Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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à operação de simetria 
e seu caráter é igual a +1 
 
y1 
operação de 
simetria 
(-1) y1 
y1 é assimétrica em relação à operação de 
simetria e seu caráter é igual a -1 
 
Uma característica dos grupos não degenerados é que seus caracteres só 
podem ser +1 ou -1. 
Exemplo: O orbital px em uma simetria C2v: 
z
x
 
Figura 55 - Representação do orbital px 
 
Operação de simetria Resultado Representação 
E(px) px +1 
C2(px) -px -1 
sxz(px) px +1 
syz(px) -px -1 
 
Este conjunto de quatro números, em um grupo pontual C2v, está associado 
a que representação ? 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -53 - 
C2v E C2 syz sxz 
? 1 -1 1 -1 
 
Considerando o movimento de rotação e translação da molécula de SO2, 
pode-se determinar facilmente a representação do conjunto de quatro números 
encontrados anteriormente. 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
z
y
x
Rz
Ry
Rx
Tz
Ty
Tx
 
Figura 56 - Rotações e translações na molécula de SO2 
 
Inicialmente fazem-se as operações de simetria, do grupo C2v, sobre as 
rotações da molécula de SO2 nos três eixos (x, y, z) 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -54 - 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
x
Rx
+
--
 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
y
Ry
 
 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
z
Rz
+-
 
Figura 57 - Identificação das rotações da molécula de SO2 nos eixos x, y e z. As 
setas indicam o sentido da rotação; o sinal + ou - indica se o átomo em 
questão entra ou sai no plano do papel com a respectiva rotação. 
 
Após a aplicação de todas as operações sobre as rotações, obtém-se a 
seguinte tabela: 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -55 - 
Coordenadas E C2 sv
(xz) sv(yz) Espécie 
Rx +1 -1 -1 +1 G1 
Ry +1 -1 +1 -1 G2 
Rz +1 +1 -1 -1 G3 
 
Agora as operações de simetria deverão ser aplicadas sobre as translações: 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
z
y
x
Tz
Ty
Tx
 
Figura 58 - Identificação de translações na molécula de SO2 nos eixos x, y e z. As 
setas indicam o sentido da translação. 
 
Após a aplicação de todas as operações sobre as translações obtém-se a 
seguinte tabela: 
 
Coordenadas E C2 sv(xz) sv(yz) Espécies 
Tx +1 -1 +1 -1 
G4 
Ty +1 -1 -1 +1 G5 
Tz +1 +1 +1 +1 G6 
 
Ao comparar a tabela correspondente às rotações (cujas coordenadas são 
Rx, Ry e Rz) com a tabela das translações, coordenadas (Tx, Ty, Tz), nota-se que a fila 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -56 - 
cuja coordenada é Rx (G1) coincide com a fila cuja coordenada é Ty (G5) (+1, -1, -1, +1); 
a fila cuja coordenada é Ry (G2), coincide com a fila cuja coordena da é Tx (G4) (+1, -1, 
+1, -1). As duas tabelas podem então ser agrupadas numa única tabela, a saber, 
(grupo pontual C2v): 
 
C2v E C2 sv
(xz) sv(yz) 
G1 1 1 1 1 Tz 
G2 1 1 -1 -1 Rz 
G3 1 -1 1 -1 Tx, Ry 
G4 1 -1 -1 1 Ty, Rx 
 
