GEX158_EDP_aulas_13_a_16

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 13 a 16 – 04 e 05/06/2013 
 
Lista 1.1 pg. 992 Exercícios 1 a 5 
 Pg. 993 Exercícios 1 a 9 
 pg. 996 Exercícios 1 a 6 
Lista 1.2 pg. 1000 Nos exercícios de 4 a 10, se a EDO é exata, resolva; 
se não é exata, verifique se existe um fator de integração e, caso exista, determine 
esse fator, multiplique a EDO original por esse fator, verifique que a EDO 
resultantes é exata e a resolva. 
 pg. 998 Exercícios 1 a 6. 
Lista 1.3: Thomas-Finney pg. 1007 Exercícios 1 a 10 
 
Revisão 
18.9 EDO’s LINEARES DE SEGUNDA ORDEM, HOMOGÊNEAS, COM 
COEFICIENTES CONSTANTES. 
 
2
2 2 0
d y dya by
dx dx
+ + = ( )2 22 2 0D y aDy by D aD b y+ + = + + = 
 A equação característica associada: 2 2 0r ar b+ + = . 
 Se 1r e 2r são as raízes: ( )( )2 1 22 0r ar b r r r r+ + = − − = . 
A resolução: 
Situação 1: 1 2r r= ⇒ y ( )
2
1 2
r xe C x C= + 
Situação 2: 1 2r r≠ ⇒ y 1 21 2
r rx xC e C e= + 
Um caso especial da situação 2: 1r iα β= + 2r iα β= − ( )0β ≠ 
 y ( ) ( )* *1 2cos sinxe C x C xα β β = +  
Fim da revisão 
 
Observação: No caso especial da situação 2, em que 1r iα β= + e 2r iα β= − , a solução 
( ) ( )* *1 2cos sinxy e C x C xα β β = +  , pode ser reescrita como: 
1 
 
 y ( ) ( )
* *
*2 *2 1 2
1 2 *2 *2 *2 *2
1 2 1 2
cos sinx C CC C e x x
C C C C
α β β
 
 = + +
 + + 
 
 Como 
*
1
*2 *2
1 2
1C
C C
≤
+
, 
*
2
*2 *2
1 2
1C
C C
≤
+
 e 
2 2
* *
1 2
*2 *2 *2 *2
1 2 1 2
1C C
C C C C
   
   + =
   + +   
, 
pode-se fazer ( )
*
1
*2 *2
1 2
sinC
C C
γ=
+
 e ( )
*
2
*2 *2
1 2
cosC
C C
γ=
+
. Com isso: 
 
 y ( ) ( ) ( ) ( )*2 *21 2 sin cos cos sinxC C e x xα γ β γ β= + +   
 ( )sinxC e xα β γ= + 
 Outra alternativa: ( )
*
1
*2 *2
1 2
cosC
C C
δ=
+
 e ( )
*
2
*2 *2
1 2
sinC
C C
δ=
+
, 
 y ( ) ( ) ( ) ( )*2 *21 2 cos cos sin sinxC C e x xα δ β δ β= + +   
 ( )cosxC e xα β δ= − 
 
Teorema da superposição das soluções particulares: 
 Suponha a EDO linear da ordem n 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ..., 'nnn nf x y f x y f x y f x y
−
−+ + + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... kQ x Q x Q x Q x= = + + + 
 Se hy é a solução geral da homogênea associada e se cada piy ( )1,2,...,i k= é uma 
solução particular de 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ..., 'nnn nf x y f x y f x y f x y
−
−+ + + ( )iQ x= , 
então 1 2 ... kp p phy y y y y= + + + + é solução da EDO original # 
 
18.10 EDO’s LINEARES DE SEGUNDA ORDEM, COM COEFICIENTES 
CONSTANTES. 
 A forma geral: ( )
2
2
d y dya by g x
dx dx
+ + = ⇔ ( ) ( )2D aD b y g x+ + = 
2 
 
 Suponha que ( ) ( ) ( )1 2hy x C p x C q x= + seja a solução geral da EDO homogênea 
associada, isto é: 
( )
2
2
2 0
h h
h h
d y dyD aD b y a by
dx dx
+ + = + + = 
 Observação: Nesse caso, as funções ( )p x e ( )q x , linearmente independentes, 
são soluções particulares da EDO homogênea associada. 
 Suponha ainda que ( )py x seja uma solução particular da EDO original, isto é: 
( ) ( )
2
2
2
p p
p p
d y dy
D aD b y a by g x
dx dx
+ + = + + = 
 Então, ( ) ( )phy y x y x= + é solução, a dois parâmetros, da EDO linear original. 
 Prova: ( )2D aD b y+ + ( )( )2 phD aD b y y= + + + 
 ( ) ( )2 2 phD aD b y D aD b y= + + + + + 
 ( ) ( )0 g x g x= + = 
 A questão é: Como determinar uma solução particular para e EDO linear de 
segunda ordem, com coeficientes constantes? 
 
