PARTE I - Física clássica ( REVISADO - 02-2012)

Prévia do material em texto

�PAGE �4�
�PAGE �14�
	
PARTE I
REVISÃO 
1 - INTRODUÇÃO
	O objetivo principal da Mecânica é descrever o movimento de massas submetidas a determinadas situações físicas. Para isso, conhecer o que faz com que esses objetos se movam da forma como o fazem. Existem três métodos diferentes, porém, equivalentes, de se obter a descrição quantitativa do movimento. Um deles deve-se ao matemático francês Lagrange (1736– 1813), cujo método é baseado no conceito de energia. A segunda deve-se ao matemático Hamilton (1805 – 1865), cujo método também é baseado no conceito de energia e de princípio variacional. Finalmente, a mais familiar, sem dúvida, envolve as leis de Newton, que serão tratadas neste curso introdutório. Todas essas maneiras produzem a mesma informação ao final, isto é, as mesmas equações de movimento. O uso de uma ou de outra depende das características do problema tratado.
	Até onde se conhece, os gregos foram os primeiros a pensar seriamente sobre a Mecânica, mais de dois milênios atrás. Embora isso tenha representado um passo enorme na evolução da ciência, as ideias dos gregos, em particular sobre o movimento, do ponto de vista dos padrões modernos, apresentam sérias falhas e não precisam ser consideradas por ora. O desenvolvimento da Mecânica, como hoje esta é conhecida, começou com o trabalho de Galileu (1564 – 1642) e de Newton (1642 – 1727) que estabeleceu as três leis do movimento. É exatamente neste ponto que seu estudo será começado. 
	A afirmação de que a Física é uma ciência exata implica que suas leis são expressas na forma de equações matemáticas que descrevem e predizem os resultados de medidas quantitativas precisas. Pela comparação dos resultados dessas medidas com a previsão numérica da teoria, pode-se obter considerável segurança de que a teoria é correta ou determinar que ela necessita ser modificada. Concordâncias grosseiras podem indicar coincidências, mas, quando os resultados experimentais se situam na faixa de alta concordância com aqueles preditos pela teoria, dificilmente esta poderia ser considerada como incorreta. Entretanto, a história das ciências tem registrado casos nos quais pequenas, mas significativas, discrepâncias entre teoria e medidas acuradas levaram ao desenvolvimento de novas e mais abrangentes teorias. Estas ligeiras inconsistências não poderiam ser detectadas caso se procedesse apenas com explicações qualitativas de fenômenos físicos. 
2 – LEIS DE NEWTON
	Newton publicou suas três leis em 1687, em seu famoso Principia Mathematica. Bastante intuitivas, embora possa parecer estranho atribuir esse adjetivo a um conjunto de proposições que levaram quase dois milênios para ser escrito, suas três leis foram formuladas com base em quatro conceitos cruciais: espaço, tempo, massa e força. 
ESPAÇO
	Cada ponto do espaço tridimensional em que se vive pode ser caracterizado por um vetor posição r, que especifica a distância e a direção desse ponto a partir de uma origem escolhida. Há diversas maneiras de se identificar o vetor posição; a mais natural delas é escrevê-lo em termos de suas componentes 
 nas direções de três eixos ortogonais. Escolhendo-se três versores ao longo desses eixos, podemos escrever o vetor:
			(1).
	
	Diferentes autores têm diferentes preferências (as três representações não esgotam todas as possibilidades); qualquer uma delas poderá ser usada para descrever a posição de um ponto no espaço.
TEMPO
	Na Mecânica não relativística, o tempo é um simples parâmetro universal sobre o qual todos os observadores concordam. Isto é, se cada um dos observadores faz uso de um relógio preciso e todos estão adequadamente sincronizados, esses observadores concordam com o tempo no qual um dado evento ocorreu. Excetuando-se uma possível ambiguidade na escolha da origem do tempo (escrito de forma 
, todos os observadores concordam com o tempo de todos os eventos registrados. Em última instância, isto significa que o tempo transcorre igualmente para qualquer observador, independentemente de sua posição e de sua velocidade. Esta asserção não se cumpre no domínio relativístico.
