PARTE II - MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL (REVISADO 02-2012)

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PARTE II
MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTÍCULA 
1 – INRODUÇÃO
	Na primeira parte, foram enunciadas as leis de Newton. Seguiram-se alguns comentários sobre suas validades e suas limitações. Os exemplos resolvidos e os problemas propostos foram escolhidos de tal forma que somente forças constantes estivessem presentes. Nesta segunda parte, serão discutidos outros tipos de forças que aparecem frequentemente na Mecânica Clássica: forças que dependem explicitamente da posição da partícula ou do tempo ou, ainda, da velocidade da partícula. Resolver a equação diferencial do movimento para forças que dependem simultaneamente das três variáveis acima não é tarefa simples. Por exemplo, suponha-se uma partícula submetida a uma força resultante da forma:
		 (24).
A equação diferencial que se deve resolver então é: 
				(25).
Positivamente, isso não é uma tarefa para principiantes.
	Somente em casos muito particulares é que se pode encontrar uma solução analítica para forças que apresentem dependência simultânea nas variáveis citadas. Suponha que a resultante seja fatorável e da forma:
					(26).
Nesse caso, a equação diferencial a ser resolvida é:
				(27).
Uma integração dá:
					(28).
Novamente se usa “linha” para distinguir a variável de integração do limite superior da integral. Dependendo das formas analíticas das funções 
, o processo de integração não oferece maiores dificuldades. Caso contrário, mesmo podendo escrever a força na forma de um produto, a solução pode ser bastante elaborada e nem sempre é possível escrevê-la em termos de funções elementares. Em certas circunstâncias, pode ser requerida uma integração numérica. 
2 – FORÇAS QUE DEPENDEM SOMENTE DO TEMPO.
	Quando a resultante é dada em função (somente) do tempo, a solução de equação diferencial é escrita como:
		(29).
Se a massa da partícula é constante, como se tem considerado até agora, (29) fica:
					(30).
	Essa relação expressa um resultado familiar: a variação do momento linear da partícula é igual ao impulso da força resultante que atua sobre ela no intervalo de tempo [0, t]. Note-se que, para se realizar a integração, deve-se conhecer a forma analítica da função F(t), dada somente em termos da variável t.
	A equação (30) é o ponto inicial para se determinar a função horária do movimento, isto é, x(t).
.
Com uma nova integração na variável t, obtém-se a função horária:
				(31).
Pode parecer confusa a notação em 
, mas o propósito é exatamente o contrário: evitar a confusão entre variáveis (mudas) de integração e os extremos das integrais. A integral entre colchetes é feita na variável 
para 
 e a segunda integração, na variável 
 para 
.
COMENTÁRIO. Resolvendo-se a equação diferencial (de segunda ordem), obtém-se uma solução única. Isto porque, dada a lei de força que governa o movimento e conhecendo-se as condições iniciais do problema, a solução existe e é única: a partícula evolui no tempo de forma unívoca. No caso geral e, em particular, no (31), as condições iniciais são expressas por 
.
	Problemas nos quais a força F é dada em função explícita do tempo surgem usualmente quando se pretende descrever o comportamento de um sistema mecânico sob a ação de alguma excitação periódica externa. O exemplo a seguir é um caso simples, porém importante. Embora seja uma situação descrita por um campo elétrico, a equação de movimento da partícula faz parte do contexto da Mecânica Clássica.
EXEMPLO 4
	Uma carga elétrica negativa 
, quando submetida a um campo elétrico externo 
que oscila ao longo do eixo x:
.
A proposta é encontrar a função horária, 
, para esse elétron. Considere inicialmente que a partícula está em repouso na origem: 
.
SOLUÇÃO
A força sobre o elétron é:
				(32).
A equação de movimento tem a forma:
, que pode ser integrada para se obter v(t):
			(33).
Uma nova integração na variável t fornece a função horária do movimento:
,
,
 
 		(34).
Observe que ambos os resultados, (33) e (34), são consistentes com as condições iniciais do problema. θ é chamado ângulo de fase: seu valor determina o valor do campo elétrico no instante inicial e, consequentemente, essa característica deve estar presente nas soluções para tempos posteriores. 
	O comportamento da solução (34) não é de fácil visualização quando expresso na forma analítica. Entretanto, uma representação gráfica pode auxiliar no entendimento de x(t). Considera-se, então, 
e, com isso, o valor inicial do campo elétrico aplicado sobre o elétron é nulo. Obviamente, a velocidade e também a posição da partícula são ambas nulas (esse fato independe do valor do ângulo de fase θ porque foi suposto que inicialmente o elétron estivesse em repouso na origem). 
	Para este valor de θ, a função horária (34) fica:
			(35).
Ela é a composição de uma função linear crescente sobreposta a uma função oscilatória. 
Na figura 9, ambas aparecem, bem como o resultado de sua soma.
	
Figura 9 – O comportamento de x(t) correspondente à solução (35) 
	Para outros valores de θ, permanece o caráter oscilatório do movimento como mostrado nessa figura, mas, dependendo desses valores, a curva x(t), iniciando na origem, pode cruzar o eixo dos tempos. O significado disso é que, para determinados θ’s, o campo elétrico induz um movimento inicial retrógrado e depois acelera o elétron para regiões positivas do eixo x. Um bom exercício é construir alguns gráficos, escolhendo outros valores para θ. Adicionalmente, pode ser considerado que a partícula esteja fora da origem no instante inicial. 
EXEMPLO 5
	Uma partícula de massa m, inicialmente em repouso na origem, é submetida a uma força resultante do tipo 
.
a) Esboce a forma das curvas que você espera para v(t) e para x(t) após alguns períodos de oscilação da força.
b) Encontre v(t) e x(t) e compare-as com seus esboços.
SOLUCÃO
a) Para esboçar as curvas sem efetuar cálculo algum, é necessário analisar o comportamento da força resultante.
Figura 10 – A força resultante para esse problema
F(t) é uma função periódica e não negativa para qualquer tempo. Se a partícula parte da origem com velocidade inicial nula, ela deve ser acelerada no sentido 
, com velocidade crescente, porém oscilatória. Entretanto, sua velocidade nunca se anula (diferentemente da aceleração que se anula para 
). Resumindo, a velocidade oscila de forma crescente fazendo com que a partícula se distancie mais e mais da origem.
	Para esboçar o comportamento de x(t), devem-se analisar as características da velocidade v(t), dadas no gráfico da figura 11.
Figura 11 – Esboço do comportamento de v(t)
	Se v(t) é sempre crescente (mas não monotonicamente), então se pode esperar que a partícula sempre se afaste da origem, com função horária também oscilatória. 
Figura 12 – Esboço do comportamento de x(t)
b) A solução analítica é obtida com base na segunda lei de movimento de Newton:
				(36).
A função horária x(t) é dada pela integração de (36):
 
				(37).
Comparando a solução (36) com o esboço da parte (a), nota-se que a velocidade realmente cresce com o tempo: é uma superposição de uma dependência linear em t com uma oscilatória. Este comportamento já foi encontrado no exemplo anterior (equação 35). O sinal negativo que precede o termo 
 em (36) não é suficiente para tornar a velocidade negativa. O que se está afirmando é que, para o termo entre colchetes, tem-se
 ou 
 (para 
). A igualdade só se cumpre para 
; para qualquer outro valor, a desigualdade é satisfeita. 
	A análise da solução (37) mostra que nesse caso aparece um quadrático ao invés de um linear na variável t: a parte oscilatória é superposta a essa função quadrática. O estudante deveconsiderar os casos quando 
 e 
. 
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 2)
1) Um ponto material de massa m está em repouso na origem. Aplica-se, então, uma força resultante 
 (c é uma constante positiva).
a) Que dimensões tem a constante c?
b) Esboce um gráfico dessa força.
c) Ache v(t) e x(t) para essa partícula.
d) Faça um gráfico dessas duas funções.
2) Uma partícula de massa m e com velocidade inicial 
 é submetida a uma força resultante da forma dada na figura 13.
a) Faça um esboço do comportamento que você espera para v(t) e para x(t).
b) Escolha uma forma analítica adequada para essa função e calcule v(t) e x(t); compare com os esboços do item (a).
Figura 13 – Esboço da força para o problema 2
 
