GEX158_EDP_aulas_5_a_8

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 5 a 8 – 21 e 22/05/2013 
 
Lista 1.1 pg. 992 Exercícios 1 a 5 
 Pg. 993 Exercícios 1 a 9 
 pg. 996 Exercícios 1 a 6, e mais: 
Revisão 
18.4 EDO DE PRIMEIRA ORDEM HOMOGÊNEA 
Definição 1: Uma EDO de primeira ordem é dita homogênea se pode ser escrita como 
dy yF
dx x
 =  
 
 . 
Definição 2: Uma EDO de primeira ordem é dita homogênea se pode ser escrita como 
( ) ( ), , 0P x y dx Q x y dy+ = 
 em que ( ),P x y e ( ),Q x y são, ambas, homogêneas de mesmo grau. 
 
 Toda EDO homogênea pode ser transformada em uma EDO de variáveis separáveis 
pela transformação yv
x
= ⇒ y vx= dy v dx x dv= + 
 Resolvida a EDO de variáveis separáveis, a substituição yv
x
= leva à resolução da 
EDO original. 
Fim da revisão 
 
Exemplo: Determinar uma família de soluções para a EDO homogênea 
( )2 2 0x y y dx x dy− + − = . Determinar uma solução particular não pertencente à 
família. 
Resolução: A expressão da EDO exige que 2 2 0x y y x− ≥ ⇔ ≤ 
 Fazendo yu
x
= , com 0x ≠ e 1yu
x
= ≤ , 
 ( )2 2 0x y y dx x dy− + − = ⇒ ( ) ( )2 2 2 0x x u xu dx x udx xdu− + − + = 
1 
 
 ⇒ ( )2 2 21 0x u dx xudx xudx x du− + − − = 
 ( )2 2 21 0x u dx x du− − = 
 2 casos: 
( )a 0x > ⇒ ( )2 21 0x u dx x du− − = 
 ⇒ ( )21 0x u dx xdu− − = 
 ⇒ 21 0u dx x du− − = 
⇒ 
2
0
1
dx du
x u
− =
−
 1u ≠ 
 ⇒ ( )ln arcsin yx C
x
 − = 
 
 
( )b 0x < ⇒ ( )2 21 0x u dx x du− − − = 
 ⇒ ( )21 0x u dx xdu− − − = 
⇒ 21 0u dx x du− − − = 
⇒ 
2
0
1
dx du
x u
+ =
−
 
 ⇒ ( )ln arcsin yx C
x
 − + = 
 
 
 Considerando 1u = , y x= ± são soluções particulares não pertencentes a nenhuma 
das duas famílias acima. 
 
18.6 EDO EXATA 
Recordando: Dada uma função ( ),z f x y= , sua diferencial exata, dz , é dada por: 
 ( ) ( ), ,f x y f x yz zdz dx dy dx dy
x y x y
∂ ∂∂ ∂
= + = +
∂ ∂ ∂ ∂
. 
2 
 
 Uma EDO da forma ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = é dita exata se existe alguma 
função ( ),f x y tal que, para todo par ( ),x y em alguma região 2R ⊂  , 
( ) ( )
,
,
f x y
M x y
x
∂
=
∂
 e ( ) ( )
,
,
f x y
N x y
y
∂
=
∂
. Em outras palavras, a EDO 
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = é exata se ( ) ( ), ,M x y dx N x y dy+ é a diferencial exata de 
alguma função ( ),z f x y= . 
 As soluções de uma EDO exata são as curvas de nível da função ( ),f x y , ou seja, 
( ),f x y C= 
Teorema: Uma EDO do tipo ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = é exata se, e somente se, 
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
. 
Prova: ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,M x y f x y f x y N x y
y y x x y x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = = =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
 
 
Obs.: A exatidão de uma EDO não é uma qualidade robusta. Pequenas alterações em uma 
EDO exata podem torná-la não exata. 
Exemplo 1: Verificar a exatidão da EDO ( )2 2 0x y x dx y x dy+ + = 
 
( ) ( )
( )
2
2
, 2
, 2
MM x y x y x xy
y
NN x y y x xy
x
∂ = + → = ∂

∂ = → = ∂
 A EDO é exata 
 
Observe que, para 0x ≠ , ( ) ( )2 2 20 1 0x y x dx y x dy y dx y x dy+ + = ⇔ + + = 
que não é exata. 
 