MASSA
	Uma definição própria de massa tem ocupado muitos filósofos da ciência e massivos volumes (o trocadilho aqui é inevitável) têm sido editados sobre o tema. Entretanto, por bons motivos, não se entrará nessa discussão: um deles é que se poderia discutir o tema por dias seguidos e provavelmente não se chegaria a uma única conclusão, o que não significa que o conceito não deva ser abordado. O outro motivo é que se quer aqui utilizar as leis de Newton de forma, até certo ponto, operacional. 
	A experiência diária tem indicado que, para erguer ou acelerar (ou mesmo parar) uma pedra enorme, o grau de dificuldade é maior do que o requerido para fazê-lo com um pequeno seixo. Diz-se que a pedra possui mais inércia do que o seixo. A medida quantitativa de inércia de certo corpo é o que se chama massa. Para tornar essa ideia quantitativa, deve-se definir um padrão ou massa unitária e prescrever como se realizam as medidas da massa de qualquer objeto em termos da massa padrão. Uma convenção internacional concordou em eleger, como uma unidade de massa, um cilindro de platina iridiada, cuja guarda é de responsabilidade do Instituto de Pesos e Medidas localizado em Sèvres, próxima a Paris (...ah! Paris...). A este padrão foi atribuída arbitrariamente a massa de um quilograma. Diversas cópias existem ao redor do mundo para uma comparação rápida e confiável de massas a ser aferidas. 
	Durante muito tempo, aventou-se a possibilidade de existir uma diferença entre a massa inercial e massa gravitacional. Isto pode ser colocado da seguinte forma: um objeto reagiria diferentemente quando acionado por uma força não gravitacional e por outra força gravitacional? Experimentos cuidadosamente realizados por Eötvös (1848 – 1919) indicaram que a diferença entre elas, se houver alguma, deve ser menor que uma parte em 
. Essa precisão tornou-se maior nas últimas décadas e atualmente se sabe que a diferença deve ser menor que uma parte em 
. Para todos os efeitos, pode-se confortavelmente admitir que não existe diferença entre a massa inercial e a massa gravitacional. Assim, dois objetos têm a mesma massa se, e somente se, eles possuem o mesmo peso (a pesagem deve ser feita no mesmo local). Esta é uma forma prática de verificar se ambos os corpos possuem a mesma massa.
FORÇA
	A noção ingênua que relaciona força com o ato de puxar ou empurrar é surpreendentemente boa para iniciar a discussão sobre forças. Quando se sustenta um objeto a certa altura do solo, percebe-se que uma força para cima deve ser exercida sobre esse corpo; caso se desloque um móvel sobre um assoalho horizontal, é necessário fazer uma força na direção do movimento. Quando o caso é de forças musculares, é fácil perceber e sentir sua presença, mas, quando as forças são exercidas por objetos inanimados, a descrição pode ser mais sutil e elaborada. Por exemplo, ao soltar o objeto que se sustentava acima do solo, percebe-se que ele inicia um movimento descendente acelerado em direção ao solo: pode-se conjeturar que uma força o puxa para baixo. Esta conclusão pode parecer óbvia e imediata atualmente, mas convém não se esquecer de que, ao longo dos tempos, milhares de pessoas tiveram essa experiência e, no entanto, foi somente no século XVII que a explicação se tornou possível.
	Quando se empurra o móvel sobre o assoalho e se observa que ele não acelera, pode-se concluir que deve existir outra força em sentido contrário – o atrito cinético –atuando simultaneamente sobre o corpo. 
COMENTÁRIOS. Um treinamento bastante recomendável para estudantes que iniciam a disciplina de Mecânica Clássica é examinar a vizinhança do corpo e identificar todas as forças que atuam sobre ele. Que objetos estão em contato direto com esse corpo, exercendo possivelmente as chamadas forças de contato, tais como o atrito ou a pressão do ar? Queoutros objetos estão na vizinhança, exercendo forças chamadas de longo alcance, como a da gravidade que atrai o corpo ou das forças eletrostáticas que agem sobre um corpo carregado eletricamente? 