3) A força resultante que atua sobre uma partícula de massa unitária é dada por 
, com A e k constantes positivas.
a) Quais as unidades dessas constantes?
b) Se, inicialmente, o ponto material está em repouso na origem, encontre sua velocidade e sua aceleração. Esboce um gráfico para F(t), v(t) e x(t) e analise o caso quando 
.
4) Um próton com carga q viaja com certa velocidade 
(<<c) em uma trajetória retilínea e paralela ao eixo-x com ordenada a. Um elétron com carga 
 e de massa m está fixo na origem. 
a) Supondo que o próton não tenha sua trajetória desviada, mostre que a componente da força ao longo do eixo y (
) sobre o próton é dada por:
.
Inicia-se a contagem do tempo no instante em o próton passa pelo ponto de máxima aproximação do elétron (distância a).
b) Qual o impulso fornecido por essa componente da força. Isto é, calcule 
.
3 – FORÇAS QUE DEPENDEM SOMENTE DA POSIÇÃO
	Um dos mais importantes casos é quando a força resultante depende somente da posição da partícula. A dependência referida é uma dependência explícita. É claro que a posição deve variar com o tempo, mas tal fato caracteriza uma dependência implícita e não é isso que se quer estudar. O objetivo agora é considerar forças do tipo 
 Ver-se-á que dessa forma é possível definir uma função energia potencial quando essas forças apresentarem uma propriedade já conhecida e usada em Física Geral I: são chamadas de forças conservativas. 
	A segunda lei de Newton pode ser escrita como
, 
podendo-se multiplicar ambos os termos por v:
.
.
Como 
, pode-se substituir na integral à direita para obter:
			(38).
A integral à direita da igualdade (38) é o trabalho realizado pela resultante sobre a partícula quando ela se desloca desde 
 até uma posição arbitrária x. O resultado é conhecido como teorema do trabalho 
 energia cinética, devendo ser aplicado somente quando a força que aparece no integrando for a resultante (conservativa ou não). No caso de F(x) ser conservativa (e somente nesse caso), pode-se definir uma função energia potencial associada a esta força (conservativa):
					(39).
Recomenda-se que o estudante reveja a seção 7.4 de Física Geral I. O sinal negativo na definição da energia potencial não deve causar desconforto ao leitor: ele garante que a água desce morro abaixo e nunca se movimenta espontaneamente no sentido contrário. Como é usualmente estabelecido, o trabalho realizado pela resultante conservativa sobre a partícula é igual a menos a variação da energia potencial. 
	O ponto 
 é tomado arbitrariamente e, partindo dele, mede-se a energia potencial: na verdade não se mede a energia potencial, mas somente variações dela. Essas variações são consideradas em relação à 
. Dependendo da forma analítica de V(x), a referência pode ser escolhida adequadamente para evitar o uso de uma constante aditiva. Por exemplo, no caso de uma mola, a energia potencial elástica é dada por 
, quando 
. Se você escolher um ponto 
, a energia potencial elástica é dada por 
. 
No caso da força gravitacional, que varia com 
, é comum fazer 
 para não incorporar uma constante aditiva na expressão de 
. Acrescenta-se que, em qualquer caso, a presença dessa constante não altera o resultado final. 
	A relação (38) pode ser escrita transformando-se a integral entre [
] em duas integrais usando 
:
			(40).
Supondo que a F seja conservativa, pela definição de energia potencial dada por (39), as integrais podem ser identificadas:
				(41). 
					(42).
Então, usando essas duas relações em (40), obtém-se:
 
