medidas_e_escalas

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Topografia: 
medidas lineares e angulares, 
escalas gráficas e escalas numéricas
Professores: 
• Antonio Calafiori Neto
• Maria Angela de A. Cabianca
• Maria Regina L. S. Sarro
Introdução
Topografia: 
do grego: topos = lugar; graphein = descrever
“É a ciência cujo objetivo 
é representar, no papel, a 
configuração de uma porção 
do terreno, com as 
benfeitorias que estão 
em sua superfície.” 
(Borges, A.C.)
http://pousoalegre.olx.com.br/topografia-em-pouso-alegre-e-regiao-iid-291516992
Introdução
Como fazer a representação de um relevo tridimensional em papel?
http://www.4shared.com/
Através de medidas lineares e 
angulares e de recursos e 
convenções da Topografia.
As divisões da Topografia que 
permitem a representação do 
terreno no plano são a 
planimetria e a altimetria. 
Introdução
Planimetria: mede as grandezas 
(distâncias e ângulos) sobre um plano 
horizontal e as representa em planta.
Altimetria: mede as grandezas 
(distâncias e ângulos) sobre um 
plano vertical e as representa em 
perfil, corte, vista lateral, curvas de 
nível, etc. 
http://www.dipbot.unict.it/orto-botanico/planimetria/planimetria.jpg
http://www.vueltalarioja.es/2009/wp-content/files/images/altimetria2009.jpg
Topografia e medidas
A partir de uma espaço definido, a Topografia faz uso de medidas 
lineares e angulares e cálculos de áreas para estudar esse espaço e 
fazer a locação dos seus pontos principais:
a1
a4
a2
a3
d1
d3
d4
d2
Medidas lineares
Medidas lineares: no Brasil, é usado o Sistema Métrico Decimal, cujas 
medidas são baseadas no metro. Do grego, métron e significa "o que 
mede". O metro é definido como sendo o comprimento do trajeto 
percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 
1/299.792.458 de segundo. 
1 polegada = 2,54 cm (aproximadamente)
1 milha = 1 609 metros (aproximadamente)
1 légua = 5 555 metros (aproximadamente)
1 pé = 30,47 centímetros (aproximadamente)
Notação científica
É uma forma de se representar números muito grandes ou muito 
pequenos, ou seja, aqueles que têm muitos zeros antes ou depois da 
vírgula. Ex.:
1203000000 é escrito 1,203 x 109 em notação científica
0,00000025 é escrito 2,5 x 10-7 em notação científica
A forma genérica da notação científica é: BASE x 10y , onde 
-“BASE” = número inteiro (de 1 a 9) ou decimal com um algarismo 
antes da vírgula, devendo ser este diferente de zero. 
No número 2,35 x 10-3, sua base é 2,35. 
- “y” = expoente de valor inteiro qualquer, positivo ou negativo.
No número 2,35 x 10-3, “y” vale “-3” .
Medidas de superfície
Medidas de superfície: são baseadas no metro quadrado (m²). 
símbolo
alqueire 
paulista
alqueire 
mineiro
km2 hectare are
forma de 
leitura
alqueire alqueire
quilômetro 
quadrado
hectare are
valor em 
relação ao 
metro 
quadrado
24.200 m² 48.400 m² 1.000.000 m² 10.000 m² 100 m²
notação 
científica
2,42 x 104 4,84 x 104 106 104 102
Para relembrar em casa...
1. Faça as seguintes conversões de unidades:
a) 33,3 dm² em cm² 
b) 580,2 dam² em km²
c) 4,78 m² em mm²
2. Responda:
a) Se uma piscina tem sua base com área de 800000 cm², qual é a sua 
área equivalente em m²?
b) Calcule a área total em m² de uma residência de 4 cômodos, que 
tem as seguintes áreas por cômodo: quarto: 5,0 m²; sala: 9,75 m²; 
cozinha: 70400 cm²; banheiro: 60000 cm²
c) Quantos metros resultam da soma abaixo?
2 km + 200 m + 25 dm + 250 dam + 150 cm
Cálculo de áreas
O Cálculo de áreas em Topografia pode ser feito por diversos processos:
- Processo analítico: cálculo da área através das coordenadas 
dos seus vértices. Este processo pode ser feito sem qualquer cálculo 
usando-se o AutoCAD ou qualquer outro software de desenho, a partir da 
forma desenhada em escala
- Processo mecânico: determinação da área através de 
instrumentos especialmente construídos para esse fim, como o planímetro, 
que determina a área plana de qualquer forma a partir do seu desenho em 
planta em escala determinada.
