GEX158_EDP_aulas_43_a_46_i

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 43 a 46 – 30 e 31/07/2013 
 
Livro: Equações Diferenciais Parciais: Uma introdução – Prof. Reginaldo J. Santos 
 
Lista 2.1 Exemplo 2.7 pg. 175 
 Exemplo 2.8 pg. 176 
 Exemplo 2.9 pg. 183 
Exemplo 2.10 pg. 185 
Exemplo 2.11 pg. 189 
pg. 202 Exercícios 1.1 a 1.10 (excluído o 1.3) 
 
 
Lista 2.2 Resolver as integrais 
( )
20
0
3 sin
2 40
n xi x dxπ =  
 ∫ e ( )
40
20
360 sin
2 40
n xii x dxπ   = −   
   ∫ 
e determinar o valor de ( ) ( )1
20n
c i ii= +   do exemplo 3.2 (pg. 286). 
 
 Exercícios 1.1 a 1.3 pg. 290 
 
Lista 2.3 Exercícios 2.1 e 2.2 pg. 300 
 
3.3.2 Equação não homogênea pg. 308 a 314 
 Considere o seguinte PVIF: 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2
,0 0
0, ,
u u g x
t x
u x f x x L
u t T u L t T
α
 ∂ ∂
= + ∂ ∂ = < <
 = =

 
 Suponha que: 
( )i A função ( ) ( ),u x t v x= seja solução do problema de fronteira 
( )
( ) ( )
2
2
2
1 20, ,
u u g x
t x
u t T u L t T
α
 ∂ ∂
= +
∂ ∂
 = =
. 
1 
 
 Significa que 
( ) ( )
( ) ( )
22
1 2
0 '' ''
0
v g x v g x
v T v L T
α α = + ⇔ = −

= =
 
 
( )ii A função ( )0 ,u x t seja solução do PVIF homogêneo com condições de 
fronteiras homogêneas: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
20 0
0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
u x f x v x x L
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = − < <
 = =

 
 Então, ( ) ( ) ( )0, ,u x t v x u x t= + é solução do PVIT original. Vejamos: 
 ( ),u x t
t
∂
∂
 ( ) ( ) ( )00 , ,
uv x u x t x t
t t
∂∂
= + =  ∂ ∂
 
 ( )0 ,u x t
x
∂
∂
 ( ) ( ) ( ) ( )00 , ' ,
uv x u x t v x x t
x x
∂∂
= + = +  ∂ ∂
 
 ( )
2
0
2 ,
u x t
x
∂
∂
 ( ) ( )
2
0
2'' ,
uv x x t
x
∂
= +
∂
 
 Substituindo na EDP original: 
 ( )
2
2
2u u g x
t x
α∂ ∂= +
∂ ∂
 ⇒ ( )0 ,u x t
t
∂
∂
 ( ) ( ) ( )
2
2 0
2'' ,
uv x x t g x
x
α
 ∂
= + + ∂ 
 
 ( ) ( ) ( )
2
2 2 0
2'' ,
uv x x t g x
x
α α
∂
= + +
∂
 
 ( ) ( ) ( )
2
2 0
2 ,
ug x x t g x
x
α
∂
= − + +
∂
 
 ( )
2
2 0
2 ,
u x t
x
α
∂
=
∂
 
 
 ( ),0u x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ,0v x u x v x f x v x f x= + = + − = 
 
2 
 
 ( )0,u t ( ) ( )0 10 0, t 0v u T= + = + 
 ( ),u L t ( ) ( )0 2, t 0v L u L T= + = + # 
 
 
 Determinação das funções ( )v x e ( )0 ,u x t : 
( )i Se ( )v x é tal que ( )2 ''v g xα = − então ( )v x pode ser obtido integrando-e duas 
vezes ( )2
1''v g x
α
= − . As constantes de integração são obtidas pelas condições 
( ) 10v T= e ( )v L T= . 
( )ii Se ( )0 ,u x t é solução do PVIF 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
20 0
0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
u x f x v x x L
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = − < <
 = =

 
 então sabemos que ( )0 ,u x t 
2 2 2
2
1
sin
n t
L
n
n
n xc
L
e
α ππ −∞
=
 =  
 
∑ com 
 nc ( ) ( )
0
2 sin
L n xf x g x dx
L L
π = −      ∫ 
Lista 2.4 Exercícios 3.1 a 3.3 pg. 313 
 
Exemplo 3.5 pg. 309. Considere uma barra de 40 cm. isolada nos lados, com 
difusividade térmica 1α = , extremidades mantidas às temperaturas de 10oC e 30oC e 
temperatura inicial dada por 
 ( ) 10 10sin
80
xf x π = +  
 
