Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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DisciplinaQuímica Inorgânica I2.772 materiais26.832 seguidores
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um objeto simétrico (Figura 48). O grupo

pontual é C3v, contendo os seguintes elementos de simetria: { }3v2v1v-33 , , ,C ,C ,E sss+ .

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -38 -

Ponto
Operação

1 2 3

E a b c

+
3C c a b

-
3C b c a
1
vs a c b
2
vs c b a
3
vs b a c

Figura 48 - Algumas operações de simetria em uma molécula pertencente ao grupo

pontual C3v.

A Tabela de Multiplicação ficará assim arranjada:

Tabela 1. Tabela de Multiplicação do Grupo Pontual C3v

C3v E
+
3C

-
3C

1
vs

2
vs

3
vs

E E +3C
-
3C

1
vs

2
vs

3
vs

+
3C

+
3C

-
3C E

3
vs

1
vs

2
vs

-
3C

-
3C E

+
3C

2
vs

3
vs

1
vs

1
vs

1
vs

2
vs

3
vs E

+
3C

-
3C

2
vs

2
vs

3
vs

1
vs

-
3C E

+
3C

3
vs

3
vs

1
vs

2
vs

+
3C

-
3C E

A tabela de multiplicação do exemplo anterior ilustra uma propriedade geral:

Cada fila (e coluna) de uma tabela de multiplicação contém cada elemento

do grupo uma vez e apenas uma vez.

A tabela contém h2 produtos, neste caso, 36 produtos (62).

a (1)
(3) c

(2) b

sv1

sv2

sv3

z

y

x

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -39 -

4.2 - SUBGRUPOS:

Constitui no sentido matemático (possui as quatro propriedades

características de um grupo), mas o seU número de elementos é menor do que aquele

do grupo maior. O grupo maior possui, portanto, todos os elementos de subgrupo e

ainda, elementos adicionais. D4 (h = 8) é um subgrupo de D4h (h = 16); C3v (h = 6) é um

subgrupo de Td (h = 24).

A ordem h de um subgrupo H deve ser um divisor da ordem h\u2019 do grupo H\u2019.

Assim, por exemplo, o grupo C3v pode ter somente subgrupos próprios de ordem 2 e 3.

O conceito de subgrupo é importante para o uso das tabelas de correlação, cujas

aplicações serão desenvolvidas mais adiante.

4.3 - REPRESENTAÇÕES DE UM GRUPO

As representações de grupos são feitas por meio de matrizes, cujo estudo é

desenvolvido na maioria dos livros de matemática básica. Alguns exemplos de

matrizes:

| A | =
54
31

| B | =
1
6

| AB | = | C | =
29
9

4.4 - CARÁTER OU TRAÇO DE UMA MATRIZ QUADRADA

O traço de uma matriz quadrada (n x n) é representado por c (qui) e é

definido como a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, a atriz A tem

caráter igual a c = 1 + 5 = 6.

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -40 -

4.5 - MATRIZ EM FORMA DE BLOCOS

Um caso especial de produto entre matrizes quadradas ocorre quando estas

apresentam elementos não nulos em blocos ao longo da diagonal principal e os demais

elementos são todos nulos.

Exemplo:

| A | Ä | B | = | C |

| A | =

222000

111000

013000

000100

000040

000031

-

-

| B | =

102000

013000

111000

000800

000011

000006

-

-

-

| C | =

444000

204000

346000

000800

000044

000039

-

-

-

-

A propriedade mais importante deste tipo de matriz é que cada bloco pode

ser multiplicado separadamente, obtendo-se o mesmo resultado ao multiplicarem-se as

matrizes correspondentes, isto é:

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -41 -

40
31

 Ä
11
06

-
-

 =
44
39

-
-

| -1 | x | 8 | = | -8 |

222
111
013

- Ä
012
013
111

-
 =

444
204
346

-

Cada um destes blocos constituirá, como veremos mais adiante, uma

representação irredutível.

4.6 - NOMENCLATURA DE MATRIZES NAS TRANSFORMAÇÕES

GEOMÉTRICAS

As operações que descrevem a simetria podem ser descritas por meio de

matrizes.

