Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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Figura 29 - Método para classificar as moléculas nos Grupos Pontuais.

Existe nC2 ^ Cn?
Sim Existe sh ?

Não

Dnh
Sim

Existe nsv ? Dnd
Sim

Não

Dn

Não

Existe S2n ? Sim

Não

S2n

Existe sh ?

Não

Cnh
Sim

Existe nsv ? Cnv
Sim

Não

Cn Moléculas de Simetria Intermediária

Entrada
Existe C¥ ? Sim Existe i ? Sim D¥ h

Não

C¥ v
Não Moléculas Lineares

Não

Existe 6C5 ? Sim Existe i ?

Não

I

Ih
Sim

Existe 3C4 ? Sim Existe i ?

Não

O

Oh
Sim

Não

Existe 4C3 ? Sim Existe i ?

Não

Th
Sim

Existe 6s ? Td
Sim

Não

T

Moléculas de Alta Simetria

Sim Existe Cn ?

Não

Existe s ?

Não

Existe i ?

Não

C1

Cs

C i

Sim

Sim

Moléculas de Baixa Simetria

Não

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -27 -

Figura 30 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C i

Figura 31 - Exemplo de molécula do grupo de ponto Cs

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -28 -

Figura 32 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C2

Figura 33 - Exemplo de molécula do grupo de ponto D2

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -29 -

Figura 34 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C2v

Figura 35 - Exemplo de molécula do grupo de ponto C2h

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -30 -

Figura 36 - Exemplo de molécula do grupo de ponto D2h

Figura 37 - Exemplo de molécula do grupo de ponto D2d

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -31 -

Figura 38 - Exemplo de molécula do grupo de ponto S4

Figura 39 - Exemplo de molécula do grupo de ponto Td

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -32 -

Figura 40 - Exemplo de molécula do grupo de ponto Oh

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -33 -

4 - PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES NA TEORIA DO GRUPO

O conjunto de todos os elementos de simetria de uma molécula constitui um

grupo pontual. O grupo pontual é também um grupo do ponto de vista matemático. Do

grande número de moléculas que existem ocorre apenas poucas combinações de

simetria entre as mesmas e podemos observar que existe um total de 32 grupos

pontuais.

Os elementos de todos os grupos obedecem a um conjunto de regras

simples. Com exemplos tomados dos grupos pontuais, podemos enumerá-las:

a) Deve existir um elemento identidade (E) que comuta com todos os

outros elementos do grupo, ou seja, A Ä E = E Ä A = A.

b) O produto de dois elementos de um grupo deve também ser um

elemento do grupo, oiu seja, A Ä B = C, A, B e C pertencem ao mesmo

grupo e em geral A Ä B é diferente de B Ä A.

c) A combinação dos elementos deve ser associativa, isto é (A Ä B) Ä C =

A Ä (B Ä C).

d) Cada elemento do grupo possui o seu inverso (que é único, podendo

ser o próprio elemento) que deve ser um elemento pertencente ao

grupo, isto é, se A é um elemento A-1 é o inverso de A, tal que A Ä A-1 =

A-1 Ä A = E.

As operações de simetria não comutam necessariamente, isto é, AB nem

sempre é igual à BA.

Pode se testar estas regras com a molécula de água que apresenta simetria

C2v com os seguintes elementos de simetria: { E, C2, syz , sxz } (Figuras 41 a 45).

E

Figura 41 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013

simetria C2v - Regra ( a ): Identidade

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -34 -

C2

H1 H2

z
y

x

H1H2

z

y

x

H1 H2

z

x
syz

y

sxz

Figura 42 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013

simetria C2v - Regra ( b ): Þ syz Ä C2 = sxz

C2

H1 H2

z
y

x

H1H2

z

y

x

H1 H2

z

x
syz

y

sxz

H1 H2

z

x

y

sxz

H1 H2

z
y

x

Figura 43 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013

simetria C2v - Regra ( c ): Þ (syz Ä C2) Ä sxz = syz Ä (C2 Ä sxz)