Alguns exemplos em que se pode intuir a solução particular ( )py x : 
 
Exemplo 1: Resolver a EDO linear '' 2 ' 3 6y y y+ − = 
 A homogênea: ( )2 2 3 0D D y+ − = 
 A eq. característica: 2 2 3 0r r+ − = ⇔ ( )( )1 3 0r r− + = 
 A solução da homogênea: 31 2h
x xy C e C e−= + 
 Verifique se, para algum k, a função constante py k= é uma solução 
particular: 
 ( )2 2 3 0 0 3 6pD D y k+ − = + − = ⇒ 2k = − 
 ⇒ 2py = − 
3 
 
 A solução: 31 22p h
x xy y y C e C e−= + = − + + 
 
 
Exemplo 2: Resolver a EDO linear 2'' 2 ' 3 15 xy y y e+ − = 
 A solução da homogênea: 31 2h
x xy C e C e−= + 
 Verifique se a função 2p
xy k e= , para algum k, é uma solução particular: 
 ( )2 2 3 pD D y+ − ( )2 22 3 xD D k e= + − 
 ( ) ( )2 2 24 2 2 3x x xk e k e k e= + − 
 2 25 15x xk e e= = ⇒ 3k = 
 A solução: 31 2
23p h
x x xy y y e C e C e−= + = + + 
 
Exemplo 3: Resolver a EDO linear ( )'' 2 ' 3 10cos 3y y y x+ − = 
 A solução da homogênea: 31 2h
x xy C e C e−= + 
 Verifique se a função ( ) ( )sin 3 cos 3py a x b x= + , para algum par ( ),a b , é uma 
solução particular: 
 ( )2 2 3 pD D y+ − ( ) ( ) ( )( )2 2 3 sin 3 cos 3D D a x b x= + − + 
 ( ) ( )( )sin 3 cos 3D a x b x+ ( ) ( )3 cos 3 3 sin 3a x b x= − 
 ( ) ( )( )2 sin 3 cos 3D a x b x+ ( ) ( )9 sin 3 9 cos 3a x b x= − − 
( )2 2 3 pD D y+ − ( ) ( ) ( ) ( )9 6 3 sin 3 9 6 3 cos 3a b a x b a b x= − − − + − + − 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 6 sin 3 12 6 cos 3 10cos 3a b x b a x x= − − + − + = 
 ⇒ 12 6 0a b− − = ⇒ 2b a= − 
 ⇒ ( )12 6 12 2 6 30 10b a a a a− + = − − + = = 
 ⇒ 10 1
30 3
a = = ⇒ 2
3
b = − 
 ⇒ ( ) ( )1 2sin 3 cos 3
3 3p
y x x= − 
4 
 
A solução: ( ) ( ) 31 2
1 2sin 3 cos 3
3 3p h
x xy y y x x C e C e−= + = − + + 
 
Exemplo 4: Resolver a EDO linear 2'' 2 ' 3 6 11y y y x x+ − = − + 
 A solução da homogênea: 31 2h
x xy C e C e−= + 
 Verificar se a função 2py a x b x c= + + , para algum ( ), ,a b c , é uma solução 
particular: 
 ( )2 2 3 pD D y+ − ( )( )2 22 3D D a x b x c= + − + + 
 ( ) ( )22 2 2 3a a x b a x b x c= + + − + + 
 ( )2 23 4 3 2 2 3 6 11a x a b x a b c x x= − + − + + − = − + 
 ⇒ 3a− 6= − ⇒ a 2= 
 4 3a b− 11= ⇒ 8 3b− 11= 
 ⇒ 3b− 3= ⇒ b 1= 
 2 2 3a b c+ − 0= ⇒ 3c− 6= − 
 ⇒ c 2= 
 
