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Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

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a_ y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de a y b.
ii) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y 
b.
iii) El opuesto es único, así mismo el inverso es único.
Sistema de Números Reales 143
3.3. AXIOMA DE SUSTITUCIÓN.-
Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede 
sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación.
3.4. AXIOMAS DISTRIBUTIVAS.-
a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda
b ) (a + b).c = a.c + b.c, V a, b, c e R distributiva a derecha
3.5. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADICIÓN.-
Sí a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b , c e R
Demostracién
Io a = b. por hipótesis.
2° a + c = a + c, propiedad reflexiva.
3o a + c = b + c, Io, 2o y axioma 1.3
3.6. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULT1PLICACIÓN.-
Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a , b , c e R
Demostración
Io a = b por hipótesis.
2° a.c = a.c, propiedad reflexiva.
3o a.c = b.c, Io, 2o y axioma 1.3
3.7. TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA ADICIÓN.-,* ■ f„m i ■ .... - , .1
Sean a,b,c e R ; S ía + c = b + c entonces a = b
Demostración
Io a + c = b + c. por hipótesis.
2° a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4
144 Eduardo Espinoza Ramos
3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2 
4o a + O = b + O, 3o axioma A4 
5° a = b, 4o axioma A3
3.8. TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN.-
Sean a,b,c e R; Sí a.c = b.c y c * 0, entonces a = b
Demostración
Io a.c = b.c, ... por hipótesis.
2 ° c * 0, ... por hipótesis
3o 3 — e R /(a .c ) .— =(b.c). —, . . . 2 o, Io y axioma M 4
c c c
4o a.(c.—) = b.(c.—), . . . 3 o y axioma M 2
c c
5° a . l = b . l , . . . 4 o y axioma M 4
6° a = b, ... 5o y axioma M 3
3.9. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES.-
DEFINICIÓN.- Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción 
de números reales por:
a - b = a + (-b)
3.10. DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES.-
DEFINICIÓN.- Para cualquier números reales a,b g R, donde b * 0, definiremos al 
cociente de números reales por:
- = ab~l
Sistema de Números Reales 145
3.11. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
©
©
©
Para cada número real a e R, demostrar que a + a = 2a
Demostración
1° a = a.l ... Por M 3
2o a + a = a.l + a.l ... 1 ° y axioma 1.4
3o a + a = a .(l+ l) ... 2o y axioma 1.3.a
4° a + a = a.2 ... 3o y por M 3
5o a + a = 2a ... 4o y por M 3
Para cada número real a € R, demostrar que a.O = 0
Demostración
1° a.O = a.0 + 0 ... Por A,
2° a.0 = a.0 + (a + (-a)) ... 1° y por A4
3o a.0 = (a.0 + a) + (-a) ... 2o y por A2
4° a.0 = (a.O + a .l) + (-a) ... 3o y por M 3
5o a.O = a(0 + 1) + (-a) ... 4o y por axioma 1.3.a
6o a.0 = a. 1 + (-a) ... 5o y por A3
7° a.O = a + (-a) ... 6C y por M 3
8o
OIIoea ... 7° y por A4
Para cada número real a e R, demostrar que: -a = (-1 J.a
Demostración
Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-1 ).a, y -a son inversos aditivos de a por A4
146 Eduardo Espinoza Ramos
Luego a + (-l)a = 1.a + (-l)a, ... por axioma 1.3
a + (-l)a = (1 + (-l))a, ... por axioma 1.3.b.
a + (-l)a = 0.a, ... por >44
a + (-1 )a = 0, ... por ejercicio 2.
.-. -a = (-l)a
@ Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a
Demostración
©
©
1° a + (-a) = 0 ... por A4
2o (-a) + (-(-a)) = 0 ... por Aj
3o (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... 1°, 2°
4o -(-a) = a ... 3o y por teorema
Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b
Demostración
1° (-a).(-b) = [(-l)a][(-l)b] ... por el ejercicio 3
2o (-a).(-b) = (-l)[a((-l)b)] 0 K>
3o (-a).(-b) = (-1)[(-1 )a].b ... 2o y Ai, , M 2
4o (-a).(-b) = (-l)[(-a)].b ... 3o y ejercicio3
5o (-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M 2
6o (-a).(-b)=a.b ... 5o y ejercicio4
V a,b e R, demostrar que a.(-b) = -(a-b) 
Demostración
1° a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3
Sistema de Números Reales 147
©
©
2o a.(-b) = (a.(-l)).b ... 1° y por M 2
3o a.(-b) = ((-1 )a).b ... 2° y por M,
4° a.(-b) = (-l)(a.b) ... 3° y por M 2
5o a.(-b) = -(a.b) ... 4o y ejercicio 3
6o -(a-b) = (-l)(a.b) ... Por el ejercicio 3
T -(ab) = ((-l)a).b ... 6° y por M 2
8o -(ab) = (-a).b ... 1° y ejercicio3.