 ( )0 40x< < 
 Queremos resolver a PVIF: 
3 
 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
sin
640 80
,0 para 0 40
0, 10 40, 30
u u x
t x
u x f x x
u t u t
π π ∂ ∂  = +   ∂ ∂   = < <
 = =

 
 A solução é dada por 
( ) ( ) ( )0, ,u x t v x u x t= + , 
 em que ( )v x é solução do problema de fronteira 
 
( )
( ) ( )
2
'' sin
640 80
0 10 40 30
xv x
v v
π π  = −  
 
 = =
 
 e ( )0 ,u x t é a solução do PVIF 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
,0 para 0 40
0, 0 40, 0
u u
t x
u x f x v x x
u t u t
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = − < <
 = =

, 
 Então: 
 ( )''v x 
2
sin
640 80
xπ π = −  
 
 ⇒ ( )'v x 1cos8 80
x Cπ π = + 
 
 
 ⇒ ( )v x 1 210sin 80
x C x Cπ = + + 
 
 
 ( )0v 10= ⇒ 10 ( ) 1 210sin 0 0C C= + + 
 ⇒ 2C 10= 
 ( )40v 30= ⇒ 30 110sin 40 102 C
π = + + 
 
 
⇒ 1C 1 4= ⇒ ( )v x 10sin 1080 4
x xπ = + + 
 
 
 ⇒ ( ),u x t 
2 2
1600
1
10sin 10 sin
80 4 40
n t
n
n
x x n xc e
ππ π −∞
=
   = + + +   
   
∑ , 
4 
 
 em que nc são os coeficientes da série de senos para ( ) ( ) 4
xf x v x− = − , isto é: 
 nc 
40 40
0 0
1 1sin sin
20 4 40 80 40
x n x n xdx x dxπ π   = =   
   ∫ ∫ 
 
40 40
00
1 40 1 40cos cos
80 40 80 40
n x n xx dx
n n
π π
π π
    = − +    
    
∫ 
 ( )
2 40
0
20 1 40cos sin
80 40
n xn
n n
ππ
π π
    = − +           
 
 ( ) ( )20 20cos 1 nn
n n
π
π π
= − = −   
⇒ ( ),u x t ( )
2 2
1600
1
12010sin 10 sin
80 4 40
n n t
n
x x n x e
n
ππ π
π
−∞
=
−   = + + +   
   
∑ 
Observe que: ( )lim ,
t
u x t
→+∞
 10sin 10
80 4
x xπ = + + 
 
, a solução estacionária. 
 
Cap 4 EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL 
4.1 Corda elástica presa nas extremidades 
 Suponha que a função ( ),u x t represente a posição vertical de cada ponto de uma 
corda elástica homogênea. Sabe-se que essa função satisfaz a equação diferencial parcial 
2 2
2 2
2u x
t x
α∂ ∂=
∂ ∂
, 
 chamada de equação da corda elástica. A constante 0α > depende do material da corda 
e representa a velocidade de propagação das ondas na corda. 
 Queremos determinar ( ),u x t para uma corda de comprimento L, presa nas 
extremidades, sendo conhecidas as funções ( ) ( ),0f x u x= , posição inicial dos pontos da 
corda, e ( ) ( ),0ug x x
t
∂
=
∂
, velocidade inicial de cada ponto da corda, ou seja, queremos 
resolver o PVIF: 
5 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 
 Suponha que ( ),gu x t seja a solução quando ( ) 0f x = (DESLOCAMENTO 
INICIAL NULO), isto é, 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
g g
g
g
g g
u u
t x
u
u x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
=
∂ ∂
 ∂ = = < <
∂
= =


 
 e que ( ),fu x t seja a solução quando ( ) 0g x = (VELOCIDADE INICIAL NULA), isto é, 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0 0
0, 0 , 0
f f
f
f
f f
u u
t x
u
u x f x x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
=
∂ ∂
 ∂ = = < <
∂
= =


. 
 
