GEX158_EDP_aulas_49_a_52_i

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 49 a 52 – 13 e 14/08/2013 
 
Livro: Equações Diferenciais Parciais: Uma introdução – Prof. Reginaldo J. Santos 
 
Lista 2.1 Exemplo 2.7 pg. 175 
 Exemplo 2.8 pg. 176 
 Exemplo 2.9 pg. 183 
Exemplo 2.10 pg. 185 
Exemplo 2.11 pg. 189 
pg. 202 Exercícios 1.1 a 1.10 (excluído o 1.3) 
 
 
Lista 2.2 Resolver as integrais 
( )
20
0
3 sin
2 40
n xi x dxπ =  
 ∫ e ( )
40
20
360 sin
2 40
n xii x dxπ   = −   
   ∫ 
e determinar o valor de ( ) ( )1
20n
c i ii= +   do exemplo 3.2 (pg. 286). 
 
 Exercícios 1.1 a 1.3 pg. 290 
 
Lista 2.3 Exercícios 2.1 e 2.2 pg. 300 
Lista 2.4 Exercícios 3.1 a 3.3 pg. 313 
 
 
Cap 4 EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL 
4.3 Corda elástica presa nas extremidades – O caso geral 
 Queremos determinar ( ),u x t que resolva o PVIF: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
1 
 
Se ( ) 0g x = , ( ),fu x t 
1
cos sinn
n
n t n xc
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ 
 ( ) ( )
1 1
1 sin sin
2 n nn n
n x t n x t
c c
L L
π α π α∞ ∞
= =
    − +    = +       
           
∑ ∑ 
 ( ) ( )
~ ~1
2
f x t f x tα α = − + + 
 
 Solução de d’Alembert 
 nc ( )
0
2 sin
L n xf x dx
L L
π =  
 ∫ 
 
Se ( ) 0f x = , ( ),gu x t 
1
sin sinn
n
n t n xd
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ 
( ) ( )
1
1 cos cos
2nn
n x t n x t
d
L L
π α π α∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
 ( )  ( )
0
0
1
2
x t
i i
x t
g w dw g w dw
α
αα
+
−
 
= + 
  
∫ ∫ Solução de d’Alembert 
( ) ( )1
2
h x t h x tα α
α
= + + −   
 n
n d
L
α π ( )
0
2 sin
L n xg x dx
L L
π =  
 ∫ , para 1, 2,...n = 
 
Então ( ) ( ) ( ), , ,g fu x t u x t u x t= + é solução do PVIF original. 
 
Lista 2.5 Exemplo 4.3 pg. 355 
 Exercícios 1.3 a 1.7 pg. 359 
 
 
Cap 5 Equação de Laplace Bidimensional pg. 419 
 Trata-se da EDP de 2ª ordem 
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
 
 
2 
 
Aplicações: 
 O potencial elétrico ( ),u x y satisfaz a equação de Laplace. 
 A equação do calor em uma placa ( ), ,u x y t satisfaz: 
 
2 2
2 2
2 0u u u
t x y
α
 ∂ ∂ ∂
= + = ∂ ∂ ∂ 
 
 A equação da onda ( ), ,u x y t em uma membrana elástica: 
 
2 2 2
2 2 2
2 0u u u
t x y
α
 ∂ ∂ ∂
= + = ∂ ∂ ∂ 
 
 
5.1 Equação de Laplace no retângulo (O problema de Dirichlet no retângulo): 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 , 0
0, , 0
u u
x y y bx a
u x f x u x b g x x a
u y h y u a y k y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
 
3 
 
 É possível mostrar que a solução é dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,gf h ku x y u x y u x y u x y u x y= + + + , em que 
 ( ),fu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0g x h x k x= = = ; 
 ( ),gu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x h x k x= = = ; 
 ( ),hu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x g x k x= = = ; 
 ( ),ku x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x g x h x= = = . 
 
