Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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à operação de simetria

e seu caráter é igual a +1

y1
operação de

simetria
(-1) y1

y1 é assimétrica em relação à operação de

simetria e seu caráter é igual a -1

Uma característica dos grupos não degenerados é que seus caracteres só

podem ser +1 ou -1.

Exemplo: O orbital px em uma simetria C2v:

z

x

Figura 55 - Representação do orbital px

Operação de simetria Resultado Representação

E(px) px +1

C2(px) -px -1

sxz(px) px +1

syz(px) -px -1

Este conjunto de quatro números, em um grupo pontual C2v, está associado

a que representação ?

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -53 -

C2v E C2 syz sxz

? 1 -1 1 -1

Considerando o movimento de rotação e translação da molécula de SO2,

pode-se determinar facilmente a representação do conjunto de quatro números

encontrados anteriormente.

z3
y3

x3
z2

y2

x2

z1
y1

x1

z

y

x

Rz

Ry

Rx

Tz

Ty

Tx

Figura 56 - Rotações e translações na molécula de SO2

Inicialmente fazem-se as operações de simetria, do grupo C2v, sobre as

rotações da molécula de SO2 nos três eixos (x, y, z)

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -54 -

z3
y3

x3
z2

y2

x2

z1
y1

x1

x

Rx

+

--

z3
y3

x3
z2

y2

x2

z1
y1

x1

y

Ry

z3
y3

x3
z2

y2

x2

z1
y1

x1

z

Rz

+-

Figura 57 - Identificação das rotações da molécula de SO2 nos eixos x, y e z. As

setas indicam o sentido da rotação; o sinal + ou - indica se o átomo em

questão entra ou sai no plano do papel com a respectiva rotação.

Após a aplicação de todas as operações sobre as rotações, obtém-se a

seguinte tabela:

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -55 -

Coordenadas E C2 sv
(xz) sv(yz) Espécie

Rx +1 -1 -1 +1 G1

Ry +1 -1 +1 -1 G2

Rz +1 +1 -1 -1 G3

Agora as operações de simetria deverão ser aplicadas sobre as translações:

z3
y3

x3
z2

y2

x2

z1
y1

x1

z

y

x

Tz

Ty

Tx

Figura 58 - Identificação de translações na molécula de SO2 nos eixos x, y e z. As

setas indicam o sentido da translação.

Após a aplicação de todas as operações sobre as translações obtém-se a

seguinte tabela:

Coordenadas E C2 sv(xz) sv(yz) Espécies

Tx +1 -1 +1 -1
G4

Ty +1 -1 -1 +1 G5

Tz +1 +1 +1 +1 G6

Ao comparar a tabela correspondente às rotações (cujas coordenadas são

Rx, Ry e Rz) com a tabela das translações, coordenadas (Tx, Ty, Tz), nota-se que a fila

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -56 -

cuja coordenada é Rx (G1) coincide com a fila cuja coordenada é Ty (G5) (+1, -1, -1, +1);

a fila cuja coordenada é Ry (G2), coincide com a fila cuja coordena da é Tx (G4) (+1, -1,

+1, -1). As duas tabelas podem então ser agrupadas numa única tabela, a saber,

(grupo pontual C2v):

C2v E C2 sv
(xz) sv(yz)

G1 1 1 1 1 Tz

G2 1 1 -1 -1 Rz

G3 1 -1 1 -1 Tx, Ry

G4 1 -1 -1 1 Ty, Rx

Os números nesta tabela são chamados caracteres das representações

irredutíveis do grupo pontual C2v.

As quatro representações (espécies) para o grupo pontual C2v designadas

como G1 G2 G3 G4 são as representações correspondentes às representações

irredutíveis. Esta nomenclatura foi proposta por Bethe e os significados, segundo R. S.