 Então ( ) ( ) ( ), , ,g fu x t u x t u x t= + é solução do PVIF original. Vejamos: 
( )i ( ) ( ) ( ), , ,g fu x t u x t u x t= + ⇒ 
2
2
u
t
∂
∂
 
2 22 2
2 2 2 2
2 2g f g fu uu u
t t x x
α α
∂ ∂∂ ∂
= + = +
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
22 2
2 2 2
2 2g fuu u
x x x
α α
 ∂∂ ∂
 = + =
 ∂ ∂ ∂ 
 
( )ii ( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0 0g fu x u x u x f x= + = + 
6 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0 0g f
uuu x x x g x
t t t
∂∂∂
= + = +
∂ ∂ ∂
 
( )iii ( ) ( ) ( )0, 0, 0, 0 0g fu t u t u t= + = + 
 ( ) ( ) ( ), , , 0 0g fu L t u L t u L t= + = + 
 
4.1.1 Corda elástica presa nas extremidades,com velocidade inicial nula 
 Trata-se de determinar ( ),u x t que resolva o PVIF: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 Suponha que a solução possa ser escrita como ( ) ( ) ( ),u x t X x T t= . Então 
 
2 2
2 2
2u u
t t
α∂ ∂=
∂ ∂
 ⇒ ( ) ( )''X x T t ( ) ( )2 ''X x T tα= 
 ⇒ ( )
( )
''X x
X x
 ( )
( )2
''1 T t
T t
λ
α
= = 
 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2
'' 0 0 0 0 1
'' 0 ' 0 0 2
X x X x X X L
T x T x T
λ
α λ
− = = =
 − = =
 
 Sabemos que a equação ( )1 acima tem solução somente se 
( )
2 2
2 ,1, 2,...
n n
L
πλ = − = e as soluções fundamentais são ( ) sinn
nX x x
L
π =  
 
. 
 Substituindo 
2 2
2
n
L
πλ = − em ( )2 : 
 ( ) ( )
2 2 2
2'' 0
nT x T x
L
α π
+ = ⇒ 
2 2 2
2
2
nr
L
α π
+ 0= 
 ⇒ nr i
L
α π
= ± 
7 
 
 ⇒ ( )T t 1 2cos sin
n nc t c t
L L
α π α π   = +   
   
 
 ⇒ ( )'T t 1 2sin cos
n n n nc t c t
L L L L
α π α π α π α π   = − +   
   
 
 ( )' 0 0T = ⇒ 0 20
nc
L
α π
= + ⇒ 2 0c = 
 As soluções fundamentais: ( )nT x cos
n t
L
α π =  
 
 
 ⇒ ( ),nu x t cos sin
n nt x
L L
α π π   =    
   
 
 Para cada n, a solução fundamental ( ),nu x t é chamada de modo normal (ou 
natural) de vibração, onda estacionária ou harmônico. Na variável x, cada solução 
( ),nu x t tem período fundamental 
2L
n
 , também chamado de comprimento de onda do 
modo normal. Além disso, tem 1n − pontos fixos no intervalo 0 x L< < . 
 
 
 A solução geral ( )
1
, cos sinn
n
n t n xu x t c
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ deve satisfazer a condição 
inicial ( ) ( ),0u x f x= . Implica em ( )
1
sinn
n
n xf x c
L
π∞
=
 =  
 
∑ , a série de Fourier de senos 
para a função ( )f x . Sendo assim, 
( )
0
2 sin
L
n
n xc f x dx
L L
π =  
 ∫ 
 Observe que cada solução fundamental ( ),nu x t pode ser reescrita como: 
 ( ),nu x t cos sin
n nt x
L L
α π π   =    
   
 
 ( ) ( )1 sin sin
2
n x t n x t
L L
π α π α − +   
= +    
     
 
 Substituindo na solução geral 
8 
 
 ( ),u x t ( ) ( )
1
1 sin sin
2 nn
n x t n x t
c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= +    
     
∑ 
 ( ) ( )
1 1
1 sin sin
2 n nn n
n x t n x t
c c
L L
π α π α∞ ∞
= =
    − +    = +       
           
∑ ∑ 
 ( ) ( )
~ ~1
2
f x t f x tα α = − + + 
 
 
 em que ( )
~
f x tα− e ( )
~
f x tα+ são extensões ímpares de ( )f x , de período 2L , e 
representam duas ondas se propagando em sentidos opostos, com velocidade igual a α . 
Escrita dessa forma a solução é denominada solução de d’Alembert. 
 