				(43).
O resultado (43) é o estabelecimento da conservação da energia mecânica do sistema, onde T é reservado para expressar a energia cinética da partícula. Algumas vezes denotam-se a energia cinética e a energia potencial por 
, respectivamente. Então, a relação (43) pode ser escrita como
 					(
).
A soma 
 é chamada energia mecânica, 
, e (43) ou (
) podem ser escritas como 
				(
). 
Alguns autores utilizam uma simbologia híbrida para a conservação da energia mecânica, escrevendo 
					(
).
O que os resultados (43) – (
) mostram? Simplesmente que, em certo instante, ao se conhecer o valor da energia mecânica do sistema, ela terá o mesmo valor para qualquer tempo posterior. Nesse caso, permite-se ao sistema tão somente a transformação de energia cinética em energia potencial e vice-versa. Matematicamente, o resultado pode ser escrito como 
 e isso equivale a dizer que a energia mecânica é uma constante de movimento.
	O objetivo é resolver a equação diferencial do movimento para essa força
 (conservativa) F(x). O ponto de partida será o resultado com a notação de (
).
.
Então, usando 
, tem-se:
; integrando ambos os lados:
				 (44).
Resolvendo-se a integral à direita da igualdade, determina-se x(t). Os sinais 
 descrevem o sentido do movimento e cada um deles deve ser escolhido de acordo com a situação física imposta pelo problema. 
	A equação (44) apresenta uma integral que nem sempre pode ser calculada facilmente; mesmo quando se consegue efetuar a integração, obter a forma explícita de x(t) pode ser bastante trabalhoso. Entretanto, podem-se obter informações importantes sobre o movimento, pelo menos em grau qualitativo, analisando-se a forma do potencial V(x). A figura 14 mostra uma curva de energia potencial arbitrária e adianta-se: para esse V(x) esboçado, a solução analítica por meio do uso de (44) é bastante difícil. A análise qualitativa pode ajudar a entender como ocorrem os possíveis movimentos da partícula, dependendo de sua energia mecânica. O estudante deve se lembrar de que a partícula executa um movimento unidimensional: recomenda-se uma rápida consulta ao capitulo 7 (figura 7.14) do livro Física Geral I.
	►Se a partícula possui energia mecânica 
, ela pode somente estar em repouso no ponto x0. Nenhum movimento é permitido porque sua energia mecânica é igual à energia potencial, sendo nula, portanto, sua energia cinética. O fato de a partícula estar em repouso para essa energia mecânica é decorrente de o movimento ser unidimensional: ver-se-á no estudo das órbitas que, para movimentos em duas dimensões, a partícula pode executar um movimento circular em torno de um centro de força.
Figura 14 – Uma curva arbitrária da energia potencial
COMENTÁRIOS. Note-se que a análise foi iniciada considerando certa energia mecânica igual ao mínimo da energia potencial. Isto porque não é possível a partícula ter 
: a energia cinética é uma grandeza não negativa e, para ocorrer a desigualdade acima, a partícula deveria ter uma velocidade complexa e ocupar posições que classicamente são proibidas. Graficamente, esse fato corresponderia a pontos que deveriam estar abaixo da curva de energia potencial.
	► Para o valor de 
, a partícula tem movimento restrito ao intervalo 
. Ela oscila (não necessariamente de forma harmônica) entre as duas posições e permanece confinada nesse poço de potencial. Dizemos que o sistema possui um estado ligado.
	► Quando a energia mecânica fixada é 
, existem duas possibilidades: se a partícula é colocada inicialmente nas vizinhançasde 
(com valores ligeiramente maiores) ou é colocada próxima a 
 (com valores ligeiramente menores), ela executa um movimento oscilatório, cujas posições são dadas por 
. Novamente, ela permanece aprisionada dentro de um poço de potencial. A outra possibilidade acontece se a partícula é colocada no ponto 
: ela tem as mesmas características do primeiro caso ocorrido para 
 e, portanto, deve ficar em repouso.
	► Considerando agora a energia mecânica 
, vê-se que, dependendo da região onde está a partícula, dois casos podem ocorrer. O primeiro refere-se ao poço de potencial limitado ao intervalo 
, que é semelhante ao discutido no item anterior. Entretanto, se a partícula for colocada na posição 
, ela permanece em repouso, mostrando algo diferente daqueles tratados: os pontos de máximo (como os de mínimo) em gráficos de V(x) representam situações de equilíbrio. Nesse caso específico, existe equilíbrio instável e, portanto, para qualquer pequeno deslocamento da partícula, sua distância em relação ao ponto de partida tende a crescer. Esses comportamentos da partícula voltarão a ser discutidos no caso de ela se encontrar em pontos de máximos e mínimos.
	►Finalmente, se a partícula possui energia mecânica 
, ela pode se deslocar ao longo de quase todo eixo x. Se ela inicia seu movimento em 
e se move em direção à origem, em 
, ela inverte sua velocidade e retorna para 
. 
Os pontos para os quais a velocidade muda seu sentido são chamados de pontos de retorno, independentemente de o movimento ser restrito ou não. Os sinais 
 colocados na frente da integral na equação (44) são para descrever adequadamente o movimento em tais casos. 
	Observe o gráfico de V(x). O que representa a altura entre a curva e a reta horizontal que caracteriza certa energia mecânica, como, por exemplo, a energia 
? Para responder a essa pergunta, basta analisar a expressão da energia mecânica, que é composta pela soma de duas partes, a cinética e a potencial. A altura representa a diferença 
, sendo, portanto, igual à energia cinética. Uma conclusão imediata é que, quando a partícula translada ao longo do eixo x ( em regiões acessíveis a ela, é claro), essa altura varia e, com isso, a velocidade da partícula também varia. Ou seja, sua velocidade aumenta quando essa diferença representada pela altura é grande e diminui quando ela decresce e se anula nos pontos de retorno. Isto é mais facilmente percebido quando se imagina que a partícula está viajando sobre a curva de V(x), como se fosse uma montanha-russa. Não se pode esquecer, no entanto, de que isso é somente uma forma de visualizar as variações da velocidade: a partícula move-se sobre o eixo-x e não em movimentos de sobe e desce ao longo da curva V(x), ora acelerando, ora freando. Sua aceleração é variável e ela faz isso, certamente, sobre o eixo-x. Porém, esse expediente não deixa de ser algo funcional.
	A definição de energia potencial, dada pela equação (39), permite escrever:
					(45).
Esse resultado é a forma unidimensional de uma relação mais geral, estabelecida em três dimensões e válida para sistemas conservativos (isto é, sistemas nos quais só ocorrem forças conservativas):
, 
		 (46),
quando se utilizam coordenadas cartesianas.
	Um bom exercício é usar o resultado (45) para esboçar um gráfico da força a partir da curva do potencial dado pela figura 14. Quando você tiver obtido a curva de F(x), identifique em quais regiões ela é repulsiva ou atrativa. Seus conhecimentos de Cálculo I podem ajudar. 
COMENTÁRIO. A figura 14 apresenta uma curva da energia potencial. O que deve acontecer com o movimento da partícula se a essa V(x) for acrescentada uma constante aditiva, diga-se, 
? Isto significa fazer 
. A forma da curva original é preservada, porém, em relação ao eixo-x, é deslocada para cima (supondo 
). Esse fator não muda as características do movimento: a partícula estará submetida à mesma força resultante e, portanto, seu movimento não deverá ser alterado pela inclusão dessa constante. Analiticamente, esse fato reflete a dependência funcional entre a energia potencial e a força (conservativa): 
, para 
 constante.
APROXIMAÇÃO HARMÔNICA.
	Próximo a pontos de equilíbrio estável [
mínimos relativos em V(x)], é possível representar a curva da energia potencial por uma parábola. Obviamente, essa aproximação pode descrever o comportamento da partícula somente quando ela executa pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio. Para amplitudes maiores, devem ser incorporados outros termos e, dessa forma, ela não corresponde a uma aproximação harmônica (nesse caso, tem-se uma aproximação anarmônica). 
	Uma função que apresenta derivadas contínuas em algum intervalo pode ser expandida em série de Taylor nesse intervalo:
Nessa representação, o ponto de mínimo é 
. Observe os termos que aparecem nessa expansão. O primeiro pode ser ignorado pelas razões apresentadas no último comentário sobre a constante aditiva em V(x). O segundo termo é nulo porque V(x) apresenta um mínimo em 
 (note que esse termo corresponde, a menos de um sinal negativo, à força aplicada sobre a partícula nesse ponto). A essência do método é considerar a segunda derivada da função e descartar termos de ordem superior. A segunda derivada é positiva porque em 
 existe um mínimo. Pode-se escrever, então,
, onde a constante k é positiva			(47).
Com essa nomenclatura, desprezando termos de ordem superior, pode-se reescrever V(x):
 					(48).
Como o interesse é analisar o movimento em torno do ponto 
, pode-se fazer 
. Isto significa deslocar o eixo-y até o ponto 
 e, a partir daí, começar a contagem da coordenada da partícula. Como esse ponto corresponde à posição neutra da mola porque 
 é nula, escreve-se:
 				 (49).
Alternativamente, isso pode significar uma nova variável 
, caso em que se escreve o potencial como:
 				 (
).
A relação (49), ou a (
), é idêntica àquela de um oscilador harmônico. A constante k, nesse caso, corresponde à segunda derivada da energia potencial, calculada no ponto em que a função apresenta um mínimo. 
Verifique que as unidades da constante de mola, k, são as mesmas da segunda derivada da energia potencial, isto é, N/m. 
	Resumindo, a aproximação harmônica, relativa a um ponto de mínimo de V(x), permite descrever o deslocamento da partícula como a de um oscilador harmônico simples. O nome é, portanto, plenamente justificado.
	A figura 15 mostra a curva de V(x) e a aproximação parabólica em torno do ponto de mínimo. 
Figura 15 – A energia potencial e a aproximação parabólica próxima a 
EXEMPLO 6
	Uma partícula de massa m está sujeita a uma força resultante 
. Supondo que no instante inicial ela esteja na origem e com velocidade 
, escreva sua função horária. 
SOLUÇÃO
O tipo de força a que está submetida a partícula é uma força linear restauradora, portanto, é de se esperar que a solução seja a de um oscilador harmônico simples. Para encontrá-la, utiliza-se a equação (44):
.
Então, a equação (44) é escrita como:
 	 (50).
Note-se que se escolheu o sinal positivo na integral à direita, porque a partícula tem velocidade positiva, isto é, ela inicia seu movimento na direção de x crescente:
 				 (51),
, onde definimos a constante 
 [rd/s].
Resta resolver a integral para determinar x(t). A constante 
 está relacionada com a máxima elongação da mola: no ponto de retorno, a energia cinética se anula e, portanto, o sistema só possui energia potencial:
 (A é a elongação máxima do movimento ou amplitude). Substituindo no integrando, tem-se:
					(52).
A integral é facilmente encontrada em tabelas especializadas:
�� EMBED Equation.3 			(53).
Como foi suposto, a solução (53) é característica de um oscilador harmônico simples.
COMENTÁRIO. A solução (53) foi obtida considerando que a partícula se encontrava na origem comcerta velocidade 
. Por que essa velocidade não aparece na solução? Ela aparece, mas não explicitamente. Inicialmente, a energia mecânica do sistema é puramente cinética: 
; a energia mecânica no ponto de retorno é puramente potencial: 
. Igualando-se as duas, tem-se 
.
O mesmo resultado pode ser obtido de forma mais rápida, derivando (53):
 e para 
, tem-se 
.
EXEMPLO 7
	Uma partícula de massa m é repelida da origem por uma força inversamente proporcional ao cubo da distância à origem. Resolva a equação de movimento, considerando que a partícula está inicialmente em repouso a uma distância 
 da origem. Encontre a velocidade da partícula para qualquer tempo.
SOLUÇÃO
Dadas as condições iniciais, resolver a equação de movimento significa encontrar a função horária 
. A força é repulsiva fazendo com que a partícula se afaste mais e mais da origem. Sua forma analítica é 
, onde k é uma constante positiva. A solução se desenvolverá para 
 e, assim, x(t) e v(t) serão positivos; utiliza-se a equação (44) para obter x(t).
	A energia potencial associada à força dada é:
			 (54).
A escolha da referência no infinito é adequada para se evitar uma constante aditiva em V(x). Inicialmente, a partícula está em repouso, ela só possui energia potencial: 
.
Então, a equação (44) pode ser escrita como:
.
				(55).
Usando 
, a integral pode ser escrita na forma:
,
onde se retorna à primeira variável de integração, 
.
	Finalmente, após colocar os extremos de integração, tem-se:
 				(56).
A velocidade da partícula é dada pela derivada temporal de (56):
�� EMBED Equation.3 
		(57).
Que tipo de movimento essa partícula faz para tempos grandes, isto é, 
? Nesse caso, a velocidade seria aproximadamente constante e, portanto, ela transladaria (aproximadamente) em MRU. 
EXEMPLO 8
	Uma partícula de massa m está sujeita à força resultante, cujo potencial é 
, onde a e b são constantes positivas. Considerando que o movimento ocorre próximo à origem, encontre a frequência de oscilação que a partícula executa.
SOLUÇÃO
É necessário certificar-se de que, na origem, a energia potencial apresenta um mínimo. Se isto não acontecer, não há oscilação de pequenas amplitudes. 
. Igualando-a a zero, podem-se determinar os pontos críticos:
.
Como o que interessa é o movimento próximo à origem, somente o ponto crítico 
 será analisado. Na verdade, o outro valor, 
, corresponde a um ponto de máximo e, portanto, refere-se a equilíbrio instável:
 .
Isto corresponde a um ponto de mínimo da função V(x).
Para pequenos deslocamentos em torno da origem, pode-se usar a aproximação harmônica dada pela equação (47):
.
A frequência angular ω está relacionada com a constante de mola pela igualdade 
. Portanto, 
. Como 
, a frequência é dada por:
.
A figura 16 é um esboço de V(x) e mostra o poço de potencial próximo à origem, onde a partícula executa oscilações harmônicas (pequenas amplitudes).
Figura 16 – Comportamento gráfico de V(x)
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 3)
1) Refaça o exemplo 6 para uma partícula que, em 
, encontra-se em certo ponto 
 e com velocidade 
. 
2) Uma partícula de massa m está sujeita à força resultante 
com k e a constantes positivas.
a) Quais as dimensões de ambas as constantes?
b) Encontre a energia potencial associada a essa força e discuta qualitativamente os possíveis movimentos da partícula para alguns valores de 
.
c) Para a energia mecânica 
, a integral relacionada com solução x(t) (equação 44) pode ser avaliada por métodos elementares. Encontre x(t) para esse caso, escolhendo 
 de maneira conveniente.
3) A energia potencial entre os dois átomos de uma molécula diatômica é dada por:
.
Esse potencial é conhecido como 6-12 ou de Lennard-Jones.
a) Encontre a força.
b) Ache o ponto de equilíbrio estável e o período de pequenas oscilações quando o átomo de maior massa permanece fixo na origem e o mais leve (aquele que oscila) possui massa m.
4) Encontre a solução para o movimento de uma partícula sujeita a resultante repulsiva 
. Suponha que inicialmente o móvel esteja em repouso na posição 
. Esse tipo de movimento é esperado quando a partícula se encontra próxima de um ponto de equilíbrio instável.
5) A força resultante 
 atua sobre um corpo de massa m.
a) Encontre o potencial associado a F(x) e esboce um gráfico. Descreva a natureza dos movimentos.
b) Encontre a função horária x(t), supondo que, em 
, o móvel esteja em 
. Nesse caso, é mais fácil obter 
.
4 – FORÇAS QUE DEPENDEM SOMENTE DA VELOCIDADE
	Em cursos introdutórios de Física, o tratamento analítico sobre o movimento de projéteis que se movem próximos à superfície da Terra não considera os efeitos das forças de atrito devido à presença do ar. Em alguns casos, essa aproximação dá resultados aceitáveis; em outros, a solução pode indicar que a descrição é bastante incompleta e insatisfatória. Um dos casos mais importantes de forças que dependem da velocidade ocorre quando existem forças dissipativas devido ao atrito viscoso que atua quando a partícula se movimenta. A dependência pode ser uma função extremamente complicada, dependendo dos valores das velocidades e da aerodinâmica do objeto. Entretanto, em alguns casos, usando relações relativamente simples válidas para um surpreendente intervalo de velocidades, pode-se descrever de forma adequada essa dependência. 
	É fácil se convencer de que surge uma força resistiva quando o móvel se movimenta através de um meio fluido: quem já andou de bicicleta percebe os efeitos que surgem dificultando a locomoção. Isso pode levar à conclusão de que o atrito viscoso é sempre nocivo, mas seria impossível a um avião se sustentar no ar se não fosse por algum tipo de atrito. Os pára-quedas seriam artefatos completamente inúteis se não fosse a existência de um meio viscoso.
	Suponha inicialmente que uma partícula se mova em um meio fluido (fluido é usado de maneira ampla e compreende gases ou líquidos). Uma força (resultante) resistiva surge no sentido contrário ao do deslocamento. A segunda lei de Newton é escrita:
 