5.1.1 A solução para apenas ( )k y não nula. 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0 0
0, 0 , 0
u u
x y y bx a
u x u x b x a
u y u a y k y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
 Vamos supor uma solução do tipo ( ) ( ) ( ),u x y X x Y y= . Derivando e 
substituindo na EDP original: 
 ( ) ( ) ( ) ( )'' '' 0X x Y y X x Y y+ = ⇒ ( )( )
( )
( )
'' ''X x Y y
X x Y y
λ= − = 
 ⇒ 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'' 0 0 0 1
'' 0 0 0 0 2
X x X x X
Y y Y y Y Y b
λ
λ
− = =

+ = = =
 
 
 A EDO (2), linear de 2ª ordem, já foi resolvida (problema de calor em uma barra 
com condições de fronteira homogêneas) e sabemos que só tem solução se
2 2
2
n
b
πλ = 
( )1,2,3,...n = . As soluções são da forma ( ) 1 sin
n yY y c
b
π =  
 
. 
4 
 
 Substituindo 
2 2
2
n
b
πλ = em (1) e considerando que ( )0 0X = : 
 ( ) ( )
2 2
2'' 0
nX x X x
b
π
− = ⇒ ( ) 2 2 sinh
n nx xb b nX x c e e c x
b
π π π−   = − =   
  
 
 Logo, o problema dado pela equação de Laplace 
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
, com condições 
de fronteira ( ) ( ),0 , 0u x u x b= = , para 0 x a< < , e ( )0, 0u y = , para 0 y b< < , tem 
soluções fundamentais dadas por: 
( ) ( ) ( ), sin sinhn
n y n xu x y X x Y y
b b
π π   = =    
   
 
 Nesse caso, a solução do problema de Dirichlet é uma série da forma: 
( )
1
, c sin sinhn
n
n y n xu x y
b b
π π∞
=
   =    
   
∑ 
 Para satisfazer ( ) ( ),u a y k y= : 
( )
1 1
c sin sinh c sinh sinn n
n n
n y n a n a n yk y
b b b b
π π π π∞ ∞
= =
        = =                
∑ ∑ 
 Trata-se da série de Fourier em senos, para a função ( )k y e, se a função ( )k y é 
contínua por partes com derivada contínua por partes em [ ]0,b , os coeficientes da série 
são dados por: 
( )
0
2c sinh sinn
n a n yk y dy
b b b
π π∞   =   
   ∫
 ( )1,2,3,...n = 
 
5 
 
 
 
5.1.2 A solução para apenas ( )h y não nula. Pg. 427 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0 0
0, , 0 0
u u
x y y bx a
u x u x b x a
u y h y u a y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
 Vamos supor uma solução do tipo ( ) ( ) ( ),u x y X x Y y= . Derivando e 
substituindo na EDP original: 
6 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )'' '' 0X x Y y X x Y y+ = ⇒ ( )( )
( )
( )
'' ''X x Y y
X x Y y
λ= − = 
 ⇒ 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'' 0 0 3
'' 0 0 0 0 4
X x X x X a
Y y Y y Y Y b
λ
λ
− = =

+ = = =
 
 
 A EDO (4), linear de 2ª ordem, já foi resolvida (problema de calor em uma barra 
com condições de fronteira homogêneas) e sabemos que só tem solução se 
2 2
2
n
b
πλ = 
( )1,2,3,...n = . As soluções são da forma ( ) 1 sin
n yY y c
b
π =  
 
. 
Substituindo 
2 2
2
n
b
πλ = em (3): ( ) ( )
2 2
2'' 0
nX x X x
b
π
− = 
⇒ ( )X x  1 2
n nx xb bc e c e
π π−
= + 
 ( ) 0x a = ⇒ 0  1 2
n na ab bc e c e
π π−
= + ⇒  1 2
n na ab bc e c e
π π−
= − 
 Fazendo: 
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
n na ab b
n na ab b
c e c c c e
c e c c c e
π π
π π
−
−

= = ⇒

 = =⇒
 e 1 2c c= − 
 ( )X x 1 2
n n n na x a xb b b bc e e c e e
π π π π
−−
= + 
 
( ) ( )
1 2
n nx a x ab bc e c e
π π
− − −
= + 
 
( ) ( )

2 2 sinh (
n nx a x ab b nc e e c x a
b
π π π−− −   = − = −   
  
 
 
Logo, o problema dado pela equação de Laplace 
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
, com condições 
de fronteira ( ), 0u o y = ( ) ( ),0 , 0u x u x b= = , para 0 x a< < , e ( ), 0u a y = , para 
0 y b< < , tem soluções fundamentais dadas por: 
( ) ( ) ( ) ( ), sin sinhn
n y nu x y X x Y y x a
b b
π π   = = −   
   