	Uma vez sabido como identificar as forças, resta decidir como medi-las. A unidade de força no Sistema Internacional é Newton (abreviado N), definida como a magnitude de uma única força que acelera um quilograma padrão de massa com uma aceleração de 
. Uma das maneiras preferidas para se medir a intensidade de uma força é usar a segunda lei de Newton: por exemplo, uma força de 3N é aquela capaz de acelerar um quilograma com aceleração de 
. Entretanto, esse procedimento não é muito usual para se determinar, na prática, a magnitude de uma força. A balança calibrada de mola permite aferições de forças a partir da definição de 1 Newton. Este dispositivo é chamado dinamômetro e sua construção e calibração são razoavelmente simples. 
	Para finalizar, a força é uma grandeza essencialmente vetorial; portanto, não basta conhecer sua intensidade, é fundamental também que fique caracterizado seu sentido.
COMENTÁRIOS. A construção de um dinamômetro é relativamente simples, como foi afirmado antes. Seu funcionamento se baseia na lei de Hooke, isto é, uma mola cuja elongação seja diretamente proporcional à força aplicada 
. Como a massa inercial é igual à massa gravitacional, pode-se calibrá-la utilizando diversas massas e construir uma escala linear de referência. (Certifique-se de que o limite de elasticidade da mola usada não foi excedido). Construindo-se um gráfico da força aplicada (peso) versus comprimento da mola, obteve-se um dinamômetro calibrado e com ele é possível determinar a intensidade de várias forças. Existem versões mais sofisticadas de dinamômetros, mas todas exploram uma dependência linear entre a força aplicada e a deformação sofrida pelo elemento constituinte do dinamômetro. 
AS LEIS DE NEWTON
	Na disciplina Física Geral I, no capitulo 5, essas leis foram abordadas. É recomendável que o estudante releia a introdução e os comentários feitos acerca delas. 
 
►1ª LEI: Uma partícula se move com velocidade (vetor) constante, a menos que uma força resultante atue sobre ela. Essa velocidade pode ser inclusive nula.
►2ª LEI: A variação temporal do momento linear da partícula é igual à resultante que age sobre ela.
►3ª LEI: As forças que duas partículas aplicam, uma sobre a outra, são iguais em intensidade e têm sentidos opostos. 
	Poder-se-ia discutir, extensivamente, ao longo de dias, o grau em que estas proposições são leis físicas e o grau em que elas são definições. Certa vez, Sir Arthur Eddington fez um comentário, em tom de brincadeira, a respeito da primeira lei: “toda partícula continua seu estado de repouso ou de movimento retilíneo exceto quando ela deixa de fazê-lo”. Para dar uma ideia de como Sir Eddington se comportava, relata-se que, certa vez, um repórter lhe perguntou se era verdade que no mundo havia somente três pessoas que entendiam a relatividade de Einstein. Ele ficou mudo por alguns segundos e, como o repórter tivesse insistido um pouco, a resposta veio no mais alto estilo da ironia britânica: estava a pensar quem seria essa terceira pessoa...
	Na sequência, é apresentada uma breve discussão sobre o conteúdo das três leis de Newton, reconhecendo, porém, que elas são objeto de uma discussão muito mais envolvente e profunda.
Sobre a primeira lei
	A despeito da brincadeira de Eddington, sabe-se que a primeira lei descreve uma propriedade comum, compartilhada por toda matéria, chamada inércia. Para se mover ou não em linha reta, com velocidade constante, a partícula depende não só da força resultante, mas também do sistema de referência usado para descrever seu movimento. A primeira lei realmente incorpora a definição de um tipo particular de sistema, chamado newtoniano ou inercial. Esse é um dos sistemas para os quais a primeira lei de Newton é válida. Sistemas que giram e/ou são acelerados linearmente não são inerciais. A questão que surge naturalmente é como determinar se um sistema de coordenadas constitui ou não um sistema inercial. A resposta não é tão simples. Para eliminar todas as forças que atuam em uma partícula, ela deveria ser completamente isolada. Isto parece impossível, porque, certamente, pelo menos a força gravitacional continuaria atuando sobre ela, a menos que tal partícula fosse removida para regiões a distâncias infinitas e, portanto, livre de qualquer interação com matéria. 