			(58).
O sinal a ser escolhido para F(v) deve ser analisado em cada situação. No exemplo seguinte, essa escolha é discutida para uma situação relativamente simples.
EXEMPLO 9 
	Um barco desliga o motor em
. Suponha que exista uma força resistiva diretamente proporcional à sua velocidade instantânea devido ao contato com água. Encontre a função horária para esse movimento se em 
 ele passa pela origem com velocidade 
.
SOLUÇÃO
Deve-se inicialmente escolher uma orientação conveniente para o sentido do eixo-x. A seguir, procura-se orientá-lo quanto ao sentido da velocidade. Assim, a força resistiva F(v) é:
.
A constante b (positiva e com dimensões kg/s) depende da forma do móvel e da viscosidade do fluido e, em geral, é obtida de forma experimental. Entretanto, ela não depende da velocidade. Considere-se
.
A integração é imediata: 
. Finalmente, a expressão para a velocidade do barco pode ser escrita:
 
					(59).
Para obter x(t), faz-se uma nova integração:
					(60).
Analisando o que foi obtido em (59) e em (60): a expressão da velocidade mostra que se 
, então 
. A intuição sobre a situação física parece estar contraposta a essa conclusão, no seguinte sentido: é necessário esperar um tempo infinito para que o barco atinja o repouso? O infinito a que se refere pode ser assim caracterizado: sua velocidade é tão pequena que seu deslocamento pode ser confundido com sua oscilação em razão das ondulações na superfície da água. Essa solução tem a mesma forma daquela obtida para a descarga de um capacitor em um circuito RC. Quando você estudou esse circuito, não precisou esperar um tempo infinito para decidir que a carga do capacitor era nula. Especificamente para o barco, pode-se estabelecer que, quandoou, equivalentemente, 
, ele entrou em repouso. Dependendo dos valores de b e de m, esse “infinito” não vai além de alguns minutos. Isso lembra muito o significado de “infinito” para alguns espelhos e lentes usadas na Óptica. 
	O resultado (60) mostra, então, a distância máxima percorrida antes de parar: 
. 
	Os comportamentos de x(t) e v(t) aparecem na figura 17.
Figura 17 – v(t) e x(t) para um barco sob a ação de 
	
É instrutivo desenvolver (59) e (60) em série de Taylor para 
, isto é, para tempos curtos (valores próximos ao início da contagem dos tempos):
		 (61) e
 . No caso presente, 
, pode-se reter somente o termo linear em t:
 					(62).
Essa aproximação para tempos curtos indica que a velocidade do barco se comporta como se fosse um MRUV, com aceleração 
. O gráfico de v(t) na figura 17 indica que, para 
, pode-se aproximar a curva por um segmento de reta. Obviamente, à medida que t cresce, outros termos da série devem ser considerados. 
	Para a equação (60), pode-se fazer algo semelhante:
		(63),
�� EMBED Equation.3 		(64).
Para tempos próximos ao instante inicial, o movimento é bastante semelhante ao de MRUV. O início da curva de x(t) na figura 17 indica esse comportamento.
Se o eixo-x tivesse sido orientado na direção contrária, você esperaria resultados diferentes?
EXEMPLO 10
	Uma partícula está sujeita a uma resultante viscosa que varia com o quadrado da velocidade instantânea. Ache v(t) e x(t) supondo que, em 
, a partícula passa pela origem com velocidade 
. 
SOLUÇÃO
O sinal da força resistiva deve ser escolhido de forma consistente. Se a partícula se move no sentido de x crescente, então a força deve ser escrita 
(contrária à orientação do eixo). Se, entretanto, a partícula se move no sentido negativo da orientação do eixo, a velocidade é negativa, mas 
 e a força aponta na direção positiva. Então, 
. 
Escolhe-se a segunda orientação e escreve-se a lei do movimento: 
,
			(65),
.
Fazendo 
, a integral fica:
 
			(66).
 
A solução (66) pode causar certo desconforto no estudante pela presença do sinal negativo no argumento do logaritmo, mas 
 (lembre-se de que o movimento acontece na direção oposta à orientação do eixo-x) e, portanto, 
. O resultado (66) é consistente porque 
.
	 Ao comparar as funções horárias obtidas nesse exemplo e no precedente, pode-se verificar que, enquanto (60) dá uma distância máxima finita para tempos grandes, (66) fornece uma distância infinita quando 
. Isso é o reflexo da dependência temporal das velocidades em ambos os casos. No primeiro, devido ao fator exponencial, a velocidade vai a zero muito mais rapidamente do que no segundo.
 
COMENTÁRIO. Os dois últimos exemplos mostraram que, dependendo do expoente da velocidade na força resistiva, o sinal de F(v) deve ser escolhido de forma a assegurar que sempre ela é contrária ao movimento. Pode-se escrever 
: para n ímpar escolhe-se sempre o sinal negativo; para n par deve-se analisar o sinal da velocidade para proceder à escolha do sinal, ou seja, a escolha do sinal depende da orientação do eixo. 
EXEMPLO 11
	Uma partícula é solta de certa altura em relação ao solo. Considerando que a força resistiva é diretamente proporcional à velocidade instantânea, encontre v(t) e x(t) para a queda desse móvel.
SOLUÇÃO
A altura mencionada no enunciado é tal que a força gravitacional pode ser considerada constante (h<<<RTerra). Isso não poderia ser diferente, já que, para haver uma força resistiva, é necessário que exista um meio viscoso; para grandes altitudes, isso, efetivamente, deixa de acontecer. Ainda mais: a constante b supõe que a densidade do meio permaneça inalterada.
O propósito desse exemplo é incluir a força de atrito na solução para partículas em queda livre, solução essa discutida na disciplina Física Geral I. 
	A figura 18 mostra a escolha da orientação do eixo e as forças que atuam sobre a partícula durante sua queda.
Figura 18 – A partícula em queda livre
 A segunda lei de Newton é escrita como:
 e pode-se integrar :
.
Pode-se fazer a substituição 
�� EMBED Equation.3 ou 
		(67).
Para tempos grandes, 
 ou 
, a exponencial se torna desprezível e a velocidade se aproxima de 
. Observe que esse valor pode ser alcançado rapidamente, dependendo da razão m/b que aparece na exponencial. Em certas situações, pode acontecer que a altura inicial não seja suficiente para que essa velocidade terminal seja atingida. Por exemplo, uma gota de chuva necessita de poucos segundos para entrar em regime estacionário de queda (velocidade constante); uma bola de tênis necessita de tempo maior. Note que, se a partícula atinge a velocidade terminal, a partir desse ponto, a força resistiva iguala a força peso dando, portanto, uma resultante nula. A área grande de um pára-quedas é projetada exatamente para que essa velocidade terminal seja alcançada rapidamente durante seu percurso. Entretanto, saltar de pára-quedas do alto de um prédio de apenas 10 m de altura pode não ser algo muito razoável, exceto em casos onde se colecionam fraturas.
	Tratado o limite para tempos grandes, pode-se analisar como é o comportamento de v(t) para tempos curtos. Novamente, representa-se a função por uma série de Taylor (ou de McLaurin, porque a expansão se dá em torno de 
):
 
			(68).
Assim, para tempos curtos, a velocidade da partícula se comporta como se estivesse acionada somente pela aceleração da gravidade; à medida que essa velocidade aumenta, o efeito da força resistiva se evidencia no termo quadrático em t. Obviamente, para tempos maiores, outros termos devem ser incorporados à série.
Figura 19 – Comportamento de v(t) quando atuam o peso e uma força resistiva
	Para obter a função horária do movimento, deve-se integrar a expressão (67):
				(69).
Para tempos curtos, pode-se expandir a exponencial (e só ela, não o termo linear, porque não faz sentido; se você quiser expandi-lo, vai encontrar t): 
				(70).
Note que, nesse caso, foi preciso considerar até termos de terceira ordem em t para obter a correção de primeira ordem em b. Os dois primeiros fatores em (70) correspondem à queda livre sem o efeito da força resistiva.
	Com a aproximação para tempos curtos sob controle, pode-se proceder à análise para o limite oposto, 
. A relação (69) fornece, para esse caso: 
 (para 
)			(71).
Aqui ocorre um fato interessante. A coordenada y(t) não pode ser negativa porque foi escolhida a origem no solo, onde a solução cessa sua validade. Portanto, fazer 
pode não corresponder à descrição apropriada do movimento. Colocando-se 
 em (71), obtém-se: 
.
Em certas circunstâncias, pode ocorrer de o fator 
 não ser tão grande. Quando ele é somado ao tempo 
, fica muito aquém do limite 
. Isto significa que, para a partícula, o solo chega antes de o regime estacionário de velocidade constante ser atingido. Nesse caso, pode-se dizer que “o solo é o limite”.
COMENTÁRIO. O último exemplo revela algumas situações interessantes. Suponha duas esferas de diâmetros idênticos, as quais podem se mover em queda livre: ambas são caracterizadas pela mesma constante b. Entretanto, suas massas são diferentes, sendo uma delas de alumínio e a outra de ferro. As equações (67) e (68) fornecem os seguintes resultados: a esfera de maior massa adquire maior velocidade para o mesmo intervalo de tempo e atinge maior velocidade terminal.
EXEMPLO 12
	Uma aproximação mais realista para corpos de massa apreciável, os quais se movem com velocidades de alguns metros/segundo, é considerar a força de atrito viscoso como 
. Suponha as mesmas condições do problema anterior para encontrar 
 e 
. 
SOLUÇÃO
O duplo sinal na força de atrito é um aviso de que a escolha deve ser efetivada de acordo com a orientação do eixo y. No exemplo precedente, a origem foi colocada no solo e oeixo y orientado para cima. Assim, 
.
Essa integral pode ser encontrada em tabelas específicas:
 