- Processo geométrico: decompor a poligonal topográfica em 
figuras geométricas conhecidas e calcular a sua área (retângulo, triângulo, 
trapézio), somando todas as áreas no final.
Medidas de superfície
- Processo geométrico de triangulação – exemplo:
Fonte: http://civilnet.com.br/Files/topo2/TOPOGRAFIA-APOSTILA-2010-1.pdf
Cálculo da área “A” de um triângulo 
qualquer a partir dos seus lados 
(a, b, c):
Onde: 
p = (a+b+c)/2 = semi perímetro
• Medição sexagesimal: é feita em “graus”, sendo que cada grau vale 
1/360 o comprimento total de um círculo. É um sistema semelhante ao 
de horas, minutos e segundos no relógio.
• Cada grau é dividido em 60 minutos (60’).
• Cada minuto é dividido em 60 segundos (60”).
• O círculo é dividido em quatro “quadrantes 
ou partes iguais, cada uma formando um 
ângulo reto (90º).
• Exemplos de medidas:
62º 00’ 00”
45º 52’ 37”
258º 28’ 59”
179º 00’ 04”
Medidas angulares
a
O
Medidas angulares
• Medição centesimal: é feita em “grados”, sendo que cada grado vale 
1/400 o comprimento total de um círculo. É um sistema que divide o 
ângulo reto em 100 partes iguais.
• Cada grado é dividido em 100 minutos.
• Cada minuto é dividido em 100 segundos.
• Exemplos de medidas:
62 grd
389 grd
a
O
Medidas angulares
• Medição circular: é feita em “radianos”, sendo que cada 
circunferência completa tem “2 Л radianos. 
A unidade é obtida da seguinte maneira: em um 
círculo de centro “O”, fazemos o raio “OB” girar
um arco BC que tem exatamente o comprimento 
do raio. A medida resultante é de 1 radiano (1 rad).
Assim, cada radiano equivale a um ângulo de
57º17’44,8”.
O B
C
1 rad
Medidas angulares
• Correlações entre os ângulos retos, pelos diferentes sistemas de 
medidas angulares:
O
0º = 0 gra = 0 rad
90º = 100 gra = Л/2 rad
270º = 300 gra = 3Л/2 rad
180º = 200 gra = Л rad
360º = 400 gra = 2 Л rad
Conversões entre medidas
Ex. 1: converter 62º37’21” em grados.
Primeiro, passa-se o ângulo do sistema sexagesimal para o 
sistema decimal:
37 x 60 = 2.220 ”
total de segundos = 2220 + 21 = 2241
transformação de segundos em décimos de graus:
2241 / 3600 = 0,6225
ângulo transformado = 62,6225º
Em seguida, faz-se uma regra de três para converter as 
unidades:
400 grd → 360º
X grd → 62,6225º
Resultado final: X = 69,5805 grd
Conversões entre medidas
Ex.2: converter 69,5805 grados em graus sexagesimais.
Primeiro, faz-se uma regra de três para converter as unidades:
400 grd → 360º
69,5805 grd → X
Resultado: X = 62,6225º
Em seguida, faz-se a conversão do número decimal para o 
sistema sexagesimal:
0,6225º x 60 = 37,35’
0,35’ x 60 = 21”
Resultado final: 62º37’21”
Conversões entre medidas
Ex.3: converter 150º em radianos:
Faz-se uma regra de três para converter as unidades:
180º → Л rad
150º → X
Resultado: X = 5 Л /6 = 2,618 rad
Ex.4: converter 4,1887902 rad em graus:
Faz-se uma regra de três para converter as unidades:
Л rad → 180º
4,1887902 → X
Resultado: X = 240º
Ângulos verticais e horizontais
A Topografia trabalha com medidas angulares na horizontal e na vertical:
http://www.recife.ifpe.edu.br/topografia/ufpr.pdfFonte: Apostila Topografia, Prof.. Carlos E. T. Pastana
Ângulos horizontais
Para se medir os ângulos de um espaço no plano horizontal, usa-se nor-
malmente instrumentos cuja referência é o eixo norte-sul (p. ex., a bússola). 