O método dos coeficientes indeterminados (ou dos coeficientes a determinar) 
 Esse método só se aplica quando a função ( )g x tem um número finito de 
derivadas linearmente independentes. Implica que ( )g x só pode conter termos da forma 
( ), , , sink axa x e ax ou ( )cos ax , em que a é uma constante qualquer e k um inteiro 
positivo. Nesse caso, a solução particular py é uma combinação linear de ( )g x e suas 
derivadas LI, desconsiderando-se as constantes que aparecem nas derivadas. Os 
coeficientes da combinação linear são, então, determinados de modo a satisfazer a EDO.
 Por exemplo, se ( ) 3g x x= , as derivadas LI são ( ) 2' 3g x x= , ( )'' 6g x x= e 
( ) ( )3 6g x = . Observe que a inclusão de ( ) ( )4 0g x = tornaria o conjunto LD. A combinação 
linear a ser considerada é: 3 21 2 3 4py C x C x C x C= + + + 
 
5 
 
Exemplo 1: Determinar a solução geral da EDO ( )2 24 4 4 6 xD D y x e+ + = + 
Resolução: A homogênea associada: ( )2 4 4 0D D y+ + = 
A equação característica: ( )22 4 4 0 2 0r r r+ + = ⇔ + = 
 A solução geral da homogênea: ( ) 221 xhy C C x e−= + 
 Usando o teorema da superposição das soluções particulares, vamos determinar 
 ( )a 1py tal que ( )2 214 4 4pD D y x+ + = e 
 ( )b 2py tal que ( )2 24 4 6 xpD D y e+ + = 
( )a As derivadas LI de ( ) 21 4g x x= ( )1 ' 8g x x= e ( )1 '' 8g x = . 
 Então 21 1 2 3py C x C x C= + + deve satisfazer 
 ( )( )2 21 2 34 4D D C x C x C+ + + + 24x= 
 ( ) ( )21 1 2 1 2 32 4 2 4C C x C C x C x C+ + + ++ 24x= 
 ( )21 1 2 1 2 34 8 4 2 4 4C x C C x C C C+ + + + + 24x= 
 ⇒ 14 4C = ⇒ 1 1C = 
 ⇒ 1 28 4 0C C+ = ⇒ 28 4 0C+ = ⇒ 2 2C = − 
 ⇒ 1 2 32 4 4 0C C C+ + = ⇒ 32 8 4 0C− + = ⇒ 3
3
2
C = 
 ⇒ 21
32
2p
y x x= − + 
( )b Observe que ( )2 6 xg x e= não tem derivadas LI pois ( ) ( )2 2' 6 xg x e g x= = . 
Portanto 2 4
x
py C e= deve satisfazer 
 ( )( )2 44 4 xD D C e+ + 6 xe= ⇒ ( )4 4 44 4 xC C C e+ + 6 xe= 
 ⇒ 49C 6= ⇒ 4C
2
3
= 
 ⇒ 2
2
3
x
py e= 
 A solução particular: py 1 2p py y= +
2 3 22
2 3
xx x e= − + + 
6 
 
 A solução geral: y ( ) 2 221
3 22
2 3
x xC C x e x x e−= + + − + + 
Exemplo 2: Resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a EDO 
( )2 23 2 3 xD D y e− + = 
Resolução: Como ( ) 23 xg x e= a solução particular deve ser da forma 2xpy Ce= . 
 ⇒ ( )2 23 2 xD D Ce− + 23 xe= 
 2 2 24 6 2x x xCe Ce Ce− + 23 xe= 
 0 23 xe= Problema!!! 
 A razão do problema: 
 A equacão característica: ( )( )2 3 2 0 1 2 0r r r r− + = ⇔ − − = 
 As soluções LI da homogênea: ( ) xp x e= ( ) 2xq x e= 
 Portanto: ( ) ( )2 2 2 23 2 3 2 0x xD D Ce C D D e− + = − + = 
O caso geral: Se ( )g x é da forma ( )kx p x , em que k é um inteiro não negativo e ( )p x 
uma solução da homogênea associada, então a solução particular a ser considerada 
deve ser combinação linear das derivadas LI de ( )1kx p x+ , desconsiderados os 
termos da forma ( )C p x . 
Voltando ao exemplo: Como ( ) 2 0 23 3x xg x e x e= = e 2xe é solução da homogênea 
associada, devem ser considadas as derivadas LI de 2xx e , ou seja 
 ( )2 'xx e 2 22 x xx e e= + ⇒ 2xx e 
 ⇒ py 
2xC x e= 
 ⇒ ( )2 23 2 xD D C x e− + 23 xe= 
 ( )( )2 2 23 2 2x x xD C x e C e C x e− + + 23 xe= 
 2 2 2 2 2 24 2 2 6 3 2x x x x x xC x e C e C e C x e C e C x e+ + − − + 23 xe= 
 2xC e 23 xe= ⇒ 3C = 
 ⇒ 23 xpy x e= ⇒ 
2 2
1 23
x x xy x e C e C e= + + # 
7 
 