Os números nesta tabela são chamados caracteres das representações 
irredutíveis do grupo pontual C2v. 
As quatro representações (espécies) para o grupo pontual C2v designadas 
como G1 G2 G3 G4 são as representações correspondentes às representações 
irredutíveis. Esta nomenclatura foi proposta por Bethe e os significados, segundo R. S. 
Mulliken, são: 
a) Todas as representações unidimencionais são designadas como A 
[cA(E) = 1] ou B [cB(E) = 1], as bidimencionais como E [cE(E) = 2] e as 
tridimencionais como T (ou F) [cT(E) = 3]. O símbolo E também é usado 
para representar o elemento identidade. T ocorre em moléculas que 
apresentam mais do que um eixo C3. 
b) As representações unidimencionais que são simétricas com relação à 
rotação 2p/n ao redor do eixo principal Cn, ou seja, c(Cn) = 1, desigam-
se como A, enquanto aquelas que são assimétricas, c(Cn) = -1, como B; 
c) Os índices 1 e 2 em A e B (A1, A2, B1, B2) designam aquelas que são 
respectivamente simétrica e assimétrica com relação a um eixo C2 
perpendicular ao eixo principal Cn. Caso não exista o eixo C2, considera-
se em relação a um plano vertical de simetria ou ao plano sxz. 
d) Os simples e duploa apóstrofos ( \u2018 e \u201c ) são utilizados, quando for o 
caso, para identificar se são simétricas ou assimétricas com relação a 
sh. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -57 - 
e) Quando o grupo possui centro de inversão, os índices g ou u são 
utilizados para indicar, respectivamente, se são simétricas ou 
assimétricas com relação à inversão. O símbolo g vem da palavra alemã 
gerade que significa par, e u vem de ungerade, que significa ímpar. 
f) Em moléculas lineares (grupos C¥v e D¥h) os símbolos s+ ou S+ são 
usados para as espécies simétricas com relação a um plano de simetria 
através do eixo molecular. Os símbolos s- ou S- são usados para as 
espécies que são assimétricas com relação a um plano de simetria 
através do eixo molecular. 
 
Com base no que foi exposto, pode-se completar a tabela do grupo C2v 
(Tabela 2). 
 
Tabela 2. Tabela de Caracteres do Grupo de ponto C2v 
C2v E C2 sv
(xz) sv(yz) 
A1 1 1 1 1 Tz 
A2 1 1 -1 -1 Rz 
B1 1 -1 1 -1 Tx, Ry 
B2 1 -1 -1 1 Ty, Rx 
 
Representação para o grupo C3v: 
Como exemplo representativo deste grupo, tem-se a molécula de amônia (Figura 
59). 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -58 - 
N
H(1)
(3)H
(2)H
sv1
sv2
sv3
z
y
x
C3
 
Figura 59 - Elementos de simetria na molécula de NH3 
 
Representação irredutível correspondente a A1: 
C3v E C3 -3C º
2
3C 
1
vs 
2
vs 
3
vs 
A1 1 1 1 1 1 1 Tz 
 
Representação irredutível correspondente a A2: 
C3v E C3 -3C º
2
3C 
1
vs 
2
vs 
3
vs 
A2 1 1 1 -1 -1 -1 Rz 
 
Representação irredutível correspondente a E: 
 
Identidade E Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
 
100
010
001
 
z
y
x
Ä= Traço = 2 (não é necessário considerar a 
coordenada z) 
 
Rotação C3 Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
 
100
0cos120sen120
0sen120-cos120
 
z
y
x
Ä= ou 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -59 - 
C3 Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
 
100
02
1-
2
3
02
3-2
1-
 
z
y
x
Ä= Traço = -1 (considere apenas a matriz redutível, sem 
a coordenada z) 
 
Rotação -3C º
2
3C Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
 
100
0cos240sen240
0sen240-cos240
 
z
y
x
Ä= ou 
 
-
3C º
2
3C Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
 
100
02
1-
2
3
02
3
2
1-
 
z
y
x
Ä-= Traço = -1 (considere apenas a matriz 
redutível, sem a coordenada z) 
 
Observa-se que C3 e -3C formam uma classe, portanto apresentam o mesmo 
traço. 
 
Reflexão 1vs Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
 
100
010
001-
 
z
y
x
Ä= Traço = 0 (zero) 
 
Reflexão 2vs Þ 
2
vs = 
1
vs ÄC3 = 
100
02
1-
2
3
02
3-2
1-
 Ä 
100
010
001-
 = 
100
02
1-
2
3
02
3-2
1
- 
 
2
vs Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
 
100
02
1-
2
3
02
3
2
1
 
z
y
x
Ä-
-
= Traço = 0 (zero) 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -60 - 
Reflexão 3vs Þ 
3
vs = 
1
vs Ä
-
3C = 
100
02
1-
2
3
02
3-2
1-
- Ä 
100
010
001-
 = 
100
02
1-
2
3
02
3
2
1
 
 
3
vs Þ 
i
i
i
f
f
f
z
y
x
Marcela
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fçvida fudida
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