Exemplo 4.1 pg. 340 Considere uma corda elástica com 40 , 2L cm α= = e 
posição inicial dada por 
( )
0 20
40 20 40
x para x
f x
x para x
≤ <
=  − ≤ ≤
 
 Queremos resolver o PVIF 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 24
,0 ,0 0 0 40
0, 0 40, 0
u u
t x
uu x f x x x
t
u t u t
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 A solução: ( ),u x t 
1
cos sin
20 40nn
n t n xc π π
∞
=
   =    
   
∑ , em que 
 nc ( )
0
2 sin
L n xf x dx
L L
π =  
 ∫ 
 ( )
20 40
0 20
1 1sin 4 sin
20 20
n x n xx dx x dx
L L
π π   = + −   
   ∫ ∫ 
 2 2
160 sin
2
n
n
π
π
 =  
 
 , 1, 2,...n = 
 2kc 0= 
9 
 
 2 1kc + 
( )
( )2 2
160 1
2 1
k
k π
−
=
+
 0,1, 2,...k = 
 ( ),u x t ( )
( )2 20
160 1
cos sin
20 402 1
n
n
n t n x
n
π π
π
∞
=
−    =    
   +
∑ 
 A solução de d’Alembert: 
 ( ),u x t ( )
( )
( )
2 2
1
160 1 21 sin
2 402 1
n
n
n x t
n
π
π
∞
=
 − − 
=   
+   
∑ 
 ( )
( )
( )
2 2
1
160 11 sin
2 402 1
n
n
n x t
n
π α
π
∞
=
 − + 
+   
+   
∑ 
 ( ) ( )
~ ~1
2
f x t f x tα α = − + + 
 
, em que 
( )
~
40 40 20
20 20
40 20 40
x para x
f x x para x
x para x
− + − ≤ < −
= − ≤ <
 − ≤ ≤
 ( ) ( )
~ ~
80f x f x+ = 
 
10 
 
4.1.2 Corda elástica presa nas extremidades, com deslocamento inicial nulo. 
Trata-se de determinar ( ),u x t que resolva o PVIF: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 Suponha que a solução possa ser escrita como ( ) ( ) ( ),u x t X x T t= . Então 
 
2 2
2 2
2u u
t t
α∂ ∂=
∂ ∂
 ⇒ ( ) ( )''X x T t ( ) ( )2 ''X x T tα= 
 ⇒ ( )
( )
''X x
X x
 ( )
( )2
''1 T t
T t
λ
α
= = 
 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2
'' 0 0 0 0 1
'' 0 0 0 2
X x X x X X L
T x T x T
λ
α λ
− = = =
 − = =
 
 Sabemos que a equação ( )1 acima tem solução somente se 
( )
2 2
2 ,1, 2,...
n n
L
πλ = − = e as soluções fundamentais são ( ) sinn
nX x x
L
π =  
 
, para 
1, 2,...n = 
 Substituindo 
2 2
2
n
L
πλ = − em ( )2 : 
 ( ) ( )
2 2 2
2'' 0
nT x T x
L
α π
+ = ⇒ 
2 2 2
2
2
nr
L
α π
+ 0= 
 ⇒ nr i
L
α π
= ± 
 ⇒ ( )T t 1 2cos sin
n nc t c t
L L
α π α π   = +   
   
 
 ( )0 0T = ⇒ 0 1 2 0c c= + ⇒ 1 0c = 
 As soluções fundamentais: ( )nT x sin
n t
L
α π =  
 
, para 1, 2,...n = 
 Portanto, o PVIT 
11 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 tem soluções fundamentais 
 ( ) ( ) ( ), sin sinn n n
n t n xu x t X x T t
L L
α π π   = =    
   
, para 1, 2,3,...n = 
Para cada n, a solução fundamental ( ),nu x t é chamada de modo normal (ou 
natural) de vibração, onda estacionária ou harmônico. Na variável x, cada solução 
( ),nu x t tem período fundamental 
2L
n
 , também chamado de comprimento de onda do 
modo normal. Além disso, tem 1n − pontos fixos no intervalo 0 x L< < . 
 
A solução geral ( ) ( )
1 1
, , sin sinn n n
n n
n t n xu x t c u x t c
L L
α π π∞ ∞
= =
   = =    
   
∑ ∑ deve 
satisfazer a condição inicial ( ) ( ),0u x g x
t
∂
=
∂
. Implica em 
( )
1
sinn
n
n n xg x c
L L
α π π∞
=
 =  
 
∑ , 
 a série de Fourier de senos para a função ( )g x . Sendo assim, 
( )
0
2 sin
L
n
n n xc g x dx
L L L
α π π =  
 ∫ , para 1, 2,...n = 
 Para cada n, pode-se reescrever a solução fundamental como: 
 ( ) ( ) ( )1, sin sin cos cos
2n
n x t n x tn t n xu x t
L L L L
π α π αα π π  − +      = = −       
         
, 
 E a solução geral como: 
( ) ( ) ( )
1
1, cos cos
2nn
n x t n x t
u x t c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
 
12