Assim, a solução geral para um ângulo θ é
x = θ+ kpi, k ∈ Z.
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	Conjuntos
	Potenciação
	Radiciação
	Funções
	Função afim
	Função quadrática
	Funções definidas por trechos
	Função exponencial
	Função logarítmica
	Trigonometria
	Ângulos negativos
	Ângulos do 2 quadrante
	Ângulos do 3 quadrante
	Função seno
	Função cosseno
	Função tangente
	Fórmula fundamental da trigonometria
	Fórmulas da soma e diferença de dois ângulos
	Fórmulas de duplicação
	Fórmulas de transformação
	Função inversa da função seno: arco seno
	Função inversa da função cosseno: arco cosseno
	Função inversa da função tangente: arco tangente
	Resolução de equações trigonométricas