	Para propósitos práticos, e não se requerendo extrema precisão, um referencial localizado na superfície da Terra pode servir aproximadamente como inercial – uma situação bastante conveniente para o estudante de Física, mas de forma alguma ele é verdadeiramente um referencial inercial: a Terra gira em torno de seu próprio eixo e, simultaneamente, descreve uma elipse ao redor do Sol; todo o sistema solar se encontra em rotação em torno do centro da Via Láctea, em uma órbita com raio médio de 
e período de 
.
	A primeira lei permite a escolha de um referencial inercial no qual as leis de Newton são válidas, mas ela diz mais do que isso: quando uma partícula translada com velocidade (vetor) constante (ou está em repouso) em um referencial inercial, se essa partícula for trocada por outra, esta última vai se comportar de forma semelhante à primeira. Isto significa que a primeira lei se cumpre para qualquer partícula, independentemente de sua natureza ou constituição. Aqui temos, então, um enunciado com algum conteúdo físico. 
Sobre a segunda lei
	Em geral, a segunda lei é apresentada ao estudante na forma de uma equação diferencial, vetorial, de segunda ordem e não homogênea (considerando a massa constante):
					(2).
	Podem ocorrer algumas perguntas do tipo: por que não a derivada primeira, ou mesmo a derivada terceira? Analisem-se essas possibilidades.
 não pode ser viável porque a primeira lei diz que é possível a partícula ter uma velocidade sem a presença de força resultante. 
No caso da terceira derivada, 
, a primeira lei é novamente violada porque seria possível a partícula se mover com aceleração constante (ao invés de velocidade constante), sem estar submetida a uma força resultante.
	Assim como a primeira lei, o “status” da segunda também é, não raras vezes, objeto de disputa. Podemos adotar a equação (2) como a definição de força em termos da massa e aceleração da partícula. Nesse caso, ambas as leis não são leis: são meramente definições de novos conceitos que devem ser introduzidos na teoria. As leis físicas são, então, as leis da gravitação, do eletromagnetismo, etc., as quais nos dizem que tipo de força está presente em cada situação particular. O que Newton descobriu não foi que força é igual a massa multiplicada pela aceleração, porque isso é simplesmente uma definição de força. Sua descoberta foi que as leis da Física são mais facilmente expressas em termos do conceito de força definida como o produto da massa pela aceleração.
Sobre a terceira lei
	Alguns autores consideram a terceira lei como uma legítima lei da Física em seu mais amplo significado. Isto é justificável, em certa extensão, porque as duas primeiras se referem ao comportamento da partícula quando submetida a forças aplicadas. A terceira lei tem uma característica peculiar e vai além de nossa percepção diária: toda força sobre um objeto inevitavelmente envolve um segundo objeto – aquele que exerce a força. Newton percebeu que, se uma partícula (1) exerce uma força sobre outra partícula (2), essa última sempre exerce uma força ( a reação) sobre a primeira. O que vai além da percepção normal, obtida em nosso cotidiano, é que essas forças possuem sentidos opostos e têm a mesma intensidade. Em forma compacta, essa lei pode ser estabelecida da seguinte forma:
						(3).
A notação utilizada é auto-explicativa, considerando os corpos (partículas) (1) e (2).
	A relação acima nada mais é doque a expressão da conservação do momento linear para um sistema de duas partículas:
					(4), 
					(5).
De (3), tem-se, usando (4) e (5):
 vetor constante.
	Se, adicionalmente, as forças 
 possuem as linhas de ação determinadas pela reta que une as duas partículas, diz-se que a terceira lei se cumpre na forma forte (esse fato caracteriza forças centrais). Se as forças são opostas, embora com as mesmas intensidades, mas direções diferentes, diz-se que a terceira de lei de Newton está na forma fraca. 
	Existe, entretanto, outro ponto relacionado com a terceira lei de Newton que merece ser abordado. Ela não se cumpre para cargas elétricas em movimento (mesmo para velocidades ordinárias) e interagindo por meio de seus campos magnéticos. Nesse caso, as forças (magnéticas) entre as partículas não estão na direção da reta que une as partículas e tampouco em sentidos opostos. O cálculo do campo magnético demanda certa elaboração, porém, o mesmo resultado é obtido se considerarmos as cargas em movimento como se fossem correntes ao longo dos eixos 
. 
