Capítulo_3_-_Vetores no R2 e R3

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Capítulo 3 Vetores no ℝ2 e no ℝ3 
Geometria Analítica 
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CAPÍTULO 3 
Vetores no ℝ𝟐 e no ℝ𝟑 
 
 
 
 
3.1 Introdução 
 
No capítulo anterior, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico. No presente 
capítulo, vamos mostrar outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão 
relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço. 
 
3.2 Decomposição de um vetor no plano 
 
Dados dois vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , não colineares, qualquer vetor 𝑣 coplanar com 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ pode ser 
decomposto segundo as direções de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . O problema consiste em determinar dois vetores cujas 
direções sejam as de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ e cuja soma seja 𝑣 . Em outras palavras, iremos determinar dois 
números reais 𝑎 e 𝑏 tais que: 
𝑣 = 𝑎𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑏𝑣2⃗⃗⃗⃗ 
Exemplo 1. Escreva o vetor 𝑣 como combinação linear dos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
 
 
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 Quando o vetor 𝑣 estiver representado por: 𝑣 = 𝑎𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑏𝑣2⃗⃗⃗⃗ dizemos que 𝑣 é combinação 
linear de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . O par de vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , não colineares é chamado base no plano e os números 
𝑎 e 𝑏 são chamados componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação à base {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ }. 
 Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base é dita ortonormal 
se os vetores forem ortogonais e unitários. 
 Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano 𝑥𝑂𝑦, porém uma delas é 
particularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos 
orientados com origem em 𝑂 e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1). Estes vetores são 
simbolizados por 𝑖 e 𝑗 e a base {𝑖 , 𝑗 } é chamada canônica. 
 
 
 
 
 
3.3 Expressão analítica de um vetor 
 
Fixada a base {𝑖 , 𝑗 }, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do 
plano e os pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reais e se representa por: 
𝑣 = (𝑥, 𝑦) 
Exemplo 2. A primeira componente 𝑥 é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em 
vez de escrever 𝑣 = 4𝑖 − 12𝑗 , pode-se escrever 𝑣 = (4,−12). 
 
 
Igualdade 
Dois vetores 𝑣 = (𝑥, 𝑦) e �⃗⃗� = (𝑚, 𝑛) são iguais se, e somente se, 𝑥 = 𝑚 e 𝑦 = 𝑛. 
 
Exemplo 3. Determine 𝑥 e 𝑦, sabendo que 𝑣 = (𝑥 + 1,4) é igual a �⃗⃗� = (5,2𝑦 − 6). 
 
 
 
 
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Operações 
Para somar dois vetores, somam-se as suas coordenadas correspondentes e para multiplicar um 
vetor por um número real, multiplicasse cada componente do vetor por este número, isto é, sejam os 
vetores 𝑣 = (𝑥, 𝑦) e �⃗⃗� = (𝑚, 𝑛) e 𝑎 ∈ ℝ temos: 
𝑣 + �⃗⃗� = (𝑥 + 𝑚, 𝑦 + 𝑛) 
𝑎𝑣 = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦) 
 
Exemplo 4. Dados os vetores 𝑣 = (3,5) e �⃗⃗� = (2,−4), calcular. 
(a) 𝑣 + �⃗⃗� = 
 
(b) −5𝑣 = 
 
(c) 𝑣 − 2�⃗⃗� = 
 
(d) 3𝑣 − 4�⃗⃗� = 
 
Exemplo 5. Dado o vetor �⃗⃗� na igualdade 3�⃗⃗� + 2�⃗� = 0,5𝑣 + �⃗⃗� , sendo dados �⃗� = (3,−1) e 𝑣 =
(−2,4). 
 
