Funções_cap_4

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CAPÍTULO 4 
Função Quadrática 
 
 
 Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando 
associa a cada x ∈ℝ o elemento ( )2ax bx c+ + ∈ℝ , onde 0a ≠ . Isto é :f →ℝ ℝ 
2x ax bx c+ +֏ , 0a ≠ 
 
Ex: 
a) 2( ) 3 2f x x x= − + onde a = 1, b = -3 e c = 2 
 
b) 2( ) 2 4 3f x x x= + − onde a = 2, b = 4 e c = -3 
 
Obs: O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola. 
 
 
 
 
 
 
4.1 Concavidade 
 
A parábola representativa da função do 2º grau 2y ax bx c= + + pode ter a concavidade voltada 
para “cima” ou voltada para “baixo”. 
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. 
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 
 
 
4.2 Interseção com o eixo das ordenadas 
 
O gráfico da função quadrática y = a x2 + bx + c corta o eixo dos y no ponto (0, c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.3 Zeros da função 
 
Os zeros ou raízes da função do 2º grau 2y ax bx c= + + são os valores de x tais que f(x) = 0 e, 
portanto, as soluções da equação do 2º grau 2 0ax bx c+ + = . 
Se ∆ > 0, há 2 raízes reais diferentes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ∆ = 0, há 2 raízes reais iguais (raiz dupla) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ∆ < 0, não há raízes reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 Máximo e Mínimo 
A função quadrática 2y ax bx c= + + admite um valor máximo (mínimo) 
4
y
a
−∆
= em 
2
b
x
a
−
= se, e 
somente se, a < 0 (a > 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.5 Vértice 
 
O ponto ,
2 4
b
V
a a
− −∆ 
 
 
 é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. 
 
4.6 Monotonismo (Crescimento e Decrescimento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7 Domínio 
 O domínio da função quadrática é sempre ℝ . 
 
4.8 Conjunto-Imagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.9 Estudo do sinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.10 Atividades 
 
Exercício 1 
Construir os gráficos das funções definidas em ℝ : 
a) 2y x= b) 2 2y x x= − c) 2 2 4y x x= − + d) 22 4y x x= − − 
 
Exercício 2 
Determinar os zeros reais das funções: 
a) 2( ) 3 2f x x x= − + b) 2( ) 7 12f x x x= − + − c) 2( ) 3 7 2f x x x= − + 
d) 2( ) 2 1f x x x= − − e) 2
1
( ) 2
2
f x x x= − + f) 2
3
( ) 1
2
f x x x= − + + 
Exercício 3 
Determinar o valor máximo ou o valor mínimo, e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das 
funções abaixo, definidas em ℝ . 
 
a) 22 5y x x= + b) 24 8 4y x x= − + c) 23 12y x x= − + 
d) 2
7 5
2 2
y x x= − + e) 2 5 7y x x= − + − 
 
Exercício 4 
O gráfico da função quadrática y = a x2 + b x + c é : 
 
 
 
 
 
 
Determine os valores de a, b e c. 
 
Exercício 5 
Encontrar a função quadrática, cujo gráfico passa pelos pontos P1 (0, 1), P2 (−1, −2) e P3 (−2, 7). 
 
Exercício 6 
O gráfico da função f(x) = a x2 + b x + c é : 
 
 
 
 
a) Determine os valores de a, b e c 
b) Calcule f (4). 
 
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Exercício 7 
Determinar o valor de m na função real 2( ) 3 2f x x x m= − + para que o valor mínimo seja 
5
3
. 
 
Exercício 8 
Determinar o valor de m na função real 2( ) 3 2( 1) ( 1)f x x m x m= − + − + + para que o valor máximo 
seja 2. 
 
Exercício 9 
(SEE-RJ/2010) O valor mínimo da função ( ) ( )= − + +2 2( ) 1 2f x x x é: 
a) 4,5 b) 5 c) 5,5 d) 6 e) 6,5 
 
Exercício 9 
Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo. 
 
