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CAPÍTULO 2 
Conceitos básicos de funções, Função 
Composta e Função Inversa 
 
 
 
1. Noção intuitiva de função 
 
A situação que descreveremos, no exemplo a seguir, introduz claramente a noção de função, 
um dos conceitos mais importantes da Matemática. 
Exemplo: 
Um teste de Matemática com 20 questões foi aplicado a uma turma do ensino médio. É claro 
que a nota de cada aluno depende do número de acertos. 
A tabela, a seguir, relaciona o número de acertos (x) com a nota (N) do aluno : 
 
 
 
Observe que os valores de x e de N estão relacionados pela igualdade 1N x
2
= , em que x é 
um número natural igual ou inferior a 20. 
A cada valor da variável x (sem exceção) está associado um único valor da variável N. Uma 
situação como essa é um bom exemplo de função. No caso em apreço, dizemos que N é função de x. 
A instrução que ensina como obter o valor de N associado a cada valor de x é a regra ou lei 
de associação. No exemplo em pauta, a regra é expressa por uma fórmula (igualdade 1N x
2
= ). 
A variável x (grandeza número de acertos) é chamada de variável independente ou variável 
livre e a variável N (grandeza nota) é chamada variável dependente. 
Número de acertos (x) 0 1 2 3 .... 19 20 
Nota (N) 0 0,5 1,0 1,5 .... 9,5 10,0 
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As seguintes situações também são exemplos de funções que relacionam duas grandezas variáveis : 
 � O preço pago para abastecer de combustível o tanque de um veículo é função do número de 
litros colocados; 
 � O perímetro (P) de um triângulo eqüilátero é função da medida (x) de seu lado: P = 3x ; 
 � A área (A) de um círculo é função da medida (r) de seu raio: A = pi r2 ; 
 � A posição de um automóvel que trafega com velocidade constante é função do instante 
considerado; 
 � O volume (V) de um cubo é função da medida (a) de sua aresta: V = a3. 
Em face do exposto, podemos dizer que : 
Dadas duas grandezas variáveis, uma função relacionando essas grandezas é uma regra 
que instrui como associar a cada valor (sem exceção) de uma das grandezas, um único valor da 
outra. 
Exemplo: 
Um médico cobra R$50,00 por consulta com hora marcada e R$70,00 por consulta sem hora 
marcada. Diariamente ele atende 10 clientes com hora marcada e um número variável x de clientes 
sem hora marcada. Qual a regra que exprime a arrecadação diária P em termos do número variável x 
de clientes ? A regra define P como uma função de x? 
 Resolução: 
Façamos uma tabela relacionando o número variável de clientes sem hora marcada, com a 
arrecadação diária 
 
 x 0 1 2 3 4 ............... 
 P (R$) 500 570 640 710 780 ............... 
 
É fácil ver que a arrecadação diária P é resultante da soma de uma parcela fixa de 500 reais 
(obtida de 10 consultas marcadas) com uma parcela variável de 70 x reais (obtida de x consultas 
não-marcadas). Portanto, a regra é P = 70 x + 500. 
Como a regra fornece, para todo valor de x, um único valor de P, e claro que P é função de x. 
 
 
 
 
 
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2. Funções 
 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de 
A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo Ax ∈ existe um 
só By ∈ tal que ( ) fyx ∈, . 
f é função de A em B ⇔ ( )fyxByAx ∈∈∃∈∀ ),(||, 
Notação das funções: 
→:f A B 
 ֏ ( )x f x 
 
2.1. Domínio e Imagem 
 
Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, então f tem um domínio e 
uma imagem. 
 