			(72).
A notação tagh significa tangente hiperbólica e, sendo uma função ímpar, 
. Esse fato foi usado na última linha para obter a equação (72). O sinal negativo da velocidade deve-se à orientação do eixo y. O comentário feito logo a seguir contém uma breve recordação das funções hiperbólicas.
	Para obter y(t), basta integrar a expressão (72) e o resultado é:
				(73).
COMENTÁRIO. As funções hiperbólicas são definidas da seguinte maneira: 
seno hiperbólico x 
 (I); 
 cosseno hiperbólico x
 (II);
tangente hiperbólica x 
 (III).
Recomenda-se que o estudante esboce os gráficos dessas funções.
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 4)
1) Um bote é freado por uma força resistiva F(v). Sua velocidade decresce com o tempo, segundo a equação
,
onde C é uma constante positiva e 
 é o tempo em que esse bote pára.
a) Qual a forma analítica da força resistiva 
?
b) Encontre x(t). 
2) Sabendo que a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo varia com o deslocamento x de acordo com a relação 
 (b constante positiva), encontre a força em função de x que atua sobre essa partícula.
3) No exemplo 11, foi discutida a queda de uma partícula de certa altura a partir do repouso. Descreva qualitativamente o que ocorre se a partícula for lançada para baixo com uma velocidade 
 maior do que a velocidade terminal (ou limite) 
. Esboce um gráfico do comportamento de v(t).
4) Um bloco metálico de massa m desliza sobre uma superfície lubrificada com um óleo denso. A espessa película submete o bloco a uma força viscosa dada por:
.
Se a velocidade inicial do bloco é 
 quando ele passa pela origem, mostre que ele não pode percorrer uma distância maior que 
.
5) Um barco com velocidade inicial 
 é freado por uma força resistiva dada por:
.
a) Encontre 
.
b) Ache o tempo de parada.
6) Considere o exemplo (12).
a) Qual a velocidade terminal?
b) Obtenha a expressão para o tempo de queda desse corpo.
7) Um projétil é disparado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial 
 (oriente o eixo y para cima). Suponha que uma força de atrito que varia com 
atue sobre o projétil. Mostre que sua velocidade durante a subida é dada por:
 
.
Sugestão: observe que a velocidade é dada em função de x. Escreva a segunda lei de Newton na forma 
.
5 – OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
	O estudo do oscilador harmônico é um tópico tão importante na Física que mereceria uma parte exclusiva. Entretanto, como serão analisados osciladores unidimensionais, é justificável que ele seja incluído aqui como uma seção.
	Movimentos oscilatórios podem ser percebidos na vida cotidiana em diversas situações: uma criança brincando em um balanço, o movimento das árvores sob a ação do vento, as subidas e as descidas das marés, etc. Em sistemas simples, movimentos periódicos ou simplesmente oscilatórios ocorrem se esses sistemas possuírem uma posição de equilíbrio estável; caso eles sofram alguma perturbação, a força (restauradora) tende a reconduzi-los a essa posição de equilíbrio. 
	Convém ressaltar que os tópicos a ser tratados a seguir aplicam-se a equações diferenciais lineares, porque, para as não-lineares, geralmente, as soluções são muito mais difíceis de ser encontradas. Por essa razão é que os livros textos de Mecânica têm focalizado quase exclusivamente equações diferenciais lineares, o que criou a falsa impressão de que a linearidade é a norma. Entretanto, quando é pressionada a fornecer maiores detalhes, a natureza insiste em se comportar como não-linear. Por exemplo, um oscilador com equação diferencial não-linear pode se comportar de maneira totalmente diversa daquela que será estudada a seguir. Porém, uma boa razão para se estudar o oscilador linear é que ele permite o embasamento para abordagens mais sofisticadas e complexas.
	O mais simples e mais fundamental tipo de força restauradora é o caso linear. Por exemplo, a força exercida por uma mola, quando distendida, obedece à lei de Hooke:
.
A posição x é medida a partir do ponto neutro da mola, isto é, quando ela não está nem comprimida e nem distendida; k é um número positivo chamado constante elástica da mola. O subscrito x em F é para exprimir o fato de que a força está nessa direção. Como o movimento a ser analisado é unidimensional, pode-se abandonar essa notação e escrever simplesmente 
					(74).
	Figura 20 – Um modelo de oscilador harmônico linear
O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
	Para iniciar este estudo, conforme figura 20, pode-se considerar que, entre a superfície horizontal e o bloco, não existe atrito. Portanto, na direção x, a segunda lei de Newton pode ser escrita como:
				(75).
Esta é a equação diferencial a ser resolvida para encontrar x(t). A equação (75) representa uma variedade muito grande de situações físicas: o pêndulo simples obedece ao mesmo tipo de equação; em alguns circuitos elétricos, a mesma forma aparece descrevendo a variação temporal da corrente elétrica.
	Você já estudou alguns métodos que permitem encontrar a solução para essa equação diferencial de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes. Um deles é utilizado a seguir. A ideia é transformar essa equação diferencial em outra, algébrica. Suponha uma solução tentativa da forma 
					(76);
derivando duas vezes e substituindo na equação (75), tem-se:
.
Multiplicando ambos os membros da relação por 
, tem-se
					(77).
A solução da equação algébrica (77) é
com 
. O fator i é o número imaginário definido por 
. Substituindo a expressão de p na solução tentativa (76), tem-se a solução geral:
				(78).
A função horária (78) é a solução geral de (75). Isto significa que, para quaisquer valores das constantes 
, (75) é satisfeita. Essas constantes arbitrárias são determinadas a partir das condições iniciais do problema. A forma complexa de (78) é bastante conveniente para escrever a solução, porém ela apresenta algumas desvantagens. Por exemplo, sabe-se que a posição da partícula é uma função de variáveis reais, sendo ela mesma uma expressão real e, na forma como foi estabelecida, essa característica parece estar ausente. A representação de x(t) na forma real pode ser obtida por meio da relação de Euler e de seu complexo conjugado:
 e 
.
Então, substituindo essas duas relações em (78), tem-se:
			(7
).
Para que essa solução seja real, é necessário escolher as constantes 
de forma conveniente para assegurar que x(t) efetivamente apresente essa característica. Sabe-se que a soma de dois números complexos, sendo um conjugado do outro, resulta em um número real:
.
A diferença entre eles é um número imaginário puro:
.
Se a escolha for 
, então a expressão (7
) será real. Há várias maneiras de se mostrar esse fato, uma das quais é dada a seguir, usando a forma polar de números complexos:
 e 
,
com 
 e 
. Usar a equação (78) na forma exponencial é mais conveniente:
.
Em termos de funções trigonométricas, tem-se:
�� EMBED Equation.3 				(79).
A constante 
 é chamada de amplitude do movimento ou elongação máxima. O ângulo θ é conhecido como fase do movimento. Para analisar como essas duas constantes podem ser expressas usando as condições iniciais do problema, suponha que, no instante inicial (
), o móvel esteja na posição 
 e com velocidade 
. 
Pode-se expandir (79):
			(
).
Redefinindo as constantes 
 e 
, tem-se:
				(80).
Para 
 
				(81).
Derivando (80), tem-se:
.
Para 
		(82).
As equações (81) e (82) podem ser escritas como:
 e 
, portanto, da igualdade trigonométrica 
, tem-se 
 e o valor do parâmetro A é dado por: 
					(83).
Essa é a expressão da amplitude do movimentoem função das condições iniciais.
O ângulo de fase θ é facilmente encontrado:
�� EMBED Equation.3 				(84).
COMENTÁRIO. Muitas vezes é conveniente expressar as funções trigonométricas, seno e cosseno, em termos da exponencial imaginária
 e 
,
porque é mais fácil manipular algebricamente as exponenciais do que as funções trigonométricas. Não confunda essas relações com as das funções hiperbólicas. 
	
	O oscilador harmônico não esteve, até agora, submetido a forças dissipativas e, por essa razão, a energia mecânica deve ser constante. Na elongação máxima, ou amplitude, a energia mecânica é puramente potencial elástica; quando o móvel passa pela posição de equilíbrio, a energia potencial se anula e sua velocidade é máxima: nesse ponto a energia mecânica é totalmente cinética. 
	Para qualquer outro ponto da trajetória, tem-se:
					(85).
Como a energia mecânica se conserva, pelo exposto acima, a equação (85) pode ser escrita como:
			(86).
EXEMPLO 13 
	A relação (83) expressa a amplitude A com as condições iniciais do problema. Obtenha a amplitude em função da energia mecânica do sistema massa-mola.
SOLUÇÃO
Pode-se resolver esse problema de duas formas. Na primeira, usa-se diretamente a (83):
,
mas 
�� EMBED Equation.3 .
A outra possibilidade é observar que, na elongação máxima, ou amplitude, a energia é puramente potencial porque a velocidade da partícula se anula e, portanto, a energia cinética é zero.
 quando 
. Assim, 
�� EMBED Equation.3 .
EXEMPLO 14
	Uma mola de constante k é fixada verticalmente. Uma massa m é colocada em sua outra extremidade livre. Discuta o movimento vertical que essa partícula pode realizar.
SOLUÇÃO
A pergunta a ser feita é: como essa força constante (peso) afeta o movimento da partícula? Suponha inicialmente que a massa seja presa à mola e solta vagarosamente até a partícula atingir uma nova posição de equilíbrio: quando isso acontece, a força peso é equilibrada com a força elástica da mola. Isto determina uma posição 
:
				(87).
A partir desse momento, desloca-se ligeiramente a partícula para que ela possa oscilar em torno dessa posição de equilíbrio. A figura 21 mostra as diversas coordenadas que serão utilizadas.
Pode-se medir o deslocamento X a partir da posição inicial da mola e, nesse caso, a segunda lei de Newton é escrita como (considerando o sentido positivo para baixo):
.
No entanto, a coordenada X é dada por 
 e, usando (87), tem-se 
 
.
Finalmente, escreve-se:
					(88).
Figura 21 – Movimento vertical de um sistema massa-mola
 
	A equação é a mesma que foi obtida para um oscilador que se movimenta sobre um suporte horizontal. Esse resultado indica que uma força constante (peso) aplicada em um oscilador não modifica sua equação diferencial e, portanto, sua solução deve ser idêntica àquela em que inexiste a força. O que muda é o ponto em torno do qual ele realiza suas oscilações. 
COMENTÁRIO. A grandeza 
, chamada frequência angular, tem unidade dada por rd/s. A frequência 
 (pode-se optar por chamá-la linear) é definida como o número de ciclos por unidade de tempo, cuja unidade é Hertz (Hz). A relação entre as duas grandezas é dada por:
.
 
