Prova_2_mec

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Universidade Federal de Sa˜o Joa˜o del Rei
Campus Alto Paraopeba
Curso: Engenharia Mecatroˆnica
Unidade Curricular: Ca´lculo Diferencial e Integral III
Segunda Prova
02/08/2013
ESCOLHA APENAS 3 (TREˆS) QUESTO˜ES PARA VOCEˆ RESOLVER.
TODAS AS QUESTO˜ES POSSUEM O MESMO VALOR.
1. Calcule
∫
C
Fdr onde F (x, y) = (2x − y3,−xy) e C e´ a fronteira da regia˜o
limitada pelas curvas x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
2. Considere a curva parametrizada por r(t) = (et−1, sen(pi
t
)), 1 ≤ t ≤ 2. Calcule∫
C
Fdr onde F (x, y) = (2xcos(y),−x2sen(y)).
3. Suponha que o campo vetorial F (x, y, z) = (x, y,−2z) represente o um campo
de velocidade associado ao escoamento de um fluido em cada ponto da esfera
de centro na origem e raio a, orientada positivamente. Calcule o fluxo (ou a
taxa de escoamento por unidade de tempo) atrave´s da superf´ıcie da esfera.
4. Calcule
∫∫
S
rotFdS onde F (x, y, z) = (x2yz, yz2, z3exy) e S e´ a parte da esfera
x2 + y2 + z2 = 5 que esta´ acima do plano z = 1 e S tem orientac¸a˜o para cima.
5. Calcule
∫∫
S
(x2z + y2z)dS onde S e´ a parte do plano z = 4 + x + y que esta´
dentro do cilindro x2 + y2 = 4.
BOA PROVA!!
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