4.6.1 - Identidade (E)

Quando um objeto de coordenadas x1, y1, z1 se submete à identidade, suas

novas coordenadas x2, y2, z2 são iguais às iniciais, teremos portanto:

E Þ

1

1

1

z
y
x

 Ä
100
010
001

 =

2

2

2

z
y
x

4.6.2 - Reflexões (sxy, sxz, syz)

A reflexão de um ponto geralmente muda o sinal da coordenada medida

perpendicularmente ao plano:

sxy Þ

1

1

1

z
y
x

 Ä
100

010
001

-
 =

2

2

2

z
y
x

 Þ z2 = -z1

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -42 -

sxz Þ

1

1

1

z
y
x

 Ä
100
010
001

- =

2

2

2

z
y
x

 Þ y2 = -y1

syz Þ

1

1

1

z
y
x

 Ä
100
010
001-

 =

2

2

2

z
y
x

 Þ x2 = -x1

4.6.3 - Inversão (i)

As coordenadas x1, y1, z1 se transformam em nas coordenadas x2, y2, z2,

onde x2 = -x1, y2 = -y1 e z2 = -z1:

i Þ

1

1

1

z
y
x

 Ä
100

010
001

-
-

-
 =

2

2

2

z
y
x

4.6.4 - Rotação Própria (Cn)

A rotação em um ponto A, no sentido horário, conforme mostra a Figura 49

(rotação em torno de z que permanece inalterado) é dada por:

A (x1, y1)

B (x2, y2)

x1 x2

y1

y2
Y

q

Y - q

Figura 49 - Rotação do ponto A em z (plano xy)

cos(y - q) = cos y . cos q + sen y . sen q,

portanto: sen
r

y
 cos

r
x

r

x 1 1 2 q+q= ou x2 = x1 cosq + y1 senq

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -43 -

sen(y - q) = sen y . cos q - cos y . sen q,

portanto: sen
r

x
 cos

r
y

r

y 1 1 2 q-q= ou y2 = y1 senq + y1 cosq

escrevendo as duas igualdades em forma matricial, tem-se:

Cn Þ

1

1

1

z
y
x

 Ä
100
0 cos sen
0 sen cos

qq-
qq

 =

2

2

2

z
y
x

 Þ c = 1 + 2 cosq

4.6.5 - Rotação Imprópria (Sn)

É semelhante à rotação própria, porém há uma mudança na coordenada z,

portanto teremos:

Sn Þ

1

1

1

z
y
x

 Ä
100

0 cos sen
0 sen cos

-
qq-
qq

 =

2

2

2

z
y
x

 Þ c = -1 + 2 cosq

4.7 - REPRESENTAÇÃO CONFIGURACIONAL

Este tipo de representação consiste na associação de um sistema cartesiano

ortogonal a cada átomo. Esta representação é usada no estudo das vibrações

moleculares. Se a molécula possuir n átomos, a representação terá a dimensão 3n x

3n. A Figura 50 ilustra este sistema de coordenadas para o grupo C2v tomando-se

como exemplo a molécula de SO2.

z3
y3

x3
z2

y2

x2

z1
y1

x1

Figura 50 - Coordenadas configuracionais para a molécula de SO2

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -44 -

4.7.1 - Matriz Identidades (E)

Desde que as coordenadas não são afetadas por E, a equação matricial fica:

E Þ

f
3

f
3

f
3

f
2

f
2

f
2

f
1

f '
1

f
1

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 =

100000000
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000010
000000001

 Ä

i
3

i
3

i
3

i
2

i
2

i
2

i
1

i
1

i
1

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 Þ ctot (E) = 9

4.7.2 - Matriz Rotação Própria C2

Somente o átomo de enxofre não é substituído. Para os átomos de oxigênio,

observamos que:

z3
y3

x3
z2

y2

x2

z1
y1

x1

z3

y3

x3
z2

y2

x2

z1

y1

x1

C2

Figura 51 - Substituição das coordenadas devido a uma rotação de 180o na molécula

de SO2

Posição 1f Posição 2f Posição 3f

f
1x ® -x2

f
2x ® -x1

f
3x ® -x3
Marcela
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fçvida fudida
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