É comum, entretanto, o uso da palavra frequência para designar uma ou outra, mas deve-se ficar atento para o contexto, de maneira a saber a qual delas se está referindo.
	
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 5)
1) Uma partícula de massa m executa um movimento harmônico simples de amplitude 0.1 m. Se ela passa pelo centro de seu movimento com velocidade de 0.5 m/s, qual é o período de oscilação? 
2) Um movimento harmônico simples tem frequência (linear) de 1.0 Hz. Encontre x(t) para as condições iniciais: 
.
3) Partindo da função horária 
, mostre que a energia mecânica do oscilador harmônico simples é 
. 
Sugestão: escreva 
. 
4) Você é informado de que um oscilador harmônico possui em 
 uma velocidade 
 e , em 
, sua velocidade é 
. Mostre que a amplitude desse movimento e a frequência angular são dadas por:
 ; 
.
5) A máxima elongação de uma massa oscilando em torno do ponto de equilíbrio é 
 e velocidade máxima é 
. Encontre o período de oscilação.
Sugestão: use a conservação da energia mecânica.
		
6) Um oscilador harmônico simples de massa m está inicialmente em repouso na origem. Uma força 
 começa a atuar sobre ele em 
. Mostre que a função horária 
 é dada por
.
6 – OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES AMORTECIDO
	Na análise precedente, não foram considerados os efeitos de forças de atrito que sempre estão presentes nos movimentos de um oscilador harmônico macroscópico. Nesta seção, serão analisados os efeitos do atrito viscoso sobre um móvel que executa um movimento harmônico. Existem diversas possibilidades para uma força resistiva, mas aquela da forma 
 permite escrever a equação de movimento e sua respectiva solução, de maneira especialmente simples. 
	Suponha, então, um sistema massa-mola obedecendo à lei de Hooke e que, simultaneamente, esteja sujeito a uma força de atrito viscoso diretamente proporcional à velocidade instantânea da partícula. A equação do movimento é dada por
.				(89).
Esse tipo de equação é bastante comum na Física, aparecendo em diversos contextos. Você já estudou o circuito RLC série e encontrou a equação que descrevia como a carga elétrica variava em função do tempo:
.
Ela tem exatamente a mesma forma da equação (89) para o oscilador amortecido e tudo o que foi aprendido sobre ela será imediatamente aplicável ao circuito RLC. A indutância L desempenha o mesmo papel da massa m no oscilador, a resistência R equivale ao termo resistivo b e 1/C corresponde à constante da mola k. 
	Para resolver a equação (89), é conveniente escrevê-la na forma
,				(90),
onde 
 e 
. Você perceberá que se escreve 
 somente para facilitar os cálculos que aparecem a seguir. Observe também que as constantes 
 têm dimensões de 
 [SI]. A equação (90) é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea e, portanto, a teoria e as técnicas desenvolvidas no curso de cálculo sobre equações diferenciais podem ser utilizadas aqui. Por exemplo, existe um teorema que estabelece o seguinte:
Se 
 e 
 são soluções de uma equação diferencial linear e homogênea de 2ª ordem (com coeficientes constantes ou não), então 
�� EMBED Equation.3 é também solução.
Far-se-á uso desse resultado (que não será demonstrado) para obter a solução geral de (90). 
	Em equações do tipo (90) com coeficientes constantes, uma solução da forma 
 sempre existe. Substituindo 
, 
 e 
 em (90), tem-se:
					(91).
Multiplicando-se ambos os lados de (91) por 
, a equação diferencial é transformada em uma equação algébrica de segundo grau em p. 
	A solução de (91) é:
�� EMBED Equation.3 				(92).
O fator 
2γ comentado anteriormente é escolhido para deixar a relação (92) na forma mais conveniente. 
	A natureza das raízes depende dos valores de 
 e os três casos possíveis serão estudados separadamente. 
1º CASO: AMORTECIMENTO FRACO
Para 
, as raízes são complexas e as soluções são oscilatórias porque o radicando é negativo e isso leva a soluções em termos de seno e cosseno. Esse tipo de amortecimento é chamado de subcrítico ou subamortecimento. 
	Se o radicando é negativo, pode-se escrevê-lo na forma 
, onde 
 (real). Então p na equação (92) será dado por:
					(93).
A solução da equação diferencial é da forma:
, 			(94), 
onde 
 são constantes arbitrárias no sentido de que a equação diferencial é satisfeita para quaisquer valores dessas constantes. Entretanto, elas são univocamente determinadas a partir das condições iniciais (
) do problema. 
	A solução (94) pode se escrita como:
				(95).
A solução é o produto de dois fatores: o primeiro, 
, é um decaimento exponencial que monotonicamentevai a zero; o segundo tem a mesma forma apresentada para um oscilador sem amortecimento no qual a frequência angular 
 é substituída pela frequência 
. De maneira semelhante ao que foi feito para escrever (79) a partir de (78), pode-se expressar (95) como
				(96), 
onde 
 e 
. Note que mais uma vez 
.
	A palavra frequência é utilizada para designar 
 (que é menor do que a frequência 
 devido ao fator γ), o que é uma prática comum, mas, estritamente falando, não se poderia denominá-la dessa forma: a frequência é o número de vezes que o móvel passa por determinado ponto, por unidade de tempo, com as mesmas características. Se você observar a figura 22, vai notar que existem pontos pelos quais o móvel passa uma única vez ou talvez duas; no caso de passar mais de uma vez, ele o faz com velocidades diferentes. Ainda assim, continua-se chamando 
 de frequência como é usualmente denominada. 
Figura 22 – Movimento do oscilador fracamente amortecido
	O fator exponencial 
 é a envoltória da função periódica: a amplitude da função trigonométrica deve estar limitada pela função 
, como foi mostrado na figura 22. 	
Um fato pouco intuitivo e não tão óbvio para esse movimento fracamente amortecido é que a frequência angular 
 é constante, pois ela é a diferença entre fatores constantes, 
. Portanto, o período de oscilação, 
, mantém-se inalterado, mesmo quando a amplitude decai em razão do fator de amortecimento 
. 
	A energia mecânica do sistema não pode ser constante em virtude da presença da força de atrito: o oscilador está constantemente perdendo energia na forma de calor para o meio ambiente. 
2º CASO: AMORTECIMENTO FORTE
Quando 
, tem-se o superamortecimento ou o movimento supercrítico. As duas raízes da equação algébrica (92) são reais e a solução é dada por:
				(97), 
com 
 sendo, nesse caso, um número real positivo. A amplitude da oscilação decresce com o passar do tempo porque ambos os expoentes da exponencial são negativos e, em muitas situações, o móvel não consegue passar pela origem em tempos finitos. O primeiro termo à direita de (97) decresce mais lentamente do que o segundo e, para tempos grandes, é essa parte da solução que governa o comportamento do oscilador. Para se convencer de que isso ocorre, escreve-se
 e 
.
Como 
, o primeiro termo é menos negativo do que o segundo, fazendo com que a primeira exponencial decresça mais lentamente. 
	Contrariamente ao que se poderia imaginar, a taxa de decaimento da amplitude no caso de superamortecimento torna-se mais lenta se o coeficiente 
 for grande. 
A figura 23 mostra o comportamento de um oscilador superamortecido inicialmente na origem e que sofre um impacto súbito. 
Figura 23 – Caso de superamortecimento para um oscilador
3º CASO: AMORTECIMENTO CRÍTICO
Para 
, as duas raízes são reais e iguais. Nesse caso, tem-se um oscilador criticamente amortecido. Não se pode representar a solução por uma soma simples como foi feito nos dois casos anteriores, porque 
 são linearmente dependentes como se mostra abaixo:
.
A teoria de equações diferenciais indica que, nesses casos, uma solução linearmente independente de 
, é do tipo 
. Portanto, a solução geral tem a forma:
				(98).
A figura 24 mostra o comportamento de (98) em função do tempo. A curva vai a zero mais rapidamente do que no caso precedente. Essa situação pode ser altamente desejável em projetos nos quais o sistema necessita voltar rapidamente à posição de equilíbrio. Os amortecedores mecânicos são dimensionados com essas características.
Figura 24 – Comparação entre o amortecimento crítico e o supercrítico
EXEMPLO 15
	Discutir a energia mecânica para osciladores com amortecimento.
SOLUÇÃO
A energia mecânica de um oscilador harmônico amortecido é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial:
.
Se não há força de atrito atuando, essa quantidade permanece constante no tempo, 
. Entretanto, se existe amortecimento, a energia mecânica não pode permanecer constante. Derivando-se a expressão em relação ao tempo, obtém-se:
.
O termo entre parênteses pode ser identificado por meio da equação (89):
.
Portanto, a variação temporal da energia mecânica é dada por:
						(99).
Com exceção dos pontos de retorno nos quais a velocidade se anula, a taxa de variação da energia mecânica é estritamente negativa, indicando que a energia do oscilador, na forma de calor, está sendo dissipada para o meio por causa da força de atrito.
EXEMPLO 16
	O sistema de suspensão de um automóvel é criticamente amortecido e sua oscilação livre sem nenhum amortecimento é 1s. Se o sistema está inicialmente deslocado de 
 em relação ao ponto de equilíbrio e solto com velocidade nula, encontre sua posição após 1s.
SOLUÇÃO
Os dados do problema permitem encontrar o coeficiente γ: como o sistema é criticamente amortecido, sabe-se que 
, mas
 
 e, como 
, pode-se escrever 
.
A expressão da função horária para esse tipo de amortecimento é dada por (98),
 , e as condições iniciais permitem calcular as constantes 
:
 e 
.
, mas isso deve ser nulo pela condição inicial. Então,
.
Obtidas as constantes, pode-se escrever a função horária para o movimento:
.
Para 
, o deslocamento em relação à posição inicial 
 é:
 