 
7 
 
 Nesse caso, a solução do problema de Dirichlet é uma série da forma: 
( ) ()
1
, c sin sinhn
n
n y nu x y x a
b b
π π∞
=
   = −   
   
∑ 
 Precisamos satisfazer a condição inicial 
 ( ) ( )0,h y u y= 
1
c sin sinhn
n
n y n a
b b
π π∞
=
   = −   
   
∑ 
 
1
c sinh sinn
n
n a n y
b b
π π∞
=
    = −         
∑ 
 Trata-se da série de Fourier em senos, para a função ( )h y e, se a função ( )h y é 
contínua por partes com derivada contínua por partes em [ ]0,b , os coeficientes da série 
são dados por: 
( )
0
2c sinh sin
b
n
n a n yh y dy
b b b
π π   − =   
   ∫ ( )1,2,3,...n = 
 Caso se escreva ( ) ( )
1
, c sin sinhn
n
n y nu x y a x
b b
π π∞
=
   = −   
   
∑ 
 ( )
0
2c sinh sinn
n a n yh y dy
b b b
π π∞   =   
   ∫ ( )1,2,3,...n = 
 
Exemplo 5.2 Considere o problema de Dirichlet em um retângulo: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 0 20 3
,0 0 ,2 0 0 3
0, 3, 0 0 2
u u
x y yx
u x u x x
u y h y u y y
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


, 
 em que ( )h x 0 1se
2 1 2se
y y
y y
< ≤
= 
− < <
 
 A solução: 
 ( ),u x y 
1
3c sinh sin
2 2nn
n n yπ π∞
=
   =    
   
∑ 
8 
 
 As constantes ( )c sinh 3
2n
n xπ − 
 
 são os coeficientes da série de Fourier em senos 
para a função ( )h y . Então: 
 3c sinh
2n
nπ 
 
 
 ( )
0
2 sin
b n yh y dy
b b
π =  
 ∫ 
 ( )
2
0
sin
2
n yh y dyπ =  
 ∫ 
 
( )
( )
( )
1 2
0 1
sin 2 sin
2 2
III
n y n yy dy y dyπ π   = + −   
   ∫ ∫

 
 
Resolvendo ( )I : 2sin cos
2 2
n y n yu y du dy dv v
n
π π
π
    = ⇒ = = ⇒ = −    
   
 
 ( )I 
1 1
00
2 2cos cos
2 2
y n y n y dy
n n
π π
π π
    = − +    
    
∫ 
 
1
2 2
0
2 40 cos sin
2 2
n n y
n n
π π
π π
      = − +            
 
 2 2
2 4cos sin
2 2
n n
n n
π π
π π
   = − +   
   
 
 
Resolvendo ( )II : 
22 sin cos
2 2
n y n yu y du dy dv v
n
π π
π
    = − ⇒ = − = ⇒ = −    
   
 ( )II ( )
2 2
11
2 2 2cos cos
2 2
y n y n y dy
n n
π π
π π
−    = − −    
    
∫ 
 ( )
22
2 2
1 1
2 42 cos sin
2 2
n y n yy
n n
π π
π π
     = − − −           
 
 2 2
2 4cos sin
2 2
n n
n n
π π
π π
   = +   
   
 
9 
 
Então 
 3c sinh
2n
nπ 
 
 
 ( ) ( ) 2 2
4 sin
2
nI II
n
π
π
 = + =  
 
 
 cn 
2 2
8 sin
3 2sinh
2
n
nn
π
ππ
 =     
 
 
 1, 2,3,...n = 
 2c k 0= 
 2 1c k+ 
( )
( ) ( )2 2
8 1
3 2 1
2 1 sinh
2
k
k
k
π
π
−
=
+ 
+  
 
 0,1, 2,...k = 
 Finalmente, 
 ( ),u x y ( )
( ) ( )
( ) ( )
20 2
8 1 3 2 1 2 1
sinh sin
2 23 2 1
2 1 sinh
2
n
n
n n y
n
n
π π
π
π
∞
=
− + +   
=    +     +  
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10