GEX158_EDP_aulas_47_e_48_i

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 47 e 48 – 06/08/2013 
 
Livro: Equações Diferenciais Parciais: Uma introdução – Prof. Reginaldo J. Santos 
 
Lista 2.1 Exemplo 2.7 pg. 175 
 Exemplo 2.8 pg. 176 
 Exemplo 2.9 pg. 183 
Exemplo 2.10 pg. 185 
Exemplo 2.11 pg. 189 
pg. 202 Exercícios 1.1 a 1.10 (excluído o 1.3) 
 
 
Lista 2.2 Resolver as integrais 
( )
20
0
3 sin
2 40
n xi x dxπ =  
 ∫ e ( )
40
20
360 sin
2 40
n xii x dxπ   = −   
   ∫ 
e determinar o valor de ( ) ( )1
20n
c i ii= +   do exemplo 3.2 (pg. 286). 
 
 Exercícios 1.1 a 1.3 pg. 290 
 
Lista 2.3 Exercícios 2.1 e 2.2 pg. 300 
Lista 2.4 Exercícios 3.1 a 3.3 pg. 313 
 
Cap 4 EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL 
4.1 Corda elástica presa nas extremidades 
 Queremos determinar ( ),u x t que resolva o PVIF: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
1 
 
 Suponha que ( ),gu x t seja a solução quando ( ) 0f x = e que ( ),fu x t seja a 
solução quando ( ) 0g x = . Então ( ) ( ) ( ), , ,g fu x t u x t u x t= + é solução do PVIF original. 
 
4.1.1 Corda elástica presa nas extremidades, com velocidade inicial nula 
 Trata-se de determinar ( ),u x t que resolva o PVIF: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 As soluçõe fundamentais: 
 ( ),nu x t cos sin
n nt x
L L
α π π   =    
   
 
 ( ) ( )1 sin sin
2
n x t n x t
L L
π α π α − +   
= +    
     
 
 A solução geral: 
 ( ),u x t 
1
cos sinn
n
n t n xc
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ 
 ( ) ( )
1 1
1 sin sin
2 n nn n
n x t n x t
c c
L L
π α π α∞ ∞
= =
    − +    = +       
           
∑ ∑ 
 ( ) ( )
~ ~1
2
f x t f x tα α = − + + 
 
 
 nc ( )
0
2 sin
L n xf x dx
L L
π =  
 ∫ 
 
 
 
 
 
2 
 
4.1.2 Corda elástica presa nas extremidades, com deslocamento inicial nulo. 
Trata-se de determinar ( ),u x t que resolva o PVIF: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 Suponha que a solução possa ser escrita como ( ) ( ) ( ),u x t X x T t= . Então 
 
2 2
2 2
2u u
t t
α∂ ∂=
∂ ∂
 ⇒ ( ) ( )''X x T t ( ) ( )2 ''X x T tα= 
 ⇒ ( )
( )
''X x
X x
 ( )
( )2
''1 T t
T t
λ
α
= = 
 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2
'' 0 0 0 0 1
'' 0 0 0 2
X x X x X X L
T x T x T
λ
α λ
− = = =
 − = =
 
 Sabemos que a equação ( )1 acima tem solução somente se 
( )
2 2
2 1, 2,...
n n
L
πλ = − = e as soluções fundamentais são ( ) sinn
nX x x
L
π =  
 
, para 
1, 2,...n = 
 Substituindo 
2 2
2
n
L
πλ = − em ( )2 : 
 ( ) ( )
2 2 2
2'' 0
nT x T x
L
α π
+ = ⇒ 
2 2 2
2
2
nr
L
α π
+ 0= 
 ⇒ nr i
L
α π
= ± 
 ⇒ ( )T t 1 2cos sin
n nc t c t
L L
α π α π   = +   
   
 
 ( )0 0T = ⇒ 0 1 2 0c c= + ⇒ 1 0c = 
 As soluções fundamentais: ( )nT t sin
n t
L
α π =  
 
, para 1, 2,...n = 
 Portanto, o PVIT 
3 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 tem soluções fundamentais 
 ( ) ( ) ( ), sin sinn n n
n t n xu x t X x T t
L L
α π π   = =    
   
, para 1, 2,3,...n = 
Para cada n, a solução fundamental ( ),nu x t é chamada de modo normal (ou 
natural) de vibração, onda estacionária ou harmônico. Na variável x, cada solução 
( ),nu x t tem período fundamental 
2L
n
 , também chamado de comprimento de onda do 
modo normal. Além disso, tem 1n − pontos fixos no intervalo 0 x L< < . 
 