TROCAR 
 ; FAZER UMA FLECHINHA EM 
.
Figura 1 – Duas cargas elétricas positivas transladando em 
	A carga 
, movimentando-se ao longo do eixo x, produz um campo magnético B, aqui representado por 
, está no sentido 
 na posição onde se encontra a carga 
. Pela regra da mão direita, esta carga 
 sofre uma força 
no sentido 
. Da mesma forma, a força que 
 experimenta devido ao movimento de 
, 
, aponta no sentido
. Claramente, essas duas forças não obedecem à terceira lei de Newton. Isto significa dizer que o momento linear das duas partículas não é conservado. A presença de campos eletromagnéticos é sempre uma questão delicada: caso se atenha tão somente ao momento linear mecânico total, 
, não há muito que argumentar, mas é necessário observar que, se esse momento linear não foi conservado durante a interação, sua “perda” deve surgir em algum lugar. É exatamente esse o ponto: o campo eletromagnético carrega um momento, chamado eletromagnético, e essa “perda” mecânica é transferida para o campo. Esses fatos devem ser tratados de forma conveniente na disciplina Eletromagnetismo. No caso de velocidades ordinárias (
), a perda do momento linear mecânico e a concomitante falha da terceira lei são completamente negligenciáveis. Assim, a inesperada situação descrita pela figura 1 não contradiz o propósito de tratar a terceira lei no domínio da Mecânica Clássica, para o qual as três leis de Newton seguem sendo verdadeiras. Parece que se foi longe demais, mas, às vezes, é necessário ir um pouco além para se ter um entendimento mais completo do comportamento da Natureza. 
3 – ALGUMAS APLICAÇÕES ELEMENTARES DAS LEIS DE NEWTON
EXEMPLO 1
	Observa-se um bloco de massa m descer um plano inclinado. O coeficiente de atrito entre as duas superfícies em contato é µC e o ângulo de inclinação é θ. Que distância esse bloco percorre no tempo t?
SOLUÇÃO
A figura 2 ilustra a situação descrita para este problema.
DIMINUIR UM POUCO AS “LETRAS”.
Figura 2 – Um bloco que se desloca sobre um plano inclinado 
 
Excetuando a presença da força de atrito, esse problema foi tratado no volume de Física Geral I, capitulo 5 (exemplo 5.2), onde a escolha mais adequada de um sistema de eixos foi discutida em sua resolução. 
A segunda lei de Newton nos dá: 
. Esta equação vetorial pode ser escrita em termos de componentes:
direção x: 
				(6),
direção y: 
				(7).
O valor nulo em (7) é devido ao fato de a aceleração na direção y ser nula.
De (7), 
, que pode ser usado na (6) para escrever a força de atrito cinético:
(6)
. O valor da aceleração é:
 				(8).
O resultado (8) indica que o bloco desce com aceleração constante e nem poderia ser diferente, porque as forças que atuam sobre ele, 
, são todas constantes.
	Para obter x(t), escreve-se (8) na forma:
e integra-se em relação a t:
.
 e uma nova integração em t dá:
 
	 	 (9).
	Nessas integrações, supõe-se que o móvel está na origem e com velocidade nula no instante inicial
. O O “linha” que aparece nos integrandos é tão somente uma notação para não coincidir com os extremos superiores da integral. 
	O mesmo resultado (9) pode ser obtido por meio da função horária do MRUV porque a aceleração é constante.
EXEMPLO 2
	Um bloco de massa m é lançado da base de um plano inclinado (ângulo θ) com velocidade (módulo)
. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 
. Suponha que o bloco suba o plano até certa distância, que sua velocidade se anule e que, imediatamente, ele inicie seu movimento descendente. 
a) Calcule o tempo de subida do bloco.
b) Encontre a distância máxima que o bloco atinge a partir do ponto de lançamento.
c) Ache o tempo total, 
, transcorrido para que o bloco retorne ao ponto de lançamento.
	
DIMINUIR UM POUCO AS “LETRAS”.
