Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala


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um objeto simétrico (Figura 48). O grupo 
pontual é C3v, contendo os seguintes elementos de simetria: { }3v2v1v-33 , , ,C ,C ,E sss+ . 
 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -38 - 
Ponto 
Operação 
1 2 3 
E a b c 
+
3C c a b 
-
3C b c a 
1
vs a c b 
2
vs c b a 
3
vs b a c 
 
Figura 48 - Algumas operações de simetria em uma molécula pertencente ao grupo 
pontual C3v. 
 
A Tabela de Multiplicação ficará assim arranjada: 
 
Tabela 1. Tabela de Multiplicação do Grupo Pontual C3v 
C3v E 
+
3C 
-
3C 
1
vs 
2
vs 
3
vs 
E E +3C 
-
3C 
1
vs 
2
vs 
3
vs 
+
3C 
+
3C 
-
3C E 
3
vs 
1
vs 
2
vs 
-
3C 
-
3C E 
+
3C 
2
vs 
3
vs 
1
vs 
1
vs 
1
vs 
2
vs 
3
vs E 
+
3C 
-
3C 
2
vs 
2
vs 
3
vs 
1
vs 
-
3C E 
+
3C 
3
vs 
3
vs 
1
vs 
2
vs 
+
3C 
-
3C E 
 
A tabela de multiplicação do exemplo anterior ilustra uma propriedade geral: 
 
Cada fila (e coluna) de uma tabela de multiplicação contém cada elemento 
do grupo uma vez e apenas uma vez. 
 
A tabela contém h2 produtos, neste caso, 36 produtos (62). 
 
a (1)
(3) c
(2) b
sv1
sv2
sv3
z
y
x
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -39 - 
4.2 - SUBGRUPOS: 
Constitui no sentido matemático (possui as quatro propriedades 
características de um grupo), mas o seU número de elementos é menor do que aquele 
do grupo maior. O grupo maior possui, portanto, todos os elementos de subgrupo e 
ainda, elementos adicionais. D4 (h = 8) é um subgrupo de D4h (h = 16); C3v (h = 6) é um 
subgrupo de Td (h = 24). 
A ordem h de um subgrupo H deve ser um divisor da ordem h\u2019 do grupo H\u2019. 
Assim, por exemplo, o grupo C3v pode ter somente subgrupos próprios de ordem 2 e 3. 
O conceito de subgrupo é importante para o uso das tabelas de correlação, cujas 
aplicações serão desenvolvidas mais adiante. 
 
4.3 - REPRESENTAÇÕES DE UM GRUPO 
As representações de grupos são feitas por meio de matrizes, cujo estudo é 
desenvolvido na maioria dos livros de matemática básica. Alguns exemplos de 
matrizes: 
 
| A | = 
54
31
 
| B | = 
1
6
 
| AB | = | C | = 
29
9
 
 
4.4 - CARÁTER OU TRAÇO DE UMA MATRIZ QUADRADA 
O traço de uma matriz quadrada (n x n) é representado por c (qui) e é 
definido como a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, a atriz A tem 
caráter igual a c = 1 + 5 = 6. 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -40 - 
4.5 - MATRIZ EM FORMA DE BLOCOS 
Um caso especial de produto entre matrizes quadradas ocorre quando estas 
apresentam elementos não nulos em blocos ao longo da diagonal principal e os demais 
elementos são todos nulos. 
Exemplo: 
| A | Ä | B | = | C | 
 
| A | = 
222000
111000
013000
000100
000040
000031
-
-
 
 
| B | = 
102000
013000
111000
000800
000011
000006
-
-
-
 
 
| C | = 
444000
204000
346000
000800
000044
000039
-
-
-
-
 
 
A propriedade mais importante deste tipo de matriz é que cada bloco pode 
ser multiplicado separadamente, obtendo-se o mesmo resultado ao multiplicarem-se as 
matrizes correspondentes, isto é: 
 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -41 - 
40
31
 Ä 
11
06
-
-
 = 
44
39
-
-
 
 
| -1 | x | 8 | = | -8 | 
 
222
111
013
- Ä 
012
013
111
-
 = 
444
204
346
- 
 
Cada um destes blocos constituirá, como veremos mais adiante, uma 
representação irredutível. 
 