 
Observação: Se a equação característica é da forma ( )21 0r r− = e ( ) 1
r xkg x x e= então 
devem ser tomadas as derivadas LI de 12 r xkx e+ . 
 
Caso ( )g x seja uma função complexa 
 Dada a EDO ( ) ( )2D aD b y g x+ + = , se ( ) ( ) ( )g x f x i h x= + , em que ( )f x e 
( )h x são funções reais, então a solução particular a ser considerada é da forma 
p r iy y i y= + 
com ( ) ( )2 rD aD b y f x+ + = e ( ) ( )2 iD aD b y h x+ + = . 
 
 
O método da variação dos parâmetros: 
 A forma geral: ( )'' 'y ay by g x+ + = ⇔ ( ) ( )2D aD b y g x+ + =
 Suponha que ( ) ( ) ( )1 2hy x C p x C q x= + seja a solução geral da EDO homogênea 
associada, isto é, ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0D aD b p x D aD b q x+ + = + + = . 
 O método da variação dos parâmetros consiste em supor duas funções ( )v x e 
( )w x e exigir que satisfaçam as condições: 
 ( )1C ( ) ( ) ( ) ( )y u x p x w x q x= + seja solução da EDO original, isto é, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2D aD b y u x p x w x q x g x+ + = + = 
 ( )2C ( ) ( ) ( ) ( )' ' 0u x p x w x q x+ = 
 Sendo assim: 
 'y ' ' ' 'u p u p wq w q= + + + 
 ' ' ' 'u p wq u p w q= + + + 
 ' 'u p wq= + 
 ''y '' ' ' '' ' 'u p u p wq w q= + + + 
 Substituindo em ( )1C : 
8 
 
 ( ) ( )'' ' ' '' ' ' ' 'u p u p wq w q a u p wq b u p wq+ + + + + + + ( )g x= 
 ( ) ( )'' ' '' ' ' ' ' 'u p a p b p w q a q b q u p w q+ + + + + + + ( )g x= 
 Como p e q são soluções homogênea, '' ' 0p a p b p+ + = e '' ' 0q a q b q+ + = , e, 
portanto, a condição ( )1C se reduz a ( )' ' ' 'u p w q g x+ = . 
 Trata-se, então, de determinar ( )'u x e ( )'w x que satisfaçam 
( ) ( )1 ' ' ' 'C u p w q g x+ = e 
( )2 ' ' 0C u p w q+ = 
e, por integração, obter ( )u x e ( )w x . ( ) ( ) ( ) ( )y u x p x w x q x= + é a solução da EDO 
original. 
 
Exemplo 1: Resolver a EDO linear '' 2 ' 3 6y y y+ − = 
 A homogênea: ( )2 2 3 6D D y+ − = 
 A eq. característica: 2 2 3 0r r+ − = ⇔ ( )( )1 3 0r r− + = 
 As soluções LI da homogênea: ( ) xp x e= ( ) 3xq x e−= 
 As duas condições: 
( )1C ' ' ' 'u p w q+ ( )g x= ⇒ 3' 3 'x xu e w e−− 6= 
( )2C ' 'u p w q+ 0= ⇒ 3' 'x xu e w e−+ 0= 
 ( ) ( )1 3 2C C+ ⇒ 4 ' xu e 6= 
 'u 3
2
xe−= 
 ( )u x 1
3
2
xe C−= − + 
 ( ) ( )1 2C C− ⇒ 34 ' xw e−− 6= 
 'w 33
2
xe= − 
 ( )w x 23
1
2
xe C= − + 
9 
 
 A solução: y ( ) ( ) ( ) ( )u x p x w x q x= + 
 31 2
33 1
2 2
x x x xe C e e C e−−   = − + + − +   
   