A = syz, B = C2, C = sxz

Para (A Ä B) Ä C Þ syz Ä C2 = sxz

sxz Ä sxz = E

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -35 -

H1 H2

z
y

x
sxz

H1 H2

z

x

y

C2

H1H2

z y

x

syz

H1H2

z y

x
syz

H1 H2

z
y

x

Figura 44 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013

simetria C2v - Regra ( c ): Þ (syz Ä C2) Ä sxz = syz Ä (C2 Ä sxz)

Para A Ä (B Ä C) Þ sxz Ä C2 = syz

syz Ä syz = E

C2

H1 H2

z
y

x

H1H2

z

y

x
C2

-1

H1 H2

z
y

x

E
Figura 45 - Aplicaçõe das regras da teoria do grupo sobre a molécula de H2O \u2013

simetria C2v - Regra ( d ) Þ 12C
- Ä 2C = E

Grupo Abeliano e Não Abeliano \u2013 Um grupo é dito abeliano quando todos

os elementos comutam uns com os outros, Isto é, para dois elementos P e Q, P Ä Q =

Q Ä P. Por exemplo, os elementos C3 e sv em D3h (exemplo: BF3) não comutam e D3h é

um grupo não Abeliano. Os grupos pontuais Cn, Sn, Cnh, C2v, D2, D2h são Abelianos.

Todos os outros são não Abelianos.

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -36 -

Ordem de um Grupo (h): é o número total de elementos no grupo. No

grupo pontual C2v a ordem é 4 {E, C2, sxz, syz}, no C3v a ordem é 6 {E, C3, 23C , sv´, sv\u201d,

sv\u2019\u2019\u2019}.

Classe de Operações: é o conjunto de elementos de tipos semelhantes. O

grupo C3v possui 3 classes: uma classe contém todos os planos sv, outra contém os

elementos C3 e 23C e a terceira classe é o elemento identidade (E). No grupo de ponto

D3h temos 6 classes {E, 2C3, 3C2, sh, 2S3, 3sv}. É útil lembrar que:

a) se um grupo pontual não contém eixo de ordem maior que 2, todos os

elementos de simetria estão em classes separadas, exemplo: C2v;

b) um centro de simetria (i), um plano sh e o elemento de identidade

constituem cada um por si só, uma classe.

Uma definição formal de classe é: O conjunto de elementos A, B, C, D, ..., N,

forma um classe se para todos os elementos do grupo ci tivermos:

i
1

i A cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N

i
1

i B cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N

i
1

i C cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N

i
1

i N cÄÄc
- = um dos conjuntos A, B, C, D, ..., N

Exemplo, o produto i
1
3

1
i C cÄÄc
- e i

2
3

1
i C cÄÄc
- , onde ci = sv:

1 3
2

sv1
sv2

sv3

sv1
1 2

3 C32 3 1
2 sv1 3 2

1

C31

-1

Figura 46 - C3 e 23C pertencentes à mesma classe no grupo pontual C3v,

A Figura 46 ilustra o fato de que v
2
3

1
v

1
3 C C sÄÄs=

- , o que mostra que C3 e

2
3C estão na mesma classe.

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -37 -

A Figura 47 ilustra as condições 13
1
v

1
3

3
v C C ÄsÄ=s

- e 23
1
v

2
3

2
v C C ÄsÄ=s

- ,

o que mostra que sv, sv\u2019 e sv\u201d formam uma classe.

1 3
2

3 2
1

2 1
3

3 1
2

2 3
1

2 3
1

3 1
2

C32

C31

sv1

sv1

C3
-1

C3
-2

sv3

sv2
Figura 47 - Três planos verticais (sv, sv\u2019 e sv\u201d) pertencentes à mesma classe no grupo

de ponto C3v

4.1 - TABELA DE MULTIPLICAÇÃO DE GRUPOS

Dispondo-se de uma lista completa dos h elementos não repetidos de um

grupo finito e se todos os produtos possíveis entre eles (existe h2 produtos) estão

incluídos nesta lista, o grupo está definido de maneira completa. Considerando o grupo

finito G = (A, B, C). Geralmente, a tabela de multiplicação é arranjada de seguinte

modo:

G A B C

A AA AB AC

B BA BB BC

C CA CB CC

Considerando como exemplo,
Marcela
Marcela fez um comentário
fçvida fudida
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