Figura 3 – O bloco em movimento sobre o plano inclinado 
SOLUÇÃO
A resolução pode ser dividida em duas partes: uma referente à subida; outra em relação à descida. 
SUBIDA (figura 4)
a) No movimento ascendente, a força de atrito aponta em sentido contrário à escolha sobre a orientação do eixo-x. A origem coincide com o ponto de lançamento e acontece em 
.
DIMINUIR UM POUCO AS “LETRAS”.
Figura 4 – Movimento ascendente do bloco lançado com 
 
Considere-se:
direção x: 
				(10), 
direção y: 
					(11).
Substituindo o valor de N de (11) na equação (10), tem-se:
		 (12).
Como a aceleração é constante, pode-se fazer uso de 
:
				(13).
 O tempo de subida pode ser calculado fazendo-se 
 na equação (13). Então,
 
		(14).
b) 
 ocorre para 
 dado pela relação (14).
Usando ainda o fato de a aceleração ser constante, 
, tem-se:
				(15).
DESCIDA
c) A figura 5 mostra o movimento descendente do bloco logo após sua parada. Note-se que, para descrever a descida, o eixo-x está orientado na direção do movimento e a origem dos espaços foi escolhida no ponto de retorno do bloco. Isto não é necessário, apenas é conveniente. 
DIMINUIR UM POUCO AS “LETRAS”.
Figura 5 – O movimento descendente do bloco 
Considere-se
direção x: 
		(16),
 direção y: 
			(17).
Usando o valor de N dado por (17) em (16), tem-se:
				(18).
Como o bloco parte do repouso no alto do plano, 
, tem-se, para a descida:
				(19).
O tempo de descida, 
, é o tempo gasto pelo móvel para percorrer a distância correspondente a 
. Isto é, o bloco passa pelo ponto de onde foi lançado:
.
Igualando (19) e (15), tem-se:
.
Portanto, o tempo de descida é dado por:
				(20).
O tempo total é dado pela soma de (14) e (20):
 
	(21).
COMENTÁRIO. Atrito ainda é um tópico de interesse na área de pesquisa e sempre existem surpresas. Por exemplo, embora se use o valor absoluto da força de atrito como 
, recentemente, alguns resultados experimentais têm mostrado que a força de atrito é proporcional não à normal, mas à área de contato entre as duas superfícies. O uso de 
 é uma aproximação porque, quando N cresce, também cresce a área de contato em nível macroscópico. A força de atrito estático é maior que a de atrito cinético porque a ligação entre os átomos dos dois corpos em contato, no caso cinético, não tem tempo suficiente para se desenvolver. 
EXEMPLO 3
	Em uma pista, há uma curva de raio r que é inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o solo e os pneus é 
. Encontre a velocidade máxima para que um carro possa fazer essa curva sem derrapar. 
SOLUÇÃO
Note que foi dado o coeficiente de atrito estático. Isto porque é esse atrito que impede o carro de deslizar para fora da pista: você deve se lembrar de que em Física Geral I foi estudado o rolamento sobre um plano e uma das conclusões a que se chegou foi a de que a velocidade relativano ponto de contato entre as duas superfícies é nula. Por isso, deve-se usar o coeficiente atrito estático.
TROCAR v POR x NESSA FIGURA. DIMINUIR UM POUCO AS “LETRAS”.
Figura 6 – Diagrama de forças que atuam sobre o carro
Observe a disposição dos eixos. Ela difere das escolhas feitas nos dois primeiros exemplos por uma razão muito especial: o eixo-x é escolhido de forma a coincidir com a direção da força centrípeta que mantém o carro em trajetória circular. Pode-se escrever, então:
direção x: 
 			(22A),
direção-y: 
			(22B).
A relação (22B) permite obter a força normal N:
	(23).
A relação (22A) pode ser escrita como:
 .
 Usando o resultado (23) para N, tem-se:
 
.
Essa é a velocidade máxima que o carro pode ter para fazer a curva. Acima desse valor, ele derrapa e “sobe” pelo plano inclinado.
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 3)
1) Encontre a aceleração dos blocos, supondo dois casos distintos: (a) o movimento descendente do bloco 2 e (b) o movimento ascendente desse bloco. O coeficiente de atrito cinético vale 
.