2.1.1. Domínio: 
 Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A∈ para os quais existe y B∈ tal que 
( , )x y f∈ . Como pela definição de funções, todo elemento de A tem essa propriedade. 
Domínio = conjunto de partida 
 
2.1.2. Imagem: 
 Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B∈ para os quais existe x A∈ tal que 
( , )x y f∈ . 
Imagem é o subconjunto do contradomínio 
 
 
Exemplo 1: 
Sejam A = {−3, −1, 0, 1, 2}, B = {−1, −2, 0, 1, 2, 3, 5} e f: A → B a função de regra 
y=f(x)=x+1, cujo diagrama está representado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
A imagem do elemento 0 de A é f (0) = 1, enquanto que a imagem do elemento 2 de A é 
f(2) = 3. O conjunto imagem da função f é Im(f) = {−2, 0, 1, 2, 3} 
 
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Exemplo 2: 
Dada as funções RAf →: onde A = { 1; 2; 3 } e f( x) = x - 1 , calcule o conjunto imagem de f. 
Solução. 
O conjunto imagem conterá os resultados encontrados ao aplicarmos nos elementos de A a função f: 
f(1) = 1 – 1 = 0; 
f(2) = 2 – 1 = 1; 
f(3) = 3 – 1 = 2. 
Logo Im(f) = {0, 1, 2}; 
 
 
2.1.3. Determinação do domínio e do conjunto imagem de uma função representada 
graficamente 
O domínio e o conjunto-imagem de uma função dada graficamente são obtidos projetando-se 
seu gráfico no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas respectivamente. 
Exemplos: 
a) 
 { } [ ]( ) 2 4 2; 4= ∈ ≤ ≤ =ℝD f x x 
{ } [ ]Im( ) 1 5 1; 5= ∈ ≤ ≤ =ℝf y y 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 { } ] ]( ) 1 1 1; 1= ∈ − < ≤ = −ℝD f x x 
 { } [ [Im( ) 0,3 2 0,3; 2= ∈ ≤ < =ℝf y y 
 
 
 
 
 
 
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2.2. Reconhecimento de uma função pelo gráfico 
Para que esteja definida uma função f: A → B, a cada x∈A deve corresponder um único 
y∈B. Geometricamente, isso significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o 
gráfico, deve fazê-lo em um único ponto. Assim, se alguma reta perpendicular ao eixo x 
intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não representa uma função. 
Exemplos: 
 
a) 
O gráfico ao lado é de uma função, pois toda reta 
perpendicular ao eixo dos x, intersecta-o em apenas um 
ponto (para todo x do domínio haverá um único 
correspondente y no contradomínio). 
 
 
 
b) 
O gráfico acima não é de uma função, pois existem 
retas perpendiculares ao eixo x intersectando-o em mais de 
um ponto (há valores de x do domínio com mais de um 
correspondente y no contradomínio). 
 
 
 
 
 
2.3. Monotonismo (crescimento, decrescimento ou constância) de uma 
função. 
2.3.1. Função crescente em um subconjunto do domínio 
Diz-se que uma função f é crescente em um conjunto E ⊂ D(f), se para quaisquer dois 
elementos x1 e x2 desse conjunto, tivermos : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) 
 
 
 
 
 
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2.3.2. Função decrescente em um subconjunto do domínio 
Diz-se que uma função f é decrescente em um conjunto F ⊂ D(f), se para quaisquer dois 
elementos x1 e x2 desse conjunto, tivermos : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.3. Função constante em um subconjunto do domínio 
Dizemos que uma função f é constante em um conjunto G ⊂ D(f), se para quaisquer dois 
elementos x1 e x2 desse conjunto, tivermos : x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) = f(x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.4. Extremos (máximo, mínimo) de uma função em um subconjunto do 
domínio 
2.4.1. Valor máximo 
Diz-se que uma função f tem um máximo no ponto n de um conjunto I ⊂ D(f), se para todo 
ponto x desse conjunto, tivermos f(x) ≤ f(n). O número f(n) é o valor máximo da função f nesse 
conjunto e o elemento n, que produz esse máximo, é a abscissa maximizante. Veja o gráfico 
abaixo. 
 