 
 
 
 
Exemplo 6. Encontrar os números 𝑎 e 𝑏 tais que 𝑣 = 𝑎�⃗⃗� + 𝑏�⃗� , sendo �⃗� = (1,2), 𝑣 = (4,−2) e 
�⃗⃗� = (−1,8) 
 
 
 
 
 
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3.4 Vetor definido por dois pontos 
 
Por diversas vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da 
origem do sistema. Consideremos o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ de origem no ponto 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e extremidade em 
𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵), as componentes deste vetor são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade 
𝐵 as coordenadas da origem 𝐴 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴), 
razão pela qual também se escreve 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 
 
Exemplo 7. Dados os pontos 𝐴(−1,2), 𝐵(3,−1) e 𝐶(−2,4), determinar 𝐷(𝑥, 𝑦) de modo que 
𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0,5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
 
 
 
3.5 Decomposição no espaço 
Todo estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma 
análoga. No espaço, qualquer conjunto {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝑣3⃗⃗⃗⃗ } de três vetores não coplanares é uma base, e 
todo vetor 𝑣 do espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números 
reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tais que: 
𝑣 = 𝑎𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑏𝑣2⃗⃗⃗⃗ + 𝑐𝑣3⃗⃗⃗⃗ 
onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são as componentes de 𝑣 em relação a base considerada. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 8. Dados os pontos 𝐴(0,1, −1) e 𝐵(1,2, −1) e os vetores �⃗� = (−2,−1,1), 
𝑣 = (3,0, −1) e �⃗⃗� = (−2,2,2), verificar se existem os números 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tais que 
�⃗⃗� = 𝑎𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏�⃗� + 𝑐𝑣 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9. Dados os pontos 𝑃(1,2,4), 𝑄(2,3,2) e 𝑅(2,1 − 1), determinar as coordenadas de um 
ponto 𝑆 tal que 𝑃, 𝑄, 𝑅 e 𝑆 sejam vértices de um paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10. Determinar os valores de 𝑚 e 𝑛 para que sejam paralelos os vetores 
𝑣 = (𝑚 + 1,3,1) e �⃗� = (4,2,2𝑛 − 1). 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 11. Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de 
extremidades 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵(𝑥𝐵, 𝑥𝐵). 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 Atividades 
Exercício 1. Determine a extremidade do segmento que representa o vetor 𝑣 = (2,−5), sabendo 
que sua origem é o ponto 𝐴(−1,3). 
 
Exercício 2. Dados os vetores �⃗� = (3,−1) e 𝑣 = (−1,2), determinar o vetor �⃗⃗� tal que 
(a) 4(�⃗� − 𝑣 ) +
1
3
�⃗⃗� = 2�⃗� − �⃗⃗� 
(b) 3�⃗⃗� − (2𝑣 − �⃗� ) = 2(4�⃗⃗� − 3�⃗� ) 
 
Exercício 3. Dados os vetores �⃗� = (3,−4) e 𝑣 = (−
9
4
, 3), verificar se existem números 𝑎 e 𝑏 
tais que �⃗� = 𝑎𝑣 e 𝑣 = 𝑏�⃗� . 
 
Exercício 4. Dados os pontos 𝐴(−1,3), 𝐵(1,0), 𝐶(2,−1), determinar 𝐷 tal que 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Exercício5. Dados os pontos 𝐴(2,−3,1) e 𝐵(4,5, −2), determinar o ponto 𝑃 tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Exercício 6. Determine o vetor 𝑣 sabendo que (3,7,1) + 2𝑣 = (6,10,4) − 𝑣 . 
 
Exercício 7. Encontrar os números 𝑎 e 𝑏 tais que �⃗⃗� = 𝑎𝑣 + 𝑏�⃗� , sendo 𝑣 = (1, −2,1), �⃗� =
(2,0, −4) e �⃗⃗� = (−4,−4,14). 
 
Exercício 8. Determinar 𝑎 e 𝑏 de modo que os vetores �⃗� = (4,1, −3), 𝑣 = (6, 𝑎, 𝑏) 
 
Exercício 9. Calcular 𝑎 e 𝑏 de modo que seja colineares os pontos 𝐴(3,1 − 2), 𝐵(1,5,1) e 
𝐶(𝑎, 𝑏, 7)