Resolução de uma ED exata: 
 ( ) ( ), ,xf x y M x y= ( ) ( ) ( ), ,f x y M x y dx g y→ = +∫ 
 ( ) ( ) ( ) ( ), , ,yf x y M x y dx g y N x yy
∂  → = + = ∂ ∫ ou 
3 
 
( ) ( ), ,yf x y N x y= ( ) ( ) ( ), ,f x y N x y dy h x→ = +∫ 
 ( ) ( ) ( ) ( ), , ,xf x y N x y dy h x M x yx
∂  → = + = ∂ ∫ 
 
 
Exemplo 2: ( ) ( )2 22 3 2 0x y x dx x y dy− + − = 
Verificando se é exata: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
, 2 3 2
, 2 2
MM x y x y x x
y
NN x y x y x
x
∂ = − ⇒ = ∂

∂ = − ⇒ = ∂
 ⇒ A EDO é exata. 
Resolvendo: Se existe ( ),f x y tal que ( ) ( )2 ,2 3 f x yx y x
x
∂
− =
∂
 então: 
 ( ),f x y ( ) ( ) ( )2 2 32 3x y x dx g y x y x g y= − + = − +∫ 
 Se ( ) 2, 2f x y x y
y
∂
= −
∂
 então 
 2 2x y− ( )2 3x y x g y
y
∂  = − + ∂
 
 ( )2 'x g y= + 
 ⇒ ( )'g y ( ) 22 *y g y y C= − ⇒ = − + 
 ⇒ ( ),f x y ( )2 3 2 3 2 *x y x g y x y x y C= − + = − − + 
 A solução da EDO: 
 ( ), **f x y C= ⇒ 2 3 2 * **x y x y C C− − + = 
 ⇒ 2 3 2x y x y C− − = 
Para casa: Resolver a mesma EDO fazendo ( ) ( ) ( )2, 2f x y x y dy h x= − +∫ 
 
 
 
 
4 
 
Exemplo 3: ( ) ( )( )2cos sen 2 0x x x y dx x y dy− + + = com ( ) 1y π = 
Verificando se é exata: 
 
( ) ( ) ( )
( )
2, cos sen 2
, 2 2
MM x y x x x y y
y
NN x y x y y
x
∂ = − + ⇒ = ∂

∂ = ⇒ = ∂
 ⇒ É exata. 
Resolvendo: ( ),f x y ( ) ( )22xy dy h x xy h x= + = +∫ 
 ( ),f x y
x
∂
∂
 ( ) ( ) ( ) 2, cos senM x y x x x y= = − + 
 ⇒ ( )2 'y h x+ ( ) ( ) 2cos senx x x y= − + 
 ⇒ ( )'h x ( ) ( )cos senx x x= − 
 ⇒ ( )h x ( ) ( )cos sen *x x x dx C=  −  + ∫ 
 ( )senx x dx∫ ( ) ( )cos cosx x x dx= − + ∫ 
 ⇒ ( )h x ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos * cos *x dx x x x dx C x x C= + − + = +∫ ∫ 
 ⇒ ( ),f x y ( )2 cos *xy x x C= + + 
 A solução: ( ) ( )2, ** cosf x y C xy x x C= ⇒ + = 
 Verificando: ( ),f x y
x
∂
∂
 ( )( )2 cos *xy x x Cx
∂
= + +
∂
 
 ( ) ( ) ( )2 sen cos ,y x x x M x y= − + = 
 ( ),f x y
y
∂
∂
 ( )( )2 cos *xy x x Cx
∂
= + +
∂
 
 ( )2 ,xy N x y= = 
 A condição inicial ( ) 1y π = ( )cos 0C Cπ π π π π⇒ + = ⇒ − = = 
 A solução particular resultante: ( )2 cos 0xy x x+ = 
 
 
 
 
5 
 
Fatores integrantes 
 Nós vimos, no exemplo 1, que a ED ( )2 1 0y dx y x dy+ + = não é exata. No 
entanto, se multiplicada por x, o resultado, ( )2 2 0x y x dx y x dy+ + = é uma ED exata. 
Outros exemplos: 
( )a 2 0y dx x dy+ = não é exata. ( ) 22 2 0x y dx x dy xy dx x dy+ = + = é exata. 
( )b 0y dx x dy− = não é exata. ( )2 2
1 1 0xy dx x dy dx dy
y y y
− = − = é exata. 
 