2.4.2. Valor mínimo 
Diz-se que uma função f tem ummínimo no ponto m de um conjunto I ⊂ D(f), se para todo 
ponto x desse conjunto, tivermos f(x) ≥ f(m). O número f(m) é o valor mínimo da função f nesse 
conjunto e o elemento m, que produz esse mínimo, é a abscissa minimizante. Veja o gráfico 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Função Composta 
 
 
Considere a seguinte situação: 
 
Um terreno foi dividido em 20 lotes, todos de forma quadrada e de mesma área. Nessas condições, 
vamos mostrar que a área do terreno é função da medida do lado de cada lote, representando uma 
composição de funções. 
 
Para tal, chamemos de x o lado de cada lote, de y a área de cada lote e de z a área do terreno. 
 
É claro que: 
 
 1) a área de cada lote = (lado de cada lote)2 , ou seja : y = f(x) = x2 
 
 2) a área do terreno = 20 ⋅ (área de cada lote) , ou seja : z = g(y) = 20 y 
 
De (1) e (2), podemos escrever: 
 
 3) a área do terreno = 20 ⋅ (lado de cada lote)2, ou seja : z = 20 x2 
 
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Assim, a área do terreno é função da medida do lado de cada lote, ou seja : z = h(x) = 20 x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função h , assim obtida, denomina-se função composta de g com f e pode ser indicada por gof 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe na notação da composta h = gof, que a última função que aparece à direita da igualdade é a 
primeira função aplicada, enquanto que a primeira função que aparece é a última aplicada . 
 
É claro que h(x) = (gof) (x) = g(f(x)) para todo x∈ Dom(f) 
 
 (gof) (x) = g(f(x)) 
 
 
OBS: (gof) (x) é lida como g composta com f de x e g(f(x)) é lida como g de f de x 
 
 
Exemplo 1: 
Sejam e f g funções reais definidas por = +( ) 3 1f x x e = +( ) 5g x x . Determine: 
Solução. 
i) f(g(x)) = f(x + 5) = 3(x + 5) + 1 = 3x + 15 + 1 = 3x + 16. 
 
ii) g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1) + 5 = 3x + 6. 
 
 
Exemplo 2: 
Sejam e f g funções reais definidas por = +2( ) 1f x x e = −( ) 7g x x . Determine: 
Solução. 
a) ( ( ))f g x = f(x – 7) = (x – 7)2 + 1 = x2 – 14x + 49 + 1 = x2 – 14x + 50. 
b) ( ( ))g f x = g(x2 +1) = (x2 +1) – 7 = x2 – 6. 
 
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Exemplo 3: 
Dada a função − = +2(3 2) 1f x x , determine (4)f . 
Solução. 
Substituindo 3x – 2 = t vem: 
+
=
2
.
3
t
x Logo, 
+
= +2
2
( ) ( ) 1.
3
t
f t 
Desenvolvendo o 2º membro temos: 
+ + + + + + +
= + = =
2 2 24 4 4 4 9 4 13
( ) 1 .
9 9 9
t t t t t t
f t 
Como essa lei vale para qualquer variável, temos que 
+ + + +
= ⇒ = = =
2 24 13 (4) 4(4) 13 45
( ) (4) 5.
9 9 9
x x
f x f 
 
 
2.6. Função Inversa 
 
 
 Considere a função :f A B→ , bijetora. Chama-se função inversa de f a função :g B A→ 
quando se somente quando ( )f m n= equivaler a ( )g n m= , quaisquer que sejam m A∈ e n B∈ . 
Indicamos a função inversa de f por 1f − . 
 
Exemplo 1: 
Seja →ℝ ℝ:f definida por = +( ) 2 1f x x . Obtenha −1f . 
Solução. 
Substituindo y por x, temos: x = 2y + 1. Logo 
−
=
1
.
2
x
y 
 
 
 
Exemplo 2: 
Determine a inversa de cada uma das funções: 
a) = +3( ) 1h x x . 
Solução. 
−
= + ⇒ = − ⇒ = = −3 3 1 31 1 ( ) 1x h h x f x y x 
 
b) 
+
=
−
3
2
x
y
x
. 
Solução. 
−
+ +
= ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = =
− −
13 2 32 3 2 3 ( 1) 2 3 ( )
2 1
y x
x xy x y xy y x y x x f x y
y x
 
 
 