 
 31 22
x xC e C e−= − + + 
 
Exemplo 2: Resolver a EDO linear 2'' 2 ' 3 15 xy y y e+ − = 
 A homogênea: ( )2 22 3 15 xD D y e+ − = 
 A eq. característica: 2 2 3 0r r+ − = ⇔ ( )( )1 3 0r r− + = 
 As soluções LI da homogênea: ( ) xp x e= ( ) 3xq x e−= 
 As duas condições do método de variação dos parâmetros: 
( )1C ' ' ' 'u p w q+ ( )g x= ⇒ 3' 3 'x xu e w e−− 215 xe= 
 ( )2C ' 'u p w q+ 0= ⇒ 3' 'x xu e w e−+ 0= 
 ( ) ( )1 3 2C C+ ⇒ 4 ' xu e 215 xe= 
 'u 15
4
xe= 
 ( )u x 1
15
4
xe C= + 
 ( ) ( )1 2C C− ⇒ 34 ' xw e−− 215 xe= 
 'w 515
4
xe= − 
 ( )w x 25
3
4
xe C= − + 
 A solução: y ( ) ( ) ( ) ( )u x p x w x q x= + 
 31 2
515 3
4 4
x x x xe C e e C e−   = + + − +   
   
 
 31 2
23 x x xe C e C e−= + + 
 
 
10 
 
Exemplo 3: Resolver a EDO linear ( )'' 2 ' 3 10cos 3y y y x+ − = 
 As soluções LI da homogênea: ( ) xp x e= ( ) 3xq x e−= 
 As duas condições do método de variação dos parâmetros: 
( )1C ' ' ' 'u p w q+ ( )g x= ⇒ 3' 3 'x xu e w e−− ( )10cos 3x= 
 ( )2C ' 'u p w q+ 0= ⇒ 3' 'x xu e w e−+ 0= 
 ( ) ( )1 3 2C C+ ⇒ 4 ' xu e ( )10cos 3x= 
 'u ( )5 cos 3
2
xx e−= 
 ( )u x ( )5 cos 3
2
xx e dx−= ∫ ( )cos 3h x= ( )3sin 3dh x dx= − 
 xdg e dx−= xg e−= − 
 ( )u x ( )( ) ( )5 15cos 3 sin 32 2
x xx e x e dx− −= − − ∫ 
 ( )sin 3h x= ( )3cos 3dh x dx= 
 xdg e dx−= xg e−= − 
 ( )u x ( )( ) ( )( ) ( )5 15 45cos 3 sin 3 cos 32 2 2
x x xx e x e x e dx− − −= − − − − ∫ 
 ( ) ( )1 9 u x+ ( )( ) ( )( )5 15cos 3 sin 32 2
x xx e x e− −= − − − 
 ( )u x ( )( ) ( )( )5 15cos 3 sin 320 20
x xx e x e− −= − − − 
 ( )u x ( ) ( ) 1
1 3cos 3 sin 3
4 4
x xx e x e C− −= − + + 
 ( ) ( )1 2C C− ⇒ 34 ' xw e−− ( )10cos 3x= 
 'w ( ) 35 cos 3
2
xx e= − 
 ( )w x− ( ) 35 cos 3
2
xx e dx= ∫ ( )cos 3h x= ( )3sin 3dh x dx= − 
 3xdg e dx= 31
3
xg e= 
11 
 
 ( )w x− ( )( ) ( )3 35 5cos 3 sin 36 2
x xx e dx x e dx= + ∫ 
 ( )sin 3h x= ( )3cos 3dh x dx= 
 3xdg e dx= 31
3
xg e= 
 ( )w x− ( )( ) ( )( ) ( )3 3 35 5 5cos 3 sin 3 cos 36 6 2
x x xx e x e x e dx= + − ∫ 
 ( )2w x− ( )( ) ( )( )3 35 5cos 3 sin 36 6
x xx e x e= + 
 ( )w x ( )( ) ( )( ) 23 35 5cos 3 sin 312 12
x xx e x e C= − − + 
 A solução: 
 y ( ) ( ) 3x xu x e w x e−= + 
 ( ) ( ) 1
1 3cos 3 sin 3
4 4
xx xx e x e C e− − = − + +  
 
 ( )( ) ( )( ) 323 35 5cos 3 sin 312 12
xx xx e x e C e− + − − +  
 
( ) ( ) 31 2
1 5 3 5cos 3 sin 3
4 12 4 12
x xx x C e C e−   = − − + − + +   
   
 
 ( )( ) 31 2
2 1cos 3 sin 3
3 3
x xx x C e C e−= − + + + 
 
12