Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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s, d, g...) não mudam de sinal com a inversão 
("gerade"). 
A representação matricial (de uma rotação a) com respeito à inversão vem 
dada por: 
 
l
l
l
l
)l(
)1(000
0)1(00
00)1(0
000)1(
-
-
-
-
=G
L
L
MMLMM
L
L
 
 
(Equação 27) Traço de cl(i) = (-1)l (2l + 1) 
 
Vale salientar, que a Equação 19 só tem validade para as operações 
próprias. 
Para as operações impróprias, em virtude da inversão, cl(a) ficará: 
(Compare a com as Equações 26 e 27): 
 
(Equação 28) 
2
sen
)
2
1
l(sen)1(
)(
l
)l( a
a+-
=ac 
De posse das Equações 19, 26 e 27, podemos calcular os caracteres da 
representação redutível cl(R) para o orbital em um determinado grupo pontual. Por 
exemplo, o orbital p no grupo Oh: 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -73 - 
Oh E 8 C3 6 C2 6 C4 3 C2 i 6 S4 8 S6 3 sh 6 sd 
cl(R) 3 0 -1 +1 -1 -3 -1 0 +1 +1 
 
Com o conhecimento de cl(R), (caracteres da representação redutível para 
o orbital) podemos calcular o desdobramento do orbital no referido grupo pela fórmula: 
 
(Equação 29) å cc= )R(nh
1
n liri 
 
Empregando-se a Equação 29 para os orbitais p encontra-se: 
n(A1g) = 0 
n(A2g) = 0 
n(A1u) = 0 
n(A2u) = 0 
n(Eg) = 0 
n(Eu) = 0 
n(T1g) = 0 
n(T2g) = 0 
n(T2u) = 0 
n(T1u) = 1. 
Portanto, o conjunto dos três orbitais p forma uma base para a 
representação T1u em Oh. 
A Tabela 7 mostra o cálculo dos caracteres da representação redutível cl(R) 
para vários orbitais. 
 
Tabela 7. Caracteres da Representação Redutível para os Orbitais s, p, d, f, g e h. 
 cl(E) cl(C6) cl(C4) cl(C3) cl(C2) cl(i) cl(S3) cl(S4) cl(S6) cl(s) 
a 0o 60o 90o 120o 180o 0o 60o 90o 120o 180o 
s (l = 0) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
p (l = 1) 3 2 1 0 -1 -3 -2 -1 0 1 
d (l = 2) 5 1 -1 -1 1 5 1 -1 -1 1 
f (l = 3) 7 -1 -1 1 -1 -7 1 1 -1 1 
g (l = 5) 9 -2 1 0 1 9 -2 1 0 1 
h (l = 5) 11 -1 1 -1 -1 -11 -1 -1 1 1 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -74 - 
6.4 - EXERCÍCIOS 
1º Execício: 
Dado o grupo de ponto C4v: 
C4v E C2 2 C4 2 sv 2 sv 
A1 1 1 1 1 1 
A2 1 1 1 -1 -1 
B1 1 1 -1 1 -1 
B2 1 1 -1 -1 1 
E 2 -2 0 0 0 
A1 Ä A1 1 1 1 -1 -1 
B1 Ä E 2 -2 0 0 0 
A1 Ä E Ä B2 2 -2 0 0 0 
E2 4 4 0 0 0 
 
prove que: 
a) A1 Ä A1 = A2 
b) B1 Ä E = E 
c) A1 Ä E Ä B2 = E 
d) E2 = A1 + A2 + B1 + B2 
2º Execício: 
Encontre as componentes irredutíveis de uma representação do grupo O 
com os seguintens caracteres: 
O E 8 C3 3 C2 6 C2\u2019 6 C4 
c 17 -1 5 -1 -3 
3º Execício: 
Usando a tabela de caracteres do grupo de ponto D2h, mostre que duas 
representações irredutíveis são ortogonais. 
 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -75 - 
4º Execício: 
Complete a tabela abaixo, com os símbolos apropriados. 
Grupo Orbital atômico Símbolo 
s 
px, py, pz 
dx2-y2, dz2 
Td 
dxy, dyz, dxy 
 
5º Execício: 
Quais dos produtos abaixo, para o grupo de ponto D3h contém A1\u2019 ? 
a. E' Ä E' 
b. A2\u2019 Ä E\u201d 
c. A2\u2019 Ä A1\u201d 
6º Execício: 
Decomponha as seguintes representações redutíveis em suas componentes 
irredutíveis: 
D3h E 2 C3 3 C2 sh 2 S3 3 sv 
Ga 5 2 1 3 0 3 
Gb 3 0 -1 -3 0 1 
Gc 3 0 -1 3 0 -1 
7º Execício: 
O grupo de ponto Td apresenta as seguintes representações: 
Td E 8 C3 3 C3 6 S4 6 sd 
c(a) 4 1 0 0 2 
 
c(a) é uma representação redutível ou irredutível ? Justifique. 
 