 
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3. Atividades 
Exercício 1 
Contratado para uma temporada, um cantor receberá diariamente de uma casa noturna, um cachê 
(C) constituído de uma parte fixa de R$3.000,00 e de uma parte variável igual a 30% do faturamento 
diário (x) da bilheteria. 
 Responda: 
a) Qual a regra que exprime o cachê diário do cantor em termos do faturamento da 
bilheteria? 
b) Com essa regra de associação, C é uma função de x? Por quê? 
c) Quanto receberá o artista, em um dia, cujo faturamento da bilheteria foi de R$35.000,00? 
d) Qual foi o faturamento da bilheteria, no dia em que o cantor recebeu R$9.000,00 de 
cachê? 
 
Exercício 2 
Considere a função f : A → B dada pelo seguinte diagrama : 
Determine : 
a) D(f) b) Im(f) 
c) f(4) d) y, quando x = 5 
e) x, quando y = 3 
f) x, quando f(x) = 1 
g) f(x), quando x = 6 
h) y, quando x = 3 
i) x, quando y = 7 
 
Exercício 3 
Seja f a função de ℝ em ℝ definida por = − +2( ) 3 4f x x x . Calcular: 
a) f(2) b) f(-1) c) ( )12f d) ( )− 13f e) f( 3 ) 
 
 
Exercício 4 
Seja f a função de ℤ ℤem definida por = −( ) 3 2f x x . Calcular: 
a) f(2) b) f(-3) c) f(0) d) ( )32f 
 
 
Exercício 5 
Seja f : →ℝ ℝ a função definida por 
x, se x 3
f(x) 2x, se 3 x 5
3x, se x 5
<

= ≤ ≤
 >
 então, determine 
f(2) f(3) f(4) f(5) f(6)+ + + + . 
 
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Exercício 6 
(SEE-RJ/2010) Se 
+
− =
−
x 4
f(2x 3)
x 1
, para ≠x 1 , então f(7) é: 
a) 
9
4
 b) 2 c) 
8
5
 d) 
11
6
 e) 3 
 
 
Exercício 7 
(SEE-RJ/2010) Considere a função →ℕ ℕf : tal que f(0)=0 e f(n + 1) = f(n) + n + 1 para todo 
∈ℕn . O valor de f(4) é: 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 
 
 
Exercício 8 
Seja a função f de R em R definida por 
−
=
2 3
( )
5
x
f x . Qual é o elemento do domínio que tem −
3
4
 
como imagem? 
 
 
Exercício 9 
Seja a função f de { }−ℝ ℝ1 em definida por +=
−
3 2
( )
1
x
f x
x
. Qual é o elemento do domínio que tem 
imagem 2 ? 
 
 
Exercício 10 
Quais são os valores do domínio da função real definida por = − +2( ) 5 9f x x x que produzem 
imagem igual a 3? 
 
 
 
Exercício 11 
(Campos/2008) Na função real 
2x x 2 se x 2
f(x) x
1 se x 2
2
 + − > −

= 
− + ≤ −

, valores do domínio de f , que têm imagem 4, 
são: 
a) x = −2 ou x = −3 b) x = −1 ou x = −4 c) x = 1 ou x = −5 
d) x = 2 ou x = −6 e) x = 3 ou x = −7 
 
 
Exercício 12 
Dar o domínio das seguintes funções reais: 
a) 23)( += xxf b) 
1
1
)(
+
=
x
xq c) 
4
1
)(
2
−
−
=
x
x
xh d) 
2
2
)(
−
+
=
x
x
xr 
e) 
2
1
)(
+
=
x
xg f) 3 12)( −= xxs g) 1)( −= xxp h) 
3
2
)(
3
−
+
=
x
x
xu 
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Exercício 13 
 As funções f e g são dadas por f(x) = 3x + 2m e g(x) = −2x + 1. Calcule o valor de m sabendo que 
f(0) − g(1) = 3 
 
