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Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala

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SIMETRIA 
 
Ao se efetuar duas operações de simetria, A e B em ordem seguida, então 
esta operação múltipla é escrita como B Ä A, isto é, efetua-se primeiro a operação A e, 
em seguida, a operação B. Por exemplo, i x sv significa refletir primeiro sobre sv e 
depois inverter. No caso do difluorometano (Figura 24), o resultado de efetuar um C2 
seguido da operação sv é equivalente a efetuar uma única operação ,vs e, pode-se 
expressar esta igualdade como sv x C2 = ,vs (Figura 25). Os elementos de simetria C2 e 
sv geram o elemento ,vs . Observa-se, na Figura 25, que sv x C2 = C2 x sv. Em geral, se 
para duas operações de simetria A e B, A x B = B x A, então A e B comutam. Se A x B 
¹ B x A, então A e B não comutam. Um exemplo de um par de operações que não 
comutam é C3 e sv no BF3 (Figura 26). 
H H
FF sv
s'v
C2
 
Figura 24 - Planos de Simetria do CF2H2 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -20 - 
C2
H(a) H(b)
F(b)F(a)
H(a)H(b)
F(b) F(a)
sv
H(a)H(b)
F(a) F(b)
s'v
H(b)H(a)
F(b) F(a)
sv
C2
 
Figura 25 - Demonstração de que sv Ä C2 = C2 Ä sv e que ,vs = sv Ä C2 
 
1
3
2
sv1
sv2
sv3
C3
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -21 - 
1
3
2
C3
3
2
1
3
1
2
2
3
1
1
2
3sv2
sv2
C3
sv1
sv3
 
Figura 26 - 2vs Ä C3 é diferente de C3 Ä 
2
vs 
 
Nota-se que 2vs Ä C3 = 
3
vs e que C3 Ä 
2
vs = 
1
vs , portanto, estas operações 
não comutam. 
Observa-se também que 12C
- = C2 onde 12C
- indica uma rotação de 180o no 
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Entretanto, para n >2 a operação Cn não 
é igual a sua inversa. Isto pode ser ilustrado para o BF3 na Figura 27, a qual mostra 
que 13C
- = 23C e, em geral, 
1
nC
- = 1nnC
- . 
 
1
3
2 C3 3
2
1
2
1
3C32
C3-1 
Figura 27 - 13C
- = 23C 
3.2 - REGRAS PARA CLASSIFICAÇÃO DE MOLÉCULAS NOS GRUPOS 
PONTUAIS 
 
Seguindo a notação de Schoenflies, cada grupo será rotulado pelos 
elementos do grupo necessário para determiná-los. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -22 - 
 
3.2.1 - Grupos de Rotação Simples: 
1. Cn — Esses são grupos nos quais somente simetrias consistindo de um único 
eixo de ordem n estão presentes. Esses são grupos abelianos cíclicos de ordem 
n. Por exemplo, o grupo C6 contém as rotações {C6, 26C = C3, 
3
6C = C2, 
4
6C = 
2
3C 
= 13C
- , 56C = 
1
6C
- , 66C = E}. Pode-se provar que grupos consistentes com a 
simetria translacional num sólido são somente C1, C2, C3, C4 e C6. 
2. Cnv — Esses grupos são constituídos de planos de reflexão sv mais um eixo Cn. 
Por exemplo, grupos C2v, C3v, C4v, C6V. 
3. Cnh — Esses grupos contêm um plano de reflexão sh, assim como o eixo Cn. Por 
exemplo, grupos C1h, C2h, C3h , C4h, C6h. O grupo C1h é constituído somente de 
elementos {E, sh} e é também conhecido como Cs. Note que os grupos do tipo 
C2n,h incluem a simetria de inversão (operação i). 
4. Sn — Esses grupos contêm um eixo de rotação imprópria de ordem n. Se n for 
ímpar, são idênticos aos Cnh e não serão considerados aqui. Se n for par, eles 
formam um grupo distinto, cada qual incluindo o grupo Cn/2 como subgrupo. A 
operação S2 é equivalente à operação de inversão. Assim, o grupo S2, também 
conhecido como C i, é constituído de elementos {E, i}. Exemplos: S2 , S4 , S6. 
5. Dn — Esses grupos possuem n eixos duplos (ou de ordem 2) perpendiculares ao 
eixo principal Cn. Como exemplo, considerar n = 2. O eixo principal é C2. Então, o 
grupo sendo D2, possui 2 eixos C2 que são perpendiculares ao eixo principal. 
Portanto, o grupo D2 tem três eixos C2 mutuamente ortogonais. 
6. Dnd — Esses grupos têm os elementos de Dn junto com um plano diagonal de 
reflexão sd, que é bissetor dos eixos duplos perpendiculares ao eixo principal de 
rotação de maior ordem. 
7. Dnh — Esses grupos contêm os elementos de Dn mais a reflexão em um plano 
horizontal, sh. Então, Dnh possui duas vezes o número de elementos de Dn . 
 