 Se ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = não é uma EDO exata, mas existe ( ),u x y tal que 
( ) ( ) ( ) ( ), , , , 0u x y M x y dx u x y N x y dy+ = é uma EDO exata, então ( ),u x y é chamada de 
fator integrante. Fatores integrantes podem nem existir e, caso existam, podem não ser 
fáceis de encontrar. Há, porém, duas situações simples: 
 
Teorema 18.3: Seja ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = uma EDO não exata. Chamando 
de ( ) ( ), ,yM x y M x yy
∂
=
∂
 e de ( ) ( ), ,xN x y N x yx
∂
=
∂
: 
( )1 Se 
( ) ( )
( )
( )
, ,
,
y xM x y N x y g x
N x y
−
= então 
( )g x dxe∫ é um fator integrante. 
( )2 Se 
( ) ( )
( )
( )
, ,
,
x yN x y M x y h y
M x y
−
= então ( )h y dye∫ é um fator integrante. 
 
Exemplo 4: Determine a solução geral da ED ( )2 2 0y x dx y dy− + = . 
 Verificando se é exata: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2, , 2
, 2 , 0
y
x
M x y y x M x y y
N x y y N x y
 = − ⇒ = ⇒
= ⇒ =
 a ED não é exata. 
6 
 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
, , 2 1
, 2
1
, , 2
,
y x
g x dx x
x y
M x y N x y y
N x y y
g x e e
N x y M x y y
M x y y x
 −
= =
 ∫⇒ = ⇒ =
− − = −
 é o fator 
integrante. A nova ED: ( ) ( )2 22 2 0x x xe y x dx y dy y x e dx ye dy − + = − + =  
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2, , 2
, 2 , 2
x x
y
x x
x
M x y y x e M x y ye
N x y y e N x y y e
 = − ⇒ = ⇒
= ⇒ =
 é exata. 
Resolvendo: 
 ( ),f x y ( ) ( ) ( ) ( )2, 2 x xN x y dy g x y e dy g x y e g x= + = + = +∫ ∫ 
 ( ),xf x y ( ) ( ) ( )2 2' , 'x x x xy e gx M x y y e xe g x xe= + = = − ⇒ = − 
 ( ) ( ) 1
x x xg x xe dx xe e C⇒ = − = − − +∫ 
 ( ) 12, x x xf x y y e xe e C⇒ = − + + 
 
A solução geral: 
 ( ) 1 22, x x xf x y y e xe e C C= − + + = 2 x x xy e xe e C⇔ − + = 
 2 1 xy x Ce−⇔ − + = 
 
18.5 Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem 
 Trata-se das EDO’s que podem ser escritas como ( ) ( )dy P x y Q x
dx
+ = , em que as 
funções ( )P x e ( )Q x são contínuas em algum intervalo ou união de intervalos reais. O 
nome linear se deve ao fato de não aparecer qualquer produto envolvendo y e suas 
derivadas. 
 
 Reescrevendo a EDO como ( ) ( ) 0P x y Q x dx dy− + =   , queremos verificar se é 
possível encontrar uma função ( )u x tal que ( ) ( ) ( ) ( ) 0u x P x y Q x dx u x dy− + =   seja 
7 
 
uma EDO exata. Para isso, fazendo ( ) ( ) ( ) ( ),M x y u x P x y Q x= −   e ( ) ( ),N x y u x= , 
precisamos que ( ) ( ), ,y xM x y N x y= ⇒ ( ) ( ) ( )'u x P x u x= 
 ⇒ ( )
( )
'u x
u x
 ( )P x= ⇒ ( )ln u x ( ) *P x C= + 
 ⇒ ( )u x ( )*
P x dxC ee= ∫ ⇒ ( )u x ( )P x dxC e= ± ∫ 
 Como só queremos um fator integrante, tomamos ( ) ( )
P x dx
u x e= ∫ . Multiplicando 
na EDO ( ) ( ) 0P x y Q x dx dy− + =   , obtemos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
P x dx P x dx P x dx
P x y Q x dx dye e e − + = 
 
∫ ∫ ∫ 
 
 Verificando a exatidão da EDO resultante: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,
, ,
P x dx P x dx P x dx
y
P x dx P x dx
x
M x y P x y Q x M x y P x
N x y N x y P x
e e e
e e

= − =

 = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 É exata! 
 
 Pode-se então resolver a EDO resultante usando o método conhecido de resolução 
de EDO exata. 
 
 
Lista 1.2 pg. 1000 Nos exercícios de 4 a 10, se a EDO é exata, resolva; 
se não é exata, verifique se existe um fator de integração e, caso exista, determine 
esse fator, multiplique a EDO original por esse fator, verifique que a EDO 
resultantes é exata e a resolva. 
 pg. 998 Exercícios 1 a 6. 
 
 
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