Exercício 14 
 (Miguel Pereira/2008) As funções f e g são dadas por 2xf(x) 1
3
= − e 5xg(x) a
3
= + . Sabe-se que 
4
f(0) g(0)
3
− = . Determine o valor de 2f(2) 2g
5
 
−  
 
. 
a) 4
3
 b) 2
5
 c) 15
2
 d) 11
3
 
 
Exercício 15 
Os seguintes gráficos representam funções. Determine o domínio (D) e o conjunto-imagem (Im) 
de cada uma delas. 
a) z b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 16 
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da 
variável x. Sabendo-se que f(2)=1, podemos concluir que f(5) é igual a: 
 
a) ½ b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10 
 
 
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Exercício 17 
(Fortaleza/2009) Seja 1f(x)
x
= , e x ≠ 0. Se 3f(2 p) f(2)
2
+ − = , então f(1-p) – f(1+p) é igual a: 
a) 8
5
 b) 2 c) 12
5
 d) 20
3
 
 
Exercício 18 
(Petrobras) “O Brasil é o país onde mais caem raios no mundo. Na última década, a cada três dias, 
em média, uma pessoa foi fulminada por um raio” Revista Veja, 10 fev. 2010. 
Seja f(x) uma função polinomial que represente o número de pessoas fulminadaspor um raio no 
Brasil ao longo da última década, onde x representa o número de dias. Considerando as informações 
apresentadas na reportagem acima, conclui-se que: 
a) f(x) = 3x b) f(x) = x + 3 c) f(x) = x – 3 d) 
x
f(x)
3
= e) 
3 x
f(x)
3
−
= 
 
Exercício 19 
(Petrobras) A função g(x)=84x representa o gasto médio, em reais, com a compra de água mineral de 
uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família pretende deixar de comprar água mineral e 
instalar em sua residência um purificador de água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro economizado 
ao deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor investido na compra do purificador 
ficará entre: 
a) dois e três meses. b) três e quatro meses. c) quatro e cinco meses. 
d) cinco e seis meses. e) seis e sete meses. 
 
Exercício 20 
(Petrobras) A “Espresso Book Machine” é uma impressora comercial de alta velocidade que imprime 
uma página de cada vez. As funções f(x)=105x e g(x)=35x indicam, respectivamente, as quantidades 
de páginas em preto e branco e em cores que essa impressora imprime em x minutos. Utilizando-se 
essa impressora, em quantos minutos seriam impressas as páginas de um livro que possui 392 
páginas, das quais apenas 14 são coloridas? 
 
a) 3,0 b) 3,4 c) 3,6 d) 3,8 e) 4,0 
 
 
Exercício 21 
(Petrobras) Na função 2f(x) x 3x 1= − + − , a imagem de − 1 é: 
 
a) −5 b) −3 c) 0 d) +1 e) +3 
 
Exercício 22 
Sejam as funções f(x) = x2 − 2 x + 1 e g(x) = 2 x + 1. Calcule : 
 a) f(g(1)) 
 b) g(f(2)) 
 c) f(f(1)) 
 
 
Exercício 23 
Sejam as funções reais f e g, definidas por = −( ) 5 2f x x e ( ) 1 2g x x= − , pede-se f g� , g f� , g g� , 
f f� . 
 
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Exercício 24 
Sejam as funções reais f e g, definidas por 2( ) 2f x x= + e ( ) 3g x x= − . Obter as leis que definem f g� , 
g f� , g g� e f f� . 
 
 
Exercício 25 
Dadas as funções reais definidas por ( ) 3 2f x x= + e ( ) 2g x x a= + , determinar o valor de a de modo que 
se tenha f g� = g f� . 
 
 
Exercício 26 
Sejam as funções reais ( ) 2 1f x x= + , 2( ) 1g x x= − e ( ) 3 2h x x= + . Obter a lei que define ( )h g f� � . 
 
 
Exercício 27 
Sejam as funções reais ( ) 3 5f x x= − e ( ) 2( ) 3f g x x= −� . Determinar a lei da função g. 
 
 
Exercício 28 
Sejam as funções reais ( ) 2 7f x x= + e ( ) 2( ) 2 3f g x x x= − +� . Determinar a lei da função g. 
 
