Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

) A u A ’= t /
(5) AnA l^J) @ í/'=(})
( ? ) A - B = A n B " ( ? ) A<z B => B'cz A'
Demostración
© o (A ')' c A , por demostrar
Io jce (A’) ' , por hipótesis
2o r í A ', Io definición de complemento
3o x € A, 2° definición de complemento
4° Jce(A') ' => x e A, I o y 3o
5o ( A ' ) ' c A , 4o definición c
ii) A <z (A ')', por demostrar
Io x € A, por hipótesis
2° x € A ' , I o definición de complemento
3o jce (A‘)’, 2° definición de complemento
4° x € A => x e ( A ' ) \ Io y 3o
5o A c ( A ’)' , 4° definición a
(A’)'—A de i), ii) y definición =
Teoría de Conjuntos 97
A^j A'czU , por demostrar 
Io x e A u A ' , por hipótesis 
2o x e A v x e A ', 1 ° definición u
3o x € A v x e A, 2° definición de complemento.
4o x € U, 3o definición de conjunto universal U 
5o x e A u A ' => x € U, Io y 4o
6o A u A 'c z U , 5o definición a
ii) U a A kjA \ por demostrar
Io x € U, por hipótesis
2° x e A v x e A, Io definición U
3o x € A v x e A ' ,2° definición del complemento
4o x e A u A ' , 3o definición U
5o x e U => x e A u A ' , I o y 4o 
6o I / c A u A ' , 5o definición c
A ( j A ’=U por i), ii) definición =
® •> A n A ' c i | i por demostrar
Io x e A n A ' , por hipótesis
2° x € A a .ve A' , I o definición n
3o x e A a x e A, 2° definición del complemento
4° x E f , 3o definición <)>
5o x e A n A' => x e <J>, 1 ° y 4o
6o A n A ’c $ , 5o definición c
98 Eduardo Espinoza Ramos
ii) <|) c: A n A' por demostrar, pero como el conjunto vacío <)> es
subconjunto de todo conjunto entonces <|> c A r \ A'
A n A' = <)>, de i), ii) y definición =
© » l/'c<() por demostrar
Io . r e í / ' , por hipótesis
2° t í U, I o definición de complemento
3o x € <)>, 2° definición <)>
4o x e í / ’ => x e <J>, Io y 3o
5o U' c <)>, 4o definición c
ii) <)> c:U' por demostrar, como el conjunto vacío <)> es subconjunto de 
cualquier conjunto entonces <)><= U' por lo tanto í / ' = <J> de i), ii) y 
definición =
0 i) A - B c A n f i ' , por demostrar
Io x € A - B , por hipótesis
2° x € A a x e B, Io definición-
3o x € A a x e B ' , 2° definición de complemento
4o x e A n f i ' , 3o definición n
5o x e A - B => x e A r \ B ' , Io y 4o
6o A - B c: A n B ' , 5° definición c 
ii) A r i B 'c z A — B , por demostrar
Io x e A n í ’ , por hipótesis
2° x e A a x e B ' , Io definición n
3o x e A a x e B, 2o definición de complemento
Teoría de Conjuntos 99
4o x e A - B, 3o definición -
5o x e Ac\B' =» x e A - B , Io y 4o
6o A n f i ' c A - B , 5o definición c
A — B = A n B' de i), ii) definición =
1° A c B , por hipótesis
2 ° x e A => x e B, 1c definición c
3o x e B \ por hipótesis
4° X g B, 3o definición de un complemento
5o X g A, 4o y 2° definición c
6o x e /V, 5o definición de un complemento
T x e B' => x e A ' , 3o y 6o
8o B ' a A ' , 1 ° definición c
d) TEOREM A (Leyes de Morgen).-
Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universal U y designaremos a los 
respectivos complementos por A'=CVA , B' = Cv B , se verifican
a) ( A kjB)'= A'r\B' b) ( A n B ) ' ~ A'uB'
Demostración
a) i) (A u BY c A'r\B' , por demostrar
Io i e ( i4 u B)' , por hipótesis
2o x í A u B , Io definición de complemento
3o x £ A a x e B. 2o definición u
4 x e A' a x e B', 3o definición de complemento
100 Eduardo Espinoza Ramos
5o a e A'r \B\ 4o definición de n
6o a € ( A u £ ) ' => x e A'r\B' , I o y 5o
1° ( A u f i ) ' c A 'n f l ', 6° definición <z
ii) A’n f l ' c ( A u B ) ' , por demostrar
Io <a e A 'nB ', por hipótesis
2o r e A* a x e B \ I o definición n
\
3o x g A a x é B, 2o definición de complemento
4o x í A u B , 3o definición u
5o x e ( A u f i ) ' , 4o definición de complemento
6o x e A 'nfl' => . t e ( A u B ) ' , Io y 5o
7o A’n B 'c : ( A vjB)' , 6o definición c
#»
/. (A u B)‘ c A 'n B ', de i), ii) y definición =
b) i) A 'nB’c:(A aj B) ' , por demostrar
Io x; e ( A n í ) ' , por hipótesis
2o x g A n B , Io definición de complemento
3o x g A v x g B, 2o definición de n
4o A€ A' v a e B ' ,3o definición de complemento
5 ' a € A 'uB’, 4o definición u
6o a e ( A n f i ) ' => x e A ' u B ' , Io y 5o
7o (A n B)'c= A'uB’ 6o definición c
Teoría de Con juntos 101
ii) A'\j B'a (A n B)' , por demostrar
Io a g A'u B', por hipótesis
2° x e A' v x e B ' , I o definición de u
3o x g A v x g B, 2° definición de complemento
4° x { A n B , 3o definición de n
5o x e ( A n B ) ' , 4° definición de complemento
6o x e A'd>B' =* j t e ( A n B ) ' , Io y 5o 
1° A 'ufl’cz ( An B ) ' . 6o definición <z
(A n B)’= A 'uB ' , por i), ii) definición =
DIFERENCIA SIM ÉTRICA.- Sean A y B dos subconjuntos de U, a la diferencia
simétrica A y B denotado por A A B se define por:
A A B = j x e U / x e ( A u B ) a t e ( A n B ) }
= (A u B) - (A n B) = (A - B) u (B - A)
La notación A A B se lee “La diferencia simétrica de A y B”.