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8º Execício: 
Consultando apenas a tabela de caracteres do grupo Oh, mostre que os 
orbitais f estão assim representados: c(f) = a2u + t1u + t2u 
9º Execício: 
Usando as formulas adequadas, mostre que os orbitais d se desdobram em 
eg e t2g no grupo de ponto Oh. 
10º Execício: 
Faça o produto de: 
a. E1 Ä E1 no grupo de ponto D4d 
b. T1 Ä T2 no grupo de ponto Td 
c. E Ä T1 no grupo de ponto O 
11º Execício: 
Reduza as seguintes representações redutíveis: 
C2h E C2 i sh 
G1 8 0 6 2 
G2 3 1 -3 -1 
12º Execício: 
Se uma representação irredutível tem dimensão 3 e o caractere sobre a 
inversão é -1, então o símbolo desta representação é Tg ou Tu ? Justifique. 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -77 - 
7 - DESCENDÊNCIA DE SIMETRIA 
Partindo-se de um determinado grupo de ponto, podemos observar como se 
relaciona as representações irredutíveis deste grupo em um subgrupo, bastando que 
se verifique os caracteres dos elementos comuns aos dois grupos. De posse dos 
caracteres da representação redutível, usamos a fórmula de redução (Equação 5). Em 
muitos casos, pode existir mais do que uma correlação entre os mesmos. Podemos 
exemplificar, tomando-se os grupos C2v e Cs. Os elementos comuns aos dois grupos 
são E e s. Relacionando-se, inicialmente sxz e E do grupo C2v com sh e E do grupo Cs 
temos: 
 Cs 7.1.1.1.1.1 sh 
A' 1 1 
ci(R) 
A" 1 -1 
 GA1 = ctotal 1 1 1 
 GA2 = ctotal 2 1 -1 
 GB1 = ctotal 3 1 1 
 GB2 = ctotal 4 1 -1 
 
Relacionando-se agora A' (do grupo Cs) com as demais espécies do grupo 
C2v e aplicando-se a Equação 5, se obtém: 
A' e A1 Þ [ ] 1)1.1.1()1.1.1(
2
1
n 'A =+= 
A' e A2 Þ [ ] 0)1.1.1()1.1.1(
2
1
n 'A =-+= 
A' e B1 Þ [ ] 1)1.1.1()1.1.1(
2
1
n 'A =+= 
A' e B2 Þ [ ] 0)1.1.1()1.1.1(
2
1
n 'A =-+= 
 
Teremos, portanto a seguinte correlação: 
 
 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -78 - 
C2v ® Cs (sxz) 
A1 ® A\u2019 
B1 ® A\u2019 
 
Tomando-se agora A'' com as demais espécies de C2v e aplicando-se a 
Equação 5 obtemos: 
A\u201d e A1 Þ [ ] 0)1).1.(1()1.1.1(
2
1
n "A =-+= 
A\u201d e A2 Þ [ ] 1)1).1).(1(()1.1.1(
2
1
n "A =--+= 
A\u201d e B1 Þ [ ] 0)1).1.(1()1.1.1(
2
1
n "A =-+= 
A\u201d e B2 Þ [ ] 1)1).1).(1(()1.1.1(
2
1
n "A =--+= 
 
Teremos, portanto a seguinte correlação: 
 
C2v ® Cs (sxz) 
A2 ® A\u201d 
B2 ® A\u201d 
 
Relacionando-se E e syz do grupo C2v com E e sh do grupo de ponto Cs, tem-
se: 
 Cs E sh 
A' 1 1 
ci(R) 
A" 1 -1 
 GA1 = ctotal 5 1 1 
 GA2 = ctotal 6 1 -1 
 GB1 = ctotal 7 1 -1 
 GB2 = ctotal 8 1 1 
 
 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -79 - 
Com cálculos análogos, encontramos a seguinte correlação: 
 
C2v ® Cs (syz) 
A1 ® A\u2019 
A2 ® A\u201d 
B1 ® A\u201d 
B2 ® A\u2019 
 
Portanto, podemos resumir a correlação entre o grupo de ponto C2v e o grupo de ponto 
Cs como: 
 (sxz) (syz) 
C2v (h = 4) ® Cs (h = 2) Cs (h = 2) 
A1 ® A\u2019 A\u2019 
A2 ® A\u201d A\u201d 
B1 ® A\u2019 A\u201d 
B2 ® A\u201d A\u2019 
 
2o Exemplo: 
A configuração d1 produz, no grupo de ponto Oh, os estados eletrônicos 2Eg 
e 2T2g. Como se desdobram estes estados na simetria D3 ? 
 
Resolução: 
As espécies comuns à Oh e D3 são E, C3 e C2: 
Oh E 8 C3 6 C2 6 C4 3 24C i 6 S4 8 S6 3 sh 6 sd 
Eg 2 -1 0 0 2 2 0 -1 2 0 
T2g 3 0 1 -1 -1 3 -1 0 -1 1 
 
D3 E 2 C3 3 C2 
A1 1 1 1 
A2 1 1 -1 
E 2 -1 0 
Eg 2 -1 0 
T2g 3 0 1 
Para Eg tem-se: 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -80 - 
[ ] 0)0.1.3())1.(1.2()2.1.1(
6
1
n
1A
=+-+= 
[ ] 0)0).1.(3())1.(1.2()2.1.1(
6
1
n
2A
=-+-+= 
[ ] 1)0.0.3())1).(1.(2()2.2.1(
6
1
nE =+--+= 
 
Para T2g temos: 
[ ] 1)1.1.3()0.1.2()3.1.1(
6
1
n
1A
=++= 
[ ] 0)1).1.(3()0.1.2()3.1.1(
6
1
n
2A
=-++= 
[ ] 1)1.0.3()0).1.(2()3.1.1(
6
1
nE =+-+= 
 
Portanto: 
Oh ® D3 
2Eg ® 2E 
2T2g ® 2A1 + 2E 
 
A Tabela 8 ilustra a descendência de simetria do grupo de ponto Oh para vários 
outros grupos de ponto. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia
Marcela
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fçvida fudida
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