Por isso, é necessário um sistema de referência de ângulos a partir do eixonorte ou do eixo sul. Por isso, usam-se em Topografia os ângulos 
horizontais chamados rumos e azimutes. 
Ex. com azimutes:
a1
a4
a2
a3
Az1
Az2
Az4
Az3
Azimutes
Definição: ângulo horizontal formado pela linha NS e uma direção SP 
qualquer, com o sentido positivo na direção horária e varia de 0º a 360º:
Rumos
Definição: ângulo horizontal formado pela linha NS e uma direção SP 
qualquer, com o sentido positivo na direção horária e varia de 0º a 90º:
Ângulos verticais
Definição: É o ângulo situado em um plano vertical que contêm a direção 
medida
Tipos de ângulos verticais:
ângulo de altura (inclinação): ângulo em relação à horizontal;
ângulo zenital (z): ângulo em relação à vertical (direção N/S);
ângulo nadiral: ângulo em relação à vertical (direção S/N).
Escalas numéricas 
Todo mapa/carta/planta é uma representação esquemática da 
realidade, dando-se segundo proporções entre o desenho e a medida 
real, definidas por uma escala. 
Por exemplo, se um mapa estiver representado na escala 1:100, 
significa que cada medida do desenho equivale a uma medida 100 
vezes maior na realidade. Da mesma maneira, se um desenho for feito 
na escala 4:1, significa que cada medida no desenho equivale a uma 
medida 4 vezes menor na realidade.
A escala (E) é uma relação matemática entre o comprimento de uma 
linha medida na planta (d) e o comprimento de sua medida equivalente 
no terreno (D). É dada por um valor “1/N”, onde N = módulo da escala:
E = 1 / N = d / D
Escalas numéricas
Exemplos: 
- Em um desenho em escala 1:500, uma medida tem comprimento 
de 1m. Quanto vale essa medida na realidade?
1 / N = d / D
1 / 500 = 1 m / D
Resultado: D = 500 m
- Em um desenho em escala, uma linha de 10 cm representa na 
realidade 5.000 cm. Qual a escala do desenho?
E = 1 / N = d / D = 10 / 5000 = 1 / 500
Resultado: E = 1 / 500 
- Uma medida real de 4.700 m deve ser representada em escala 
1:20.000. Quanto valerá essa medida no desenho?
1 / N = d / D
1 / 20.000 = d / 4700
d = 4700 / 20.000 = 0,235 m = 23,5 cm
Escalas gráficas
Usadas para facilitar a leitura de um
mapa, constituídas de um segmento 
de reta dividido de modo a mostrar 
graficamente a proporção entre as 
dimensões de um objeto no 
desenho e no terreno. 
Exemplos:
http://www.ufrgs.br/destec/DESTEC-LIVRO/img/7fig6.jpg
Aplicações das escalas
Principais escalas e suas aplicações:
Escalas para superfícies
A representação de escalas para superfícies corresponde à seguinte 
relação:
E² = (1 / N )² = a / A, onde:
N = módulo de escala
a = área representada em desenho ou modelo
A = área real
Exemplos: 
- Em um desenho em escala 1:250, qual será a área de um terreno 
de 2.000 m²? 
(1 / N )² = a / A
(1 / 250 )² = a / 2000
Resultado: a = 0,032 m² = 320 cm²
- Em uma maquete em escala 1:500, a área de um terreno foi 
calculada em 430 cm². Qual a área real do terreno, em m²?
(1 / N )² = a / A
(1 / 500 )² = 430 / A
A = 107500000 cm² = 10.750 m²
Atividade em grupos
Você foi contratado para trocar o piso de uma área de mais de 200 m² do 
campus. O novo piso será composto por peças quadradas de 50 cm x 50 cm 
e você precisa calcular o número exato de peças a serem compradas. 
Para isso, forme um grupo de até 4 colegas e desenvolva as seguintes 
atividades: 
- Escolher uma área do campus com pelo menos 200 m² (por 
exemplo, um andar do prédio ou um pedaço do galpão – desconsiderar 
banheiros e hall de elevadores).
- Fazer um desenho da geometria aproximada da região escolhida
- Com uma trena longa, fazer a medição e anotar o comprimento de 
todas as medidas lineares da área. 
- Com as medidas lineares sobre o desenho da região, calcular a sua 
área e em seguida calcular o número de peças de piso a ser comprado. 
Atenção! A trena deve ficar bem esticada para se realizar as medições com 
poucos erros!