Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala

SIMETRIA 
 
Ao se efetuar duas operações de simetria, A e B em ordem seguida, então 
esta operação múltipla é escrita como B Ä A, isto é, efetua-se primeiro a operação A e, 
em seguida, a operação B. Por exemplo, i x sv significa refletir primeiro sobre sv e 
depois inverter. No caso do difluorometano (Figura 24), o resultado de efetuar um C2 
seguido da operação sv é equivalente a efetuar uma única operação ,vs e, pode-se 
expressar esta igualdade como sv x C2 = ,vs (Figura 25). Os elementos de simetria C2 e 
sv geram o elemento ,vs . Observa-se, na Figura 25, que sv x C2 = C2 x sv. Em geral, se 
para duas operações de simetria A e B, A x B = B x A, então A e B comutam. Se A x B 
¹ B x A, então A e B não comutam. Um exemplo de um par de operações que não 
comutam é C3 e sv no BF3 (Figura 26). 
H H
FF sv
s'v
C2
 
Figura 24 - Planos de Simetria do CF2H2 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -20 - 
C2
H(a) H(b)
F(b)F(a)
H(a)H(b)
F(b) F(a)
sv
H(a)H(b)
F(a) F(b)
s'v
H(b)H(a)
F(b) F(a)
sv
C2
 
Figura 25 - Demonstração de que sv Ä C2 = C2 Ä sv e que ,vs = sv Ä C2 
 
1
3
2
sv1
sv2
sv3
C3
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -21 - 
1
3
2
C3
3
2
1
3
1
2
2
3
1
1
2
3sv2
sv2
C3
sv1
sv3
 
Figura 26 - 2vs Ä C3 é diferente de C3 Ä 
2
vs 
 
Nota-se que 2vs Ä C3 = 
3
vs e que C3 Ä 
2
vs = 
1
vs , portanto, estas operações 
não comutam. 
Observa-se também que 12C
- = C2 onde 12C
- indica uma rotação de 180o no 
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Entretanto, para n >2 a operação Cn não 
é igual a sua inversa. Isto pode ser ilustrado para o BF3 na Figura 27, a qual mostra 
que 13C
- = 23C e, em geral, 
1
nC
- = 1nnC
- . 
 
1
3
2 C3 3
2
1
2
1
3C32
C3-1 
Figura 27 - 13C
- = 23C 
3.2 - REGRAS PARA CLASSIFICAÇÃO DE MOLÉCULAS NOS GRUPOS 
PONTUAIS 
 
Seguindo a notação de Schoenflies, cada grupo será rotulado pelos 
elementos do grupo necessário para determiná-los. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -22 - 
 
3.2.1 - Grupos de Rotação Simples: 
1. Cn \u2014 Esses são grupos nos quais somente simetrias consistindo de um único 
eixo de ordem n estão presentes. Esses são grupos abelianos cíclicos de ordem 
n. Por exemplo, o grupo C6 contém as rotações {C6, 26C = C3, 
3
6C = C2, 
4
6C = 
2
3C 
= 13C
- , 56C = 
1
6C
- , 66C = E}. Pode-se provar que grupos consistentes com a 
simetria translacional num sólido são somente C1, C2, C3, C4 e C6. 
2. Cnv \u2014 Esses grupos são constituídos de planos de reflexão sv mais um eixo Cn. 
Por exemplo, grupos C2v, C3v, C4v, C6V. 
3. Cnh \u2014 Esses grupos contêm um plano de reflexão sh, assim como o eixo Cn. Por 
exemplo, grupos C1h, C2h, C3h , C4h, C6h. O grupo C1h é constituído somente de 
elementos {E, sh} e é também conhecido como Cs. Note que os grupos do tipo 
C2n,h incluem a simetria de inversão (operação i). 
4. Sn \u2014 Esses grupos contêm um eixo de rotação imprópria de ordem n. Se n for 
ímpar, são idênticos aos Cnh e não serão considerados aqui. Se n for par, eles 
formam um grupo distinto, cada qual incluindo o grupo Cn/2 como subgrupo. A 
operação S2 é equivalente à operação de inversão. Assim, o grupo S2, também 
conhecido como C i, é constituído de elementos {E, i}. Exemplos: S2 , S4 , S6. 
5. Dn \u2014 Esses grupos possuem n eixos duplos (ou de ordem 2) perpendiculares ao 
eixo principal Cn. Como exemplo, considerar n = 2. O eixo principal é C2. Então, o 
grupo sendo D2, possui 2 eixos C2 que são perpendiculares ao eixo principal. 
Portanto, o grupo D2 tem três eixos C2 mutuamente ortogonais. 
6. Dnd \u2014 Esses grupos têm os elementos de Dn junto com um plano diagonal de 
reflexão sd, que é bissetor dos eixos duplos perpendiculares ao eixo principal de 
rotação de maior ordem. 
7. Dnh \u2014 Esses grupos contêm os elementos de Dn mais a reflexão em um plano 
horizontal, sh. Então, Dnh possui duas vezes o número de elementos de Dn . 
 
