GEX158_EDP_aulas_25_e_26

Prévia do material em texto

GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 25 e 26 – 25/06/2013 
 
Lista 1.1 pg. 992 Exercícios 1 a 5 
 Pg. 993 Exercícios 1 a 9 
 pg. 996 Exercícios 1 a 6 
Lista 1.2 pg. 1000 Nos exercícios de 4 a 10, se a EDO é exata, resolva; 
se não é exata, verifique se existe um fator de integração e, caso exista, determine 
esse fator, multiplique a EDO original por esse fator, verifique que a EDO 
resultantes é exata e a resolva. 
 pg. 998 Exercícios 1 a 6. 
Lista 1.3: Thomas-Finney pg. 1007 Exercícios 1 a 10 
Lista 1.4 Thomas-Finney Pg. 1010 Exercícios ímpares de 1 a 9 
Lista 1.5: 
Exercício 1: Encontra a solução geral da EDO ( )2 3 2 4D D y+ + = , usando o método 
da decomposição polinomial. Resp: ( ) 21 22 x xy x C e C e− −= + + 
Exercício 2: Encontra a solução geral da EDO ( )2 3 2 12 xD D y e+ + = , usando o 
método de variação dos parâmetros. Resp: ( ) 21 22 x x xy x e C e C e− −= + + 
Exercício 3: Encontra a solução geral da EDO ( ) ( )4 22 1 sinD D y x x− + = − , usando o 
método dos coeficientes a determinar. 
 Resp.: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4
1 sin
4
x xy x C C x e C C x e x x−= + + + + − 
Revisão 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 A transformada de Laplace de uma função ( )f x definida no intervalo [ )0,∞ : 
( ) ( ) ( )
0
sxL f x e f x dx F s−
∞
= =   ∫ 
 A transformada inversa: 
( )( ) ( )L f x F s= ⇔ ( ) ( )1L F s f x− =   
1 
 
 A transformada de Laplace e a transformada inversa são lineares: 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2L c f x c f x c F x c F x+ = +   
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 1 2 2L c F s c F s c f x c f x− + = +   
 A transformada da derivada: 
( ) ( ) ( )' 0L f x sL f x f= −       
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 11 20 ' 0 ... 0 0n n nn n nL f x s L f x s f s f s f f− −− −  = − − − − −    
 O teorema da translação exponencial 
( ) ( )axL e f x F s a  = −  
 Alguns exemplos: 
 [ ) ( ),0L I x∞   
1
s
= 
 ( )sinL a x   22
a
s a
=
+
 
 ( )cosL a x   22
s
s a
=
+
 
 axL e   
1
s a
=
−
 ( )s a> 
 1
!n
n
nL x
s +
  =  
Fim da revisão 
 
 
A derivada da transformada de Laplace 
 Se ( )L f x   ( )F s= então: 
 ( )'F s ( ) ( )
0 0
sx sxd de f x dx e f x dx
ds ds
− −
∞ ∞ 
 = =   
 
∫ ∫ 
 ( ) ( )
0
sxe x f x dx L x f x−
∞
= − = −   ∫ 
2 
 
 ( )''F s ( ) ( )2 2
0
sxe x f x dx L x f x−
∞
 = =  ∫ 
 ... ...... 
 ( ) ( )nF s ( ) ( )1 n nL x f x = −   
 
Um exemplo de resolução de EDO usando a transformada de Laplace 
 Suponha a EDO homogênea ( )2 5 6 0D D y+ + = com as condições iniciais 
( )0y a= e ( )' 0y b= , com a e b constantes quaisquer. 
 A resolução usando transformada de Laplace: 
 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO: 
[ ]'' 5 ' 67L y y+ + [ ]0L= 
 [ ] [ ] [ ]'' 5 ' 6L y L y L y+ + 0= 
 [ ] ( ) [ ] [ ]' ' 0 5 ' 6sL y y L y L y− + + 0= 
 ( ) [ ] [ ]5 ' 6s L y b L y+ − + 0= 
 ( ) [ ] ( ){ } [ ]5 0 6s sL y y b L y+ − − + 0= 
 ( ) [ ] ( )2 5 6 5s s L y s a b+ + − + − 0= 
 [ ]L y ( )( )2
5 5
5 6 2 3
as a b as a b
s s s s
+ + + +
= =
+ + + +
 
 Expandindo o lado direito da igualdade em frações parciais: 
 
( )( )
5
2 3
as a b
s s
+ +
+ +
 ( ) ( )
( )( )
3 2
2 3 2 3
p s q sp q
s s s s
+ + +
= + =
+ + + +
 
 ( )
( )( )
3 2
2 3
p q s p q
s s
+ + +
=
+ +
 
 ⇒ p q+ a= ( )1 
 3 2p q+ 5a b= + ( )2 
 ( ) ( )2 2 1− × ⇒ p 3a b= + ⇒ 3a b q+ + a= 
 q 2a b= − − 
3 
 
 ⇒ [ ]L y ( ) ( )1 13 2
2 3 2 3
p q a b a b
s s s s
= + = + − +
+ + + +
 
 Recordando: 1axL e
s a
  =  −
. Então: 
 [ ]L y ( ) ( )2 33 2x xa b L e a b L e− −   = + − +    
 ( ) ( )2 33 2x xL a b e a b e− − = + − +  
 ⇒ ( )y x ( ) ( )2 33 2x xa b e a b e− −= + − + 
 Se a e b são constantes quaisquer, então pode-se escrever: 
 ( )y x 2 31 2x xC e C e− −= + , a solução geral da homogênea. 
 
4