.
Esse resultado indica que, após 1s, o sistema está deslocado de apenas 1.3% em relação ao ponto 
.
EXEMPLO 17
	No texto, mais especificamente na figura 24, o gráfico de x(t) não intercepta o eixo dos tempos. Isso significa que o móvel não passa pela origem; entretanto, sob certas condições iniciais, é possível que o oscilador passe pela origem. Mostre que, para o amortecimento crítico, isso pode acontecer uma única vez.
SOLUÇÃO
Sob certas condições iniciais, entende-se que se deve encontrar a relação entre 
. Supõe-se que, inicialmente, o oscilador esteja na posição 
 e que imprimimos uma velocidade 
. Obviamente, para forçá-lo a passar pela origem, a velocidade inicial deve ser negativa, isto é, 
. Uma única vez significa que existe somente um valor de t. Para mostrar esse fato, inicia-se com a função horária (98) e sua derivada:
;
.
As condições iniciais fornecem
 e 
.
A equação horária pode ser escrita, usando-se os valores das constantes 
:
.
Para que o móvel ultrapasse a origem, deve-se ter 
. É necessário, então, encontrar 
. Igualado a zero, tem-se:
.
Como o fator exponencial nunca se anula para tempos finitos, o fator pré-exponencial deve se anular:
 
.
O resultado mostra que existe somente um valor para o tempo, 
. Para que esse tempo seja positivo (como se está supondo), é necessário que se cumpra a desigualdade 
 e, como 
 são positivos, a velocidade inicial deve ser negativa. Essas são as certas condições iniciais já referidas anteriormente. Se o oscilador estivesse na posição 
 (à esquerda da origem), a velocidade inicial deveria ser positiva, impulsionando a massa em direção à origem. A figura 25 mostra o comportamento gráfico das situações discutidas. Observe que a curva apresenta declividade negativa em 
 quando 
 e, para 
, a declividade em 
 é positiva. 
	Para o caso de superamortecimento, pode-se chegar à mesma conclusão de que existe somente um valor para o tempo, porém a álgebra é mais envolvente. O resultado é dado por:
, 
.
Figura 25 – Comportamento de x(t) para 
(amortecimento crítico)
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 6)
1) Esboce os gráficos de x(t) para os três casos de amortecimento analisados, considerando diversas condições iniciais. Por exemplo, para (a) 
 e 
; (b) 
 e 
; (c) 
 e 
. 
2) Suponha que alguém lhe diga que as equações abaixo descrevem o comportamento de osciladores harmônicos amortecidos. Explique para essa pessoa que, para cada um dos casos, isso não é possível.
 e 
.
3) Um osciladorharmônico está inicialmente na posição 
. Se ele é solto a partir dessa posição, encontre as funções horárias quando existe (1) amortecimento subcrítico, (2) amortecimento supercrítico e (3) amortecimento crítico. Esboce os gráficos correspondentes a essas três situações.
4) A equação diferencial que governa o movimento de um oscilador harmônico é:
.
a) Observando diretamente a equação, qual o valor da constante b (com unidades)?
b) Qual o valor da constante k da mola (com unidades)?
c) Que tipo de amortecimento acontece nesse caso?
d) Escreva a função horária sabendo-se que, no instante inicial, a massa está em repouso em sua máxima elongação (
).
e) Obtenha a expressão que estabelece a variação temporal da energia mecânica desse oscilador.
7 – OSCILADOR HARMÔNICO AMORTECIDO E FORÇADO
	Todo oscilador amortecido, deixado à sua própria sorte, mais cedo ou mais tarde, atinge o repouso pelo efeito da força de atrito que subtrai constantemente energia e a cede ao meio. Por isso, para que as oscilações não cessem, deve-se providenciar alguma força externa que mantenha o movimento. O bonito relógio de pêndulo que você sempre vê na casa do avô mantém suas oscilações em razão de um mecanismo interno que armazena energia potencial de uma mola (quando você “dá corda” nele) ou utiliza um sistema de pesos (energia potencial gravitacional) que aciona periodicamente o pêndulo. 
	Quando um oscilador harmônico amortecido está submetido a uma força externa, que, em geral, depende explicitamente do tempo, a equação diferencial do movimento tem a forma:
					(99).
	Na teoria das equações diferenciais existe um teorema que vai auxiliar na procura da solução. Ele se aplica a equações diferenciais com coeficientes constantes e também a equações cujos coeficientes são funções do tempo.
	“Se xp(t) é uma solução de uma equação diferencial não homogênea, e xh(t) é uma solução da equação homogênea associada, então a solução geral é dada pela soma das duas: x(t)=xh(t)+xp(t)”.
A solução particular, xp(t), é algumas vezes chamada solução complementar, xc(t); entretanto, como essa denominação tem a desvantagem de tornar mais difícil de lembrar o que seria particular e o que seria complementar, opta-se por chamá-la de particular.
	Um caso importante é o da força F(t) que varia periodicamente no tempo com frequência angular 
 Portanto, ele é considerado em detalhes. Escreve-se a equação (99) para essa força externa periódica.
				(100).
	A equação (100) pode ser colocada na forma padrão, dividindo-se pela massa:
�� EMBED Equation.3 			(101).
A solução de (101) pode ser obtida elegantemente usando-se variáveis complexas, mas a solução será obtida no campo real. A solução da homogênea, 
, já é conhecida: dependendo dos valores de 
, tem-se um dos três casos discutidos na seção anterior. Assim, é necessário determinar somente uma solução particular.
	
Um bom início é supor que exista uma solução particular da forma 
. Essa solução–tentativa envolve as funções 
 e 
, o que é facilmente percebido expandindo-se 
. As derivadas temporais de xp(t) são:
 e 
.
Substituindo-se xp(t), 
 e 
 em (101), tem-se:
.
Desenvolvendo 
 e 
, agrupando-se os termos, a expressão anterior passa a ser:
 
.
(1º) O coeficiente de 
deve ser anulado porque o lado direito da igualdade não possui termo em 
. Portanto,
 
				(102).
(2º) O coeficiente de 
, à esquerda, deve ser igual à constante A porque a igualdade é válida para qualquer tempo t. 
	
 			(103).
A expressão (103) mostra ainda uma dependência em 
 e 
, mas o que se quer é uma relação que seja função dos parâmetros 
. Pode-se usar o resultado (102):
.
A conclusão imediata (e errada!) seria que:
 e 
 (Errado).
É fácil se convencer de que a conclusão não é correta: verifique que 
.
A maneira correta é supor que 
 e 
, onde K é um parâmetro. Note que a relação (102) ainda é válida para as expressões definidas dessa forma. Então, tem-se:
.
Finalmente, as expressões corretas para 
 e 
 são dadas por:
 e 
		(104).
COMENTÁRIO: A grandeza 
 representa a diferença de fase entre a força impulsora externa e o movimento resultante. Existe um atraso real entre a ação da força e a resposta do sistema. Para um valor fixo de 
, quando ω cresce de zero até 
, a quantidade δ cresce desde zero até 
. Quando ω cresce ainda mais,
, a diferença de fase δ tende a π. Nesse caso, o deslocamento está totalmente defasado em relação à força externa.
Essas duas relações podem ser usadas em (103) para substituir 
 e 
 no denominador:
.
Um pouco de álgebra permite simplificar a expressão: 
				(105).
	Se você se lembra do por quê de se estar calculando tudo isso, então pode escrever a solução particular:
.
Substitui-se a constante A pelo seu valor 
. A solução geral é a soma de 
 com a solução da homogênea, 
:
			(106).
A forma analítica de 
 depende do tipo de amortecimento que acontece para o oscilador. Então, 
 pode ter uma das seguintes formas:
	 (107).
	No início da seção, foi afirmado que um oscilador amortecido, deixado à sua própria sorte, mais cedo ou mais tarde, vai entrar em repouso. O que se quer dizer com isso é que, após certo tempo, qualquer uma das soluções em (107) vai a zero. Certo tempo é dado pela condição 
. Por essa razão, a solução 
 é chamada transiente. Quando seu efeito tiver desaparecido da solução geral x(t), o oscilador passa a se comportar com a frequência externa da fonte, ω, obtendo-se a solução estacionária:
		(108).
Os detalhes do movimento da partícula no intervalo de tempo que precede ao desaparecimento do transiente [
] dependem fortemente das condições do oscilador no instante em que foi aplicada a força externa. Mais especificamente, considere o caso subcrítico: a solução depende também da magnitude relativa entre a frequência da fonte externa, ω, e a “frequência angular” 
. A figura 26a mostra, separadamente, a solução de um oscilador subamortecido, 
, e as oscilações estacionárias, 
. Em 26b, é mostrada a solução resultante da composição de ambas. Observe que, quando 
 desaparece, a solução 
 se reduz à 
, conforme a relação (108). 
 