Alguns desses grupos podem ser expressos como produto direto de um 
grupo mais simples com o grupo de inversão, como nos casos abaixo: 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -23 - 
C2h = C2 Ä Ci D2h = D2 Ä Ci 
C4h = C4 Ä Ci D4h = D4 Ä Ci 
C6h = C6 Ä Ci D6h = D6 Ä Ci 
S6 = C3 Ä Ci D3d = D3 Ä Ci 
Os grupos acima mencionados podem ser representados de forma 
esquemática através de uma projeção estereográfica como mostrado na Figura 28. O 
sinal " + " significa acima do plano, " O " abaixo do plano e " Å " no plano. 
 
Figura 28 - Projeção Estereográfica dos Grupos Pontuais 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -24 - 
3.2.2 - Grupos de Alta Simetria 
8. T \u2014 Este é o menor dos grupos de alta simetria. As operações de simetria dele 
consistem de 12 rotações próprias de um tetraedro regular. 
9. Td \u2014 É o grupo do tetraedro completo. Contém todas as operações de simetria 
de um tetraedro regular incluindo as reflexões. Contém 24 elementos. 
Freqüentemente, CH4 é citado como exemplo de molécula que possui esta 
simetria. 
10. Th \u2014 Grupo formado de 24 elementos, tomando o produto direto do grupo T com 
o grupo de inversão (S2 ou C i). 
11. O \u2014 Grupo cuja operação de simetria são rotações próprias de um cubo ou de 
um octaedro. Este grupo contém 24 elementos. 
12. Oh \u2014 É o grupo do octaedro completo. Este é o maior dos grupos pontuais e é 
formado pelo produto direto O Ä Ci, resultando em 48 elementos. Obviamente 
contém a simetria de um cubo. 
 
3.2.3 - Grupo das Moléculas Lineares 
13. C¥v \u2014 Este é o grupo das moléculas lineares gerais. Ele tem uma completa 
simetria rotacional sobre o eixo molecular e a simetria de reflexão em qualquer 
plano vertical contendo o mesmo eixo. 
14. D¥h \u2014 Este grupo, além de uma completa simetria rotacional sobre o eixo 
molecular, possui um plano de reflexão horizontal e eixos C2 contidos nele, que 
passam pelo centro da molécula. Exemplos de moléculas que têm esta simetria 
são as moléculas diatômicas homonucleares e moléculas lineares simétricas 
como CO2. 
 
3.3 - PROCEDIMENTO SISTEMÁTICO PARA CLASSIFICAÇÃO DAS 
MOLÉCULAS NOS GRUPOS PONTUAIS 
 
Até agora foram discutidos conjuntos de operações de simetria que 
constituem um grupo matemático, e diversas espécies de grupos que se espera 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -25 - 
encontrar nas moléculas ou sólidos. Para classificar as simetrias corretamente, é 
necessário seguir uma seqüência sistemática de etapas, como ilustrado na Figura 29. 
 
Exemplos: 
a) O etino (C2H2) é uma molécula linear, portanto pertence ao grupo D¥h ou 
C¥h. Como a molécula apresenta um número infinito de eixos C2 
perpendiculares a C¥, então o grupo pontual será D¥h. 
b) HCN é uma molécula linear e não apresenta um número infinito de eixos 
C2 perpendiculares a C¥, portanto o grupo pontual é C¥v. 
c) H2O apresenta os seguintes elementos de simetria: E, C2, sxz, syz. C2 é o 
eixo de maior ordem. Não existe S4 nem 2C2 perpendiculares a C2, 
portanto, a molécula será C2h, C2v ou C2. Como possui 2sv e nenhum sh, 
o grupo pontual é C2v. 
d) Moléculas AB3 planar \u2013 O eixo máximo de rotação é de ordem 3. Não 
apresenta S6 (S2n). Tem 3 eixos C2 perpendiculares ao C3, portanto a 
classificação de mesma será D. A citada molécula apresenta ainda 3sv e 
um sh, entretanto, o plano sh predomina e a simetria será D3h. (obs. o 
grupo Dnd contém necessariamente n planos verticais). 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -26 -