GEX158_EDP_aulas_55_e_56

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 55 e 56 – 21/08/2013 
 
Livro: Equações Diferenciais Parciais: Uma introdução – Prof. Reginaldo J. Santos 
Lista 2.1 Exemplo 2.7 pg. 175 
 Exemplo 2.8 pg. 176 
 Exemplo 2.9 pg. 183 
Exemplo 2.10 pg. 185 
Exemplo 2.11 pg. 189 
pg. 202 Exercícios 1.1 a 1.10 (excluído o 1.3) 
Lista 2.2 Resolver as integrais 
( )
20
0
3 sin
2 40
n xi x dxπ =  
 ∫ e ( )
40
20
360 sin
2 40
n xii x dxπ   = −   
   ∫ 
e determinar o valor de ( ) ( )1
20n
c i ii= +   do exemplo 3.2 (pg. 286). 
 
 Exercícios 1.1 a 1.3 pg. 290 
Lista 2.3 Exercícios 2.1 e 2.2 pg. 300 
Lista 2.4 Exercícios 3.1 a 3.3 pg. 313 
Lista 2.5 Exemplo 4.3 pg. 355 
 Exercícios 1.3 a 1.7 pg. 359 
Lista 2.6 pg. 436 Exercícios 1.1 e 1.2. 
 
 
Cap. 2 – Séries de Fourier pg. 161 
Definição 3: Se 0L > e [ ]: ,f L L− → é contínua por partes, define-se sua série de 
Fourier como: 
( ) 0
1 1
cos sin
2 n nf n n
a n t n tS t a b
L L
π π∞ ∞
= =
   = + +   
   
∑ ∑ , em que 
( )1 cos
L
n
L
n ta f t
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 0,1, 2,...n = 
( )1 sin
L
n
L
n tb f t
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 1, 2,...n = 
1 
 
 
Teorema 2.1 Teorema de Fourier pg. 162 
 Se [ ]: ,f L L− → e ( )' .f são ambas contínuas por partes, então 
( ) ( ) 0
1 1
cos sin
2 n nf n n
a n t n tf t S t a b
L L
π π∞ ∞
= =
   = = + +   
   
∑ ∑ 
para todo ponto em ( ),L L− em que ( )f t é contínua. 
 Se  ( )f t é a extensão periódica, de período 2L , para ( )f t , isto é, 
 ( ) ( )2f t kL f t+ = , para todo k inteiro, então  ( ) ( ).ff t S t= 
 Se ( ) ( )ff t S t= , ( ) ( )gg t S t= e ( ) ( ) ( )h t f t g tα β= + , com α e β reais, então 
( ) ( ) ( )gh fS t S t S tα β= + . 
Se ( ) ( ): ,f t L L− → uma função par, sua Série de Fourier resume-se a: 
( ) 0
1
cos
2 nf n
a n tS t a
L
π∞
=
 = +  
 
∑ , em que ( )1 cos
L
n
L
n ta f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 0,1, 2,...n = 
 
 Se ( ) ( ): ,f t L L− → é ímpar, sua Série de Fourier resume-se a: 
( )
1
sinnf
n
n tS t b
L
π∞
=
 =  
 
∑ , em que ( )1 sin
L
n
L
n tb f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 1, 2,...n = 
 
 Se [ ]: 0,f L → , sua série de Fourier de cossenos é dada por: 
( ) ( ) 0
1
cos
2f nn
a n tf t Sc t a
L
π∞
=
 = = +  
 
∑ , com ( )
0
2 cos
L
n
n ta f t dt
L L
π =  
 ∫ 
 
 Se [ ]: 0,f L → , sua série de Fourier de senos é dada por: 
( ) ( )
1
sinf n
n
n tf t Ss t b
L
π∞
=
 = =  
 
∑ , com ( )
0
2 sin
L
n
n tb f t dt
L L
π =  
 ∫ . 
 
 
 
 
2 
 
 CAP. 3 – EQUAÇÃO DO CALOR EM UMA BARRA 
3.1 Extremidades a temperaturas fixas pg. 275 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2
,0 para 0
0, ,
u u
t x
u x f x x L
u t T u L t T
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = < <
 = =

 
3.1.1 Condições de fronteira homogêneas: 1 2 0T T= = 
A solução: ( ),u x t 
2 2 2
2
1
sin L
n t
n
n
n xc
L
e
α ππ −∞
=
 =  
 
∑ , com 
 ( )
0
2 sin
L
n
n xc f x dx
L L
π =  
 ∫ 1, 2,3,...n = 
3.1.1 Condições de fronteira não homogêneas: 1 0T ≠ e/ou 2 0T ≠ 
 A solução: ( ),u x t 
( ) ( )
2 2 2
22 1
1
1
0 ,,
sin L
n t
n
n
u x tv x t
T T n xT x c
L L
e
α ππ −∞
=
−   = + +   
  
∑

, com 
 ( ) 2 11
0
2 sin
L
n
T T n xc f x T x dx
L L L
π −    = − −        ∫
 1, 2,3,...n = 
3.2 Barra isolada nas extremidades 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
,0 para 0
0, 0 , 0
u u
t x
u x f x x L
u ut L t
x x
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = < <
∂ ∂ = =
∂ ∂
 