Exercício 10 
O valor máximo da função 2( ) 2 2f x x x= − + + é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
Exercício 11 
O gráfico de 2( )f x x bx c= + + , onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 3). Então 
( )5f − vale: 
a) 
2
9
− b) 
2
9
 c) –15 d) 
1
4
− e) 15 
 
Exercício 12 
O ponto extremo V da função quadrática 2( ) 6 8f x x x= − + − é: 
a) um máximo, sendo V = (3, -1). 
b) um mínimo, sendo V = (-3, +1). 
c) um máximo, sendo V = (3, +1). 
d) um mínimo, sendo V = (3, +1). 
e) um mínimo, sendo V = (3, -1). 
 
Exercício 13 
O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por 22 100 5000C x x= − + . O valor de 
unidades produzidas para se obter um custo mínimo é: 
 
a) 25 b) 3750 c) 40 d) 45 e) 4950 
 
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Exercício 14 
O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por ( )( )( ) 2 1 3f x x x= − − , é 
o par ordenado (a, b). Então a – b é igual a: 
 
a) 
39
8
 b) 
11
8
 c) 
3
8
 d) 
11
8
− e) 
39
8
− 
 
 
Exercício 15 
 (SEE-RJ/2007) Um a função quadrática tem zeros 1 21 4= − =x e x . Sabendo-se que f (1) = −12 , o 
valor de f (49) é: 
 
A) 4250 B) 4332 C) 4500 D) 4660 E) 4416 
 
Exercício 16 
(Niterói/2003) Se f(2) é valor máximo de f(x) = -3x2 + (2k - 4)x - 1, então k2 é igual a: 
 
A) 14 B) 9 C) 36 D) 64 E) 74 
 
 
Exercício 17 
(Mesquita/2003) O lucro de uma fábrica é dado em reais por L(x) = 1500.(80 − x).(x − 60), onde x é o 
número de máquinas produzidas por mês na fábrica. O número de máquinas que esta fábrica deve 
produzir mensalmente para obter o maior lucro possível é: 
 
(A) 50 (B) 60 (C) 70 (D) 80 (E) 90 
 
Exercício 18 
(IFMG/2009) Dada a função quadrática f(x) = 2x² − x − 3 e sua representação gráfica abaixo, 
assinalar a alternativa CORRETA sobre a função f: 
 
a) Os zeros da função são -2 e 3. 
b) O eixo de simetria é x = 1. 
c) Sua intersecção com o eixo y se dá no ponto (0, -3). 
d) A concavidade da parábola é voltada para baixo. 
 
Exercício 19 
(Piraí-RJ/2009) Determine o valor de x que leva a função :f →ℝ ℝ , definida por 
f(x) = – x² + 4x – 16 a atingir o seu valor máximo. 
 
A) 1 B) 2 C) 4 D) 16 E) -1 
 
Exercício 20 
(Miguel Pereira-RJ/2008) Uma função quadrática tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distância 
entre os zeros da função é de 8 unidades, e a função tem -80 como valor mínimo. Esta função 
quadrática é: 
a) 25 80= −y x b) 2
5
80
4
= −y x c) 25 4 80= − −y x x d) 2
5
5
4
= −y x 
 
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Exercício 21 
(Aparecida-PB/2009) Uma fábrica de bonés distribui diariamente, com seus vendedores, caixas 
contendo bonés. O lucro diário, em reais, na venda desses bonés, é dado pela função L(x) = –200x2 + 
1600x – 2400, onde x é o número de caixas vendidas. Considere as afirmações relativas ao lucro 
diário: 
I. Para 2 < x < 6 o fabricante terá lucro. 
II. O lucro não poderá ser superior a R$ 800,00. 
III. O lucro será máximo quando forem vendidas cinco caixas de bonés. 
Está(ao) CORRETA(S) apenas: 
A) I e II B) I e III C) II e III D) I E) III 
 
Exercício 22 
(Cardoso Moreira-RJ/2008) Dado o gráfico da função y = ax2 + bx + c, pode-se concluir que: 
A) para 2 ≤ x ≤ 4 temos f(x) ≥ 0 
B) para x < 0 temos f(x) > 8 
C) para x = 2 temos f(x) > 0 
D) para x < 2 temos f(x) < 0 
 
 
 
Exercício 23 
(Cardoso Moreira-RJ/2008) Se a soma das raízes de uma função de 2º grau é igual a zero, podemos 
afirmar que: 
A) Seu discriminante é nulo. 
B) Seu gráfico não intercepta o eixo das ordenadas. 
C) O vértice do gráfico é um ponto de ordenada nula. 
D) Seu gráfico é simétrico ao eixo das ordenadas. 
 