En el diagrama de VENN - EULER, mostraremos la diferencia simétrica de A y B 
que es la parte sombreada de la figura.
Ejemplo.- Sean A = {1,2.3,4,6} y B = {2,3,5,7}. Hallar A A B
102 Eduardo Espinosa Ramos
Solución
Calculando A u B = { 1,2,3,4,5,6,7] ; A n B = {2,3}
A A B = (A u B) - (A n B) = {1,2,3,4,5,6,7} - {2,3}= {1,4,5,6,7}
a) PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA SIMÉTRICA.-
A A A = <¡) A A <J> = A
@ A A B = B A A (3) (A A B) AC = AA(BAC)
© ( A A B ) n C = ( A n C ) A ( B n C )
( A A B ) u ( B A C ) = ( A u B u C ) - ( A n B n C )
Demostración
( l ) A A A = ( A u A ) - ( A n A ) = A - A - $ A A A = <|>
(^ AA(} = ( A u $ ) - ( A n { i ) = A -( |i = A A A <J>= A
(T ) A A B = ( A u B ) - ( A n B ) = ( B u A ) - ( B n A ) = B A A 
A A B = B A A
© Para demostrar (A A B) A C = A A (B A C), aplicamos:
A A B = (A - B) u (B - A) como A - B y B - A son conjunto 
disjuntos, entonces la unión d e A - B y B - A e s reemplazando por la 
suma (+)
A AB = ( A - B ) u ( B - A) = ( A - B) + (B - A)= A n £ ' + f i n A '
Ahora haremos la demostración correspondiente. 
(AA£)AC=[ ( Anf l ’)u ( f l n / V) ] AC
= P n B ' ) u ( f i n A ' ) ] - C u C - [ M n í j u ( B n / l ' ) ]
= p n B ,) u ( B n A ' ) l n C ' u C n [ ( A n J 5 ,) u ( B n A ' ) ] '
= [ ( A n B ' ) n C ' } u [ ( B o A ' ) o C ,] u C n [ ( A n B ’ ) 'n (B n A')']
Teoría de Conjuntos 103
- A n B'nCVjfi n /l 'n C ’u C n [(A 'ufl) n (BAjA)]
= A n B 'n C 'u fi n A 'nC 'uC n [(A 'u B )n f l 'u (A ’u f l )n A ]
= A n B'n C\ jB n A 'nC 'uC n [(^ 'n B ' ) u ( f i n B ' ) u ( A'nA) u ( A n ü ) ] 
= A n B’n C 'u f l n A 'nC 'uC n[(A 'nB ' ) u ( A n B ) ]
= | A n B ' r C \ j B n A’n C ' ] vj [ A’n B ’n C u ( A n B n C ) |
= A n B'nC'+B n A 'nC ’+A’n f l ’n C + A n í n C 
= [ A n B n C + A n B 'n C 'l + [ B n ( A ' n C ' ) + C n f l ' n A ' )
= i4 n[B n C + fl'nC' ] + [(BnC') + CnB']nA'
= A n ( B n C + (B u C )'l+ [B A C )n A '
= A n [B u C n (B n C)' J'+(BAC) n A'
= A n(fíA C )'+(flA C )nA ' = A A (B A C)
(A A B) A C = A A (B A C)
2.16. CONJUNTO POTENCIA (O CONJUNTO DE PARTES DE UN 
CONJUNTO).-__________________________________________________
Dado el conjunto A, llamaremos conjunto potencia de A al conjunto formado por todos 
los subconjuntos de A incluyendo al conjunto vacío <|>.
Al conjunto potencia de A denotaremos por P(A) y de acuerdo a la definición P(A) se 
expresa:
P(A) = { x / x c A )
OBSERVACIÓN.- Para todo conjunto A valen <}> c A y A c A. luego <|> y A son 
subconjuntos de A, o sea que son elementos de P(A) por lo tanto, 
para cualquiera conjunto A se verifica <¡) e P(A), A e P(A)