 A solução: ( ),u x t 
2 2 2
2
0
cos L
n t
n
n L
n xc e
α ππ −∞
=
 =  
 
∑ , com ( )0
0
1 LC f x dx
L
= ∫ e 
 ( )
0
2 cos
L
n
n xC f x dx
L L
π =  
 ∫ 0,1, 2,...n = 
 
 
 
3 
 
3.3.1 Condições de fronteira mistas 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
,0 para 0
, 00, 0
u u
t x
u x f x x L
u L tu t x
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = < <
 ∂ == ∂
 
 A solução: ( ),u x t ( )
( )22 2
2
2
4
2 1
0
1
2
2 1
sin L
n t
n
n L
n x
c e
α π
π −
+∞
+
=
+ 
=  
 
∑ , com 
 ( )0
0
1 LC f x dx
L
= ∫ e ( )
( )
0
2 12 cos
2
L
n
n x
C f x dx
L L
π+ 
=  
 
∫ 0,1, 2,...n = 
3.3.2 Equação do calor não homogênea 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2
,0 para 0
0, ,
u u g x
t x
u x f x x L
u t T u L t T
α
 ∂ ∂
= + ∂ ∂ = < <
 = =

 
 A solução: ( ),u x t ( ) ( )0 ,v x u x t= + , em que 
 ( )v x resolve o PF: ( ) ( )
( ) ( )
22
1 2
0 '' ''
0
v g x v g x
v T v L T
α α = + ⇔ = −

= =
 e pode ser obtido 
integrando-se duas vezes ( )2
1''v g x
α
= − . As constantes de integração são obtidas 
pelas condições ( ) 10v T= e ( )v L T= . 
 ( )0 ,u x t resolve o PVIF: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
20 0
0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
u x f x v x x L
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = − < <
 = =

 
 então sabemos que ( )0 ,u x t 
2 2 2
2
1
sin
n t
L
n
n
n xc
L
e
α ππ −∞
=
 =  
 
∑ com 
 nc ( ) ( )
0
2 sin
L n xf x g x dx
L L
π = −      ∫ 
4 
 
Cap 4 EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL 
4.1 Corda elástica presa nas extremidades 
Determinar ( ),u x t que satisfaça ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 A solução: ( ) ( ) ( ), , ,gfu x t u x t u x t= + , em que 
 ( ),fu x t resolve ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 e 
 ( ),gu x t resolve ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 As soluções: 
 ( ),fu x t 
1
cos sinn
n
n t n xc
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ 
 ( ) ( )
1
1 sin sin
2 nn
n x t n x t
c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= +    
     
∑ 
 ( ) ( )
1 1
1 sin sin
2 n nn n
n x t n x t
c c
L L
π α π α∞ ∞
= =
    − +    = +       
           
∑ ∑ 
 ( ) ( )
~ ~1
2
f x t f x tα α = − + + 
 
 (as extensões ímpares) 
( )
0
2 sin
L
n
n xc f x dx
L L
π =  
 ∫ 
5 
 
 ( ),gu x t 
1
sin sinn
n
n t n xc
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ 
 ( ) ( )
1
1 cos cos
2 nn
n x t n x t
c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
 
A solução ( ),gu x t deve satisfazer a condição inicial 
( ) ( )
1
,0 cos 0 sinn
n
u n n n xx c g x
t L L L
α π α π π∞
=
∂    = =   ∂    
∑ . Implica em 
( )
1
sinn
n
n n xg x c
L L
α π π∞
=
 =  
 
∑ , 
 a série de Fourier de senos para a função ( )g x . Sendo assim, 
( )
0
2 sin
L
n
n n xc g x dx
L L L
α π π =  
 ∫ , para 1, 2,...n = 
 Para cada n, pode-se reescrever cada solução fundamental como: 
 ( ) ( ) ( )1, sin sin cos cos
2n
n x t n x tn t nxu x t
L L L L
π α π αα π π  − +      = = −       
         
, 
 E a solução geral como: 
( ) ( ) ( )
1
1, cos cos
2nn
n x t n x t
u x t c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
Observe que: Se ( )
1
sinn
n
n n xg x c
L L
α π π∞
=
 =  
 
∑ , então: 
( )1  ( )
1
sinn i
n
n n xc g x
L L
α π π∞
=
  = 
 
∑ em que  ( )ig x é a extensão ímpar de ( )g x . 
( )2  ( )ig x dx∫ 
1
sinn
n
n n xc dx
L L
α π π∞
=
 =  
 
∑∫ 
 
1 1
sin cosn n
n n
n n x n xc dx c
L L L
π π πα α
∞ ∞
= =
    = = −        
∑ ∑∫ 
  ( )
x t
i
x t
g w dw
α
α
+
−
∫ 
( ) ( )
1
cos cosn
n
n x t n x t
c
L L
π α π α
α
∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
6 
 
⇒ ( ),u x t  ( )1
2
x t
i
x t
g w dw
α
αα
+
−
= ∫ A solução de d’Alembert. 
Chamando de ( )h x  ( )
0
x
ig w dw= ∫ , 
 ( ),u x t  ( )  ( )
0
0
1
2
x t
i i
x t
g w dw g w dw
α
αα
+
−
 
= + 
  
∫ ∫ 
 ( ) ( )1
2
h x t h x tα α
α
= + + −   representa duas funções se 
deslocando em sentidos opostos sobre o eixo dos x, entre 0 e L. 
 
 
 
 
 
7