Exercício 24 
(Fortaleza/2009) Um determinado processo diário de produção é descrito por funções de custo C(x) = 
100x+10500 e de remuneração R(x) = 600x–5x2. Considerando a função lucro, L(x) = R(x) – C(x), o 
número x debens que fornece o lucro máximo diário é: 
a) 1000. b) 50. c) 500. d) 200. 
 
Exercício 25 
(Prefeitura do Rio/2010) Uma pedra é lançada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela 
função h(t) = at2+12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no 
instante t=2, pode-se afirmar que o valor de h(1), em metros, é: 
(A) 9 (B) 8 (C) 6 (D) 5 
 
Exercício 26 
(CPII/2008) O gráfico abaixo é a representação de uma função real f dada por f(x) = ax2 + bx + c. É 
correto afirmar que 
 
A) ab < 0. 
B) ac > 0. 
C) bc < 0. 
D) b2 − 4ac ≤ 0. 
 
 
 
 
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Exercício 27 
(Mato Grosso/2007) Um professor resolveu trabalhar alguns conteúdos matemáticos com seus alunos 
da 9.ª série, a partir de algumas situações-problema relacionadas à profissão de designer industrial. 
Para isso, ele considerou a seguinte situação hipotética. A equipe de designers industriais de uma 
empresa, ao apresentar o projeto de uma cadeira que será fabricada pela empresa, ilustrou o formato 
do encosto utilizando o gráfico de uma parábola que intercepta o eixo Ox nos pontos x = 0 e x = 40 e 
segmentos de reta verticais que interceptam o eixo Ox e a parábola e representam as tiras do 
encosto, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no texto, é correto concluir que a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que 
representam as tiras que serão utilizadas no encosto da cadeira projetada pela equipe de designers 
é, em metros, igual a: 
 
a) 1,20. b) 2,10. c) 4,50. d) 5,70. 
 
Exercício 28 
(UNIMONTES) O esboço de gráfico abaixo representa a função real de variável real dada por: 
 
 
a) f (x) = x2 + 4x + 7. 
b) f (x) = x2 − 4x +1. 
c) f (x) = x2 − 4x + 7. 
d) f (x) = x2 + 4x – 7. 
 
 
 
Exercício 29 
(FCC) A partir do instante que foi identificado um vazamento em um tanque de água (t = 0), os 
técnicos afirmaram que a quantidade total, em litros, de água no tanque, indicada por Q(t), após t 
horas de vazamento, seria dada pela função = − +2Q(t) t 24t 144 até o instante em que Q(t) = 0. 
Dividindo-se o total de água no tanque no instante em que o vazamento foi identificado pelo total de 
horas que ele levou para esvaziar totalmente, conclui-se que o escoamento médio nesse intervalo, 
em litros por hora, foi igual a: 
a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 
 
 
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Exercício 30 
A seguir, estão representadas duas parábolas de funções quadráticas distintas. Quais são as 
coordenadas dos pontos de interseção entre as duas parábolas que representam essas funções? 
 
a) (5, 0); (−1, 4) 
b) (0, 5); (6, −1) 
c) (0, 5); (−1, 5) 
d) (5, 0); (−1, 6) 
e) (5, 0); (−1, 5) 
 
 
 
 
4.11 Gabarito 
1) a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) a) 1 e 2 b) 3 e 4 c) 2 e 13 d) 1 2 e 1 2+ − e) 
2
2 f) 2 e 
1
2− 
3) a) 
5 25
V ,
4 8
 
− − 
 
 mínimo b) ( )V 1,0 mínimo c) ( )V 2,12 máximo 
 
 
 
 
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 d) 
7 9
V ,
4 16
 
− 
 
 mínimo e) 
5 3
V ,
2 4
 
− 
 
 máximo 
4) 1a 4= − , b = 1 e c = 0 5) 
2y 6x 9x 1= + + 6) a) a = 1, b = -2 e c = 2 b) f(4) = 10 
7) m = 2 8) m = -2 ou m = 1 9) A 10) 4 e 4 11) E 12) D 13) A 
14) D 15) C 16) D 17) C 18) C 19) B 20) A 
21) A 22) B 23) D 24) B 25) A 26) A 27) B 28) C 
29) A 30) D