Figura 26a Figura 26b
EXEMPLO 18
	É dada a força externa 
 com 
. Essa força atua sobre um oscilador de massa m, constante de mola 
 e coeficiente de atrito 
.
a) Que tipo de amortecimento se tem nesse caso?
b) Encontre a solução geral para esse oscilador.
SOLUÇÃO
Observe que a força externa não é oscilatória, mas tende a 
 quando 
.
(a) Para conhecer o tipo de amortecimento presente, escreve-se a equação diferencial homogênea com os valores de b e de k: 
.
A forma padrão da equação diferencial homogênea para o oscilador é:
.
Comparando ambas as equações, vê-se que:
 e 
.
Os resultados indicam que 
 e, portanto, o amortecimento é subcrítico: têm-se duas raízes complexas. Nesse caso, a solução da homogênea é da forma:
.
Antes de iniciar a procura da solução particular, observa-se o efeito da força F(t) sobre o oscilador. A análise é feita mais facilmente com o auxílio de um gráfico de F(t), como está esboçado na figura 27.
Figura 27 – Comportamento temporal de F(t) 
	À medida que o tempo cresce, a força aumenta, sendo de se esperar que o “centro de oscilação” se desloque no sentido da força externa. Para tempos grandes, 
, 
, e, quando isso ocorre, a solução 
(transiente) já desapareceu. O resultadofinal dessa combinação de comportamentos indica que o oscilador deve entrar em repouso em uma posição tal que a força elástica seja contrabalançada pela força externa. Pode-se agora buscar analiticamente a solução particular e verificar se as conclusões acima se cumprem.
(b) 
�� EMBED Equation.3 . Então, a solução 
 é: 
			(109).
Pode-se tentar uma solução particular escrevendo uma que tenha a mesma dependência temporal da força externa, 
, e obtendo-se suas derivadas 
 e 
.
Pode-se então substituí-las na equação diferencial não homogênea:
. A comparação entre os coeficientes permite escrever:
�� EMBED Equation.3 .
Substituindo a expressão de B, pode-se escrever a solução particular:
�� EMBED Equation.3 			(110).
A solução geral x(t) é a soma de (109) e (110):
.
Note que, para tempos grandes, a solução efetivamente tende para um valor constante
,
mas 
 para tempos grandes. Essa conclusão já havia sido estabelecida por argumentos semiquantitativos. 
	A figura 28 mostra o comportamento de 
, de 
 e de 
.
Figura 28 – Comportamentos de 
, 
 e 
FENÔMENOS DE RESSONÂNCIA
	O fenômeno de ressonância ocorre em diversas ocasiões e em variados sistemas físicos tanto mecânicos quanto elétricos. Em certas circunstâncias, ele é benéfico e, em outras, pode ser catastrófico. A recepção de ondas eletromagnéticas de sinais de rádio envolve a ressonância de um circuito RLC incorporado em aparelho receptor: a sintonia é conseguida variando-se o valor do capacitor para que ele oscile em ressonância com o emissor. Por outro lado, a ponte de Tacoma (USA) foi um dos exemplos mais espetaculares de como uma fonte externa, relativamente fraca (vento), conseguiu destruir uma estrutura sólida e resistente. Serão analisados dois tipos de ressonâncias: um, referente à amplitude e relacionado com a energia potencial, e outro, referente à energia cinética. 
	Por ressonância na amplitude entende-se uma frequência para a qual é possível aumentar significativamente a amplitude da oscilação. É essa frequência que será obtida, considerando que o transiente tenha desaparecido e, portanto, existe somente a parte estacionária, 
. Então, tem-se
 
,
onde se escreve a amplitude como 
.
 
Note que 
 é um produto de duas funções: uma trigonométrica, limitada a valores 
; outra, envolvendo os parâmetros 
 através da função 
. Para se encontrar a frequência de ressonância, 
, na qual a amplitude apresenta um máximo, deriva-se a amplitude em relação à ω e iguala-se a zero:
				(111).
 ou 
			(112).
Como ω é sempre positivo (frequência da fonte), o valor 
 não apresenta relevância. Somente o resultado 
 possui significado físico. Ele determina a valor que deve ser escolhido, ajustando-se a frequência da fonte externa, para que a amplitude tenha o máximo valor. Note que a frequência de ressonância ocorre para 
 devido ao fator resistivo γ. Para um oscilador forçado, mas sem amortecimento (
), a frequência da fonte deve ser a mesma do oscilador simples, 
.
	A figura 29 ilustra o comportamento da amplitude em função da frequência da fonte externa, para diversos valores da constante de amortecimento. Observe que o pico da máxima amplitude se desloca para a esquerda à medida que cresce o parâmetro γ do sistema, ao mesmo tempo em que a amplitude decresce. Se a constante de amortecimento γ for muito grande, pode não existir 
 porque, nesse caso, a força de atrito destrói a ressonância. Obviamente, a quantidade 
 deve ser real e, para ver como a ressonância pode não existir em sistemas altamente dissipativos, considere o valor limite 
. Então, 
é uma função que decresce monotonicamente com o aumento de ω.
Figura 29 Ressonância na amplitude de um oscilador harmônico 
	Um exemplo bastante elementar de ressonância ocorre quando se impulsiona uma criança em um balanço: a frequência com que se faz isso deve estar muito próxima da frequência natural de oscilação do brinquedo. O ângulo δ é determinado de maneira quase inconsciente: ninguém começa por impulsionar um balanço que já está em movimento, aplicando uma força no ponto mais baixo da trajetória e contrária ao sentido da velocidade.
	Existem na internet alguns vídeos sobre ressonância e um dos mais espetaculares é o da quebra de uma taça de vinho colocada próximo a um gerador de áudio (breaking a wine glass). 
	Têm-se encontrado diferentes frequências nas últimas seções e esta parece ser uma boa oportunidade para resumi-las. 
(1) 
 frequência natural de um oscilador sem amortecimento.
(2) 
 “frequência” de um oscilador subamortecido.
(3) 
 “frequência” de um oscilador superamortecido.
(4) 
 frequência da força externa.
(5) 
 valor da frequência na qual ocorre ressonância. 
Nota-se, então, que 
.
	O segundo caso de ressonância acontece na energia cinética: a intenção é calcular a frequência para a qual essa energia seja máxima. Isto significa que se deve ajustar a frequência da fonte externa para que se tenha a máxima energia cinética. Supõe-se, como foi feito para obter a ressonância na amplitude, que a solução transiente, 
, já não esteja presente na função horária do oscilador:
.
A energia cinética 
 pode, então, ser escrita como:
.
Para simplificar um pouco, usa-se a notação
		(113),
onde se coloca 
.
	Como a função seno é limitada no intervalo 
, é necessário calcular somente o máximo de 
:
			(114).
O valor de 
 que maximiza (114) é dado por 
. 
	Note que a frequência de ressonância na energia cinética é diferente da frequência de ressonância na amplitude. Enquanto a primeira ocorre na mesma frequência do oscilador sem amortecimento, 
, a segunda se verifica na frequência 
. Sendo a energia potencial proporcional ao quadrado da amplitude, seu valor possui ressonância para frequência 
. O fato de as energias cinética e potencial possuírem valores diferentes para a frequência de ressonância reflete a característica de sistemas não conservativos. Obviamente, se 
, ambas as frequências coincidem. Entretanto, não se pode fazer 
 porque, nesse caso, o oscilador não é amortecido e o termo transiente para a solução da equação diferencial homogênea, 
, não é muito apropriado: 
 coexiste com 
 para qualquer tempo. 
	
EXEMPLO 19
	Considere um oscilador amortecido e forçado em regime estacionário, isto é, controlado somente pela solução particular. A potência instantânea que a força externa transfere para esse oscilador é definida por:
.
a) Obtenha a expressão de P(t) quando a força externa é dada por 
 e a função horária do oscilador é 
.
b) Calcule a potência média em um ciclo de oscilação. 
SOLUÇÃO
(a) Deriva-se a solução 
 para obter a velocidade:
			(115).
Substituindo-se essa expressão na relação da potência, tem-se:
.
No entanto, como
 já são dados pela (104), pode-se fazer a substituição:
	(116).
(b) A média temporal de uma grandeza A(t), em um período T, é definida pela relação: 
.
Como 
, então, 
. O segundo termo à direita da igualdade (116) dá um valor médio nulo porque a integral 
 se anula. (Verifique isso fazendo a integração).
Então, somente o primeiro termo em 
 deve ser considerado:
.
Como 
, o resultado final é:
.
Essa é a potência que deve ser transferida, por ciclo, ao oscilador para que ele continue oscilando no estado estacionário. Essa taxa supre as perdas que ocorrem por dissipação em cada período de oscilação.
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 7)
1) Utilizando as informações contidas no COMENTÁRIO sobre o ângulo de fase δ, esboce as curvas para esse ângulo em função de ω, considerando valores pequenos e valores grandes de γ. 
2) Detalhe os cálculos envolvidos para se obter 
 a partir de (114).
3) Uma força 
 atua sobre um oscilador amortecido. Encontre uma solução particular para a função horária