4.6 - NOMENCLATURA DE MATRIZES NAS TRANSFORMAÇÕES 
GEOMÉTRICAS 
As operações que descrevem a simetria podem ser descritas por meio de 
matrizes. 
4.6.1 - Identidade (E) 
Quando um objeto de coordenadas x1, y1, z1 se submete à identidade, suas 
novas coordenadas x2, y2, z2 são iguais às iniciais, teremos portanto: 
E Þ 
1 
1 
1 
z
y
x
 Ä 
100
010
001
 = 
2 
2 
2 
z
y
x
 
 
4.6.2 - Reflexões (sxy, sxz, syz) 
A reflexão de um ponto geralmente muda o sinal da coordenada medida 
perpendicularmente ao plano: 
sxy Þ 
1 
1 
1 
z
y
x
 Ä 
100
010
001
-
 = 
2 
2 
2 
z
y
x
 Þ z2 = -z1 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -42 - 
sxz Þ 
1 
1 
1 
z
y
x
 Ä 
100
010
001
- = 
2 
2 
2 
z
y
x
 Þ y2 = -y1 
 
syz Þ 
1 
1 
1 
z
y
x
 Ä 
100
010
001-
 = 
2 
2 
2 
z
y
x
 Þ x2 = -x1 
 
4.6.3 - Inversão (i) 
As coordenadas x1, y1, z1 se transformam em nas coordenadas x2, y2, z2, 
onde x2 = -x1, y2 = -y1 e z2 = -z1: 
i Þ 
1 
1 
1 
z
y
x
 Ä 
100
010
001
-
-
-
 = 
2 
2 
2 
z
y
x
 
 
4.6.4 - Rotação Própria (Cn) 
A rotação em um ponto A, no sentido horário, conforme mostra a Figura 49 
(rotação em torno de z que permanece inalterado) é dada por: 
A (x1, y1)
B (x2, y2)
x1 x2
y1
y2
Y
q
Y - q
 
Figura 49 - Rotação do ponto A em z (plano xy) 
 
cos(y - q) = cos y . cos q + sen y . sen q, 
portanto: sen 
r
y
 cos 
r
x
 
r
x 1 1 2 q+q= ou x2 = x1 cosq + y1 senq 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -43 - 
sen(y - q) = sen y . cos q - cos y . sen q, 
portanto: sen 
r
x
 cos 
r
y
 
r
y 1 1 2 q-q= ou y2 = y1 senq + y1 cosq 
escrevendo as duas igualdades em forma matricial, tem-se: 
 
Cn Þ 
1 
1 
1 
z
y
x
 Ä 
100
0 cos sen 
0 sen cos
qq-
qq
 = 
2 
2 
2 
z
y
x
 Þ c = 1 + 2 cosq 
 
4.6.5 - Rotação Imprópria (Sn) 
É semelhante à rotação própria, porém há uma mudança na coordenada z, 
portanto teremos: 
Sn Þ 
1 
1 
1 
z
y
x
 Ä 
100
0 cos sen 
0 sen cos
-
qq-
qq
 = 
2 
2 
2 
z
y
x
 Þ c = -1 + 2 cosq 
 
4.7 - REPRESENTAÇÃO CONFIGURACIONAL 
Este tipo de representação consiste na associação de um sistema cartesiano 
ortogonal a cada átomo. Esta representação é usada no estudo das vibrações 
moleculares. Se a molécula possuir n átomos, a representação terá a dimensão 3n x 
3n. A Figura 50 ilustra este sistema de coordenadas para o grupo C2v tomando-se 
como exemplo a molécula de SO2. 
 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
 
Figura 50 - Coordenadas configuracionais para a molécula de SO2 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -44 - 
4.7.1 - Matriz Identidades (E) 
Desde que as coordenadas não são afetadas por E, a equação matricial fica: 
E Þ 
f 
3 
f 
3 
f 
3 
f 
2 
f 
2 
f 
2 
f 
1 
f ' 
1 
f 
1 
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 = 
100000000
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000010
000000001
 Ä 
i
3
i
3
i
3
i
2
i
2
i
2
i
1
i
1
i
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 Þ ctot (E) = 9 
 
4.7.2 - Matriz Rotação Própria C2 
Somente o átomo de enxofre não é substituído. Para os átomos de oxigênio, 
observamos que: 
 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
C2
 
Figura 51 - Substituição das coordenadas devido a uma rotação de 180o na molécula 
de SO2 
 
Posição 1f Posição 2f Posição 3f 
f
1x ® -x2 
f
2x ® -x1 
f
3x ® -x3
Marcela
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fçvida fudida
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