A solução geral ( ) ( )
1 1
, , sin sinn n n
n n
n t n xu x t c u x t c
L L
α π π∞ ∞
= =
   = =    
   
∑ ∑ deve 
satisfazer a condição inicial ( ) ( )
1
,0 cos 0 sinn
n
u n n n xx c g x
t L L L
α π α π π∞
=
∂    = =   ∂    
∑ . 
Implica em 
( )
1
sinn
n
n n xg x c
L L
α π π∞
=
 =  
 
∑ , 
 a série de Fourier de senos para a função ( )g x . Sendo assim, 
( )
0
2 sin
L
n
n n xc g x dx
L L L
α π π =  
 ∫ , para 1, 2,...n = 
 Para cada n, pode-se reescrever cada solução fundamental como: 
 ( ) ( ) ( )1, sin sin cos cos
2n
n x t n x tn t n xu x t
L L L L
π α π αα π π  − +      = = −       
         
, 
 E a solução geral como: 
( ) ( ) ( )
1
1, cos cos
2nn
n x t n x t
u x t c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
4 
 
Observe que: Se ( )
1
sinn
n
n n xg x c
L L
α π π∞
=
 =  
 
∑ , então: 
( )1  ( )
1
sinn i
n
n n xc g x
L L
α π π∞
=
  = 
 
∑ em que  ( )ig x é a extensão ímpar de ( )g x . 
( )2  ( )ig x dx∫ 
1
sinn
n
n n xc dx
L L
α π π∞
=
 =  
 
∑∫ 
 
1 1
sin cosn n
n n
n n x n xc dx c
L L L
π π πα α
∞ ∞
= =
    = = −        
∑ ∑∫ 
  ( )
x t
i
x t
g w dw
α
α
+
−
∫ 
( ) ( )
1
cos cosn
n
n x t n x t
c
L L
π α π α
α
∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
⇒ ( ),u x t  ( )1
2
x t
i
x t
g w dw
α
αα
+
−
= ∫ A solução de d’Alembert. 
Chamando de ( )h x  ( )
0
x
ig w dw= ∫ , 
 ( ),u x t  ( )  ( )
0
0
1
2
x t
i i
x t
g w dw g w dw
α
αα
+
−
 
= + 
  
∫ ∫ 
 ( ) ( )1
2
h x t h x tα α
α
= + + −   representa duas funções se 
deslocando em sentidos opostos sobre o eixo dos x, entre 0 e L. 
5 
 
 
 
Exemplo 4.2 pg. 350 Uma corda elástica uniforme, com 40L = , 2α = e 
velocidade inicial dada por 
 ( )
10 0 20
4 10 20 40
x se x
g x
x se x
≤ <
=  − ≤ ≤
 , resolver o PVIF: 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 24
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x x g x x L
t
u t u L t
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
A solução: ( ),u x t 
1
sin sin
20 40nn
n t n xc π π
∞
=
   =    
   
∑ , em que 
 
6 
 
 
20 n
n cπ ( )
40
0
1 sin
20 40
n xg x dxπ =  
 ∫ 
 
20 40
0 20
1 sin 4 sin
20 10 40 10 40
x n x x n xdx dxπ π
      = + −      
      
∫ ∫ 
 2 2
16 sin
2
n
n
π
π
 =  
 
 ( )1,2,3,...n = 
 nc 3 3
320 sin
2
n
n
π
π
 =  
 
 
Portanto: ( ),u x t 3 3
1
320 sin sin sin
2 20 40n
n t n xn
n
π π π
π
∞
=
     =      
     
∑ 
 ( )
( )
( ) ( )
33
0
1 2 1 2 1320 sin sin
20 402 1
k
k
k t k x
k
π π
π
∞
=
− + +   
=    
+    
∑ 
A solução de d’Alembert: 
 ( ),u x t  ( ) ( ) ( )1 1 2 2
4 4
x t
i
x t
g w dw h x t h x t
α
α
+
−
= = + + −  ∫ , em que  ( )ig x é a 
extensão ímpar de ( )g x , ou seja, 
 ( )ig x 
4 10 40 20
10 20 20
4 10 20 40
x se x
x se x
x se x
− − − ≤ < −
= − ≤ <
 − ≤ ≤ ( )  ( )80i ig x g x+ = , e 
 ( )  ( )
0
x
ih x g w dw= ∫ 
2
2
2
4 20 40 20
20 20 20
4 20 20 40
x x se x
x se x
x x se x
− − − ≤ < −
= − ≤ <
 − ≤ ≤
 ( ) ( )80h x h x+ = 
 
( )
( )
2
2
2
40 40 20 40 20
20 20 20
40 40 20 20 40
x se x
x se x
x se x
 − + − ≤ < −
= − ≤ <

− − ≤ ≤
 ( ) ( )80h x h x+ = 
 
Observe que a solução ( ),u x t ( )
( )
( ) ( )
33
0
1 2 1 2 1320 sin sin
20 402 1
k
k
k t k x
k
π π
π
∞
=
− + +   
=    
+    
∑ é 
períódica com período 40 no eixo t e período 80 no eixo x. 
7 
 
Lista 2.5 Exercícios 1.3 a 1.7 pg. 359 
8