Figura 7 – Sistema para o primeiro problema
2) Um esfregão de massa m é empurrado contra o solo e a força constante F, aplicada sobre ele, forma um ângulo θ com a vertical. O coeficiente de atrito entre o solo e o esfregão é 
. 
(a) Esboce um diagrama mostrando todas as forças que atuam sobre o esfregão.
(b) Para valores fixos de 
, encontre a força F requerida para que o esfregão se movimente com velocidade constante.
(c) Analisando a solução encontrada no item anterior, encontre o ângulo crítico, 
, acima do qual o esfregão não consegue se movimentar quando empurrado. 
3) Um pequeno bloco de massa m deve ser mantido sobre a superfície interna de um funil que pode girar em torno de um eixo (figura 8). O coeficiente de atrito entre o bloco e a parede do funil, inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal, vale 
.
(a) Encontre a frequência mínima de rotação para que o bloco fique em repouso em relação à parede do funil. 
(b) Ache a frequência máxima de rotação para que o bloco continue em repouso em relação à parede do funil. 
Os itens (a) e (b) mostram que existe um intervalo de frequências para o qual o bloco nem desce e nem sobe ao longo das paredes.
Figura 8 – O funil que gira em torno do eixo vertical de rotação
respostas dos problemas – parte i 
seção 3
(1) (a) 
; (b) 
.
(2) (b) 
; (c) Observe que, quando 
(por valores menores que 
), a força cresce sem limite. Isso indica que, para ângulos menores do que 
, não se consegue movimentar o esfregão. 
(3) (a) 
; (b) 
.
_1304475126.unknown
_1304498913.unknown
_1304556430.unknown
_1357537243.unknown
_1392469734.unknown
_1392471585.unknown
_1392484719.unknown
_1392484858.unknown
_1392470036.unknown
_1392468285.unknown
_1392468623.unknown
_1362309468.unknown
_1392210419.unknown
_1362309449.unknown
_1304572201.unknown
_1355898857.unknown
_1355899215.unknown
_1355899595.unknown
_1355899671.unknown
_1355899303.unknown
_1355899080.unknown
_1304572923.unknown
_1304573688.unknown
_1304572459.unknown
_1304557404.unknown
_1304557522.unknown
_1304558652.unknown
_1304557431.unknown
_1304557056.unknown
_1304557276.unknown
_1304556530.unknown
_1304514945.unknown
_1304515144.unknown
_1304544161.unknown
_1304545443.unknown
_1304543945.unknown
_1304514993.unknown
_1304515025.unknown
_1304514974.unknown
_1304499558.unknown
_1304511385.unknown
_1304511586.unknown
_1304512067.unknown
_1304512584.unknown
_1304512792.unknown
_1304512181.unknown
_1304511788.unknown
_1304511490.unknown
_1304508337.unknown
_1304510839.unknown
_1304508247.unknown
_1304499071.unknown
_1304499486.unknown
_1304499059.unknown
_1304496249.unknown
_1304497593.unknown
_1304498644.unknown
_1304498812.unknown
_1304497789.unknown
_1304496751.unknown
_1304497511.unknown
_1304496362.unknown
_1304480450.unknown
_1304480688.unknown
_1304480728.unknown
_1304480673.unknown
_1304475901.unknown
_1304480359.unknown
_1304475549.unknown
_1304475689.unknown
_1304372605.unknown
_1304425956.unknown
_1304474633.unknown
_1304474805.unknown
_1304474903.unknown
_1304474787.unknown
_1304426981.unknown
_1304428975.unknown
_1304426017.unknown
_1304425650.unknown
_1304425876.unknown
_1304425931.unknown
_1304425711.unknown
_1304374485.unknown
_1304425566.unknown
_1304372794.unknown
_1304104066.unknown
_1304348525.unknown
_1304372047.unknown
_1304372145.unknown
_1304371577.unknown
_1304348144.unknown
_1304348319.unknown
_1304104505.unknown
_1303816475.unknown
_1303930904.unknown
_1303931384.unknown
_1303816608.unknown
_1303496637.unknown
_1303498491.unknown
_1303495901.unknown