 
Exercício29 
Seja f : →ℝ ℝ uma função tal que f(x 1) 2f(x) 5 e f(0) 6+ = − = . O valor de f(2) é: 
a) 0 b) 3 c) 8 d) 9 e) 12 
 
 
Exercício 30 
Seja g : →ℝ ℝ uma função tal que, para todo x, xg(2x 3) 2+ = . O valor de g(5) é: 
a) 10 b) 32 c) igual a g(13) d) 2 e) impossível de calcular apenas com 
esses dados. 
 
Exercício 31 
 Determine a função inversa de cada função dada a seguir: 
a) 3y x= − b) 
2
4
x
y
+
= c) 
3 2
4 3
x
y
x
−
=
−
 com 
3
4
x
 ≠ 
 
 
 
Exercício 32 
Na função inversível 
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
 (com x ∈ℝ e x ≠ 3), determine: 
a) 1( )f x− b) 1( 3)f − − 
 
 
 
Exercício 33 
Dadas as funções f e g definidas por ( ) 2f x x= + e ( ) 2 1g x x= − , considere a função h, de modo que 
( )( )h g f x= � . Determine 1( )h x− . 
 
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Exercício 34 
Seja :f →ℝ ℝ definida por ( ) 2f x ax= − e g a função inversa de f. Sendo ( 2) 10f − = , determine g. 
 
Exercício 35 
Consideremos a função inversível f cujo gráfico é visto ao lado. 
A lei que define 1f − é: 
a) 
3
y 3x
2
= + b) 
3
y 2x
2
= − c) 
3x
y 3
2
= − 
d) 
2x
y 2
3
= + e) 
3
y 2x
2
= − − 
 
 
 
 
4. Gabarito 
1) a) C(x) = 3000 + 0,3x b) Sim, pois depende da bilheteria x. 
 c) R$ 13500,00 d) R$ 20000,00 
2) a) D(f) = {3, 4, 5, 6} b) Im(f) = {1, 3, 7} c) f(4)=1 d) y=7 e) x=6 f) x=3 ou x=4 
 g) f(6)=3 h)y=1 i) x=5 
3) a) f(2) = 2 b) f(-1) = 8 c) ( )1 112 4=f d) ( ) 4613 9− =f e) ( )3 7 3 3= −f 
4) a) f(2) = 4 b)f(-3) = -11 c) f(0) = -2 d) 32 ( )∉D f 
5) 44 6) A 7) D 8) 
3
8
= −x 9) x = -4 10) x = 2 ou x = 3 11) D 
12) a) ( ) = ℝD f b) { }( ) 1= ∈ > −ℝD q x x c) { }( ) 2 2= ∈ ≠ − ∧ ≠ℝD h x x x 
 d) { }( ) 2= ∈ ≥ −ℝD r x x e) { }( ) 2= ∈ ≠ −ℝD g x x f) ( ) = ℝD s 
 g) { }( ) 1= ∈ ≥ℝD p x x h) { }( ) 3= ∈ ≠ℝD u x x 
13) m = 1 14) D 
15) a) { } [ ]( ) 3 1 3; 1= ∈ − ≤ ≤ = −ℝD f x x e { } [ ]Im( ) 2 2 2; 2= ∈ − ≤ ≤ = −ℝf y y 
 b) { } ] [( ) 2 3 2; 3= ∈ − < < = −ℝD f x x e { } [ ]Im( ) 1 3 1; 3= ∈ ≤ ≤ =ℝf y y 
 c) { } [ [( ) 2 1 2; 1= ∈ − ≤ < = −ℝD f x x e 1 1Im( ) 4 ; 4
2 2
   
= ∈ < ≤ =      
ℝf y y 
 d) { } [ ]( ) 0 2 0; 2= ∈ ≤ ≤ =ℝD f x x pi pi e { } [ ]Im( ) 1 1 1; 1= ∈ − ≤ ≤ = −ℝf y y 
16) C 17) C 18) D 19) B 20) E 21) A