Mulliken, são:

a) Todas as representações unidimencionais são designadas como A

[cA(E) = 1] ou B [cB(E) = 1], as bidimencionais como E [cE(E) = 2] e as

tridimencionais como T (ou F) [cT(E) = 3]. O símbolo E também é usado

para representar o elemento identidade. T ocorre em moléculas que

apresentam mais do que um eixo C3.

b) As representações unidimencionais que são simétricas com relação à

rotação 2p/n ao redor do eixo principal Cn, ou seja, c(Cn) = 1, desigam-

se como A, enquanto aquelas que são assimétricas, c(Cn) = -1, como B;

c) Os índices 1 e 2 em A e B (A1, A2, B1, B2) designam aquelas que são

respectivamente simétrica e assimétrica com relação a um eixo C2

perpendicular ao eixo principal Cn. Caso não exista o eixo C2, considera-

se em relação a um plano vertical de simetria ou ao plano sxz.

d) Os simples e duploa apóstrofos ( \u2018 e \u201c ) são utilizados, quando for o

caso, para identificar se são simétricas ou assimétricas com relação a

sh.

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -57 -

e) Quando o grupo possui centro de inversão, os índices g ou u são

utilizados para indicar, respectivamente, se são simétricas ou

assimétricas com relação à inversão. O símbolo g vem da palavra alemã

gerade que significa par, e u vem de ungerade, que significa ímpar.

f) Em moléculas lineares (grupos C¥v e D¥h) os símbolos s+ ou S+ são

usados para as espécies simétricas com relação a um plano de simetria

através do eixo molecular. Os símbolos s- ou S- são usados para as

espécies que são assimétricas com relação a um plano de simetria

através do eixo molecular.

Com base no que foi exposto, pode-se completar a tabela do grupo C2v

(Tabela 2).

Tabela 2. Tabela de Caracteres do Grupo de ponto C2v

C2v E C2 sv
(xz) sv(yz)

A1 1 1 1 1 Tz

A2 1 1 -1 -1 Rz

B1 1 -1 1 -1 Tx, Ry

B2 1 -1 -1 1 Ty, Rx

Representação para o grupo C3v:

Como exemplo representativo deste grupo, tem-se a molécula de amônia (Figura

59).

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -58 -

N

H(1)
(3)H

(2)H

sv1

sv2

sv3

z

y

x

C3

Figura 59 - Elementos de simetria na molécula de NH3

Representação irredutível correspondente a A1:

C3v E C3 -3C º
2
3C

1
vs

2
vs

3
vs

A1 1 1 1 1 1 1 Tz

Representação irredutível correspondente a A2:

C3v E C3 -3C º
2
3C

1
vs

2
vs

3
vs

A2 1 1 1 -1 -1 -1 Rz

Representação irredutível correspondente a E:

Identidade E Þ

i

i

i

f

f

f

z
y

x

100
010

001

z
y

x

Ä= Traço = 2 (não é necessário considerar a

coordenada z)

Rotação C3 Þ

i

i

i

f

f

f

z
y

x

100
0cos120sen120

0sen120-cos120

z
y

x

Ä= ou

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -59 -

C3 Þ

i

i

i

f

f

f

z
y
x

100
02

1-
2

3

02
3-2

1-

z
y
x

Ä= Traço = -1 (considere apenas a matriz redutível, sem

a coordenada z)

Rotação -3C º
2
3C Þ

i

i

i

f

f

f

z
y

x

100
0cos240sen240

0sen240-cos240

z
y

x

Ä= ou

-
3C º

2
3C Þ

i

i

i

f

f

f

z
y
x

100
02

1-
2

3

02
3

2
1-

z
y
x

Ä-= Traço = -1 (considere apenas a matriz

redutível, sem a coordenada z)

Observa-se que C3 e -3C formam uma classe, portanto apresentam o mesmo

traço.

Reflexão 1vs Þ

i

i

i

f

f

f

z
y

x

100
010

001-

z
y

x

Ä= Traço = 0 (zero)

Reflexão 2vs Þ
2
vs =

1
vs ÄC3 =

100
02

1-
2

3

02
3-2

1-

 Ä
100
010

001-

 =
100
02

1-
2

3

02
3-2

1

-

2
vs Þ

i

i

i

f

f

f

z
y
x

100
02

1-
2

3

02
3

2
1

z
y
x

Ä-

-

= Traço = 0 (zero)

Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -60 -

Reflexão 3vs Þ
3
vs =

1
vs Ä

-
3C =

100
02

1-
2

3

02
3-2

1-

- Ä
100
010

001-

 =
100
02

1-
2

3

02
3

2
1

3
vs Þ

i

i

i

f

f

f

z
y
x
Marcela
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fçvida fudida
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