9o a(-b) = -(ab) = (-a).b
0000
V a,b e R, demostrar que a.(b -- c) = a.b - a.c
Demostración
1° a.(b - c) = a.(b + (-c)) ... definición de sustracción
2o a.(b - c) = a.b + a.(-c) ... 1° y axioma 1.3.a
3o a.(b - c) = a.b + (-(a.c)) ... 2 ° ejercicio6
4o a.(b - c) = a.b - a.c ... 3o definición de sustracción
Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces a = —
a
Demostración
Io a~l = ( a _1 ).l
2° a~l = l . ( a _1)
3o a~' = -
por M 3 
I o y M x
2° definición de división
148 Eduardo Espinoza Ramos
( 9) V a,b e R, a.b * O, demostrar que (aJb) 1 = a ' b 1
Demostración
Io (ab).—— = 1
(ab)
por M A
2o ( a b ) . ( a b ) ' = 1 Io y definición de división
3o ( a m a ~ ' b ~') = (a).(a)"1 .(b).(b~ ') ... por M 2
4o (ab).(a b ) = (a.—).(b.~) 
a b
3o, M 2 y definición de división.
6o (ab ) . (a~ 'b- ' ) = 1
4o y M A 
de 5o
7o (ab).(ab)- ' = (ab)(a~l b ~ ' )
8o (a b ) ~ ' = a - ' b ~ '
... de 2o y 6o 
... 7° y teorema 1.7
. a c ajd + bx:10) V a,b,c,dE R , b # 0 , d / 0 , demostrar que: — + — = -----------
b d bjd
Demostración
Io — + — = a b ' +c¿d 1 
b d
por definición de división
2° l + ?- = (ab-').(d.±-) + (cjd-').(b.\-)
b d d b
1° y por M A
3o —+ — = (ab l ) . (dd ' ) + (cxl ' ).(bb ') ... 2° y definición por división.
b d
Sistema de Números Reales 149
4 - + - = (fl¿).(fc',¿ -1) + (fc.c).(fc-l-<r1) ... 3o, M 2
b d
5° — + — = ( a A ) . ( b A T i + ( b . c ) . { b A y í ... 4o y ejercicio9
b d
6 — + — = (a.d + b.c).{bd) 1
b d
I a a A + b.c
de 5o y axioma 1.3.b.
6o y definición de división
3.12. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.-
Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer una 
correspondencia, es decir:
Si sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a 
cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número 
real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto 
de la recta se le llama abscisa del punto.
 • • • • • ■ • • •— ►
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
NOTACIÓN PARA LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS.-
N: Conjunto de los números naturales.
Z: Conjunto de los números enteros.
Q: Conjunto de los números racionales.
I: Conjunto de los números irracionales.
R: Conjunto de los números reales.
C: Conjunto de los números complejos.
150 Eduardo Espinoza Ramos
CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
Q
racionales
' Z * = \ N = U-2.
0 [Aí0 = {0,1,2......n....j
Z enteros negativos
entero positivo
Decimales periódicos = 0.abc =
999
Decimales periódico mixto = 0.abcde = .a^ce^ e
99900
Decimales exactos = 0xibc = abe
1000
Q = [ - l a , b e Z , b * 0} 
b
l propios:: V 2, >/3 , ...
Irracionales • trascendentes = {e, n,...}
3.13. DESIGUALDADES.-
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para 
dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.
La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al 
número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”.
A B
El símbolo < se lee “Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes:
>, que se lee “Es mayor que”.
<, que se lee “Es menor o igual que”.
>, que se lee “Es mayor o igual que”.
Sistema de Números Reales 151
3.13.a DEFINICIÓN.-
i) Un número real “a" es positivo sí, a > 0.
ii) Un número