Alguns desses grupos podem ser expressos como produto direto de um 
grupo mais simples com o grupo de inversão, como nos casos abaixo: 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -23 - 
C2h = C2 Ä Ci D2h = D2 Ä Ci 
C4h = C4 Ä Ci D4h = D4 Ä Ci 
C6h = C6 Ä Ci D6h = D6 Ä Ci 
S6 = C3 Ä Ci D3d = D3 Ä Ci 
Os grupos acima mencionados podem ser representados de forma 
esquemática através de uma projeção estereográfica como mostrado na Figura 28. O 
sinal " + " significa acima do plano, " O " abaixo do plano e " Å " no plano. 
 
Figura 28 - Projeção Estereográfica dos Grupos Pontuais 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -24 - 
3.2.2 - Grupos de Alta Simetria 
8. T — Este é o menor dos grupos de alta simetria. As operações de simetria dele 
consistem de 12 rotações próprias de um tetraedro regular. 
9. Td — É o grupo do tetraedro completo. Contém todas as operações de simetria 
de um tetraedro regular incluindo as reflexões. Contém 24 elementos. 
Freqüentemente, CH4 é citado como exemplo de molécula que possui esta 
simetria. 
10. Th — Grupo formado de 24 elementos, tomando o produto direto do grupo T com 
o grupo de inversão (S2 ou C i). 
11. O — Grupo cuja operação de simetria são rotações próprias de um cubo ou de 
um octaedro. Este grupo contém 24 elementos. 
12. Oh — É o grupo do octaedro completo. Este é o maior dos grupos pontuais e é 
formado pelo produto direto O Ä Ci, resultando em 48 elementos. Obviamente 
contém a simetria de um cubo. 
 
3.2.3 - Grupo das Moléculas Lineares 
13. C¥v — Este é o grupo das moléculas lineares gerais. Ele tem uma completa 
simetria rotacional sobre o eixo molecular e a simetria de reflexão em qualquer 
plano vertical contendo o mesmo eixo. 
14. D¥h — Este grupo, além de uma completa simetria rotacional sobre o eixo 
molecular, possui um plano de reflexão horizontal e eixos C2 contidos nele, que 
passam pelo centro da molécula. Exemplos de moléculas que têm esta simetria 
são as moléculas diatômicas homonucleares e moléculas lineares simétricas 
como CO2. 
 
3.3 - PROCEDIMENTO SISTEMÁTICO PARA CLASSIFICAÇÃO DAS 
MOLÉCULAS NOS GRUPOS PONTUAIS 
 
Até agora foram discutidos conjuntos de operações de simetria que 
constituem um grupo matemático, e diversas espécies de grupos que se espera 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -25 - 
encontrar nas moléculas ou sólidos. Para classificar as simetrias corretamente, é 
necessário seguir uma seqüência sistemática de etapas, como ilustrado na Figura 29. 
 
Exemplos: 
a) O etino (C2H2) é uma molécula linear, portanto pertence ao grupo D¥h ou 
C¥h. Como a molécula apresenta um número infinito de eixos C2 
perpendiculares a C¥, então o grupo pontual será D¥h. 
b) HCN é uma molécula linear e não apresenta um número infinito de eixos 
C2 perpendiculares a C¥, portanto o grupo pontual é C¥v. 
c) H2O apresenta os seguintes elementos de simetria: E, C2, sxz, syz. C2 é o 
eixo de maior ordem. Não existe S4 nem 2C2 perpendiculares a C2, 
portanto, a molécula será C2h, C2v ou C2. Como possui 2sv e nenhum sh, 
o grupo pontual é C2v. 
d) Moléculas AB3 planar – O eixo máximo de rotação é de ordem 3. Não 
apresenta S6 (S2n). Tem 3 eixos C2 perpendiculares ao C3, portanto a 
classificação de mesma será D. A citada molécula apresenta ainda 3sv e 
um sh, entretanto, o plano sh predomina e a simetria será D3h. (obs. o 
grupo Dnd contém necessariamente n planos verticais). 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -26 -